15-7波函数 玻恩统计解释

§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：()λ-νπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：〔欧拉公式：〕 （16.2.4）根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.6）这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.（16.2.2） （16.2.3）（16.2.12） （16.2.13）（二）物质波波函数的统计解释物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．（三）物质波波函数ψ的条件（1）波函数的标准条件在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．（2）波函数的归一化条件在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v（16.2.14）此式亦可推广于（16.2.8）式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。

（完整）量子力学讲义4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）量子力学讲义4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）量子力学讲义4的全部内容。

第二章 波函数和薛定谔方程§2-1 波函数（Wave Function ）的统计解释一、微观粒子的波粒二象性1．经典物理学对波粒二象性解释的失败德布洛意的物质波假设的实质是：所有运动的实物粒子都既具有粒子的性质又表现出波动的性质，就是所谓的实物粒子的波粒两象性。

可惜的是，当时人们的思想还是深受经典物理学的影响，在其非此即彼思想的束缚下，曾经出现如下两种对波粒两象性的解释，它们均以失败而告终。

第一种观点认为：运动电子是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率的波构成的一个复波，它可以局限在电子大小的空间（152.810m -⨯）中.计算表明，该波包的寿命大约只有261.610s -⨯，也就是说在非常短的时间内电子就变成非定域的了,此即所谓波包发散的困难。

这种观点只片面地强调了电子波动性，而忽略了它的粒子性.另一种观点认为:运动电子的波动性对应于由大量电子分布于空间而形成的疏密波，它类似于空气振动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种分布。

这种看法也与实验矛盾.实际上，在电子的衍射实验中,不但让多个电子同时通过仪器可以得到衍射图案，即使让电子一个一个地通过仪器，只要实验的时间足够长，仍然可以在底片上得到电子的衍射图案。

这说明运动电子的波动性并不一定是在许多电子同时存在于空间中才会出现，更确切地说，单个电子就具有波动性。

2．波粒二象性的正确解释首先，让我们来回顾一下经典物理学是如何理解粒子的概念的：(1）经典粒子具有确定的大小、质量和电荷，在空间中占据某个确定的位置。

浅谈对玻恩的量子力学统计解释的一点看法09物本郑默超Einstein不但是相对论的奠基人，而且也是量子力学的主要创立者之一，量子力学的哲学基础是Einstein实证哲学观的体现。

关于光的波粒二象性，Einstein从统计观点作了解释，即光的波动性可看作是大量光子运动时表现出的统计规律性，光波振幅大因而光强大的地方，光子到达的概率大，或者严格一点说，光子在该处单位体积中出现的概率大，即概率密度大。

微观粒子遵从的规律是概率性的。

Einstein讲：“根据目前的量子理论，在辐射损耗的基本过程中，分子要经受一个数量上为hv/c而方向上“随机”的反冲。

”对量子力学解释的统计观点认为，量子力学对客观世界的描述只能是统计性的，而不是决定论的，也不能描述单独发生的事件．最早提出这概念的是玻恩，1926年他写了一篇不到5页的文章——“论碰撞过程的量子力学”，认为波函数服从统计原理，波函数模量的平方代表粒子出现的概率．值得说明一点的是，玻恩的观点最早也为玻尔、海森伯等人所接受，就其哲学思想来说和哥本哈根学派是一致的，但在量子力学解释的看法上却是有差别的，尽管都承认概率的概念，但哥本哈根学派认为这种概率可以描述单个事件，而这里所说的统计解释则刚好否认这一点．在这一点上Einstein的观点是与玻恩一致的．玻恩受Einstein思想的启发，认识到可以通过概率的途径将“粒子与波”合理地联系起来．“概率”一词意味着可能性程度，概率也叫几率、可能率、或然率，这许多名词都是同一个意思．要正确理解玻恩的概率解释，关键在于分清两个关系：一个是波与粒子(例如，电子)的关系，另一个是单个粒子(例如，电子)与粒子总体(例如，电子流)的关系．为了说明玻恩的概率的解释，我们可以结合具体的电子衍射实验．在这一实验中，可以得出电子-电子流-波三者之间的有机联系．在实验中，人们控制电子束，使电子一个一个地穿过薄晶片再射到照相底片上．实验结果是：单个电子虽然能绕射到几何阴影区内，却只能完全随机地形成一个个斑点(一个电子对应一个斑点)，不能直接生成衍射图样；然而作为许多个电子累积的统计总和的粒子全体则可以得到衍射图样，这个图样显示出电子的波动性．从波动观点看，底片上衍射极大处，波的强度(即振幅平方)较大；从粒子观点看，单个粒子在某处的出现是随机的，但粒子总体则满足统计规律．在这里，可以用统计观点看待单个粒子与粒子总体的联系，并将波的观点与粒子观点结合起来了，但这里的波是特殊意义的波，因而被称为“概率波”．这种对物质波衍射与实物粒子的波粒二象性的理解，称作统计解释或概率解释．Bohr讲“在定态中系统的动力学平衡可以借助普通力学来讨论，但不同定态之间的过渡不能在同样基础上考虑。

量子力学的玻恩几率解释
玻恩几率解释是一种解释量子力学的方法，它是由德国物理学家玻恩提出的。

根据量子力学，粒子的位置和动量的值是不确定的，取决于其波函数的性质。

玻恩几率解释认为，波函数的平方是一个粒子出现在某个位置的概率，而不是一个实际存在的波。

换句话说，玻恩几率解释认为粒子没有明确的位置，而是存在于可能性的集合中，波函数的平方给出了它出现在不同位置的概率。

因此，量子力学的玻恩几率解释强调的是概率与唯一性的原则，而不是确定性和可知性。

虽然玻恩几率解释在解释量子力学方面具有重要意义，但它并不涉及更深层次的哲学或本质问题。

因此，在当代物理学中，玻恩几率解释往往被视为量子力学的一种临时性解释。