2.1 波函数的统计解释

电子究竟是
粒子？
波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ” “ 电子既是粒子也是波”
粒子和波动二重性矛盾的统一
经典概念粒子 1. 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道 3. 每一时刻有一定位置和速度
经典概念波
1. 实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍 （原来的 2倍），则相应的波动能量将 为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波 动状态。经典波无归一化问题。
归一化常数
若 Ψ (r , t ) 没有归一化，∫ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的 常数），则有
1、经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几 率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
2、经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍, 变成另一状态；几率波的波幅增大一倍不影响粒子 在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数, 所描述的粒子的状态并不改变；
例1：有一微观粒子，沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为
(1)
(x,t) 0
(x b / 2, x b / 2)
(x,t) Aexp( iE t) cos(x) (b / 2 x b / 2)

b
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数
求：(1)归一化的波函数；(2)几率密度 ？
解:(1)
b/2
|
( x, t )
Born解释(1926年)
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
感光时间较短
感光时间足够长
最终
分析及讨论：
底板接收的电 子是一个一个 的完整体
条纹由大量电 子密集与稀疏 有规律交替出 现形成
粒子性表现
衍射波的强度分布对应于 电子数的密度分布
波动性表现
电子聚集密度的分布决定 于单个电子在底板上出现 概率的分布
常数 C 之值为： C = 1/ ∫ |Ψ (r , t)|2 dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ∞, 则 C 0, 这是没 有意义的。
注意：自由粒子波函数
不满足这一要求
(r, t )

A
exp
i
∫|(A) 1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1
对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末， exp{iα}Ψ (r , t ) 也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波。
也就是说，(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，与Ψ (r , t )描写同一几率波， (A)1/2 称为归一化因子。
(x,t) 2 exp( iE t) cos(x ) (b / 2 x b / 2)
b

b
(2)几率密度为：
(x,t) (x,t) 2 0
(x b / 2), x b / 2)
(x,t) (x,t) 2 2 cos2 ( x)
b
b
如图所示，在区间（b/2,b/2) 以外找不到粒子。在x=0处找 到粒子的几率最大。
3 在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，
即： C∫|Ψ (r , t)|2 dτ= 1,
|2
dx

b/2 | (x,t) |2 dx

| (x,t) |2 dx 1

b/ 2
b/2
即： A2 b/2 cos2 (x )dx 1
b/ 2
b
A2 b 1 2
A 2 b
归一化的波 函数为：
(x,t) 0
(x b / 2, x b / 2)
粒子在整个空间出现的几率：
C
2
(x, y, z,t) d 1

C
1
(x, y, z,t) 2 d

概率波(x, y, z,t)和 C(x, y, z,t) 的相对概率是相同的

(x1, y1, z1, t) 2 (x2, y2, z2 ,t) 2

C (x1, y1, z1, t) 2 C (x2 , y2 , z2 ,t) 2
电子在空间出现的概率 分布显示了电子运动的 波动性
电子出现的概率分布规律 表现为波强度的分布规律
德布罗意波或物质波（概率波Probability Wave）
微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现 粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运 动的性质——波粒二象性（Wave particle duality） 二、波函数的物理意义
dW d dxdydz dW (x, y, z,t) 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
C为比例常数
几率密度 (x, y, z,t) dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
表示某时刻、在空间某点附近 单位体积内粒子出现的几率
(2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
（1）波？
1. 波由粒子组成
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
单个电子就具有波动性
感光时间较短
感光时间足够长
最终
2. 粒子由波组成 什么是波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。
电子是波包
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个 原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
某时刻t，在空间某点r处，粒子出现的几
率正比于该时刻、该点处的波函数的模
结论
的平方 r,t2 。
总结： 衍射实验揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，
在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
dW (x, y, z,t) (x, y, z,t) 2 d
(x, y, z,t) (x, y, z,t) 2
2
C (x, y, z,t) d 1
2
(x, y, z,t) d 1 (1)
Байду номын сангаас
2
(x, y, z,t) d 1
(1) ——波函数的归一化条件

满足（1）的波函数——归一化波函数
把 (x, y, z,t) 换成 (x, y, z,t) 的步骤
——归一化(Normalization)
C ——归一化常数
C
1
(x, y, z,t) 2 d

若 (x, y, z,t) 2 d 发散， C＝0 则无意义！
经典波和微观粒子几率波的区别：
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
1 在t时刻，r点，d τ = dx dy dz 体积内，找到由波函数 Ψ(r,t) 描写 的粒子的几率是：
d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ
C是比例系数。
2 在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是
ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C|Ψ (r,t)|2 几率密度
1 x2

A 1

归一化的波函数为 x
1
1 ix
2)粒子坐标概率密度分布函数为
x
x
x
1
1
x2
3）令x 0 求出，在x=0处概率密度最大 max(0) 1
例2、设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目
正比于该点附近出现 的电子数目
正比于电子出现在 r 点附近的几率
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此 基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。
(b / 2 x b / 2)
(x,t) 2
x,t
x
-b/2 o b/2
电子的衍射实验 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长
时间亦显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
电子源
P
P
O
感
Q光
Q
屏
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是许多电子在同一个 实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的 统计结果。 在电子衍射实验中，照相底片上
第二章 波函数和薛定谔方程
§1 波函数的统计解释
（一）波函数
自由粒子


A exp
i
(
p•
r
Et)
de Broglie 波
描写粒子状态
的波函数，它 通常是一个复 函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动？
(r, t )
量子力学第一条假设
• 3个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态呢？
波函数是什么呢？
2 与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？ 物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。