第四章-分离变量法1上课讲义

第四章 分离变量法一、分离变量法的精神和解题要领1．分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开，如，令)()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u =从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解2．分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。

（2）求解特征值问题（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如Λ,2,1,=n u n ）。

（4）叠加（如∑=nuu ）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。

3．特征值问题在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。

这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。

常涉及到的几种特征值问题：（1）⎩⎨⎧===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ特征值 222l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x ln C x X n n π（2）⎩⎨⎧='='=-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ特征值 2)(l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x ln C x X n n π（3）⎩⎨⎧='==-''0)()0(0)()(l X X x X x X μ特征值 2)21(πμl n +-=，特征值函数Λ,2,1,0 21sin )(=+=n x ln C x X n n π （4）⎩⎨⎧=='=-''0)()0(0)()(l X X x X x X μ特征值为2)21(πμl n +-=，特征值函数Λ,2,1,0 21cos )(=+=n x ln C x X n n π （5）⎩⎨⎧Φ=+Φ=Φ-Φ'')()2(0)()(ϕπϕϕμϕ特征值2m -=μ，特征函数Λ,2,1,0 sin cos )(=+=Φm m B m A m m m ϕϕϕ 4．有界弦的自由振动解考虑长为l 两端固定弦的自由振动⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≥==><<===0 )( )(u0)(t 0),(),0( )0,0( 002l x x u x t l u t u t l x u a u t t t xx tt ψϕ 1°．分离变量： 令 )()(),(t T x x t x u = 则原偏微分方程化为：)()()(2t T x X a t T X ''=''即X X Ta T ''=''2 上面等式左端是t 的函数，而右端是x 的函数，而t 和x 是相互独立的，因此要上式成立，故只有两边都是常数，此等式才成立。

μ=''=''X X Ta T 2即 0 ,02=-''=-''X X T a T μμ 代入边界条件0)()( 0)()0(==t T l X t T X由于)(t T 是t 的任意函数，它不可能恒为零，故只可能有0)()0(==l X X2°．特征值问题考虑定解问题⎩⎨⎧===-'' 0)()((1)0)()(l X o X x X x X μ 讨论：若μ=0，则（1）的解为 21)(c x c x X += 由0)0(=X 得02=c ，由0)(=l X 得01=c 于是0)(≡x X可见μ不能为零若μ>0，则方程（1）的解为xxe c ec x X μμ-+=21)(由边界条件得 ⎩⎨⎧=+=+-002121ll e c e c c c μμ 解之得 c 1=c 2=0，于是0)(≡x X 可见μ不能大于0。

若μ<0，记μ=-k 2则（1）的解为kx c kx c x X cos sin )(21+=由边界条件有⎩⎨⎧==0sin 012kl c c 因为c 2=0，故c 1不能为零，故只能是 sin kl =0。

这要求 kl =±n π n =0,1,2,…但n 不能为零，否则k =0，又得到零解，而且±n 给出的两个解只相差一个负号，即线性相关，故ln K π=n=1,2,… 综上，得到特征值为 22)(ln k πμ-=-= n =1,2,… 其相应的特征值函数为 x ln C x X n n πsin )(= n=1,2,…3°．关于T (t )的方程的通解 将特征值 2)(ln πμ-=代入至于T (t )的方程得 0)()()(2=+''t T lan t T π其通解为：t lan B t l an A t T n nn ππsin cos )('+'=其中nA '和nB '为任意常数 故 ,...2,1,sin )sin cos()()(),(=+==n x ln t l a n B t l a n A t T x X t x u n n n n πππ 4°．有界弦的自由振动解由叠加原理有x ln t l a n B t l a n A t T x X t x u t x u n n n n n n n πππsin )sin cos()()(),(),(111+===∑∑∑∞=∞=∞=∵ )()0,( )()0,(x x u x x u t ψϕ==∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑∞=∞=11sin )(sin )(n nn n l xn l a n B x x l n A x ππψπϕ 这恰好是)(),(x x ψϕ的正弦展开，于是：⎰=l n d l n l A 0sin )(2απααϕ ⎰=l n d l n a n B 0sin )(2απααψπ 令n n n n n n N B N A δδsin cos == 而lan n πω= 则： ∑∞=-=1sin)cos(),(n n n n x ln t N t x u πδω 这表明有界弦的振动是一系列以不同的固有频率n ω，不同的初相位n δ，不同的振幅x ln N n πsin振动的简谐振动 )cos(sin ),(n n n n t lxn N t x u δωπ-=的叠加。

例1：求下解问题⎪⎩⎪⎨⎧====<<=)3(0)0,( sin 3)0,()2( 0)0,(),0()1( 0 2x u x x u u t u x u a u t xx tt ππ 解：此题属于有界弦的振动，且0)(,sin 3)(,===x x x l ψϕπ 于是有：x ln t l a n B t l a n A t x u n n n πππsin )sin cos(),(1∑∞=+= ∑∞=+=1sin )sin cos (n n n nx at B nat A其中：⎰=l n xdx l n x l A 0sin )(2πϕ⎰⎩⎨⎧≠===ππ01 01 3sin sin 32时时n n nxdx x⎰==l n xdx ln x a n B 00sin )(2πψπ∴ x at t x u sin cos 3),(= 更简单的方法： ∵ ∑∞=+=1sin )sin cos (),(n n nnx nat B nat At x u且 0)0,( sin 3)0,(==x u x x u t∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=∑∑∞=∞=110sin 3sin n n n n na B x nx A 由fourier 级数展开形式的唯一性知 ⎩⎨⎧≠==0013n n A n 0=n B 例2：求定解问题⎪⎩⎪⎨⎧+===><<= 3sin 2sin )0,(0)0,(),0(0,0x x x u u t u t x Du u xx t ππ 解：没有现成的公式可套，直接采用分离变量法求解 （1）分离变量：)()(),(t T x X t x u = 则有：)()()()(t T x X D t T x X ''='即μ=''=')()()()(x X x X t DT t T于是原来的偏微分方程化为两个常微分方程⎩⎨⎧=-'=-''0)()(0)()(t T D t T x x x X μμ 由边界条件：0)()()()0(==t T X t T X π得0)()0(==πX X（2）求解特征值问题 ⎩⎨⎧===-''0)()0(0)()(πλX X x X x X则得 2n -=μ，特征函数 nx C x X n n sin )(=（3）将2n -=μ代入0)()(=-'t T D t T μ得0)()(2=+'t T Dn t T解之得 Dtn n n e b t T 2)(-=（4）叠加：∑∞=-=1sin ),(2n Dtnn nx e a t x u代入初始条件∑∞=+=13sin 2sin sin n nx x nx a比较系数得：)3,1(0 2,131≠===n a a a n 于是：x e x et x u aDt Dt3sin 2sin ),(--+=（二）非齐次方程—纯强迫振动考虑有界弦、杆的纯强迫振动⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≥==≥≤≤+=l x x u x u t l u t u t l x t x f u a u t xx tt 00)0,()0,(00)0,(),0(0,0),(2 由于方程中非齐次项),(t x f 的出现，故若直接以)()(),(t T x X t x u =代入方程，不能实现变量分离，于是联想到非齐次线性常微分方程求解的常数变易方法。

1．对应齐次方程的特征函数⎪⎩⎪⎨⎧====lx x xxtt u u u a u 02通过分离变量，得到特征值值问题⎩⎨⎧===-''0)()0(0)(l X X x x X μ 由此求得特征函数x ln C x X n n πsin )(= n =1,2,… 2．)(t T n 的方程的解 仿常数变易法，令∑∞==1sin)(),(n n x ln t T t x u π 代入原方程得),(sin )]()()([12t x f x ln t T l a n t T n n n =+''∑∞=ππ 将上面等式右端),(t x f 至于变量x 展开成Fourier 级数有 ∑∞==1sin)(),(n nx ln t ft x f π 其中 ⎰=l n xdx ln t x f l t f 0sin ),(2)(π即 ∑∑∞=∞==+''112sin )(sin )]()()([n n n n n x l n t f x l n t T l a n t T πππ 比较系数：)()()()(2t f t T la n t T n n n =+''π ① 由初始条件 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='=∑∑∞=∞=110sin )0(0sin )0(n n n n x l n T x l n T ππ 知 0)0()0(='=n n T T即：⎪⎩⎪⎨⎧='==+''0)0()0()()()()(2n n n n n T T t f t T la n t T π 采用常数变易法，则有 ⎰-=tn n d t lan f a n lt T 0)(sin)()(ττπτπ n =1,2,… 3．原方程的解为∑⎰∞=-=1sin ])(sin)([),(n tn x ln d t l a n f a n lt x u πττπτπ 例3：求下列定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===+====00 0sin 002t l x x x x xx t uu u t A u a u ω 解：①求对应齐次方程的特征值⎪⎩⎪⎨⎧=====002lx xx x xx t u u u a u对应的齐次方程的特征值问题为：⎩⎨⎧='='=-''0)()0(0)()(l X X x X x X μ 求解得特征值函数为：x ln C x X n n πcos)(= n =0,1,2… 令 ∑∞==cos)(n n x ln t T u π代入方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+'∑∑∞=∞=0020cos )0(sin cos )]()()([n n n n n n x l n T t A l x n t T l a n t T πωππ 比较两边Fourier 展开的系数有：⎩⎨⎧=='0)0(sin )(00T tA t T ω n =0 ⎪⎩⎪⎨⎧==+'0)0(0)()()(2n n n T t T l a n t T π n =1,2,… ∴ ] cos 1[)(0t At T ωω-=；0)(=t T n n=1,2,… ∴ )cos 1(),(t At x u ωω-=例4：⎪⎩⎪⎨⎧====+= 0)0()0( 0)0,()0,( ),(2l,u ,t u x u x u t x f u a u t xx tt另外具有非零初始条件的处理例5：⎪⎩⎪⎨⎧====+=(x )(x ,0) )()0,( 0),(),0( ),(2ψϕt xx tt u x x u t l u t u t x f u a u令 IIIu u t x u +=),( 其中 Iu 满足⎪⎩⎪⎨⎧=====)()0,( )()0,( 0),(),0( 2x x u x x u t l u t u u a u I t I II I xx I tt ψϕ II u 满足⎪⎩⎪⎨⎧=====)()0,( )()0,( 0),(),0( 2x x u x x u t l u t u u a u II t II IIII IIxx II tt ψϕ （三）非齐次边界条件的处理前面两节讨论的问题都是齐次边界条件，但大多实际并非都是齐次的，因此需要讨论非齐次边界条件问题。