数学物理方法-14.3 分离变量法-laplace

t
R c1e c 2 e
nt
nt
c1 r c 2 r
n
n
r 2 R(r ) rR(r ) R(r ) 0 R( R0 )( ) f ( )
求R(r)
2
将固有值问题的特征值 n , n 0,1,2, 代入上式，
r 2 R(r ) rR(r ) n 2 R(r ) 0
其解是（Euler方程）
n
R0 C0 n 0
n
R0 0 ( ) C0 B0
u0(r, θ)
Rn C n r Dn r
n 1,2,
Rn Cn r
当r0时，r-n∞。但，r＝0处的温度不可能为无限 大，所以，必须强加条件|R(0)|<∞，即令Dn=0 u n ( r , θ) n
• • • •
'' ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 ) 周期边界条件 (1)当 0 时，方程的通解为 ( ) Ae Be 式中A与B是任意常数。这样的函数不满足 周期性条件。 ( ) B0 ， (2)当 0 时， 0是特征值。 (3)当 0 时, ( ) A cos( ) B sin( ) 只有当 取整数时，对所有 θ才满足周期 2 边界条件。特征值是 n , n 1,2,
0
f(x)
a
x
二维拉普拉斯方程的边值问题
• 矩形区域上的Laplace方程边值问题
2u 2u 2 2 0 (0 x a,0 y b) x y u (0, y ) 0, u (a, y ) 0 u ( x,0) f ( x), u ( x, b) g ( x)
1 u (r , ) u n (r , ) a 0 (a n cos n bn sin n )r n 2 n 0 n 1

n y a n y a
nx ) sin a
nx f ( x) (C n Dn ) sin a n 1 n n b b g ( x) (C e a D e a ) sin nx n n a n 1
看成整体
问题：如何推导系数Cn和Dn?
表示成统一的形式

作为整体而非两个参数
1 u (r , ) un (r , ) a0 (an cos n bn sin n )r n 2 n 0 n 1 u ( R0 , ) f ( )
根据Fourier级数展开定理，得
1 a n R n 0 b 1 n n R 0
n 1,2,
Rn n ( ) r n [Cn A cos( n ) Cn B sin( n )]
特解叠加
u0 (r , ) R0 0 ( ) C0 B0
un (r , ) Rn n ( ) r n [Cn A cos(n ) Cn B sin(n )]
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0, X (a ) 0
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0, X (a) 0
n • 固有值为 n (n 1,2, ) a nx • 固有函数为 X n sin (n 1,2,) a
nx f ( x) (C n Dn ) sin a n 1 n n b b g ( x) (C e a D e a ) sin nx n n a n 1
由Fourier级数展开定理，可知
2 a nx C D f ( x ) sin dx n n a 0 a n n b b C e a D e a 2 a g ( x) sin nx dx n n a 0 a
解代数方程组，得Cn和Dn
二维拉普拉斯方程的边值问题
• 解方程，得：
n b a a nx nx a 2[ g ( x) sin dx e f ( x) sin dx] 0 0 a a C n n n b b a (e a e a ) n b a a nx nx a 2[e f ( x) sin dx g ( x) sin dx] 0 0 a a D n n n b b a a a ( e e )
r
R0
θ
二维拉普拉斯方程的边值问题
• 所述问题可以表示为下列定解问题 2 u 1 u 1 2 u 2 2 0 (0 r R0 ,0 2 ) 2 r r r r u ( R , ) f ( ) 0
这个问题能采用分离变量法求解吗？ 先尝试！
定解问题的解是： u ( x, y )
(C e
n 1 n

a
nx ) sin a
算例：边界温度分布
f ( x) 1 ( x 1) 2 y0
温 度
g ( x) [1 ( x 1) 2 ] / 2 y b 1
x
算例：温度分布三维图

2
0 2
f ( ) cos nd f ( ) sin nd
(n 0,1,2,3, ) (n 1,2,3, )
0
求解过程之回顾
• 所述问题可以表示为下列定解问题 2 u 1 u 1 2 u 2 2 0 (0 r R0 ,0 2 ) 2 r r r r u ( R , ) f ( ) 0
•
r 2 R(r ) rR(r ) R(r ) 0 R( R0 ) ( ) f ( )
2 n , n 0,1,2, 代入上式， 将固有值问题的特征值
求R(r)
r 2 R(r ) rR(r ) n 2 R(r ) 0
其解是（Euler方程）
将固有值代入Y (y)的方程
2
n Yn( y ) Yn ( y ) 0 a
2
Yn ( y ) C n e
n y a
Dn e

n y a
(n 1,2, )
二维拉普拉斯方程的边值问题
u ( x, y ) (C n e Dn e • 原定解问题的解： n 1 u( x,0) f ( x), u( x, b) g ( x) • 由边界条件得：
Rn n ( ) r n [Cn A cos(n ) Cn B sin(n )]
欧拉方程的解法
r R(r ) rR(r ) n R(r ) 0
2 2
•
• • 则方程有通解
dR dR dt 1 dR 令 r e ，有t ln r ，则 dr dt dr r dt d 2R 1 dR 1 d dR 1 dR 1 d 2 R dt 2 ( ) 2 2 dr r dt r dr dt r dt r dt 2 dr 1 dR 1 d 2 R 1 d 2 R dR 2 2 2 2 2 dt r dt r dt r dt d 2R 2 n R0 代入欧拉方程中，得到 dt 2
u (0, y ) 0, u (a, y ) 0 u ( x,0) f ( x), u ( x, b) g ( x) X (0)Y ( y ) 0, X (a )Y ( y ) 0 X ( x)Y (0) f ( x), X ( x)Y (b) g ( x)
u ( x, y )
y
x
算例：温度分布平面图
y
x
二维拉普拉斯方程的边值问题：圆形域
• [问题]一个半径为R0的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边界上的温 度已知，求达到稳恒状态时圆盘的温度分布；
• 分析过程
• • • • • • 稳恒状态下温度分布满足拉普拉斯方程； 区域是圆形的，若采用直角坐标系，边界条件很难描述； 为了应用分离变量法，采用拉普拉斯方程极的坐标形式将更方便； 圆板内点(r,θ)，用u(r,θ)来表示一点的温度； 区域的圆周边界用r= R0 表示，那么，边界条件可写成u(R0,θ)=f(θ)； 其中， f(θ) 为圆周边界上的已知温度。
二维拉普拉斯方程的边值问题
• 设泛定方程的解为 u (r , ) R(r ) ( ) 2 r R (r ) rR (r ) ( ) R(r ) ( )
2u 1 u 1 2u 2 0 r 2 r r r 2
r 2 R(r ) rR(r ) R(r ) 0 什么定解条件 ?
分离变量法3 二维拉普拉斯方程的边值问题
• 矩形区域上的拉普拉斯边值问题 • 问题描述：一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热， 四周边界温度已知，具体为：板的两边（x=0, x=a）始终 保持零度，另外两边（y=0, y=b）的温度分别为f(x)和g(x)， 求薄板内稳恒状态下的温度分布规律。 y g(x) b 0。 0。
( ) ( ) 0 定解条件？
边界条件的提法
r 2 R(r ) rR(r ) R(r ) 0 什么定解条件 ?
( ) ( ) 0 定解条件？
原有的定 u ( R0 , ) f ( ) 解条件
r R(r ) rR(r ) R(r ) 0 R( R0 ) ( ) f ( )
2
R( R0 )( ) f ( )
'' ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 )
虽然θ的取值范围是所有实数，但实际只须取[0,2π]， 温度分布u(r, θ)关于θ是周期变化的，且周期是0,2π。
( ) ( 2 )
固有值问题
R0 C0 n 0