波函数及其统计诠释

波函數的統計詮釋現在，讓我們回頭再來看薛丁格的波動力學。

其實，當時在波動力學中還存在一個懸而未決的大問題，這就是波動方程式中包含的波函數ψ的物理意義究竟是什麼。

最初，薛丁格認為ψ函數負數模的平方式電荷的密度，這就好像電子分解成電子雲似的。

但是，哥本哈根的物理學家們並沒有像接受薛丁格的理論那樣給以讚賞。

與之相反，薛丁格對波函數的解釋遭到波耳的批評和反對。

波耳邀請薛丁個到家中討論這個問題，最後，兩人馬拉松式的討論竟把薛丁格累得病倒在波耳家中。

然而，主人卻堅持在床頭繼續與薛丁格討論。

波耳既善良熱情又很有涵養，可是在及其重要的物理學問題面前，他實在難以抑制激情。

1926年，玻恩把薛丁格波動方程用於量子力學散射過程，從而提出了波函數的統計詮釋（statistical interpretation）。

玻恩是當時享有盛名的物理學家，他1882年12月11日生於普魯士，1907年獲哥廷根大學博士學位，1921年起任該校物理系主任。

玻恩不但個人成就卓越，對學生和晚輩的提攜更是不遺餘力，海森伯、泡利等人都曾是他的研究助手。

希特勒上台後，玻恩被迫流亡英國，先後在劍橋大學和愛丁堡大學任教。

1953年退休後，波恩回到了德國，直到1970年1月5日逝世。

玻恩在1926年發表的一篇論文中指出，薛丁格波函數是一種機率振幅（probability amplitude），它的絕對值的平方對應於測量到的電子的機率分佈。

直到這時，波函數的物理含意才變得明確了。

不過，一個力學理論竟然給出了機率，這簡直是太令人震驚了！在電子的繞射圖中，底片上暗環實際上就是許多電子集中到達的地方，亮環處就是電子幾乎沒有到達過的位置。

按繞射環的半徑統計出每個環中電子留下的黑斑數目，物理學家馬上就發現，以環的半徑為橫座標、相應半徑的黑斑數為縱座標作的圖，其形狀與光以及X射線繞射的密度分佈曲線相同。

這是偶然的巧合，還是另有什麼深刻的含意呢？由於這一分佈曲線也呈波的形狀，而且對應的是電子射中底片某點的機率，玻恩建議把這種波命名為機率波。

H.M.Qiut i t x U x m ∂∂=Ψ+−),(22§13.7 波函数及其统计解释薛定谔方程一、波函数及其统计解释H.M.Qiu波函数波函数还应该归一化1=ΨΨ∫dV H.M.Qiu将波函数()()22例1()()exp 2x x απαΨ=−H.M.Qiuπ例2H.M.Qiu量子力学的哲学基础概率概念的引入意味着：在已知给定条件下，H.M.Qiu二、薛定谔方程1.自由粒子的薛定谔方程A i t x exp =−−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦H.M.Qiu()()exp x xt A Et p x Ψ=−−⎢⎥⎣⎦时薛定谔方程22i t m x =−∂∂ H.M.Qiu⎥⎦⎢⎣z y x 22∂Ψ∂Ψ一维自由粒子薛定谔方程H.M.Qiu补充：关于算符H.M.Qiu2x m t ⎦⎣∂∂2i Ψ哈密顿算符薛定谔方程H.M.Qiu0ˆ=tH∂∂若即U (x,t )与时间无关，称为定态)1()()(… t ET td t dT i =)2()()(ˆ…x E x H Φ=Φ能量取确定值的状态H.M.Qiu)()(),(t T x t x E E E ΦΨ=Ee x C =)(Φ)1()(…t ET td i =)2()()(ˆ…x E x HΦ=ΦH.M.Qiu()00,x x a ⎧≤≥例1(22sin 0Et he x x aa ππ−⎨≤≤⎪⎩H.M.Qiu问题：何处找到粒子的几率最大？1n =由题意：2x =处找到粒子的几率最大在2ax =例1解归一化波函数为:()⎧H.M.Qiu定态薛定谔方程在不同坐标系下的表示直角坐标系：H.M.Qiu▲薛定谔方程是线性微分方程补充：关于态叠加原理H.M.Qiu补充：力学量的平均值2⎛⎞Ψ含时薛定谔方程：任意力学量B 的平均值为ˆB BdV ψψ∗=∫。

(壹x上) 量子力学基础第三节波函数小结作业思考题一、波函数的概念返回上页下页返回上页下页1926年，薛定谔在德布罗意的物质波假说的启发下，连续发表四篇题目均为《量子化是本征化问题》的论文，创立了波动力学。

薛定谔、泡利和约尔当随后各种独立证明了波动力学和矩阵力学在数学上是等价的，是量子力学的两种形式.薛定谔理论中所用的的数学方式我们比较熟悉.1925年，海森堡在玻尔原子理论的启发下，和波恩、约尔当等人建立了矩阵力学。

[波函数的概念]说明(1)“状态用波函数Ψ来描述”简称“态Ψ”.(2)波函数包含了它所描述的体系所能知道的全部知识(如，在该状态下体系的能量、动量、坐标等物理量的平均值).(3)波函数随时间的变化满足一个微分方程，即通常所说的含时间的薛定谔方程(下一节介绍).返回上页下页二、波函数的统计诠释返回上页下页[波函数的历史观点]和经典力学不同，量子力学先假设基本原理并建立数学形式，然后再探索和理解其中的物理意义。

如何理解波函数的物理意义？返回上页下页相速度是相位(如波峰)的传播速度；德布罗意早先证明物质波在真空中也有色散现象，因此，薛定谔所说的波包不稳定，会发生扩散.电子的双缝衍射实验亮条纹是粒子出现概率大的地方；[关于粒子性和波动性]在经典物理中粒子：•有质量、电荷，颗粒性.•做确切的轨迹运动(每一时刻有确定的位置和动量).•能量、动量等物理量可连续取值.波动：•某种实在的物理量在空间作周期性变化(如声波中的空气压强).•具有相干叠加性，能产生干涉和衍射现象.返回上页下页在量子力学中，粒子性和波动性是不可分割的整体，由几率波统一在微观实体中.粒子性：•有质量、电荷，颗粒性，具有微观粒子特有的物理量(如自旋、宇称等).•运动形式不是轨道.•物理量的取值常常具有不确定性和离散性.波动性：•不与实在的物理量相联系，而是与几率密度相关.•几率波具有相干叠加性.返回上页下页三、波函数的性质返回上页下页返回上页下页(2)“Ψ要处处有限”是更苛刻的要求：偶尔也有波函数不处处有限，但却是平方可积的。

专题1−波函数的统计诠释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。

如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。

波恩的统计诠释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。

由于波函数的诠释，物理上的波函数必须是归一化1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）由波函数的统计诠释，波函需要满足标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。

）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t，坐标x有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。

由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。

.测量引起波函数的坍塌存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。

对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息(几率密度、期待值)，那么其他力学量呢？ 力学量的期待值当粒子处于态),(t x ψ时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出。

首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。

,n n n F Φ=Φ∧λ ,...3,2,1=n 分立谱本征函数满足正交归一条件（分立谱）nm n mdx δ=ΦΦ⎰∞∞-*将体系的状态波函数ψ用算苻ˆF的本征函数nΦ展开nnncΦ=ψ∑则在ψ态中测量力学量ˆF得到结果为nλ的几率是2n c，在测量后波函数坍塌为nΦ。