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第2讲波函数的统计诠释态叠加原理

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第二章波函数和Schrodinger方程

第二章波函数和Schrodinger方程
2.如何理解表象.
3.量子态Ψ1+eiθΨ2和Ψ1+Ψ2表示同一量子态吗?
§3 力量子算符公设
任意可观测的力学量，都可以用相应的线性厄米算符来表示
(一）力学量平均值
在统计物理中知道，当可能值为离散值时，一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。
玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。
玻恩假定：描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而则表示概率密度
例题1：电子的自由平面波波函数
在空间各点发现光子的概率相同
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
干涉花样取决于概率分布，而概率分
布是确定的。
(2)入射弱电子流
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ|2代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
粒子的经典概念：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
波的经典概念：
1. 物理量在的空间分布作周期性的变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。

量子力学-第二章波函数和薛定谔方程

量子力学-第二章波函数和薛定谔方程

因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）

波函数及其统计诠释

波函数及其统计诠释

2. 波函数是单值的、连续的和有限的。
3
3. 波函数允许包含一个任意的常数因子
v v ψ ( r , t ) 波函数 和Aψ ( r , t ) (A是常数)描述 v r v 了同一个量子态，对于空间任意两点 ri 和 j 有
2 2 v v ψ ( ri , t ) Aψ ( ri , t ) = 2 2 v v ψ (rj , t ) Aψ ( r j , t )
不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空 间的概率分布的概率波。 在统计意义下波函数具有下面的性质： 1. 量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有 直接物理意义的, 具有直接物理意义的是的模的 平方，它代表了粒子出现的概率。
2
微观粒子的概率波的波函数表示为
v ψ(r,t) =ψ(x, y, z,t)
4. 满足归一化条件 v ∗ v ∫ ψ (r ,t)ψ (r ,t)dτ = 1
V
4
5. 满足态叠加原理 (一个基本假设)
v v 如果波函数 ψ 1 (r , t ) , ψ2 (r , t) , … 都是描述
系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加为
v v v v ψ(r , t) = c1ψ1(r , t) + c2ψ2 (r , t) +⋅⋅⋅ = ∑ciψi (r , t)
§2-6 波函数及其统计诠释 一、经典物理学中的波函数
微观粒子的运动状态称为量子态， 用
v 波函数 ψ (r , t ) 来描述的，这个波函数所
反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。 (量子力学的基本假设之一)
二、在量子力学中波函数的统计意义
1926年玻恩指出：德布罗意波或波函数
v ψ (r , t )
那么在t时刻、在空间(x,y,z)附近的体积元dxdydz内 粒子出现的 dxdydz

波函数重叠原理

波函数重叠原理

波函数重叠原理波函数重叠原理是量子力学中的重要概念之一，它描述了当两个量子态相互作用时，它们的波函数会发生叠加的现象。

这个概念是由德国物理学家马克斯·波恩于1926年提出的，是量子力学的基本原理之一，对于理解和应用量子力学具有重要意义。

在量子力学中，任何一个量子态都可以用一个数学函数来描述，这个函数被称为波函数。

波函数是一个复数函数，描述了一个粒子在不同的位置和时间的概率分布。

在某一时刻，当一个系统处于某个量子态时，它的波函数表示为|Ψ>，这个波函数描述了系统的状态。

波函数是量子力学中的基本概念之一，它是量子力学中用来描述量子系统的核心数学工具。

波函数重叠原理描述了当两个或更多的量子态相互作用时，它们的波函数将相互叠加。

如果一个系统可以处于两种不同的状态，那么这个系统的波函数将是这两种状态的线性组合。

例如，一个自旋为1/2的粒子可以处于两个不同的自旋状态，即“向上”和“向下”，那么这个粒子的波函数可以表示为：|Ψ> = a|向上> + b|向下>其中a和b是复数，|向上>和|向下>是两个不同的自旋状态。

这个波函数表示了这个粒子同时处于这两种状态的概率分布。

波函数重叠原理描述了这两种状态的波函数会相互叠加，即当这个粒子被测量时，它将以一定的概率处于这两种状态中的一种。

波函数重叠原理是量子力学中的基本原理之一，它对于量子计算和量子通信等领域具有重要意义。

在量子计算中，波函数重叠原理是实现量子并行计算的关键，它使得量子计算机可以同时处理多个数据。

在量子通信中，波函数重叠原理使得量子态可以在远距离传输，实现量子通信的安全性。

此外，波函数重叠原理还在量子力学中的其他领域中发挥着重要作用，例如在量子场论和量子统计力学中的应用。

总之，波函数重叠原理是量子力学中的基本原理之一，它描述了当两个或更多的量子态相互作用时，它们的波函数将相互叠加，即它们的概率幅度会相加而不是概率值。

量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)

量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)

量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。

其中，1C 、2C 是任意复常数。

2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。

2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。

2.2 态叠加原理

2.2 态叠加原理

电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点 的几率密度
电子穿过狭缝 ２出现在Ｐ点 的几率密度
相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加Ψ = C1Ψ 1 + C2Ψ 2 (2.2-1) 也是该体系的一个可能状态.
这就是量子力学的态叠加原理。 其中C1和C2是复常数,
考虑电子双缝衍射
Ψ1
P
Ψ
S1
一个电子有Ψ 1和Ψ 2两 种可能的状态,Ψ 是这两 种状态的叠加。
电子源
S2
Ψ2
感 光 屏

Ψ = C1Ψ 1 + C2Ψ 2 也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是： |Ψ |2 = |C1Ψ 1+ C2Ψ 2|2 = (C1*Ψ 1*+ C2*Ψ 2*) (C1Ψ 1+ C2Ψ 2) = |C1 Ψ 1|2+ |C2Ψ 2|2 + [C1*C2Ψ 1*Ψ 2 + C1C2*Ψ 1Ψ 2*]
态叠加原理一般表述： 若Ψ 1,Ψ 2 ,...,Ψ n ,...是体系的一系列可能的状态 ，则这些态的线性叠加 Ψ = C1Ψ 1 + C2Ψ 2 + ...+ CnΨ n + ... 也是体系的一个可能状态。
§2.2.、态的迭加原理
态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一 节先作一些初步介绍.随着学习量子力学内容的不 断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。

微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射 的本质在于波的叠加性，因此，同光学中波的叠加原理 一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中 的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函 数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。

课件：波函数统计解释

课件：波函数统计解释

E.SchrÖdinger提出可用一个波函数
(r ,
t
)来描述
物质波，称为物质波的波函数。
如何体现波粒二象性的？
物质波是什么样的波？
二.波函数的统计解释：概率波（1926年）
电子双缝实验
玻恩获得1954年 诺贝尔物理学奖
2021/6/27
4
子弹双缝试验
水波双缝试验
电子双缝试验
(a)
(b)
r
点附近干涉图样的强度
正比于该点附近感光点的数目
正正比比于于该单点个附电近子出出现现的在电r子点数附目近的概率
2021/6/27
11
类比光的干涉实验
光强度大
光波振幅平方大 （波动观点）
光子在该处出现 的 概率大
（微粒观点）
光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比
物质波的 强度大
波函数振幅平方大 （波动观点） 单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大
2021/6/27
22
三、物理对波函数的要求
1. 波函数的有限性
在空间任何有限体积元中找到粒子 的概率必须为有限值
2. 波函数的归一性
根据波函数统计解释 在空间各点的概率总和必须为1
A
r
2
d
C
则
1 C
A
r
2
d
1
d dxdydz
1 C
归一化因子
1 C 2021/6/27
A r 是归一化的波函数,与Ψ

(r
,
t
)描写同一几率波
23
(r , t) 和 C(r ,t) 所描写状态的相对几率是相同。
因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对

量子力学中的波函数与叠加原理

量子力学中的波函数与叠加原理

量子力学中的波函数与叠加原理量子力学是描述微观世界规律的理论体系，它的基础概念之一就是波函数。

波函数在量子力学中扮演了重要的角色，它包含了微观粒子的全部信息，通过对其的研究和求解，我们能够预测和理解微观粒子的行为。

在量子力学中，波函数描述了一个量子体系的状态。

它是一个复数函数，通常用希腊字母Ψ表示。

波函数的平方值表示了在某一给定时间和空间点上找到粒子的概率。

这里的概率并不是传统意义上的频率，而是描述了粒子可能出现在某个位置或具有某种性质的可能性。

叠加原理是波函数的另一个重要概念。

它表明一个物理系统所处的状态可以是多个不同状态的线性组合。

这意味着，当一个物理系统同时处于多个可能的状态时，其波函数可以表示为各个状态波函数的叠加。

例如，在实验中，我们可以通过装置使得电子同时通过两个不同的路径，所以电子的波函数就是两个路径波函数的叠加。

波函数和叠加原理的重要性在于它们揭示了量子世界的一些奇特现象，例如干涉和量子纠缠。

干涉是指当波函数的两个分量相遇时，它们会相互干涉，形成干涉条纹。

这可以通过双缝实验来观察到，当光通过两个狭缝时，它们产生的干涉现象表明光既具有波粒二象性。

量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，即使它们在空间上相隔很远，一个粒子的状态的改变会立即反映在其他粒子上。

爱因斯坦曾经称之为“鬼魅般的遥远联系”。

这种奇特的现象在实验中已经被证实，它源于波函数的叠加原理。

波函数的叠加原理对量子计算和量子信息理论也有重要意义。

量子计算利用了量子叠加的特性，通过对多个可能状态的叠加进行并行计算，可以在某些特定情况下获得超级计算的速度优势。

量子信息理论则研究如何利用波函数的叠加和纠缠来传递和处理信息。

这些研究为未来的量子技术发展提供了基础。

当然，波函数和叠加原理也存在一些争议和不确定性。

例如，波函数的解释一直是个谜题，是否它只是对我们观测到的粒子行为的一种数学描述，还是它本身就代表了物理粒子的真实存在，至今仍没有明确的答案。

§2[1].2态叠加原理

§2[1].2态叠加原理

1 e 3/ 2 (2π h)
i vr ( P ⋅r − Et ) h
取各种可能值的平面波的线性叠加， 取各种可能值的平面波的线性叠加，即
6
§2.2 态迭加原理（续5）
Chapter 2. The wave function and Schrödinger Equation
v v v v ψ ( r ,t ) = ∑C( P )ψ P( r ,t ) v
ψ = c1ψ1 + c2ψ 2 + L+ cnψ n 2.当体系处于 态时， 2.当体系处于 ψ 态时，发现体系处于 ψ k 态的几率 2 是 ck (k =1,2,LL, n,) ，并且 n , 2
∑
k =1
ck
=1
态的迭加原理是量子力学的一个基本假设， 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的 正确性也依赖于实验的证实。 正确性也依赖于实验的证实。
r r 为自变量的波函数， 为自变量的波函数， 以坐标 r 为自变量的波函数， 以动量 P 为自变量的波函数，
v ψ (r , t )
v C ( P, t )
Chapter 2. The wave function and Schrödinger Equation
Prove:
∝
r r r r ∗ r 2 ∫−∝ |C ( p , t ) | dp = ∫ C ( p , t )C ( p , t ) dp r r r r r ∗ r ∗ r r (r )dr r (r ')dr ' dp = ∫ ∫ψ (r , t )ψ p ∫ψ (r ', t)ψ p r r =δ ( r −r′) r r ∗ r r r r ∗ r r r = ∫∫ψ (r , t )ψ (r ', t ) ∫ψ p (r )ψ P (r ')dp drdr '

量子力学-波函数和薛定谔方程

量子力学-波函数和薛定谔方程

1. 单电子衍射实验
我们再看一下电子的衍射实验
1. 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长 时间亦显示衍射图样;
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样。
P
P
电子源
O
Q 图
感 光 屏 Q
单电子衍射实验
单电子衍射实验结果分析：
实验所显示的电子的波动性是许多电子地同一次实 验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中 的统计结果。波函数正是为描写粒子的这种行为而引进 的。 (1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子 到达该处的概率大；“暗纹”处是到达该处的电子数少， 或讲电子到达该处的概率小。 (2)衍射图样由电子波动性引起， “亮纹”处表示 该处波强度|Ψ(r)|2大；“暗纹”处表示该处波强度|Ψ(r)|2 小，所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比。
量子力学
Quantum Mechanics 第二章
第二章 波函数 和薛定谔方程





§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 薛定谔(Schrodinger)方程 (S-方程) §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态薛定谔方程 §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 §2.8 势垒贯穿 §2.9 例题
自由粒子的波函数无法正常归一化
自由粒子德布罗意平面波为
Ae
i ( p r Et )
归一化条件为


d =1
2
2
A


d
所以德布罗意平面波无法正常归一化。 （具体如何处理后面将讨论）箱归一化方法
四. 多粒子体系的波函数
(r1 , r2 ,, rN , t ) 描述N个粒子组成的体系的运动状态 玻恩统计解释：

第二章波函数[详细讲解]

第二章波函数[详细讲解]
The phase velocity
dr u dt k
In contrast with electromagnetic wave, matter waves show dispersion in a vacuum. The relativistic energy theorem for free particle
The motion of a particle confined a cube
Ne 0
i ( k r t )
for r within V=L3
for r outside V=L3
On the surface of cube, wave functions must satisfy boundary condition.
Example
Calculate the wavelength of X ray (with energy 10 KeV ), eletron (1 keV) and neutron (5 eV). Solution: the momentum of particle is
2 2 p ( E / c)2 m0 c
A
How is the electron twoslits-diffraction experiment?
Two slits synchronously
Open one by one
2.2-1 Probability Wave
• Born’s (波恩) statistical interpretation:
0 0
0
The shorter the wavelength, the shorter the distance between two point that can be distinctly through the microscope.

量子力学中的波函数与态叠加

量子力学中的波函数与态叠加

量子力学中的波函数与态叠加量子力学是现代物理学的重要分支，也是量子化工作理论的基石。

其中，波函数和态叠加是两个核心概念，在对量子力学的理解和研究中占有重要地位。

一、波函数解读波函数，由物理学家薛定谔方程求解而来，是对量子态的一种描述。

在量子力学中，波函数通常被表示为ψ，并在一个包括时间和空间的函数中出现。

对于每一个物理系统，都存在一个独特的波函数，可以展现系统的物理属性。

在经典力学中，粒子的状态可以通过位置和动量的具体数值来判定，然而在量子力学中，我们不能同时精确测量一个粒子的位置和动量，即测不准原理。

在这种情况下，粒子的状态被描绘为一个概率云，这个概率云就是由波函数所描述的。

二、概率密度为了更好的了解波函数，必须先理解概率密度。

在量子力学中，要获取一个粒子在某一处的概率，那么就要将该处的波函数的模平方得到，也就是概率密度。

概率密度反映了粒子出现在不同区域的概率，也是波函数的重要性质之一。

三、态叠加原理在量子力学中，一个粒子的状态并非绝对的固定值，而是可能处在多种态的叠加中。

这就是态叠加原理。

态叠加原理指的是，如果有两个独立的状态分别描述了一个微观粒子的两种可能状态，那么，这两种状态的叠加也是粒子可能存在的状态。

这一原理丰富了量子力学的描述范围，使物理学家能够理解和解释诸如干涉和衍射等现象。

四、波函数与态叠加的关系态叠加原理为波函数的解释提供了理论基础。

在量子力学中，物理系统的态可以通过波函数来描述，而由于态叠加原理，这个波函数可能是多个不同波函数的叠加。

例如，一个处于叠加态的粒子，其波函数可以看做是两个独立波函数的叠加。

这两个波函数分别描述了粒子的两种可能状态，然后通过叠加，形成更复杂的波函数，描述了粒子更为复杂的状态。

量子力学的世界充满了奇妙。

在量子力学中，波函数和态叠加原理是揭示量子世界奥秘的重要工具。

而这种深入的学术讨论，也会进一步推动我们对量子力学，乃至对整个自然界的更深入理解和认识。

量子力学中粒子的波函数和态叠加

量子力学中粒子的波函数和态叠加

量子力学中粒子的波函数和态叠加量子力学作为现代物理学的基石，在描述微观粒子行为方面有着非常重要的作用。

其中，波函数和态叠加是量子力学的重要概念。

本文将介绍粒子的波函数和态叠加的基本原理，并探讨它们在量子力学中的应用。

波函数是描述粒子状态的数学函数。

根据量子力学的基本假设，粒子既可以表现为粒子性，也可以表现为波动性。

在波动性方面，粒子的运动状态被表示为波函数。

波函数的值是一个复数，一般用ψ表示，在波函数中，粒子的位置和动量信息都可以通过运算得到。

根据波函数的形式，我们可以了解粒子的位置分布、运动速度和能量等重要信息。

波函数的一种特殊情况是态叠加。

量子力学中的态叠加指的是粒子处于多个可能的状态之一的叠加状态。

根据量子叠加原理，当粒子处于多个可能状态时，它将同时处于这些状态的叠加态。

这种叠加态会产生不同的概率幅，并由波函数来描述。

在观测之前，粒子将处于所有可能状态的叠加态，而观测后，波函数将坍缩成一个特定的状态。

态叠加在量子力学研究中有着重要的应用。

首先，态叠加可以解释实验观测中的干涉现象。

例如，著名的Young双缝实验，当光通过两个狭缝时，形成干涉图样。

这可以用波函数和态叠加来解释。

波函数叠加产生干涉，而干涉图样则可以用来研究粒子的波动性质。

其次，态叠加可以用于描述量子比特的量子计算。

量子比特具有态叠加的性质，可以同时处于0和1两个状态的叠加态。

这使得量子计算能够在一定程度上实现并行计算，从而提高计算速度。

另外，态叠加还可以用于描述量子纠缠现象。

量子纠缠是一种量子力学中的特殊现象，其中两个或多个粒子之间存在紧密联系，无论它们之间的距离有多远。

当两个粒子发生纠缠时，它们的波函数将处于叠加态，无法独立描述。

这导致了量子隐形传态和量子纠缠密钥分发等重要应用的出现。

在实际应用中，波函数和态叠加具有重要的工程和科学意义。

例如，在量子力学中，我们可以通过分析波函数的变化来研究粒子的运动规律和能量变化。

这对于设计新型材料、研究粒子间相互作用等领域非常关键。

量子力学第二章教案-态的叠加原理

量子力学第二章教案-态的叠加原理

§2.2 态的叠加原理1、量子态及其表象在统计物理中，我们学过量子态的概念。

那时我们把微观粒子的运动状态称为量子态。

通过前面的学习我们又知道2|)(|rψ给出粒子出现在r 的处几率。

2|)(|pϕ给出粒子出现在p 处的几率。

)(p ϕ是)(rψ的Fourier 变换：⎰⋅-=r e r p r p i 3/2/3d )()2(1)(ψπϕ ⎰⋅=p e p r r p i 3/2/3d )()2(1)( ϕπψ 此时若),(t rψ给定，所有力学量测值几率分布就给定，平均值就可求出。

),(t r ψ完全确定了一个三维空间t 时刻的量子态，),(t rψ是几率幅，又称态函数。

同样)(p ϕ给定后，动量的几率分布就可求，而且由于)(r ψ可由)(p ϕ求出，故)(pϕ也可作为量子态完全描述体系，即)(p ϕ和)(rψ是等价的，彼此有确定的关系，那么二者有何区别？二者的表象不一样。

量子力学中把态和力学量的具体表示方式成为表象。

)(r ψ、)(pϕ是一个状态在坐标表象和动量表象中的表示。

有关表象的问题我们将在以后作详细介绍。

前面我们学习了量子力学的基本原理之一：微观粒子的运动状态用波函数),(t rψ完全来描述。

下面我们学习第二个基本原理 2、态的叠加原理问题的提出:自由粒子的波函数是动量取确定值的态函数，即平面波。

考虑一个波包)(rψ，它由平面波叠加而成。

在这个波包中测量动量，能测得什么值？ 态的叠加原理能回答这个问题。

态的叠加原理：设体系处于1ψ状态，测量力学量A 所得值为a 1，1ψ称为力学量A 的相应于本征值a 1的本征态。

又体系处于2ψ状态，测量力学量A 所得值为a 2，2ψ称为力学量A 的相应于本征值a 2的本征态。

则2211ψψψc c +=也是体系的一个状态，这就是态的叠加原理。

在ψ态中测量A 可能得a 1，也可能得a 2，而且相应的测量几率是确定的。

——态的叠加是波的叠加的结果，导致叠加态下观测结果的不确定性。

曾谨言量子力学教程第3版知识点总结笔记课后答案

曾谨言量子力学教程第3版知识点总结笔记课后答案
二、Schrödinger方程
1.Schrödinger方程的引进
在势场V（r）中的粒子的波函数满足的微分方程，称为Schrödinger
波动方程，它揭示了微观世界中物质运动的基本规律．
2.Schrödinger方程的讨论
（１）定域的概率守恒
对于一个粒子来说，在全空间中找到它的概率之总和应不随时间改变．即
以下讨论一个极为重要的特殊情况——假设势能V不显含t（经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量）．
其中ψE（r）满足下列方程：
（2）
在有的条件下，特别是束缚态边条件，只有某些离散的E值所对应的解才是物理上可以接受的．这些E值称为体系的能量本征值（energy eigen value），而相应的解ψ（r）称为能量本征函数（energy eigen unction）．方程（2）就是势场V（r）中粒子的能量本征方程，也称为不含时（time-independent）Schrödinger方程．
（1）
（1）式为概率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程相同．
（2）初值问题，传播子
Schrödinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系， 取初始时刻为t‘，则t时刻波函数可以表示为
式中
称为传播子（propagator）．可以证明
就是t时刻在r点找到粒子的概率波幅．
3.能量本征方程
stationary state）．
5.多粒子体系的Schrödinger方程
设体系由N个粒子组成，粒子质量分别为mi（i=1，2，3，…，N）．体系的波函数表示为ψ（r1，…，rN，t）．设第i个粒子受到的外势场为Ui（ri），粒子之间相互作用为V（r1，…，rN，t），则Schrödinger方程表示为

量子力学课件(曾谨言)第一章

量子力学课件(曾谨言)第一章




(
r
)
2
d
3r
1


(r) 是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
( p) 是以动量 p 为自变量的波函数，
动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态.
八、不确定度关系
Heisenberg不确定度关系（Uncertainty
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r,t)
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子
由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率.
波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化
p d 3 p ( p) 2 p d 3 p*( p) p( p)




d 3 pd 3r *(r)
1
(2
)3
eipr
2
p( p)
A
归一化的波函数
没有归一化的函数
1 A 为归一化因子
若
(r ) 2d 3
（全）
,
则
A0
,这是没有意义的.

第2章 波函数和薛定谔方程

第2章 波函数和薛定谔方程

在上一章中我们已经看到，为了建立新的描写微观粒子的理论，
需要从由实验揭示出的微观粒子的波粒二象性入手。所以，我
们首先需要对微观粒子的运动有一个新的物理图像，既容许粒 子表现出波动的特性，又容许它们表现出粒子的特性。
§2.1 波函数的统计解释
1、波函数
2、二象性是单个微观粒子的属性 3、玻恩对波函数的统计诠释 4、波函数的性质
描述同一状态
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能 量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。
第2章航天与力学@ 改变世界的物理学 第二章波函数和薛定谔方程 @ Quantum Mechanics
Zhang 张力Li 第16页
归一化常数 若 Ψ (r , t ) 没有归一化，
3、玻恩对波函数的统计诠释
要描述微观粒子的运动，应该用一个函数（称为波函 数），它必须能把“颗粒性”与 “可叠加性” 统一 起来！
人们常用复函数 (r , t ) 代表微观粒子的波函数。
波函数的统计解释(1924年,玻恩): 波函数在 空间某一点的强度 r , t 2 和在该处找到粒子
的几率成正比,描写粒子的波是几率波。
Ψ ( r , t ) 不同于经典波的波函数，它无
直接的物理意义。
第2章航天与力学@ 改变世界的物理学 第二章波函数和薛定谔方程 @ Quantum Mechanics
玻恩
Zhang 张力Li 第13页
4、波函数的性质 （1）几率和几率密度
2 * 有意义的量： r , t r , t r , t
∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数），则有
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第2讲波函数的统计诠释态叠加原理教学时数:2学时教学内容:1、波函数的统计诠释 2、态叠加原理备注教学目的:掌握波函数的统计诠释和态叠加原理教学重点:1、波函数的统计诠释 2、态叠加原理教学难点:对微观客体的描述教学手段、方法:讲授、讨论教学基本内容?1 波函数的统计解释1、波函数如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量(或不同时为常量)粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为:,描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。

,(r,t)问题: (1) , 是怎样描述粒子的状态呢,(2) , 如何体现波粒二象性的,(3) , 描写的是什么样的波呢,2、波函数的解释PPPPOOOOO电子源电子源电子源感感感感 QQQQ光光光光屏屏屏屏(1)两种错误的看法a. 波由粒子组成:如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。

这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。

这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子(只含一个电子～)中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。

波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。

第2讲波函数的统计诠释态叠加原理基本教学内容备注 b. 粒子由波组成:电子是波包。

把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。

因此呈现出干涉和衍射等波动现象。

波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。

什么是波包,波包是各种波数(长)平面波的迭加。

平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。

如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。

实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。

例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小?1 Å。

电子究竟是什么东西呢,是粒子,还是波,“ 电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。

”这个波不再是经典概念的波而是几率波。

经典概念中粒子意味着: 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2(有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。

经典概念中波意味着: 1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;2(干涉、衍射现象，即相干叠加性。

(2)Born 波函数的统计解释几率波我们再看一下电子的衍射实验a.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;b. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样. 2.入射电子流强度大,很快显示衍射图样.PPPPOOOOO 电子源电子源电子源感感感感 QQQ光光光光屏屏屏屏结论:衍射实验所揭示的电子的波动性是:许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。

,r在电子衍射实验中，照相底片上点附近衍射花样的强度,正比于该点附近感光点的数目，,正比于该点附近出现的电子数目，,正比于电子出现在该点附近的几率。

,假设衍射波波幅用Ψ( )描述,与光学相似,r,2衍射花纹的强度则用|Ψ( )|描述,但意义与经典波不同。

r第2讲波函数的统计诠释态叠加原理基本教学内容备注据此,描写粒子的波可以认为是几率波,反映微观客体运动的一 , 种统计规律性,波函数Ψ( )有时也称为几率幅。

r这就是首先由Born提出的波函数的几率解释,它是量子力学的基本原理。

3、波函数的性质(1)几率和几率密度根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质在t时刻，r点，dτ= dx dy dz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几2率是:d W( r, t) = C|Ψ(r,t)|dτ，其中，C是比例系数。

在 t时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是: 2 W( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ}= C |Ψ (r,t)|称为几率密度。

在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为: 2W(t) = ? dW = ?ω( r, t ) dτ= C? |Ψ (r,t)| dτ VVV(2)平方可积由于粒子在空间总要出现(不讨论粒子产生和湮灭情况)，所以在全空间找到粒子的几率应为一。

要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。

自由粒子波函数不满足这一要求(3)归一化波函数Ψ(r,t ) 和CΨ(r,t) 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。

由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即Ψ(r,t) 和CΨ(r,t)描述同一状态这与经典波不同。

经典波波幅增大一倍(原来的2倍)，则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。

经典波无归一化问题。

2若Ψ(r,t)没有归一化，?|Ψ(r,t )|dτ=A (A 是大于零的常数)，则有 ?-1/22?|(A)Ψ(r,t)|dτ=1 ?-1/2-1/2 也就是说，(A)Ψ(r,t)是归一化的波函数，与Ψ(r,t)描写同一几率波， (A)称为归一化因子注意:对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。

若Ψ(r,t)是归一化波函数，那末，exp{iα}Ψ(r,t)也是归一化波函数(其中α是实数)，与前者描述同一几率波。

第2讲波函数的统计诠释态叠加原理基本教学内容备注1,A,例证明下式中的归一化常数是 a,n,,Asin(x，a), x,a ,a,,,n , 0, x,a, 证:由归一化，得 ,an2,22 ,1,,sin(，)dxAxadxn,,a,,a ,a1n2,,[1,cos(，)]Axadx ,a,2aa22,a,,AAn,,cos(，)xxadx ,a,22aa, a2,,Aan2,,,,sin(，)Aaxa 2na,a, 2,,Aa1 ?归一化常数,A, a(4)平面波归一化,,,,,* ,,,,,,,(r),(r),d,,(p,p,)(p,p),(p,p),,(p,p),ppxxyyzz,,,注意:这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。

第2讲波函数的统计诠释态叠加原理基本教学内容备注?2 态叠加原理(一) 态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。

而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。

因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。

因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。

PPΨΨΨ11SSS111电子源电子源电子源ΨΨ22感感感 SSS222光光光屏屏屏一个电子有Ψ和Ψ 两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。

Ψ= CΨ +C1 2112Ψ也是电子的可能状态。

2空间找到电子的几率则是: 22|Ψ| = |CΨ+ CΨ| 1122****= (CΨ+ CΨ)(CΨ+ CΨ) 1122112222****= |C Ψ|+ |CΨ| + [CCΨΨ + CCΨΨ] 112212121212一般情况下，如果Ψ和Ψ 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加 12Ψ= CΨ + CΨ也是该体系的一个可能状态. 1122其中C 和 C是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。

12态叠加原理一般表述:若Ψ ，Ψ,..., Ψ,...是体系的一系列可能的状态，12 n则这些态的线性叠加Ψ= CΨ + CΨ + ...+ CΨ+ ... (其1122nn中 C , C,...,C,...为复常数)。

也是体系的一个可能状态。

处于Ψ态的体系，部12 n分的处于Ψ态，部分的处于Ψ态...，部分的处于Ψ，... 12n(二)动量空间(表象)的波函数波函数Ψ (r,t) 可用各种不同动量的平面波表示Ψ可按Фp 展开 ,,,,1i,,,,,c(p,t)exp[pr]dpdpdp,,,,(r,t),c(p,t),(r)dpxyz3/2,p,,,,,,(2),, ,,,,1i,,,,, (r,t)exp[pr]dxdydz,,,,,,3/2, ,,c(p,t),,(r),(r,t)drp,,，2,,,,, 显然，二式互为Fourier变换式，故而总是成立的。

,,所以,(r,t)与c(p,t)一一对应，是同一量子态的两种不同描述方式。

第2讲波函数的统计诠释态叠加原理基本教学内容备注, ,Ψ( ,t)是以坐标为自变量的波函数,r, ,坐标空间波函数,坐标表象波函数，c，，p,tp,是以动量为自变量的波函数,动量空间波函数,动量表象波函数，,二者描写同一量子状态。

, t时刻粒子出现在r点附近,,,2 dWrt,,rtdr,(,)|(,)|, dr体积元内的几率;,t时刻粒子出现在动量p点附近,,,2 dWpt,crtdp,(,)|(,)|, dp体积元内的几率。

作业:简述你对波函数的统计诠释和态叠加原理。