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§1、 波函数及其统计解释 1. de Broglie 假说（1923）先回忆Planck 的“光量子假说”： E h p h νλ=⎧⎨=⎩ 换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k =k 是波矢量, 2k πλ=是由波动性决定粒子性。
在Planck-Einstein 的光量子论以及Bohr 的原子的量子论的成功与失败的启发下，de Broglie 提出物质波假设。
de Broglie 假说：微观粒子也有波动性，满足关系式：ω=E /,k p =/,注意到： 2ωπν=及2k πλ=时，上面二式变形为：E h ν= h p λ=称为de Broglie 关系。
是由粒子性决定波动性。
它适用于自由粒子和平面波之间的关系。
平面波是()(){},exp r t A i t k r ψω=--⋅，将de Broglie 关系代入得：()(){},exp r t A i Et p r ψ=--⋅，这称为de Broglie 波（是复数波）。
对质量为μ的非相对论粒子：22 E p p μ=⇒=所以h p λ==≈≈近似适用于电子，E 的单位是电子伏特（eV ），λ的单位是埃（Å，即1010-m ）。
数量级：E =150 eV 时，λ=1 Å（晶格常数的量级）。
2. 电子衍射实验波动性的体现就是衍射、干涉等等。
通过观察这些现象还可以测量波长。
戴维逊--革末 (Davisson and Germer, P.R. 30(27) 707)当可变电子束（30-600eV ）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度ϕ(或πϕ-)方向有强的反射（即有较多电子被接收），而ϕ满足sin a nh p ϕ=。
若取h p λ=，则上式与Bragg 光栅衍射公式相同（sin a n ϕλ=）。
它证明了电子入射到晶体表面，发生散射，具有波动性而相应波长为h p λ=。
Davidsson-Germer 电子衍射实验（1927）的结果证实了电子确实有波动性，而且波长与de Broglie 的预言完全一致。
波函数的统计解释一．波动－粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。
到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。
传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。
（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。
电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。
疏密波说夸大了粒子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。
在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
二．波函数的统计解释1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。
微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。
而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。
描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。
设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x 到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
归一化常数可由归一化条件确定重新定义波函数，叫归一化的波函数。
在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则归一化的波函数还有一不确定的相因子；只有有限时才能归一化为1。
经典波和微观粒子几率波的区别：（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；（3）对经典波，加一相因子，状态会改变，而对几率波，加一相因子不会引起状态改变。
§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释
（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）
在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：
()λ-νπ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾
经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()
λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y
利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：
〔欧拉公式：〕 （16.2.4）
根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：
〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）
表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．
可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,
x （16.2.6）
这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率
ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）
物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．
如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）
❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.
（16.2.2） （16.2.3）
（16.2.12） （16.2.13）
（二）物质波波函数的统计解释
物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．
在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．
对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：
在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．
在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的
几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）
虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）
这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，
包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．
（三）物质波波函数ψ的条件
（1）波函数的标准条件
在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．
（2）波函数的归一化条件
在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：
〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数
本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p
+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因
❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.
、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．
⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v
（16.2.14）
此式亦可推广于（16.2.8）式：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）
❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。
