§4 分离变量法【知识点提示】分离变量法，物理意义, 驻波法。
【重、难点提示】分离变量法的解题方法。
【教学目的】本节主要以一维波动方程和二维波动方程的混合问题为模型，阐述分离变量法的解题过程和理论基础。
【教学内容】第四节 分离变量法4.1. 齐次波动方程的混合问题 4.2. 非齐次波动方程的混合问题 4.4. 二维波动方程的混合问题 4.5. 物理意义, 驻波法4.1 齐次波动方程的混合问题考察两端固定的弦的自由振动, 此问题可归结为求方程2000tt xx u a u x l t -=,<<,> (4.1)满足初始条件00()()0t t t u x u x x l ϕψ==|=,|=,≤≤ (4.2)及边界条件000x x l u u t ==0|=,|=,≥ (4.3)的解, 其中(0)()0(0)()0l l ϕϕψψ==,==是相容性条件.下面我们用分离变量法来求解混合问题(4.1)-(4.3). 首先，我们设法找到所有具有变量分离形式的满足方程(4.1)和边界条件(4.3) 的非零特解. 所谓函数(u x t ),具有变量分离形式，是指它能写成()()()u x t X x T t ,= (4.4)的形式. 将(4.4)代入方程(4.1), 有2()()()()X x T t a X x T t ''''=,此处, 分离变量即得()()0X x T t ≠2()1()()()X x T t X x a T t ''''=. (4.5) 因为等式(4.5)的左端仅与x 有关, 右端仅与t 有关, 因此存在常数λ使得2()1()()()X x T t X x a T t λ''''==-, 于是得到变量被分离后的两个常微分方程 ()()0X x X x λ''+=, (4.6)2()()0T t a T t λ''+=. (4.7)现在我们可以通过解这两个常微分方程来定出函数()X x 和, 由边界条件(4.3)得()T t (0)(0)()0u t X T t ,==,()()()0u l t X l T t ,==.)由于我们所要求的是非零解，故(u x t ,()0T t ≡/,从而推知函数()X x 应满足附加条件(0)0()0X X l =,=. (4.8)为此，我们需要解如下含参数λ的二阶线性常微分方程边值问题:()()0(0)()0.X x X x X X l λ''+=,⎧⎨==⎩(4.9) 定义4.1 使常微分方程边值问题(4.9)具有非平凡解的那些λ值称为这个边值问题的特征值; 相应的非平凡解称为对应于这个特征值的特征函数; 寻找边值问题(4.9)的所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题或施图姆-刘维尔 (Sturm-Liouville)问题. 现在我们来解特征值问题(4.9). 分三种情形进行讨论: 1) 当0λ<时,方程(4.6)的通解为12()X x c c e =+,其中是任意常数,要使它满足边界条件(4.8),就必须有12c c ,12120,0.c c c c e +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由于系数行列式110e≠,因此c 1和必须同时为零, 从而2c ()X x 恒等于零. 此时特征值问题(4.9)没有非平凡解. 2) 当0λ=时, 方程(4.6)的通解为12()X x c c x =+,由边界条件(4.8)得11200c c c l =,+=,所以, 从而. 此时, (4.9)也没有非平凡解. 120c c ==()0X x ≡ 3) 当0λ>时, 方程(4.6)的通解为12()X x c c =+,要它满足边界条件(4.8), 必须11200c c c =,+=,由这两个等式推得20c =.如果, 那么, 因此为了获得非平凡解, 必须要求20c =()0X x ≡20c ≠且0=,即k lπ=, 其中是一个任意的正整数. 所以, 只有当k λ取值为212k k k l πλ⎛⎫=,=,, ⎪⎝⎭(4.10)时, 特征值问题才有非平凡解. 这些离散的(49).k λ就是特征值问题(4.9)的特征值,与这些特征值k λ对应的函数()sin12k k k xX x c k lπ=,=,, (4.11) 就是特征值k λ所对应的特征函数.对于k λ, 方程(4.7)的通解可写成()cossin 12k k k k a k aT t a t b t k l lππ=+,=, ,,k 其中和都是任意常数, 于是对任意的k a k b k k A c a =和k k k B c b =, 函数()()()(cossin )sink k k k k k a k a k xu x t X x T t A t B t l l lπππ,==+ 满足方程(4.1)和边界条件(4.3).由于方程(4.1)是线性齐次的, 根据叠加原理, 对任何有限个特解的线性组合也是它的解. 对于无穷级数1()(cossin )sin k k k k a k a k u x t A t B t x l l lπππ∞=,=+,∑ (4.12) 由级数理论知, 只要级数(4.12)及它对x 和t 逐项求导两次后所得的级数都一致收敛时，其和函数将仍是方程(4.1)满足边界条件(4.3)的解. 现在的问题是设法确定常数和(u x t ,)k A k B 使级数(4.12)及它对x 和t 逐项求导两次后所得的级数都一致收敛, 且和函数满足初始条件(4.2).这里先对级数(4.12) 关于形式求导, 得 t1()(sin cos )sin k k k u k a k a k a k x t A t B t t l l l x l πππ∞=∂,=-+∂∑π. (4.13) 利用初始条件(4.2), 在(4.12)和(4.13)中令0t =得11()sin ,()sin .k k k k k x A x l k a k x B x l l πϕππψ∞=∞=⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑ 由此可知, 如果函数()x ϕ和()x ψ在区间[0]l ,上都能展成Fourier 正弦级数, 那么它们的系数和k A kk aB lπ就由002()sin 2()sin l k l kk x A x d l lk x x B x d k a l πϕπψπ⎧x =,⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ (4.14) 给出.下面我们来证明, 当初始数据()x ϕ和()x ψ满足一定的条件时 ,由(4.14)确定的和k A k B 作系数的级数(4.12)就是混合问题(4.1)-(4.3)的解.为此, 我们只要能证得级数(4.12)及对它逐项求导两次后所得级数都一致收敛就行了.引理4.5 设函数()f x 在区间[0]l ,上有直到阶的连续导数, m 1m +阶导数分段连续, 且当p 为偶数时()()(0)()0p p f f l ==.若把函数()f x 展开成正弦级数1()sink k k f x a lx π∞=,∑ 则级数1mk k ka ∞=||∑是收敛的.证 由假设知, 函数(1)()m f x +可在区间[0]l ,上 展为Fourier 级数. 当为奇数时, 展开式为 m (1)(1)1()sinm m k k k fx a lx π∞++=,∑ 其中1212(1)(1)0()()002(1)(1)001012()sin 22()sin ()cos22()cos ()sin2(1)()sin (1)m m l m m kllm m llm m m l m k af x xdx l l k k k f x x f x xdx l ll llk k k k f x x f x l l l l l l k k f x xdx l l lk xdx πππππππππ++++--++=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰πk a l π⎛⎫;⎪⎝⎭当为偶数时, 展开式为 m(1)(1)(1)01()cos 2m m m k k a k fx a l x π+∞++=+,∑同样可以推得21(1)(1)012mm m kk k a a k l π++⎛⎫=-,=, ⎪⎝⎭,,.根据贝塞尔(F.W. Bessel)不等式, 有2(1)(1)20122(1)(1)(1)20012[()]12[()]2l m m k k l m m m k k a f x dx m l a a f x dx m l ∞++⎛⎫ ⎪⎝⎭=∞+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎧≤,⎪⎪⎨⎪+≤,⎪⎩∑⎰∑⎰为奇数为偶数,,由此可见, 无论是奇数还是偶数, 都有 m (1)21m k k a ∞+=||<∞,∑ 即2221m k k ka ∞+=||<∞.∑利用Cauchy 不等式, 得1222211111mm m kk k k k k k a k a kk a k k∞∞∞∞++====||⎛⎫||=≤||+<∞ ⎪⎝⎭∑∑∑∑,| 所以级数收敛. 引理证毕.mk k a ∑| 定理 4.11 设在区间[0上, 函数]l ,()x ϕ二次连续可微且三阶导数分段连续, 函数()x ψ连续可微且二阶导数分段连续, 在端点同时满足相容性条件(0)()(0)()(0)()0l l l ϕϕϕϕψψ''''======,)则由级数(4.12)定义的函数有二阶连续导数, 且是混合问题(4.1)-(4.3)的解. (u x t , 证 由引理4.5知, 级数2211k k k k kA kB ∞∞==||,||∑∑都是收敛的, 因而级数(4.12)关于x 和t 逐项微分二次后所得的级数也都是一致收敛的, 而且分别收敛于函数(u x t ),的相应导数, 所以级数(4.12)所定义的函数(u x t ),是定解问题(4.1)-(4.3)的解. 定理证毕.综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步：第一步: 令()()()u x t X x T t ,=适合方程和边界条件，从而定出()X x 所适合的 Sturm-Liouville 问题，以及适合的常微分方程.()T t 第二步: 解Sturm-Liouville 问题，求出全部特征值和特征函数. 并求出相应的的表达式.()T t 第三步: 将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定常数.4.2 非齐次波动方程的混合问题 对于非齐次波动方程, 混合问题的一般形式是(4.15)200012()00()()0()()0tt xx t t t x x l u a u f x t x l t u x u x x l u t u t t ϕψμμ====⎧-=,,<<,>⎪|=,|=,≤≤,⎨⎪|=,|=,≥,⎩,其中函数1()()()x x t ϕψμ,,和2()t μ都是已知的.为了应用分离变量法求解混合问题(4.15), 首先， 我们必须将边界条件齐次化. 按照§1的讨论，若作函数变换 ()()()v x t u x t U x t ,=,-,,其中121()()[()()]xU x t t t t lμμμ,=+-,(I),则函数满足如下齐次初边值问题：()v x t ,2101010()00()()0000tt xx t t t x x l v a v f x t x l t v x v x x l v v t ϕψ====⎧-=,,<<,>⎪|=,|=,≤≤,⎨⎪|=,|=,≥,⎩其中111()()()f x t x x ϕψ,,,由§1的(1.11)决定.按照§1的讨论，上面的混合问题(I 可以化成如下两个定解问题：)(II)0,(III),20101000()()0000tt xx t t t x x l v a v x l t v x v x x l v v t ϕψ====⎧-=,<<,>⎪|=,|=,≤≤,⎨⎪|=,|=,≥;⎩21000()00000000.tt xx t t t x x l v a v f x t x l t v v x l v v t ====⎧-=,,<<,>⎪|=,|=,≤≤,⎨⎪|=,|=,≥⎩显然, 如果12()()v x t v x t ,,,2()()t v x t +,12()()t v x t U ,+,+分别是定解问题(I , 的解, 则函数就是定解问题的解. 从而定解问题(4.15)的解为.I)(III)1()v x t v x ,=,()u x t v x ,=(I)()x t , 问题(I 已是前面讨论过的情形, 这里只要将定解问题(I 讨论清楚就行了.I)II)由§1定理4.2， 我们知道若函数(w x t )τ,,是混合问题21000()00tt xx t t t x x l w a w t w w f x w w ττττ====⎧-=,>⎪|=,|=,,⎨⎪|=,|=⎩,(IV)的解, 则函数20()()tv x t w x t d ττ,=,,⎰ (4.16)就是混合问题(I 的解. 显然, 定解问题和问题(I 属于同一类型. 可直接用前面的公式(4.12)和(4.14) 求得 II)(IV)I) 1()()sin()sink k k a k w x t B t x l lππτττ∞=,,=-,∑ (4.17) 其中102()()sinlk k B f x xdx k a lπττπ=,⎰. (4.18) 把(4.17)代入(4.16), 就得到201()()sin()sintk k k a k v x t B t d x l lππτττ∞=,=-⋅.∑⎰ (4.19) 再次利用前面的公式(4.12)和(4.14), 便可得到混合问题(4.15) 的解:12112101()()()()(cossin )sin ()sin ()sin ()[()()]k k k t k k u x t v x t v x t U x t k a k a k A t B t x l l l k a k x B t xd t t l l l πππππτττμμ∞=∞=,=,+,+,=++-++∑∑⎰t μ-,(4.20)其中1010102()sin ,2()sin 2()()sin .l k l k l k k A x xdx l lk B x xd k a l k x B f x xdx k a l πϕπψππττπ⎧=⎪⎪⎪=,⎨⎪⎪=,⎪⎩⎰⎰⎰ 不难证明, 当函数111()()()x x f x t ϕψ,,,具有一定的光滑性和满足某些相容性条件(试写出这些条件的具体形式)时, 则由(4.20)定义的函数(u x t ),就是混合问题(4.15)的解. 注 利用§1的注, 对具有如下形式的边界条件： (1) 012()()x x x x l u t u t μμ==|=,|=;(2) 10122()()()()x x x x l u u t u u t αμαμ==-|=,-|=;等等，我们也可以用分离变量法求解.43 一般的特征值问题*.. 为了用分离变量法求解更一般的双曲型方程的混合问题，我们通常需要考虑如下含参数λ的二阶线性常微分方程[()()][()()]()0dp x X x x q x X x dxλρ'+-=, (4.21) 具有边界条件1122(0)(0)0()()0X X X l X l αβαβ'-=,⎧⎨'+=⎩ (4.22) 的边值问题，即Sturm-Liouville 问题. 其中(12)i i i αβ,=,为常数，且. 2201i i i αβ+≠,=,2 对于Sturm-Liouville 问题(4.21), (4.22), 我们有以下结论：定理 4.12 假设1()([0])()()([0])p x C l x q x C l ρ∈,,,∈,, 且存在正常数00p ρ,使得000()0q x ()0()p x p x ρρ≥>,≥≥>,. 则 Sturm-Liouville 问题(4.21), (4.22)具有如下性质：() 存在可数个特征值i 12λλ,,, 使得12lim k k k λλλλ→∞<<<<,=∞ ,且与特征值k λ相对应的特征函数()k X x 可以这样选取, 使得20()()1lk x X x dx ρ=,⎰(4.23)称满足条件(4.23)的特征函数是正规的.( 对应不同特征值的特征函数在权函数为)ii ()x ρ的加权2([0])L l ,空间是正交的， 即满足等式()()()0li j x X x X x dx i j ρ=,≠;⎰(4.24)( 假设)iii 001i i i 2αβ≥,≥,=,, 则所有特征值0k λ≥, 特别当在[0上不恒为零，或()q x ]l ,120αα+>时，所有特征值0k λ>;( 任何函数)iv 2()[0]f x L l ∈,均可按特征函数系{()k }X x 展开为如下广义Fourier 级数：1()()n n n f x c X ∞=x =,∑ (4.25)其中()()()12ln n c x f x X x dx n ρ=,=,,.⎰此外，(4.25)中的等号在中成立，即 2[0]L l ,21[0]lim ()()0kn n k n L l f x c X x →∞=,-=,∑其中 ()1222[0]0()lL l f f x dx ,||||=.⎰这个定理非常重要，是整个分离变量法的理论基础，在这里我们只证明 , 两条性质，至于性质, , 由于证明比较复杂，这里省略. 有兴趣的读者可参看文献[9]. ()ii ()iii ()i ()iv 证 设()ii i λ与j λ是两个不同的特征值, ()i X x 与()j X x 是对应的特征函数，即[()()][()()]()0[()()][()()]()0i i i j j jdp x x x q x X x X dxd p x x x q x X x X dxλρλρ⎧+-='⎪⎪⎨⎪,+-='⎪⎩.将第一式乘以()j X x , 第二式乘以()i X x , 然后相减, 得 ()[()()]()[()()]()()()()0i j j i i j i d dX x p x x X x p x x x X x X x X X dx dxλλρ-+-''j =, 即()()()()[()(()()()())]0i j i j i j j i dx X x X x p x X x x x X x X X dxλλρ-+-''=. 上式关于x 从 0 到积分, 得到 l{}()()()()()()()()()llj i i j i j i j x X x X x dx p x x X x X x x X X λλρ⎡⎤-=-'',⎣⎦⎰由边界条件(4.22)知1111(0)(0)0(0)(0)0i i j j X X X X αβαβ-=,⎧'⎨-=.'⎩ 由于11αβ,不同时为零，所以上面关于11αβ,的线性齐次代数方程的系数行列式等于零，即(0)(0)(0)(0)0j i i j X X X X -=.''完全类似地可得()()()()0j i i j X l l X l l X X -=.''由此可得{}0()()()()()0lijijp x X x X x X x x X ⎡⎤-|=.'⎣⎦ 从而()()()()0li j i j x X x X x dx λλρ-=,⎰因为i j λλ≠, 所以()()()0li j x X x X x dx i j ρ=,≠.⎰证 方程(4.21)两边同乘以()iii ()k X x , 积分并利用(4.23), 得0[()()]()()()lk k d k k p x x q x X x X x dx X dx λ⎛⎫=--.' ⎝⎭⎰⎪ (4.26)对等式(4.26)右端第一项进行分部积分, 得2200[()()()()][()()()]ll k k k k k p x x q x X x dx p x X x x X X λ=+-|,''⎰ (4.27)另一方面，由边界条件(4.22)，得2211112222221(0)(0)[(0)(0)]1()()[()()]k k kk k k kk X X X X X l l X l l X X αβαβαβαβ⎧=+,''⎪+⎪⎨-⎪=+,''⎪+⎩从而22120112222121122[()()()](0)(0)()()(0)(0)()()l k k k k k k p x X x x p p l l X X X p X p l X l ββαβαβαααβαβ-|=+''++++++',2) (4.28)由已知条件0()0()000(1i i p x p q x i αβ≥>,≥,≥,≥=,及(4.27), (4.28)立得0k λ≥. 而0k λ=当且仅当在[0上]l ,()0q x ≡且2121122()0[0],(0)(0)()()0k k k x x l X p X p l X l αααβαβ≡,∈,'⎧⎪⎨2+=,⎪++⎩ (4.29) 由(4.29)知, 而()()k X x C ≡常数120αα+>表明与(0)k X ()k X l 中至少有一个为零，从而. 即, 这表明当0C =()0k X x ≡0k λ=时，边值问题(4.21), (4.22)只有零解，故0k λ= 不是特征值，从而所有特征值都是正数.注1 从性质(可以知道，当且仅当在[0)iii ]l ,上()0q x ≡且120αα==时，0λ=才是Sturm-Liouville 问题(4.21), (4.22)的特征值；也就是说只有当(4.21), (4.22)是第二边界条件时，0λ=才是特征值，相应的特征函数()1X x λ= (如不计常数因子). 在具体寻找所有特征值和特征函数时，这一点一定要倍加小心.注2 性质告诉我们这样一个重要事实: 即全体特征函数{(()iv )}k X x 组成了 空间的一组完备正交基.2[0]L l , 当然定理4.12只是定性地揭示了特征值问题的一些内在特征，至于怎样求出全体特征值和特征函数的具体形式，还必须通过解边值问题(4.22)来得到. 下面我们以非均匀弦振动方程的混合问题为例加以说明.例1 考虑双曲型方程的混合问题()(())()tt x x u p x u q x xρu ∂=-∂, (4.30) 其中函数1()()([0])()([0])x q x C l p x C l ,∈,,∈,000()0()0x p x p q x ρ(), 并且ρρ≥>,≥>,≥.初始条件为00()()t t t u x u x ϕψ==|=,|=, (4.31)边界条件为1122(0)(0)0()()0x x u t u t u l t u l t αβαβ,-,=⎧⎨,,+,=⎩,(4.32) 其中00i , 且.22120(12)0i i i αβαα+≠,=,,+>i αβ≥≥, 解 按照分离变量法求解的步骤，首先求满足方程(4.30)和边界条件(4.32)的形如()()()u x t X x T t ,= (4.33)的非平凡解. 我们把(4.33)代入方程(4.30)，得[()()]()()()()()()dp x X x q x X x T t dx x X x T t ρ'-''=. (4.34)等式(4.34)两边各依赖着不同的变量，所以只有在它们等于同一个常数值时才可能相等， 我们用λ-表示这个常数，于是从(4.34)就得到两个常微分方程 [()()][()()]()0dp x X x x q x X x dxλρ'+-=, (4.35)()()0T t T t λ''+=. (4.36)为了得到解(4.33), 我们可通过解这两个常微分方程定出函数()X x 和. 由边界条件(4.32)得 ()T t1122(0)(0)0()()0X X X l X l αβαβ''-=,+=, (4.37)于是我们需要求解如下特征值问题:1122[()()][()()]()0(0)(0)0()()0.dp x X x x q x X x dx X X X l X l λραβαβ⎧'+-=⎪⎪'-=⎨⎪'+=⎪⎩，, (4.38) 由定理4.12知，特征值问题(4.38)存在无穷多个特征值12k λλλ<<<< , 且每个0k λ>. 设相应的特征函数为()k X x .对于常微分方程(4.36), 当(0)k λλ=>时它的通解为()k k k T t A B =+,其中都是任意常数，于是由(4.33)知，对每一个, 函数 k A B ,k k()()()()()k k k k k k u x t X x T t A B X x ,==+都是方程(4.30)满足边界条件(4.32)的解. 为了满足初始条件(4.31), 我们作级数1()()()k k k k u x t A B X x ∞=,=+,∑ (4.39)使得01()()t k k u x A X ϕ∞==k x |==∑, (4.40)01()()t t k k k u x B ψ∞==x |==∑. (4.41)假定级数(4.40)和(4.41)都一致收敛，则在它们的两端同乘以 ()()k x X x ρ, 并且从0到l对x 积分，利用定理4.12得到00()()()()()()l k k lk k A x x X x dx B x x X x dx ρϕρψ⎧=,⎪⎪⎨=.⎪⎪⎩⎰⎰ 若将系数和k A k B 的值代入级数(4.39), 所得的级数以及它对x 和微分两次后所得到的级数都一致收敛，则它就是混合问题(4.30)-(4.32)的解.t 4.4. 二维波动方程的混合问题在这一节, 我们将以薄膜的振动问题为例, 介绍用分离变量法求解二维波动方程的混合问题.考察均匀薄膜的自由振动, 假设它的固定边界是边长为p 和的矩形, 且振动是微小的. 这个问题可归结为求波动方程 q2()tt xx yy u a u u 0-+=,y (4.42)满足初始条件00()()t t t u x y u x ϕψ==|=,,|=,, (4.43)及边界条件000000x x p y y q u u u u ====|=,|=,⎧⎨|=,|=⎩ (4.44) 的解.为了用分离变量法求解混合问题(4.42)-(4.44), 我们先求方程(4.42)满足边界条件(4.44)的具有如下变量分离形式的解:()()(u x y t T t v x y ),,=,. (4.45)将(4.45)代入方程(4.42), 得2()()()xx yyv v T t a T t v x y μ+''==-,,其中μ为常数(为什么？). 于是得到 2()()0T t a T t μ''+= (4.46)及0xx yy v v v μ++=,0 (4.47)此时边界条件(4.44)变为00000x x p y y q v v v v ====|=,|=,⎧⎨|=,|=.⎩ (4.48) 现在来求问题(4.47), (4.48)的特征值和特征函数, 为此, 将(4.47) 再进行变量分离, 令()()()v x y X x Y y ,=, (4.49)将(4.49)代入方程(4.47), 得()()()()X x Y y X x Y y μλ''''-=+=, 其中λ为常数(为什么？). 由此得到两个常微分方程()()0,()()()0.X x X x Y y Y y λμλ''+=⎧⎨''+-=⎩ (4.50) 由(4.49)可知，边界条件(4.48)变为(0)0()0(0)0()0X X p Y Y q =,=⎧⎨,=,=.⎩ (4.51) 由此我们得到两个特征值问题: ()()0(0)0()0X x X x X X p λ''+=,⎧⎨=,=⎩(4.52) 和()()()0(0)0()0Y y Y y Y Y q μλ''+-=⎧⎨=,=.⎩,(4.53) 它们的特征值分别为()212m pm πλ=,=,, , ()212n qn πμλ-=,=,, , 对应的特征函数为()sin()sin 12m n m x n yX x Y y m n p qππ=,=,,=,, . (4.54) 由此可见(4.47), (4.48)的特征值为222222(m nm n k)p qμπ,==+, (4.55)对应的特征函数为()sinsin m n m x n y v x y p qππ,,=. (4.56) 关于方程(4.46), 我们知道对每一个特征值2m n k μ,=, 它的通解具有形式()cos sin m n m n m n m n m n T t A ak t B ak t ,,,,,=+, (4.57)其中m n A ,和m n B ,都是任意常数.最后由(4.45), (4.56)和(4.57)知, 方程(4.42)满足边界条件(4.44)的解具有形式()(cos sin )sinsin 12m n m n m n m n m n m x n yu x y t A ak t B ak t m n p qππ,,,,,,,=+,,=,,. 为了使它们满足初始条件(4.43), 作级数11()()(cos sin )sinsin .m nm n m n m n m n m n m n u x y t u x y t m x n yA ak tB ak t p qππ∞,,=∞,,,,,=,,=,,=+∑∑(4.58)为了简单起见, 如果我们在(4.54)中取()12m m xX x m pπ=,=,, ,()12n n y Y y n qπ=,=,,, 且在(4.56)中取()sin 12m n m x n y V x y m n p q ππ,,=,,=,, ,) (4.59)则定义的特征函数构成空间中的正规正交函数系, 即 (459).(m n V x y ,,2L00()()1pqm nm n m m n n V x y V x y dydx m m n n '',,'',≠,≠,⎧,,=⎨'',=,=.⎩⎰⎰当当当且如果级数(4.58)及它对x y ,和t 的二次逐项微分所得的级数都是一致收敛的, 则其和函数显然满足方程(4.42)及边界条件(4.44). 为了满足初始条件(4.43), 必须使11()sin sin ()sin sin m n m n m n m nm n m x n y x y A p q m x n y x y ak B .p q ππϕππψ∞,,=∞,,,=⎧,=⎪⎪⎨⎪,=⎪⎩∑∑ (4.60) 公式(4.60)表示已知函数()x y ϕ, 和()x y ψ,是依二重Fourier 正弦级数展开式, 其中系数m n A ,和m n B ,由下式确定00004()sin sin 4()sin sin p q m n p q m n m n m x n y A x y dyd pq p q m x n y .x B x y dydx ak pq p q ππϕππψ,,,⎧=,⎪⎪⎨⎪=,⎪⎩⎰⎰⎰⎰, (4.61) 将(4.61)确定的系数代入级数(4.58), 就得到混合问题(4.42)-(4.44)的解. 4.5. 物理意义，驻波法分离变量法有明显的物理意义，现在我们以两端固定的一维弦振动为例来加以说明. 把级数(4.12)的每一项(即对应于某一特征值n λ的变量分离形式的特解)改写为：()(12)n u x t n ,=,,()sin sin n n n x n at u x t M l l ππn ϕ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,=+,其中arctan n nA n nB M ϕ==. 为振动元素，对于弦上任一点(n u x t ,)x , 它描述了这一点所作的简谐振动，其中振幅为sin n xn n l a M π=,频率n an l πω==, 初位相为n ϕ. 就整个弦来说，振动元素当()n u x t ,10l n nn x l l -=,,,, 时，振幅, 而当0n a =3x 21222ll n nn n l -=,,, 时，振幅a 达到最大，弦的这种形式的运动称为驻波. 因此，在物理上亦把分离变量法称为驻波法，即把弦的振动看作一系列具有特定频率的驻波的叠加. n M =±n。
