《数学物理方法》第十一章分离变量法

分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。

它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。

思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。

常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。

分离变量法在物理学中的应用分离变量法是一种常用的数学方法，它在物理学中有着广泛的应用。

本文将从介绍分离变量法的基本原理开始，然后探讨它在物理学中的具体应用，包括热传导方程、波动方程、量子力学中的薛定谔方程等。

一、分离变量法的基本原理分离变量法是一种将多元函数分解成单元函数之积的方法。

它的基本思想是：将多元函数中的各个变量分开考虑，然后通过假设变量之间的关系，将多元函数分解成单元函数之积的形式。

例如，对于一个二元函数f(x,y)，我们可以假设它可以写成f(x,y)=g(x)h(y)的形式，其中g(x)和h(y)分别是只含有一个变量的函数。

通过这样的假设，我们可以将二元函数分解成两个关于单一变量的函数，从而使得原本较为复杂的问题简化为一系列独立的单元问题。

二、分离变量法在热传导方程中的应用热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。

它在很多领域都有着广泛的应用，例如热力学、材料科学等。

对于一维情况下的热传导方程，它可以写成以下形式：u/t=ku/x其中u(x,t)表示物体内部在时刻t、位置x处的温度，k为热传导系数。

为了求解这个方程，我们可以采用分离变量法。

假设u(x,t)可以表示成u(x,t)=X(x)T(t)的形式，代入热传导方程中，得到： X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)两边同时除以X(x)T(t)，得到：T'(t)/T(t)=kX''(x)/X(x)左边只依赖于t，右边只依赖于x，因此它们必须相等。

于是我们得到了两个独立的方程：T'(t)/T(t)=λ，X''(x)/X(x)=λ/k其中λ为常数。

对于第一个方程，它可以直接求解得到T(t)=Ce^λt，其中C为常数。

对于第二个方程，它是一个关于X(x)的常微分方程，可以通过求解得到X(x)=Asin(√(λ/k)x)+Bcos(√(λ/k)x)，其中A和B为常数。

<<电磁场与电磁波>>读书报告姓 名：学 院： 学 号：专 业：题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩：二〇一四年四月Xxx工程学院电子工程类一．引言分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。

在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。

分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。

而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。

求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。

这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。

这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。

二．内容1.分离变量法的特点：分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。

它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。

我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法.2.推导过程:直角坐标系中的拉普拉斯方程：2222220 x y zϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂我们假设是三个函数的乘积,即(,,)()()()x y z X x Y y Z z ϕ=其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得0X Y Z X Y Z''''''++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。

由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则当α2<0时，令α=jk x(k x为正实数)，则或当α2>0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。

数学物理方程中的分离变量法作者：王晶来源：《中国校外教育·高教(下旬)》2014年第04期分离变量法是数学物理方程中求解有限域上的初边值问题的主要方法。

本文首先给出了分离变量法的思想，进一步讨论了不同类型的初边值问题的求解。

通过举例说明加深了我们对分离变量法的理解。

分离变量法数学物理方程初边值问题一、引言数学物理方程是研究物理学以及其他自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程的学科，它是具有广泛应用背景的一门数学基础理论课程，不论从事基础研究，还是工程技术开发工作都离不开它。

客观世界的复杂性，导致描述关系的数学方程的复杂性，使这些偏微分方程都含有较多的自变量，其求解相当复杂。

如何简化求解方法，成为求解数理方程的一个重要方面。

分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍的重要方法。

该方法可将偏微分方程分离为常微分方程使得一些偏微分方程变得可解。

先求数学物理方程通解的办法只适用于极少数的某些定解问题，而分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的有限域上的初边值问题\[1-2\]。

文中所用记号和术语均来自\[3\].二、分离变量法求解数学物理方程的思想分离变量法的提出是受“驻波”问题的启示，“驻波”是振动现象中的一种常见形式。

描述“驻波”的偏微分方程，可表示为变量分离状态的形式。

虽然我们是从驻波引出解题的线索，其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的关系。

简单说来，分离变量法就是利用方程与边界条件的线性性质和齐次性质，首先把偏微分方程分离为常微分方程，找到满足方程和边界条件的特解，然后将这些特解线性叠加，使其满足初始条件，方程则解出。

三、分离变量法求解数学物理方程的应用（一）求解带有齐次边界条件的齐次方程的初边值问题(举例说明)研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：（二）分离变量法求解带有齐次边界条件的非齐次方程的初边值问题首先根据叠加原理将初边值问题分解为两个初边值问题，一个是带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题，求解方法见3.1。

数学物理方法分离变量法分离变量法是数学物理中常用的一种解微分方程的方法，它适用于一些特定形式的偏微分方程，能够将原方程分解成一系列简单的常微分方程，从而求得方程的解。

在物理学中，分离变量法常常用于描述热传导、波动、量子力学等问题的求解。

本文将介绍分离变量法的基本思想和应用，以及一些实际问题中的案例分析。

首先，我们来看一般形式的偏微分方程：\[F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},...) = 0\]其中，\(u = u(x,y)\) 是未知函数，\(F\) 是关于 \(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},...\) 的已知函数。

我们的目标是求解这个偏微分方程，找到满足条件的 \(u\) 函数。

分离变量法的基本思想是假设未知函数 \(u(x,y)\) 可以表示为两个独立变量 \(x\) 和 \(y\) 的乘积形式，即 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)。

将这个形式代入原方程中，然后通过变量分离的方法，将方程化为两个关于 \(x\) 和 \(y\) 的常微分方程。

最后再对这两个方程分别进行积分，得到原偏微分方程的解。

下面我们通过一个具体的例子来说明分离变量法的应用。

考虑二维热传导方程：\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)\]其中，\(u(x,y,t)\) 表示温度分布，\(k\) 是热传导系数。

分离变量法步骤
“同学们，今天咱们来好好讲讲分离变量法步骤。

”我站在讲台上对学生们说道。

那什么是分离变量法呢？简单来说，就是把一个偏微分方程分解成几个常微分方程来求解。

下面我具体给大家讲讲步骤。

第一步，要确定方程的类型。

比如说，对于一个波动方程或者热传导方程等，这些常见的偏微分方程都可以考虑用分离变量法。

就拿最简单的一维热传导方程来举例吧，比如 u_t = a^2 u_xx。

第二步，假设解的形式。

这一步很关键哦，我们假设解可以表示成两个函数的乘积，一个只与变量 x 有关，一个只与变量 t 有关，即 u(x,t) =
X(x)T(t)。

第三步，把假设的解代入到原方程中。

这样就会得到一个关于 X 和 T 的等式。

然后通过一些运算和化简，把它分成两个只含有一个变量的常微分方程。

第四步，求解这些常微分方程。

这可能需要用到一些常微分方程的求解方法和技巧。

第五步，根据边界条件和初始条件确定解中的常数。

这个也非常重要，只有满足这些条件的解才是我们真正需要的解。

比如说，有一个两端固定的均匀细杆的热传导问题，杆长为 L，初始温度分布已知。

我们就可以用分离变量法来求解这个问题。

通过前面几步得到一系列的解，再根据边界条件确定出具体的解。

同学们，分离变量法是一种非常重要和常用的方法，在很多物理问题、工程问题中都有广泛的应用。

大家一定要好好掌握。

以后遇到类似的问题，就可以试着用这种方法去求解，相信你们会发现它的神奇之处的。

好了，今天就讲到这里，大家要是有什么不明白的地方随时问我。