高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。

由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。

所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。

适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。

方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。

方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。

总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。

平时练习过程中，应注意观察，总结！。

①
y

k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y

3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y

x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。

高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。

高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。

二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。

2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。

（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。

（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。

3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。

（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。

（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。

2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。

（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。

2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min

高考数学中的解二元一次方程问题总结数学是高考中必考科目之一，而解二元一次方程是数学中的基础问题之一，经常出现在高考数学试题中。

面对这种问题，许多学生往往感到头疼，甚至不知道从何着手。

本文将从解题方法、技巧、注意事项等方面进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助。

一、解法总结1.代入法代入法是二元一次方程中使用最广泛的一种解法。

它的基本思路是把一个方程中的一个变量表示成另一方程中相同的变量，然后代入另一个方程，进而得到另一个未知数的值。

比如：①x+y=5②x-y=1将②代入①得 x+(x-1)=5，从而得到x=3，再将x=3代入①中，得到y=2。

2.消元法消元法是解二元一次方程的另一种基本方法，它通过对方程中的某个变量进行消元，将两个方程中对应的未知数合并起来，从而得到另一个未知数。

比如：①3x-2y=7②2x+y=4将②乘以2，得到4x+2y=8，将其代入①中，得到7x=15，从而得到x=15/7，再代入②中解得y=-2/7。

3.分离变量法分离变量法是解二元一次方程的一种特殊方法，它可以通过对方程中的系数进行操作，将未知数合并在一起，从而得出未知数的值。

比如：①x-2y=10②3x-y=11将①乘以3并加上②，在去掉y的系数后，得到7x=41，从而得到x=41/7，再代入①中求得y=-8/7。

二、技巧总结1.转换系数当两个方程的系数比较复杂时，我们可以通过乘以某个数来使它们的系数更加简单。

比如：①2x+5y=13②3x+y=11将①乘以3，②乘以5，得到6x+15y=39和15x+5y=55，再代入消元法求解即可。

2.化简方程有时我们可以通过化简方程来简化解题步骤。

比如：①3x+y=5②x+2y=0将①乘以2，②乘以3，得到6x+2y=10和3x+6y=0，再代入消元法即可得出未知数的值。

三、注意事项总结1.注意方程的排列顺序。

通常情况下，我们会按x递增的顺序排列方程，但如果方程的顺序不同，我们在代入或消元时应该格外留意。

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。

例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

分离变量一、填空题1. 已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为．2. 已知函数，若对区间上的任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是．3. 已知实数，满足条件若不等式恒成立，则实数的最大值是．4. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是．5. 若不等式对于一切成立，则的范围是．6. 已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是．7. 若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围是．8. 已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为．9. 若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是．10. 已知方程在上有解，则实数的取值范围为．11. 若曲线通过点（），则的取值范围是．12. 设函数．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为．13. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为．15. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．16. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为．17. 三个同学对问题"关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围"提出各自的解题思路．甲说："只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值"．乙说："把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值"．丙说："把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象"．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．18. 已知为上的偶函数，当时，．若存在实数，对任意的，都有成立，则满足条件的最小的整数的值是．19. 关于的不等式在上恒成立，则实数范围为．20. 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围为．二、解答题21. 若函数的值恒大于，求实数的取值范围．22. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．23. 已知点，是函数图象上的两个动点，轴，点在轴的右侧，点是线段的中点．(1)设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式；(2)若（1）中的满足对所有，恒成立，求实数的取值范围．24. 若，恒成立，求实数的取值范围．25. 已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)若，求的取值范围．26. 若关于的方程有解，求实数的取值范围．27. 已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．28. 已知命题：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．29. 已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求实数的取值范围．30. 已知函数，其中，．若对任意恒有，试确定的取值范围．31. 已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围．32. 若关于的方程有实数根，试确定实数的取值范围．33. 已知函数，(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．34. 设，且，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设方程在上有两个不同的解，求集合．35. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．36. 已知函数，，其中．(1)若曲线与在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；(2)若对任意恒成立，求实数的值；(3)当时，对于函数，记在图象上任意两点，连线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．37. 已知函数．设，且．(1)试将函数表示成关于的函数，并写出的范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围．38. 已知函数．(1)当时，求在最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围；(3)若存在单调递减区间，求的取值范围．39. 设函数，方程有唯一解，数列满足，且，数列满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)数列满足，其前项和为，若存在，使成立，求的最小值；(3)若对任意，使不等式成立，求实数的最大值．40. 已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)当时，讨论函数的零点个数．答案第一部分1234567891011121314151617181920第二部分21 由题意对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，因为函数的最大值为，所以，即或．22 (1) 若，则，使．即．令，由上，易知．从而．(2) 若，则，都有，即．由（1）可知，此时．23 (1) 设，，，则，所以．(2) 由得，的对称轴为，因为，所以，所以在上的最大值为，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，因为当且仅当时成立，所以．24 原不等式，则有①因为由得．从而有在上最大值为．代入①得，，解得．故实数的取值范围为．25 (1) 当时，．当时，；当时，．所以的极小值为，又因为的定义域为，所以的最小值为．(2) ，即．因为，所以等价于．令，则．当时，；当时，．所以有极小值，且为最小值，为．故，所以的取值范围是．26 法一：因为当且仅当时，等号成立．所以，解得．法二：令，则方程变成．原方程有解即此方程有正根，又两根之积为，所以有解得．27 (1) ，因为，所以，故函数的值域为．(2) 由，得，令，因为，所以，所以对一切恒成立，①当时，；②当时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，综上，．28 当为真时，有，成立，所以，且，解得．所以为假时，．当为真时，对一切正实数均成立，即．又因为在上是减函数，所以，即，因此只需．所以为假时，有．综上，，都假时，有．29 (1) 或(2)30 对任意恒有，即对恒成立．即对恒成立．记，，则只需．而在上是减函数．所以，故．31 (1) 当时，，所以．由题意得，即，解得，所以函数的单调递增区间是．(2) 求导得，因为在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为，所以的取值范围是．32 由，原方程可化为即其中．当时，有最小值；当时，有最大值．由此，因此，所求的取值范围是．33 (1) 当时，；当时，；由条件可知，即解得，．(2) 当时，即，，，，故的取值范围是．34 (1) ，且，，．，．(2) 在上单调递减，证明如下：设，．，，，，，，，在上单调递减．(3) 方程为，令，，则．方程在内有两个不同的解，．由图知时，方程有两个不同解，．35 (1) 求导函数可得，令，则或，，；令，则或，，；函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2) 由题意得，①若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，在上单调递减，，．②若函数在上的单调减函数，则在上恒成立，不可能．实数的取值范围．36 (1) ，，依题意得：，曲线在处的切线为，曲线在处的切线方程为．两直线间的距离为．(2) 令，则当时，注意到，所以，所以在单调递减，又，故时，，即，与题设矛盾．当时，，当，，当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，所以．因为，又当时，，与不符．所以．(3) 当时，由（2）知，所以在上是减函数，不妨设，则，，所以．等价于，即，令，在上是减函数，因为，所以在时恒成立，所以．又时，，所以．又，所以的取值范围是．37 (1) 由，得．由，得．又所以(2) 因为对于任意的恒成立，所以对于任意的上恒成立．令，则．由解得；由，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由此，的取值范围是．(3) 方程有四个不同的解，等价于在上有两个不相等的实根，等价于函数在上有两个零点，于是解得．故的取值范围是．38 (1) ，定义域为．因为所以在上是增函数．．(2) 由题在上恒成立即因为，而当且仅当时取等号所以所以．(3) 解法1：因为因为存在单调递减区间，所以有正数解，即有正实数解．①当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．解法2：存在，使得即存在，使得由⑵得：．39 (1) 因为，方程有唯一解，所以，即有唯一解，所以，解得，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以数列首项为，公差为的等差数列．(2) 由（1）得，所以．因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．(3) 因为，所以．令．因为，所以，所以所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值是．40 (1) 因为在上单调递减，所以对任意的上恒成立，即对任意的上恒成立．而．当且仅当，即时，上式等号成立．于是故满足题意的实数的取值范围为．(2) 由，得．令，得．列表如下：极小值所以．（i）当时，，所以在定义域内无零点．（ii）当时，，所以在定义域内有唯一的零点．（iii）当时，．①因为，所以在增区间内有唯一的零点．②．设，则，所以在上单调递增，从而，即，于是在减区间内有唯一的零点．所以当时，在定义域内有两个零点．综上所述，当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．。

基本不等式运用方法专题类型一：【函数法】1、则2y =的最小值为2、则2y =的最小值为3、xx y 22sin 2sin +=的最小值为类型二：【换元法】1、若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最_____值______2、已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x -+22的最小值为3、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是4、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4－23, 则2a +b +c 的最小值为类型三：【换双元法】1、若+∈R y x ,，且12=+y x ，yx -+-1111的最小值为2、若+∈R b a ,，且3=+b a ，则b a +++11的最大值是3、若+∈R y x ,，且1=+y x ，2121+++y x 的最大值为4、已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则21+a ＋21+b 的范围是________类型四：【拆项凑项搭配法】1、当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是2、函数)711(log 21+++=x x y （x > －1）的最大值是3、（2010年四川）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是类型五：【等量替换构造基本型】 1、已知0,0>>y x ，且1=+y x ，则yx 94+的最小值为2、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，则2x ＋y 的最小值为3、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是4、已知c b a ,,都是正数，且,12=++c b a 则cb a 111++的最小值是5、若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为6、若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是7、函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为_______8、已知函数)1,0(,1)2(log ≠>+-=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线1-=+ny mx 上，其中0>mn ，则nm 13+的最大值为9、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>和函数log (2)2(0c y x c =++>且1)c ≠的图象恒过同一个定点，则的最小值为10、已知两个正变量m yx y x y x ≥+=+41,4,则使不等式满足恒成立的实数m 的取值范围是类型六：【分离变量法】1、若不等式()y x a xy x +≤+22对一切正数y x ,恒成立，则正数a 的最小值为2、若,,x y R +∈a 的最小值是3、若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为4、已知不等式()2418a b m m ++>-对任意正数,a b 都成立，则实数m 的取值范围是_____类型七：【放缩法】1、若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是2、若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是_______ ．3、设0>>b a ，)(162b a b a -+的最小值是4、已知：a >b >0,求2223196bab b a b a -+-的最小值是类型八：【代入消元法】1、已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为2、设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为第1节 基本不等式运用方法专题（课后作业）1、【函数法】若),0(,+∞∈y x ，且1=+y x ，xyxy 1+的最小值为 2、【换元法】已知两正数x,y 满足x+y =1,则z =11()()x y xy++的最小值为3、【换双元法】若正数a ，b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是 .3、【拆项凑项搭配法】 设2a > b > 0，则22224114b a b a -++的最小值是 4、【等量替换构造基本型】 若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +的取值范围是 5、【等量替换构造基本型】已知函数)10(3)(1≠>-=+a a a x f x 且的反函数的图象恒过定点A ，点A 在直线01=++ny mx 上，若0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为 6、【等量替换构造基本型】若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则14a b+的最小值是7、【分离变量法】若不等式x +≤a (x+y ) 对一切正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值为8、【分离变量法】对一切实数x ，不等式x 2+a |x |+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是10、【放缩法】 已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值是基本不等式运用方法专题（参考答案）类型一：【函数法】1、则2y =的最小值为 223【方法】相关函数图象性质 2、则2y =的最小值为 223 3、xx y 22sin 2sin +=的最小值为 3类型二：【换元法】1、若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最___大__值______1-2、已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x -+22的最小值为 22【解】一元化思想3、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是4、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4－23, 则2a +b +c 的最小值为 23－2类型三：【换双元法】1、若+∈R y x ,，且12=+y x ，yx -+-1111的最小值为 23+【解】令x m -=1, y n -=1, 则22=+y m223)11)(2(21111111+≥++=+=-+-n m n m n m y x当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a ,b ＝2满足条件。

含参数函数解题方法—参变分离法题型一：全分离【例1】函数2()ln f x x a x =-在[1,2]上为增函数，求a 的取值范围． 【解析】函数2()ln f x x a x =-在[1,2]上为增函数，则()20af x x x'=-≥在[1,2]上恒成立，（问题转化） 因为2()2022a af x x x a x x x'=-≥⇒≥⇒≤，（分离变量，把x 与a 放在式子的两边， 一边只含有一个字母，叫做全分离）所以2min (2)a x ≤（这里把a 看成不变的量，不变的量小于变化的量，就小于变化量的最小值） 当x ∈[1,2]时，2min (2)x =2，所以2a ≤．【例2】已知函数()ln f x ax x =-，若f (x )＞1在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】因为1ln ()ln 11ln x f x ax x ax x a x +=->⇒>+⇒>，（分离变量）则有max 1ln x a x +⎛⎫> ⎪⎝⎭设1ln ()x g x x +=，x ∈[1,)+∞（由于1ln xx+的最值不能直接看出来，所以要构造函数来求，这种方法经常考查）由于2ln ()xg x x '=-，且1x >时，ln 0x >，20x >，所以x ∈[1,)+∞时，()0g x '<， 所以1ln ()xg x x+=在[1,)+∞上单调递减，故max ()(1)1g x g ==，故1a >．【例3】若函数12()(0)()2ln (0)x x f x xx x a x ⎧+<⎪=⎨⎪->⎩恰有三个零点，则a 的取值范围为( D ) A ．1[,0]e- B ．1(0,)e）C ．1[0,]eD ． 1(,0)e-【解析】当0x <时，12()()2x f x x=+为减函数，且(1)0f -=，所以在(,0)-∞上()f x 只有一个根， 所以只需有0x >时，()ln f x x x a =-有两个零点即可，由于()ln 0ln f x x x a a x x =-=⇒=，令()ln g x x x =，()h x a =，则问题转化为函数()g x 与()h x 的图象有两个交点．（()h x 的图像为平行于x 轴的一条直线，由于a 未定，所以可以上下平移，()g x 为非基本函数，故需要通过导函数来研究）()ln 1g x x '=+，令()0g x '=，则有1x =，在同一坐标系中作出函数()g x 与()h x 的简图如图所示，（在这里画的只是简图，只具备关键信息，并不是标准图像，标准图像只能通过画图软件来画）根据图可得10a e-<<，故选D ． 【练习】已知函数()ln ()xxf x e x ae a R =-∈，若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】1()(ln )x f x a x e x'=-+（1）若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0，在x >0时恒成立．（问题转化1） 即1x－a ＋ln x ≤0，在x >0时恒成立．（问题转化2） 所以a ≥1x＋ln x ，在x >0时恒成立．（分离变量）（注意下面的解答格式）（2）若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0，在x >0时恒成立，即1x －a ＋ln x ≥0，在x >0时恒成立，所以a ≤1x ＋ln x ，在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1．故实数a 的取值范围是(－∞，1]． 题型二：半分离【例4】已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是（ C ）A ． ()ln3,2B ． [)2ln3,2-C ． (]0,2ln3- D ． ()0,2ln3-【解析】由题意可知， ()0f x >，即()()ln 2240,0x a x a a +--+>>，()()ln 224022ln 40x a x a ax a x x a +--+>⇒->-->，（这里如果把2x -除到右边，会面临两个问题，一是2x -不清楚正负要分类讨论，二是很显然，式子的结构会很复杂，到这里可以看出左边是一个一次函数，右边是一个简单的复合函数，所以我们就不进一步分离了，这种方式叫半分离变量．） 设()()2ln 4,2g x x x h x ax a =--=-， 由()121'2x g x x x -=-=，令可知()'0g x =，则12x =， 所以，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数，且1()ln 2302g =-<．（由于本题是关于整数的问题，所以对函数的关键点要做进一步计算(2)ln 20g =-<，(3)2ln30g =->，且有0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x →+∞）()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0， 在同一坐标系中作出()(),g x h x 的图象如下：若有且只有两个整数12,x x ，使得()10f x >，且()20f x >，（也就是说有且只有两个整数，使得()h x 的图像在()g x 的上方．）（因为x=2符合条件，下面就分两种情况：一是x=1符合，x=3不符合，由左图可知，矛盾；二是x=1不符合，x=3符合由左图可知成立）则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即0223a a a ln >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C ．【例5】若对任意的[1,1]x ∈- 都有3310kx x -+≥成立，求实数k 的取值范围．【解析1】全分离3331031kx x kx x -+≥⇒≥-（这里很多同学会把3x 直接除到右边，为什么不能这样呢？是因为3x 的正负不确定，涉及到除过去要不要变号的问题，还有3x 可能等于0，此时就不能除了，所以要分类讨论）（1）当01x <≤时，3331310x kx x k x --+≥⇒≥；（x 正负不同，式子要变号，可以看到式子的形式是一样的，所以可以放在后面一起研究） （2）当0x =时，331010kx x -+≥⇒≥，成立； （3）当10x -≤<时，3331310x kx x k x --+≥⇒≤ 设331()(0)x f x x x -=≠（这里没有采用原来的区间范围，研究函数整体，再看部分） 43(21)()x f x x --'=，令()0f x '=，则12x =， 所以，当12x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当102x <<或0x <时，()0f x '>，()f x 单调递增．（这里的单调区间是两个， 不能看成连续的，否则画图时就会出错．这里还有一个问题，在0x =附近函数的走向趋势问题）当0x >且0→时，()f x →-∞，当0x <且0→时，()f x →+∞， （这一步对学生来说难度不小，不采用一定的手段很难解释，可以告诉学生： 当0x >且0→时，310()31()x f x x =→→--一直是正，所以()f x →-∞当0x <且0→时，，310()31()x f x x =→→--一直是负，所以()f x →+∞） 当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()0f x →． （这一步可以告诉学生： 当x →+∞时，33())1(x f x x =→+→+∞-∞速度比分子快，一直是正，所以()0f x →，反映在图像上是向右在x 轴上方，无限靠近x 轴 当x →-∞时，33())1(x f x x =→-→-∞-∞速度比分子快，所以()0f x →，反映在图像上是向左在x 轴上方，无限靠近x 轴）又1()42f =，故可作出函数草图如下：所以，当01x <≤时，max331()4x k x -≥=，当10x -≤<时，min 331()4x k x -≤=， 综上，4k =． 【解析2】半分离（1）当0k =时，显然不成立；（2）当0k ≠时，333131031(31)kx x kx x x x k-+≥⇒≥-⇒≥-（左边3x 是一个三次函数，右边31x -是一个一次函数（前面一个可变的系数可以让直线绕着1(,0)3旋转），图像大家都可以搞定）设31(),()(31)f x x g x x k==-，在同一个坐标系内画出图像如下，考察[1,1]x ∈-时，()f x 的图像（红色）要在()g x （黑色）的上方：由图像可以看出，()f x 与()g x 在第一象限相切时，4k =，1()(31)4g x x =-，（为保证红线要在黑线的上方，()g x 应该顺时针旋转），此时，第三象限，()g x 恰好过（-1，-1）点，为与()f x 的公共点．（为保证红线要在黑线的上方，()g x 应该逆时针旋转，最好只能不旋转了） 综上，4k =．说明：在3331031kx x kx x -+≥⇒≥-这一步，如果左边保留3x ，右边是31x -，也可以处理，一般直线的变化较为简单，所以大部分我们选择把参数留在一次函数这边．。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

§4 分离变量法【知识点提示】分离变量法，物理意义, 驻波法。

【重、难点提示】分离变量法的解题方法。

【教学目的】本节主要以一维波动方程和二维波动方程的混合问题为模型，阐述分离变量法的解题过程和理论基础。

【教学内容】第四节 分离变量法4.1. 齐次波动方程的混合问题 4.2. 非齐次波动方程的混合问题 4.4. 二维波动方程的混合问题 4.5. 物理意义, 驻波法4.1 齐次波动方程的混合问题考察两端固定的弦的自由振动, 此问题可归结为求方程2000tt xx u a u x l t -=,<<,> (4.1)满足初始条件00()()0t t t u x u x x l ϕψ==|=,|=,≤≤ (4.2)及边界条件000x x l u u t ==0|=,|=,≥ (4.3)的解, 其中(0)()0(0)()0l l ϕϕψψ==,==是相容性条件.下面我们用分离变量法来求解混合问题(4.1)-(4.3). 首先，我们设法找到所有具有变量分离形式的满足方程(4.1)和边界条件(4.3) 的非零特解. 所谓函数(u x t ),具有变量分离形式，是指它能写成()()()u x t X x T t ,= (4.4)的形式. 将(4.4)代入方程(4.1), 有2()()()()X x T t a X x T t ''''=,此处, 分离变量即得()()0X x T t ≠2()1()()()X x T t X x a T t ''''=. (4.5) 因为等式(4.5)的左端仅与x 有关, 右端仅与t 有关, 因此存在常数λ使得2()1()()()X x T t X x a T t λ''''==-, 于是得到变量被分离后的两个常微分方程 ()()0X x X x λ''+=, (4.6)2()()0T t a T t λ''+=. (4.7)现在我们可以通过解这两个常微分方程来定出函数()X x 和, 由边界条件(4.3)得()T t (0)(0)()0u t X T t ,==,()()()0u l t X l T t ,==.)由于我们所要求的是非零解，故(u x t ,()0T t ≡/,从而推知函数()X x 应满足附加条件(0)0()0X X l =,=. (4.8)为此，我们需要解如下含参数λ的二阶线性常微分方程边值问题:()()0(0)()0.X x X x X X l λ''+=,⎧⎨==⎩(4.9) 定义4.1 使常微分方程边值问题(4.9)具有非平凡解的那些λ值称为这个边值问题的特征值; 相应的非平凡解称为对应于这个特征值的特征函数; 寻找边值问题(4.9)的所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题或施图姆-刘维尔 (Sturm-Liouville)问题. 现在我们来解特征值问题(4.9). 分三种情形进行讨论: 1) 当0λ<时,方程(4.6)的通解为12()X x c c e =+,其中是任意常数,要使它满足边界条件(4.8),就必须有12c c ,12120,0.c c c c e +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由于系数行列式110e≠,因此c 1和必须同时为零, 从而2c ()X x 恒等于零. 此时特征值问题(4.9)没有非平凡解. 2) 当0λ=时, 方程(4.6)的通解为12()X x c c x =+,由边界条件(4.8)得11200c c c l =,+=,所以, 从而. 此时, (4.9)也没有非平凡解. 120c c ==()0X x ≡ 3) 当0λ>时, 方程(4.6)的通解为12()X x c c =+,要它满足边界条件(4.8), 必须11200c c c =,+=,由这两个等式推得20c =.如果, 那么, 因此为了获得非平凡解, 必须要求20c =()0X x ≡20c ≠且0=,即k lπ=, 其中是一个任意的正整数. 所以, 只有当k λ取值为212k k k l πλ⎛⎫=,=,, ⎪⎝⎭(4.10)时, 特征值问题才有非平凡解. 这些离散的(49).k λ就是特征值问题(4.9)的特征值,与这些特征值k λ对应的函数()sin12k k k xX x c k lπ=,=,, (4.11) 就是特征值k λ所对应的特征函数.对于k λ, 方程(4.7)的通解可写成()cossin 12k k k k a k aT t a t b t k l lππ=+,=, ,,k 其中和都是任意常数, 于是对任意的k a k b k k A c a =和k k k B c b =, 函数()()()(cossin )sink k k k k k a k a k xu x t X x T t A t B t l l lπππ,==+ 满足方程(4.1)和边界条件(4.3).由于方程(4.1)是线性齐次的, 根据叠加原理, 对任何有限个特解的线性组合也是它的解. 对于无穷级数1()(cossin )sin k k k k a k a k u x t A t B t x l l lπππ∞=,=+,∑ (4.12) 由级数理论知, 只要级数(4.12)及它对x 和t 逐项求导两次后所得的级数都一致收敛时，其和函数将仍是方程(4.1)满足边界条件(4.3)的解. 现在的问题是设法确定常数和(u x t ,)k A k B 使级数(4.12)及它对x 和t 逐项求导两次后所得的级数都一致收敛, 且和函数满足初始条件(4.2).这里先对级数(4.12) 关于形式求导, 得 t1()(sin cos )sin k k k u k a k a k a k x t A t B t t l l l x l πππ∞=∂,=-+∂∑π. (4.13) 利用初始条件(4.2), 在(4.12)和(4.13)中令0t =得11()sin ,()sin .k k k k k x A x l k a k x B x l l πϕππψ∞=∞=⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑ 由此可知, 如果函数()x ϕ和()x ψ在区间[0]l ,上都能展成Fourier 正弦级数, 那么它们的系数和k A kk aB lπ就由002()sin 2()sin l k l kk x A x d l lk x x B x d k a l πϕπψπ⎧x =,⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ (4.14) 给出.下面我们来证明, 当初始数据()x ϕ和()x ψ满足一定的条件时 ,由(4.14)确定的和k A k B 作系数的级数(4.12)就是混合问题(4.1)-(4.3)的解.为此, 我们只要能证得级数(4.12)及对它逐项求导两次后所得级数都一致收敛就行了.引理4.5 设函数()f x 在区间[0]l ,上有直到阶的连续导数, m 1m +阶导数分段连续, 且当p 为偶数时()()(0)()0p p f f l ==.若把函数()f x 展开成正弦级数1()sink k k f x a lx π∞=,∑ 则级数1mk k ka ∞=||∑是收敛的.证 由假设知, 函数(1)()m f x +可在区间[0]l ,上 展为Fourier 级数. 当为奇数时, 展开式为 m (1)(1)1()sinm m k k k fx a lx π∞++=,∑ 其中1212(1)(1)0()()002(1)(1)001012()sin 22()sin ()cos22()cos ()sin2(1)()sin (1)m m l m m kllm m llm m m l m k af x xdx l l k k k f x x f x xdx l ll llk k k k f x x f x l l l l l l k k f x xdx l l lk xdx πππππππππ++++--++=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰πk a l π⎛⎫;⎪⎝⎭当为偶数时, 展开式为 m(1)(1)(1)01()cos 2m m m k k a k fx a l x π+∞++=+,∑同样可以推得21(1)(1)012mm m kk k a a k l π++⎛⎫=-,=, ⎪⎝⎭,,.根据贝塞尔(F.W. Bessel)不等式, 有2(1)(1)20122(1)(1)(1)20012[()]12[()]2l m m k k l m m m k k a f x dx m l a a f x dx m l ∞++⎛⎫ ⎪⎝⎭=∞+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎧≤,⎪⎪⎨⎪+≤,⎪⎩∑⎰∑⎰为奇数为偶数,,由此可见, 无论是奇数还是偶数, 都有 m (1)21m k k a ∞+=||<∞,∑ 即2221m k k ka ∞+=||<∞.∑利用Cauchy 不等式, 得1222211111mm m kk k k k k k a k a kk a k k∞∞∞∞++====||⎛⎫||=≤||+<∞ ⎪⎝⎭∑∑∑∑,| 所以级数收敛. 引理证毕.mk k a ∑| 定理 4.11 设在区间[0上, 函数]l ,()x ϕ二次连续可微且三阶导数分段连续, 函数()x ψ连续可微且二阶导数分段连续, 在端点同时满足相容性条件(0)()(0)()(0)()0l l l ϕϕϕϕψψ''''======,)则由级数(4.12)定义的函数有二阶连续导数, 且是混合问题(4.1)-(4.3)的解. (u x t , 证 由引理4.5知, 级数2211k k k k kA kB ∞∞==||,||∑∑都是收敛的, 因而级数(4.12)关于x 和t 逐项微分二次后所得的级数也都是一致收敛的, 而且分别收敛于函数(u x t ),的相应导数, 所以级数(4.12)所定义的函数(u x t ),是定解问题(4.1)-(4.3)的解. 定理证毕.综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步：第一步: 令()()()u x t X x T t ,=适合方程和边界条件，从而定出()X x 所适合的 Sturm-Liouville 问题，以及适合的常微分方程.()T t 第二步: 解Sturm-Liouville 问题，求出全部特征值和特征函数. 并求出相应的的表达式.()T t 第三步: 将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定常数.4.2 非齐次波动方程的混合问题 对于非齐次波动方程, 混合问题的一般形式是(4.15)200012()00()()0()()0tt xx t t t x x l u a u f x t x l t u x u x x l u t u t t ϕψμμ====⎧-=,,<<,>⎪|=,|=,≤≤,⎨⎪|=,|=,≥,⎩,其中函数1()()()x x t ϕψμ,,和2()t μ都是已知的.为了应用分离变量法求解混合问题(4.15), 首先， 我们必须将边界条件齐次化. 按照§1的讨论，若作函数变换 ()()()v x t u x t U x t ,=,-,,其中121()()[()()]xU x t t t t lμμμ,=+-,(I),则函数满足如下齐次初边值问题：()v x t ,2101010()00()()0000tt xx t t t x x l v a v f x t x l t v x v x x l v v t ϕψ====⎧-=,,<<,>⎪|=,|=,≤≤,⎨⎪|=,|=,≥,⎩其中111()()()f x t x x ϕψ,,,由§1的(1.11)决定.按照§1的讨论，上面的混合问题(I 可以化成如下两个定解问题：)(II)0,(III),20101000()()0000tt xx t t t x x l v a v x l t v x v x x l v v t ϕψ====⎧-=,<<,>⎪|=,|=,≤≤,⎨⎪|=,|=,≥;⎩21000()00000000.tt xx t t t x x l v a v f x t x l t v v x l v v t ====⎧-=,,<<,>⎪|=,|=,≤≤,⎨⎪|=,|=,≥⎩显然, 如果12()()v x t v x t ,,,2()()t v x t +,12()()t v x t U ,+,+分别是定解问题(I , 的解, 则函数就是定解问题的解. 从而定解问题(4.15)的解为.I)(III)1()v x t v x ,=,()u x t v x ,=(I)()x t , 问题(I 已是前面讨论过的情形, 这里只要将定解问题(I 讨论清楚就行了.I)II)由§1定理4.2， 我们知道若函数(w x t )τ,,是混合问题21000()00tt xx t t t x x l w a w t w w f x w w ττττ====⎧-=,>⎪|=,|=,,⎨⎪|=,|=⎩,(IV)的解, 则函数20()()tv x t w x t d ττ,=,,⎰ (4.16)就是混合问题(I 的解. 显然, 定解问题和问题(I 属于同一类型. 可直接用前面的公式(4.12)和(4.14) 求得 II)(IV)I) 1()()sin()sink k k a k w x t B t x l lππτττ∞=,,=-,∑ (4.17) 其中102()()sinlk k B f x xdx k a lπττπ=,⎰. (4.18) 把(4.17)代入(4.16), 就得到201()()sin()sintk k k a k v x t B t d x l lππτττ∞=,=-⋅.∑⎰ (4.19) 再次利用前面的公式(4.12)和(4.14), 便可得到混合问题(4.15) 的解:12112101()()()()(cossin )sin ()sin ()sin ()[()()]k k k t k k u x t v x t v x t U x t k a k a k A t B t x l l l k a k x B t xd t t l l l πππππτττμμ∞=∞=,=,+,+,=++-++∑∑⎰t μ-,(4.20)其中1010102()sin ,2()sin 2()()sin .l k l k l k k A x xdx l lk B x xd k a l k x B f x xdx k a l πϕπψππττπ⎧=⎪⎪⎪=,⎨⎪⎪=,⎪⎩⎰⎰⎰ 不难证明, 当函数111()()()x x f x t ϕψ,,,具有一定的光滑性和满足某些相容性条件(试写出这些条件的具体形式)时, 则由(4.20)定义的函数(u x t ),就是混合问题(4.15)的解. 注 利用§1的注, 对具有如下形式的边界条件： (1) 012()()x x x x l u t u t μμ==|=,|=;(2) 10122()()()()x x x x l u u t u u t αμαμ==-|=,-|=;等等，我们也可以用分离变量法求解.43 一般的特征值问题*.. 为了用分离变量法求解更一般的双曲型方程的混合问题，我们通常需要考虑如下含参数λ的二阶线性常微分方程[()()][()()]()0dp x X x x q x X x dxλρ'+-=, (4.21) 具有边界条件1122(0)(0)0()()0X X X l X l αβαβ'-=,⎧⎨'+=⎩ (4.22) 的边值问题，即Sturm-Liouville 问题. 其中(12)i i i αβ,=,为常数，且. 2201i i i αβ+≠,=,2 对于Sturm-Liouville 问题(4.21), (4.22), 我们有以下结论：定理 4.12 假设1()([0])()()([0])p x C l x q x C l ρ∈,,,∈,, 且存在正常数00p ρ,使得000()0q x ()0()p x p x ρρ≥>,≥≥>,. 则 Sturm-Liouville 问题(4.21), (4.22)具有如下性质：() 存在可数个特征值i 12λλ,,, 使得12lim k k k λλλλ→∞<<<<,=∞ ,且与特征值k λ相对应的特征函数()k X x 可以这样选取, 使得20()()1lk x X x dx ρ=,⎰(4.23)称满足条件(4.23)的特征函数是正规的.( 对应不同特征值的特征函数在权函数为)ii ()x ρ的加权2([0])L l ,空间是正交的， 即满足等式()()()0li j x X x X x dx i j ρ=,≠;⎰(4.24)( 假设)iii 001i i i 2αβ≥,≥,=,, 则所有特征值0k λ≥, 特别当在[0上不恒为零，或()q x ]l ,120αα+>时，所有特征值0k λ>;( 任何函数)iv 2()[0]f x L l ∈,均可按特征函数系{()k }X x 展开为如下广义Fourier 级数：1()()n n n f x c X ∞=x =,∑ (4.25)其中()()()12ln n c x f x X x dx n ρ=,=,,.⎰此外，(4.25)中的等号在中成立，即 2[0]L l ,21[0]lim ()()0kn n k n L l f x c X x →∞=,-=,∑其中 ()1222[0]0()lL l f f x dx ,||||=.⎰这个定理非常重要，是整个分离变量法的理论基础，在这里我们只证明 , 两条性质，至于性质, , 由于证明比较复杂，这里省略. 有兴趣的读者可参看文献[9]. ()ii ()iii ()i ()iv 证 设()ii i λ与j λ是两个不同的特征值, ()i X x 与()j X x 是对应的特征函数，即[()()][()()]()0[()()][()()]()0i i i j j jdp x x x q x X x X dxd p x x x q x X x X dxλρλρ⎧+-='⎪⎪⎨⎪,+-='⎪⎩.将第一式乘以()j X x , 第二式乘以()i X x , 然后相减, 得 ()[()()]()[()()]()()()()0i j j i i j i d dX x p x x X x p x x x X x X x X X dx dxλλρ-+-''j =, 即()()()()[()(()()()())]0i j i j i j j i dx X x X x p x X x x x X x X X dxλλρ-+-''=. 上式关于x 从 0 到积分, 得到 l{}()()()()()()()()()llj i i j i j i j x X x X x dx p x x X x X x x X X λλρ⎡⎤-=-'',⎣⎦⎰由边界条件(4.22)知1111(0)(0)0(0)(0)0i i j j X X X X αβαβ-=,⎧'⎨-=.'⎩ 由于11αβ,不同时为零，所以上面关于11αβ,的线性齐次代数方程的系数行列式等于零，即(0)(0)(0)(0)0j i i j X X X X -=.''完全类似地可得()()()()0j i i j X l l X l l X X -=.''由此可得{}0()()()()()0lijijp x X x X x X x x X ⎡⎤-|=.'⎣⎦ 从而()()()()0li j i j x X x X x dx λλρ-=,⎰因为i j λλ≠, 所以()()()0li j x X x X x dx i j ρ=,≠.⎰证 方程(4.21)两边同乘以()iii ()k X x , 积分并利用(4.23), 得0[()()]()()()lk k d k k p x x q x X x X x dx X dx λ⎛⎫=--.' ⎝⎭⎰⎪ (4.26)对等式(4.26)右端第一项进行分部积分, 得2200[()()()()][()()()]ll k k k k k p x x q x X x dx p x X x x X X λ=+-|,''⎰ (4.27)另一方面，由边界条件(4.22)，得2211112222221(0)(0)[(0)(0)]1()()[()()]k k kk k k kk X X X X X l l X l l X X αβαβαβαβ⎧=+,''⎪+⎪⎨-⎪=+,''⎪+⎩从而22120112222121122[()()()](0)(0)()()(0)(0)()()l k k k k k k p x X x x p p l l X X X p X p l X l ββαβαβαααβαβ-|=+''++++++',2) (4.28)由已知条件0()0()000(1i i p x p q x i αβ≥>,≥,≥,≥=,及(4.27), (4.28)立得0k λ≥. 而0k λ=当且仅当在[0上]l ,()0q x ≡且2121122()0[0],(0)(0)()()0k k k x x l X p X p l X l αααβαβ≡,∈,'⎧⎪⎨2+=,⎪++⎩ (4.29) 由(4.29)知, 而()()k X x C ≡常数120αα+>表明与(0)k X ()k X l 中至少有一个为零，从而. 即, 这表明当0C =()0k X x ≡0k λ=时，边值问题(4.21), (4.22)只有零解，故0k λ= 不是特征值，从而所有特征值都是正数.注1 从性质(可以知道，当且仅当在[0)iii ]l ,上()0q x ≡且120αα==时，0λ=才是Sturm-Liouville 问题(4.21), (4.22)的特征值；也就是说只有当(4.21), (4.22)是第二边界条件时，0λ=才是特征值，相应的特征函数()1X x λ= (如不计常数因子). 在具体寻找所有特征值和特征函数时，这一点一定要倍加小心.注2 性质告诉我们这样一个重要事实: 即全体特征函数{(()iv )}k X x 组成了 空间的一组完备正交基.2[0]L l , 当然定理4.12只是定性地揭示了特征值问题的一些内在特征，至于怎样求出全体特征值和特征函数的具体形式，还必须通过解边值问题(4.22)来得到. 下面我们以非均匀弦振动方程的混合问题为例加以说明.例1 考虑双曲型方程的混合问题()(())()tt x x u p x u q x xρu ∂=-∂, (4.30) 其中函数1()()([0])()([0])x q x C l p x C l ,∈,,∈,000()0()0x p x p q x ρ(), 并且ρρ≥>,≥>,≥.初始条件为00()()t t t u x u x ϕψ==|=,|=, (4.31)边界条件为1122(0)(0)0()()0x x u t u t u l t u l t αβαβ,-,=⎧⎨,,+,=⎩,(4.32) 其中00i , 且.22120(12)0i i i αβαα+≠,=,,+>i αβ≥≥, 解 按照分离变量法求解的步骤，首先求满足方程(4.30)和边界条件(4.32)的形如()()()u x t X x T t ,= (4.33)的非平凡解. 我们把(4.33)代入方程(4.30)，得[()()]()()()()()()dp x X x q x X x T t dx x X x T t ρ'-''=. (4.34)等式(4.34)两边各依赖着不同的变量，所以只有在它们等于同一个常数值时才可能相等， 我们用λ-表示这个常数，于是从(4.34)就得到两个常微分方程 [()()][()()]()0dp x X x x q x X x dxλρ'+-=, (4.35)()()0T t T t λ''+=. (4.36)为了得到解(4.33), 我们可通过解这两个常微分方程定出函数()X x 和. 由边界条件(4.32)得 ()T t1122(0)(0)0()()0X X X l X l αβαβ''-=,+=, (4.37)于是我们需要求解如下特征值问题:1122[()()][()()]()0(0)(0)0()()0.dp x X x x q x X x dx X X X l X l λραβαβ⎧'+-=⎪⎪'-=⎨⎪'+=⎪⎩，, (4.38) 由定理4.12知，特征值问题(4.38)存在无穷多个特征值12k λλλ<<<< , 且每个0k λ>. 设相应的特征函数为()k X x .对于常微分方程(4.36), 当(0)k λλ=>时它的通解为()k k k T t A B =+,其中都是任意常数，于是由(4.33)知，对每一个, 函数 k A B ,k k()()()()()k k k k k k u x t X x T t A B X x ,==+都是方程(4.30)满足边界条件(4.32)的解. 为了满足初始条件(4.31), 我们作级数1()()()k k k k u x t A B X x ∞=,=+,∑ (4.39)使得01()()t k k u x A X ϕ∞==k x |==∑, (4.40)01()()t t k k k u x B ψ∞==x |==∑. (4.41)假定级数(4.40)和(4.41)都一致收敛，则在它们的两端同乘以 ()()k x X x ρ, 并且从0到l对x 积分，利用定理4.12得到00()()()()()()l k k lk k A x x X x dx B x x X x dx ρϕρψ⎧=,⎪⎪⎨=.⎪⎪⎩⎰⎰ 若将系数和k A k B 的值代入级数(4.39), 所得的级数以及它对x 和微分两次后所得到的级数都一致收敛，则它就是混合问题(4.30)-(4.32)的解.t 4.4. 二维波动方程的混合问题在这一节, 我们将以薄膜的振动问题为例, 介绍用分离变量法求解二维波动方程的混合问题.考察均匀薄膜的自由振动, 假设它的固定边界是边长为p 和的矩形, 且振动是微小的. 这个问题可归结为求波动方程 q2()tt xx yy u a u u 0-+=,y (4.42)满足初始条件00()()t t t u x y u x ϕψ==|=,,|=,, (4.43)及边界条件000000x x p y y q u u u u ====|=,|=,⎧⎨|=,|=⎩ (4.44) 的解.为了用分离变量法求解混合问题(4.42)-(4.44), 我们先求方程(4.42)满足边界条件(4.44)的具有如下变量分离形式的解:()()(u x y t T t v x y ),,=,. (4.45)将(4.45)代入方程(4.42), 得2()()()xx yyv v T t a T t v x y μ+''==-,,其中μ为常数(为什么？). 于是得到 2()()0T t a T t μ''+= (4.46)及0xx yy v v v μ++=,0 (4.47)此时边界条件(4.44)变为00000x x p y y q v v v v ====|=,|=,⎧⎨|=,|=.⎩ (4.48) 现在来求问题(4.47), (4.48)的特征值和特征函数, 为此, 将(4.47) 再进行变量分离, 令()()()v x y X x Y y ,=, (4.49)将(4.49)代入方程(4.47), 得()()()()X x Y y X x Y y μλ''''-=+=, 其中λ为常数(为什么？). 由此得到两个常微分方程()()0,()()()0.X x X x Y y Y y λμλ''+=⎧⎨''+-=⎩ (4.50) 由(4.49)可知，边界条件(4.48)变为(0)0()0(0)0()0X X p Y Y q =,=⎧⎨,=,=.⎩ (4.51) 由此我们得到两个特征值问题: ()()0(0)0()0X x X x X X p λ''+=,⎧⎨=,=⎩(4.52) 和()()()0(0)0()0Y y Y y Y Y q μλ''+-=⎧⎨=,=.⎩,(4.53) 它们的特征值分别为()212m pm πλ=,=,, , ()212n qn πμλ-=,=,, , 对应的特征函数为()sin()sin 12m n m x n yX x Y y m n p qππ=,=,,=,, . (4.54) 由此可见(4.47), (4.48)的特征值为222222(m nm n k)p qμπ,==+, (4.55)对应的特征函数为()sinsin m n m x n y v x y p qππ,,=. (4.56) 关于方程(4.46), 我们知道对每一个特征值2m n k μ,=, 它的通解具有形式()cos sin m n m n m n m n m n T t A ak t B ak t ,,,,,=+, (4.57)其中m n A ,和m n B ,都是任意常数.最后由(4.45), (4.56)和(4.57)知, 方程(4.42)满足边界条件(4.44)的解具有形式()(cos sin )sinsin 12m n m n m n m n m n m x n yu x y t A ak t B ak t m n p qππ,,,,,,,=+,,=,,. 为了使它们满足初始条件(4.43), 作级数11()()(cos sin )sinsin .m nm n m n m n m n m n m n u x y t u x y t m x n yA ak tB ak t p qππ∞,,=∞,,,,,=,,=,,=+∑∑(4.58)为了简单起见, 如果我们在(4.54)中取()12m m xX x m pπ=,=,, ,()12n n y Y y n qπ=,=,,, 且在(4.56)中取()sin 12m n m x n y V x y m n p q ππ,,=,,=,, ,) (4.59)则定义的特征函数构成空间中的正规正交函数系, 即 (459).(m n V x y ,,2L00()()1pqm nm n m m n n V x y V x y dydx m m n n '',,'',≠,≠,⎧,,=⎨'',=,=.⎩⎰⎰当当当且如果级数(4.58)及它对x y ,和t 的二次逐项微分所得的级数都是一致收敛的, 则其和函数显然满足方程(4.42)及边界条件(4.44). 为了满足初始条件(4.43), 必须使11()sin sin ()sin sin m n m n m n m nm n m x n y x y A p q m x n y x y ak B .p q ππϕππψ∞,,=∞,,,=⎧,=⎪⎪⎨⎪,=⎪⎩∑∑ (4.60) 公式(4.60)表示已知函数()x y ϕ, 和()x y ψ,是依二重Fourier 正弦级数展开式, 其中系数m n A ,和m n B ,由下式确定00004()sin sin 4()sin sin p q m n p q m n m n m x n y A x y dyd pq p q m x n y .x B x y dydx ak pq p q ππϕππψ,,,⎧=,⎪⎪⎨⎪=,⎪⎩⎰⎰⎰⎰, (4.61) 将(4.61)确定的系数代入级数(4.58), 就得到混合问题(4.42)-(4.44)的解. 4.5. 物理意义，驻波法分离变量法有明显的物理意义，现在我们以两端固定的一维弦振动为例来加以说明. 把级数(4.12)的每一项(即对应于某一特征值n λ的变量分离形式的特解)改写为：()(12)n u x t n ,=,,()sin sin n n n x n at u x t M l l ππn ϕ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,=+,其中arctan n nA n nB M ϕ==. 为振动元素，对于弦上任一点(n u x t ,)x , 它描述了这一点所作的简谐振动，其中振幅为sin n xn n l a M π=,频率n an l πω==, 初位相为n ϕ. 就整个弦来说，振动元素当()n u x t ,10l n nn x l l -=,,,, 时，振幅, 而当0n a =3x 21222ll n nn n l -=,,, 时，振幅a 达到最大，弦的这种形式的运动称为驻波. 因此，在物理上亦把分离变量法称为驻波法，即把弦的振动看作一系列具有特定频率的驻波的叠加. n M =±n。

1 2 2

1 4

1 t


1 2
,


f t f 2 3 a2 a 3 1 a 3
min
4
4
2
2
策略二：主次元变换法
案例 1、设函数 f (x) xekx (k 0)（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）
max
只需 t ≥ g (1) 即可，即 t ≥5. 即 t 的取值范围是[5，∞）.
利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体
现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。
案例
6、已知函数
f
x

lg

x

a x

2

，若对任意
x 2, 恒有

3 x2

1 x3
令
g x

3 x2

1 x3
，则
g' x

31 2x
x4
，
所以 g x
在区间

0,
1 2

上单调递增，在区间

1 2
,1
上单调递减，
因此
g x max

g

1 2

4 ，从而 a

4；
当1
x

0 时，
f
(x)

ax3
案例 3、设 a R ，若函数 y eax 3x ， x R 有大于零的极值点，则（
）
A． a 3

数学解题中的一种常用技巧——分离法牛崇璧　(甘肃省陇西县文峰中学　748000) 在解含参数的方程,不等式或某些有两个以上变量的数学问题时,常将参数与变量,变量与变量,或具有不同性质的量分离于等式或不等式的两边,通过确定一边的变化范围(或性质),推知另一边的相应范围(或性质)的方法叫做分离变量法.对某些数学问题,通过“分离”处理,可降低难度,简化解题过程.例1　已知关于x 的方程sin 2x +cos x +p =0有解,求p 的取值范围.分析　该三角方程含有参数p ,直接讨论比较繁,如果把x 、p 分离,则问题转化为求简单的三角函数值域问题.解　p =-sin 2x -cos x (分离x ,p )=co s 2x -co s x -1=(cos x -12)2-54.∵-54≤(co s x -12)2-54≤1,∴-54≤p ≤1.因此p 的取值范围是〔-54,1〕.例2　要使等式m sin T -3m co s T +6=0成立,求m 的取值范围.解　m =0等式显然不成立,∴m ≠0,已知等式变形sin T -3cos T =-6m.∴sin (T -π3)=-3m.由|sin (T -π3)|≤1得|-3m |≤1解得m ≤-3或m ≥3.因此m 的取值范围是(-∞,-3〕∪〔3,+∞).例3　设a ≥0,在复数集C 中解方程z 2+2|z |=a .(1990年全国高考试题)解　由z 2+2|z |=a 得z 2=a -2|z |,∵a -2|z |∈R,∴z 2∈R,故z 为实数或纯虚数.(1)若z 为实数,方程可化为|z |2+2|z |-a =0,(a ≥0).∴|z |=-1±1+a (舍去负根)∴z =-1+1+a .(2)若z 为纯虚数,可设z =yi (y ∈R 且y ≠0).原方程化为-y 2+2|y |-a =0.∴|y |2-2|y |+a =0.当△=4-4a ≥0,即0≤a ≤1时,|y |=1±1-a .∴y =1±1-a 或y =-1±1-a .∴a =0时,z =2i 或z =-2i ;当0<a ≤1时,z =(1±1-a )i 或z =(-1±1-a )i ;当a >1时,方程无纯虚根.例4　设对所有实数x ,不等式x 2log 24(a +1)a+2x log 22a a +1+log 2(a +1)24a 2>0恒成立,求a 的取值范围.(1987年全国高考试题)解　原不等式化为(x 2-2x +2)log 2a +1a>-(2x 2+2x -2).∵x 2-2x +2>0,∴log 2a +1a >-2x 2+2x -2x 2-2x +2.设M =-2x 2+2x -2x 2-2x +2,由判别式法可求得M max = 1.∴log 2a +1a >1,即a +1a> 2.解得0<a <1,∴a ∈(0,1).通过以上几例可看到,运用分离法来解含参数的方程或不等式问题时,可避开繁琐22 数学教学研究 1997年第3期的分类讨论,方法简捷,又有一定的规律可循.是一种十分有效的解题方法.充分、必要、充要条件的集合判别法陈德英　(湖南省澧县教师进修学校　415500) 学生对于充分、必要、充要条件极易混淆。

高中数学分离参数法详解高中数学中，分离参数法是解决一类同参数的关系式的常用方法。

这类问题往往给出了几个参数之间的关系，需要求解其中一个参数或者确定参数的取值范围。

下面我们详细介绍一下高中数学中的分离参数法以及相关的解题思路。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设已知实数a，b，c满足方程组：ax + by = 1bx + cy = 2我们需要求解a，b，c的值。

这时候，我们可以使用分离参数法来解决这个问题。

首先，我们可以将第一个方程变形，得到：ax = 1 - by然后，我们将第二个方程中的x替换为ax，得到：bax + cy = 2接下来，我们将b的系数移到右边，得到：c = 2 - bax现在，我们得到了c关于a和b的表达式。

我们知道，在两个不同的方程中，同一个未知数的系数所对应的值是相同的。

所以我们可以令左边的c等于右边的c，即：1 - by =2 - bax现在，我们可以得到一个关于x和y的方程。

我们可以通过这个方程来求解x和y的值。

通过上面的例子，我们可以看出，分离参数法的主要思路是通过变形和等式的设定，将参数从方程中分离出来。

然后再通过这些参数的关系来求解问题。

下面，我们来看一个稍微复杂一点的例子：已知实数a满足方程：(x-1)(x-2)(x-3)+a=0我们需要求解a的取值范围。

首先，我们可以将方程展开得到：x^3-6x^2+11x-a+6=0然后，我们设另一个变量t，使得方程右边等于t：x^3-6x^2+11x-a+6=t接下来，我们考虑当t等于0时，方程x^3-6x^2+11x-a+6=t的解。

这时候，方程化为：x^3-6x^2+11x-a+6=0我们可以发现，这其实是一个关于x的三次方程。

由代数基本定理可知，这个方程存在三个根。

所以，我们可以通过三次方程的根的性质，来确定a的取值范围。

根据三次方程的性质，我们知道，三次方程的根满足以下关系：x1+x2+x3=6x1x2+x1x3+x2x3=11x1x2x3=a-6由于a是一个实数，所以根的乘积x1x2x3也是一个实数。

，
作关于 是的函数 ， 求得函数值域是 ｛ ｆ≤是 １ ｝因此所 是 ≤ １ ， ３ 求 的范围是 ｋ 或 志 １． ＜３ ＞ １
４ ６
丧 ｇ一）２ ｌｎ１ ７ 。 ＋＜ ， （
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解 题方 法与技 巧 ｝ ＮⅪ Ｅ Ｊ ＩＵ ＾ ＾ ＺＯＧ Ｊ Ｉ） Ｅ Ｃ ０ Ｉ Ａｘ
＋
＋ ＋ ＞ １ａ１ ＿ 一 大 １ 自 … ｇ一）詈 切 于 的 然 。 ＋＿ （ 对
数 都恒成立 ？如果存在 ｎ 试确定 。的取值范 围， ， 否则
说 明原 因．
分析 ： 把方程［ ） 一２ 。 一２ （ ］ ～ｎ —０变形 为 ＆ ＝
［÷） －２ －２由题意知， 的范围即求函数日 （ ］ ， 求 ＝
会化 难 为 易 ， 繁 为 简 ， 面举 例 说 明． 化 下
一
６ ，不 等 式 ±
『 ｆ ｎ
二 ≥ 愚 恒 成 立
，
因 此
（
设 一
棚 求
函数 ＝ ±鱼。
的最小值
．
、
在 方程 中的 应 用
・
．
一
６＞ １ １ ￣ ２ Ｉ．
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【 １ 如果关于 的方程 ［ ） 一２ ２ ａ ２ 例 】 （ ￣－ －
［ ） ２ ２０值 ．ｏ（） １． （ ］ ＝的 域・＜吉 ≤ ｎ 专Ｉ２ 一－ ． ∈ 。
［ ，］ 选 Ｄ 一１ ２． ． 【 ２ 若 方程 ４ 一３ ） 一３ （ 例 】 （ ｘ ＋是 —０ ∈［ ，］ ０ １） 没有实数根 ， 是的取值范 围． 求
分 ：＿） ｌ ＋ … 析 厂 一＿ 记（ ＋ ； ＋ （ ， ｚ 南＋ ∈

高中数学分离常数法详解分离常数法是高中数学中常见的一种解题方法，特别适用于解决一元二次方程的种种情况。

它的基本思想是将一元二次方程中的各项系数与变量项相分离，通过变换化简方程，以便更容易求解。

下面将详细介绍分离常数法的步骤和应用示例。

首先，我们来看一个一元二次方程的示例：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，x为未知数。

要使用分离常数法解这个方程，我们需要按照以下步骤进行操作。

第一步，将方程化简为完全平方形式。

如果方程无法直接化简为完全平方形式，我们可以通过配方法将其转化为(a'x + b')^2 = d'的形式。

这一步的关键是找到一个常数d'，使原方程左边成为一个完全平方。

第二步，将方程两边进行开方运算。

开方后得到的是两个形如(a'x + b') = sqrt(d')的方程。

第三步，根据开方后得到的两个方程，分别解出x的值。

由于开方后得到的方程是一元一次方程，所以可以直接通过求解这两个方程得到x的值。

第四步，检验解的可行性并给出最终的解。

将解代入原方程，验证是否成立。

如果成立，则可以确定解为正确答案；如果不成立，则需要重新检查求解过程。

分离常数法在解决一元二次方程时非常实用，尤其对于较为复杂的方程，通过适当的化简和转化，可以简化求解过程，使得解题更加高效。

综上所述，分离常数法是解决高中数学中一元二次方程的一种有效方法。

通过将各项系数与变量项分离，化简方程，然后进行开方和求解，最终得到方程的解。

通过反复练习和掌握分离常数法的技巧，高中数学学生可以更加熟练地解决各种类型的一元二次方程问题。

分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1不等式()()f x g a 恒成立min()()f x g a （求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a 恒成立max()()f x g a （求解()f x 的最大值）.定理2不等式()()f x g a 存在解max()()f x g a （求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a 存在解min()()f x g a （即求解()f x 的最小值）.定理3方程()()f x g a 有解()g a 的范围()f x 的值域（求解()f x 的值域）.解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a 的取值范围。

2、若f(x)=233x x 在[1,4]x 上有()21f x x a 恒成立，求a 的取值范围。

3、若f(x)=233x x 在[1,4]x 上有2()251f x x aa 恒成立，求a 的取值范围。