量子力学2.1 波函数的统计解释

称为归一化常数
2 (r , t ) 2 (r , t ) (r , t ) 2 (r , t ) d

归一化条件消除了波函数的不确定性。
例题
已知一维粒子状态波函数为
1 2 2 i (r , t ) A exp a x t 2 2
(r ,t)
2
(r , t ) 与 由波函数的统计解释可以看出， (r , t ) 存在着不确定性，
描述粒子的同一状态。为消除波函数的这种不确定性，就要 提出波函数的归一化条件。
(r , t )
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在整个空间出现的 概论为1
1/ 2
x
i ( Px x Et )


P ( x, t ) dx ( Px Px)
x
2
i ( Pr Et ) P ( r ,t ) Ae 同理，三维平面波：

归一化条件
2 (r , t ) d ( P P)
处附近出现的
1926年,
玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：
波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与 粒子在该点出现的概率成比例。
设粒子状态由波函数
(r , t )
2
描述，波的强度是
(r , t ) * ( r , t ) ( r , t )
则微观粒子在t时刻出现在 r 处体积元dτ内的几率与 (r , t ) 2 d
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
P (r , t ) Ae
★
i ( k r t )
Ae
i ( Pr Et )
粒子处于外场U(r,t)中，波函数为非平面Ψ(r,t)
【注意】（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述”这 是量子力学中的一个基本假设。
2.1 波函数的统计解释 2010.9.26 The wave function and its statistic explanation
1．微观粒子状态的描述 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于 经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能 用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观 粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两 个在经典物理中截然不同的物理图像。 德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数 (x,y,z,t)来描述，函数(x,y,z,t) —称为波函数。 波函数是量子力学中的一个基本假设而引入的一个新 的概念。
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何 处出现的几率最大
解:


2 a 2 x2 2 (r , t ) dx A e dx
A
2

a
2
1
其中
A a/


1/ 2
归一化常数
从而,归一化的波函数
( r ,t ) a /
（2）几率分布：


P
A 1 /( 2 )3 / 2
归一化的平面波
i ( Pt Et ) P ( r ,t ) 1 /( 2 )3 / 2 e
δ函数
1 i 1 / 2 a 2 x 2 t 2 2
e
( x, t ) ( x, t )
2
a

e
a 2 x2
（3）由几率密度的极值条件
d( x ,t ) / dx 0
可得

2
a

2a xe
2
a 2 x 2
|x 0 0
由于 d ( x,t ) / dx 率最大。
2
0
，故x=0处，粒子出现几
必 须 注 意
(r , t ) 与 （1）若
(r , t )
之间相差一个常数因子，
则它的描述粒子的同一状态。 （2）归一化后的波函数 差其模为1的相因子
(r , t )
i
仍具有不确定性，还可以相
e
（ δ为实函数）
（3）只有当在空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。



成正比，即
2 dW (r , t ) C (r , t ) d
即描写粒子的波是几率波。
波函数在空间中某一点
r
的强度（波函数模的
平方）与粒子在该点出现的概率成比例。
dW (r , t ) 2 (r , t ) C (r , t ) d
(r , t )


2 (r , t ) d 1
2 若 ( r ,t ) ( r ,t ) 非绝对可积时，需用所谓
δ函数归一化方法进行归一化。
例.求平面波

Px
2
( x , t ) Ae

i
( Px x Et )
的归一化常数A
解：


* P ( x, t ) dx P ( x, t ) P ( x, t )dx
即
2 ( r ,t )d ( r ,t ) d 1
满足此条件的函数
称为归一化条件
r ,t
称为归一化波函数。
又因 其中 于是

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

2 2 (r , t ) d C (r , t ) d 1

2 C 1 / ( r ,t ) d
— 称为几率密度 (概率密度)
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 注 意 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态）
3．波函数的归一化条件
令 则
( r ,t )

C ( r ,t )

2
(r , t ) C (r , t )
（2）波函数只能用复函数表示。
2．波函数的统计解释
X
v
a
P
1
0
电子单缝衍射实验
I
波
动
观
点
粒
子
观
点
明纹处: 电子波强(x,y,z,t)2大,
暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小,
电子出现的概率大;
电子出现的概率小
可见，波函数模的平方(x,y,z,t)2与粒子在 概率成正比。
r
x

x
x
A
2



e
i ( Px Px ) x
δ函数
dx
2 1 A 2 ( Px Px )
A 2 ( Px Px ) ( Px Px )
2
A 1/ 2
归一化的平面波：
归一化条件
P 1 / 2 e