数学物理方法分离变量法(1)

第八章分离变量法_数学物理方法分离变量法是数学物理方法中的一种重要技术，通常用于求解偏微分方程。

在这一方法中，我们将多元函数表示为一系列单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。

接下来，我将详细介绍分离变量法的思想和应用。

1.分离变量法的思想当我们面对一个多元偏微分方程时，通常很难找到它的解析解。

分离变量法的思想就是将多元函数表示为单变量函数的乘积形式，然后将其代入到偏微分方程中，从而将多元偏微分方程转化为一系列常微分方程。

具体来说，设有一个n元函数u(x1, x2, ..., xn)，我们希望将其表示为n个单变量函数的乘积形式u(x1, x2, ..., xn) =u1(x1)u2(x2)...un(xn)。

代入偏微分方程后，我们可以得到一系列等式，将等式两边同时除以对应的单变量函数后，得到n个只依赖于一个变量的常微分方程。

然后我们可以分别求解这些常微分方程，得到对应的单变量函数的解析解。

2.分离变量法的应用分离变量法在物理学中有广泛的应用，特别是在描述传热、传质、波动等现象的偏微分方程的求解中。

以下是几个典型的例子：(1)热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。

假设物体的温度分布函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。

热传导方程可以写成如下形式：∂u/∂t=a²∇²u其中a是热传导系数。

我们可以将温度分布函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入热传导方程，得到两个常微分方程X''/X=T'/a²T。

分别解这两个方程，可以得到温度分布函数的解析解。

(2)线性波动方程线性波动方程是描述波动现象的方程。

假设波动函数为u(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。

∂²u/∂t²=v²∇²u其中v是波速。

我们可以将波动函数表示为u(x,t)=X(x)T(t)，然后代入线性波动方程，得到两个常微分方程X''/X=v²T''/T。

数学物理方程的分离变量法及其应用数学物理方程是研究自然现象的基础，其中热传导方程、波动方程和电动力学方程是最为常见的。

为了解决这些方程的求解问题，数学家们提出了许多方法，其中分离变量法是一种常用的解法之一。

分离变量法是指将多元函数的变量分离，使得原方程可以化为若干个单元函数的乘积形式，从而可以通过对单元函数的研究来获得原方程的解。

这种方法适用于线性方程，而且只能用于满足一定边界条件的特定问题。

下面通过几个实例来进一步探讨分离变量法的应用。

1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传导过程。

对于一个平板，其温度分布可以用以下偏微分方程描述：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$其中，$u(x,y,t)$表示平板上某一点的温度，$\alpha$为热传导系数。

为了求解这个方程，我们可以假设温度分布可以表示为两个函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 的乘积形式：$u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$因此，原方程可以改写为$X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha T(t)\left(\frac{d^2X}{dx^2}Y(y) + X(x)\frac{d^2Y}{dy^2}\right)$将式子移项，可以得到$\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}$由于左侧只和 $t$ 有关，而右侧只和 $x$ 和 $y$ 有关，因此等式两侧必须都等于一个常数，假设这个常数为 $-k^2$，可以得到以下三个常微分方程：$\frac{dT}{dt} = -\alpha k^2 T(t)$$\frac{d^2X}{dx^2} + k^2X(x) = 0$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k^2Y(y) = 0$分别求解这三个方程，得到$T(t) = e^{-\alpha k^2 t}$$X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$$Y(y) = C\sin(ky) + D\cos(ky)$将这些解组合起来，即可得到原方程的通解：$u(x,y,t) = \sum_{n=1}^\infty (a_n\sin(k_n x) + b_n\cos(k_n x))(c_n\sin(k_n y) + d_n\cos(k_n y)) e^{-\alpha k_n^2 t}$其中，$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是常数，$k_n = \frac{n\pi}{L}$，$L$ 是平板长度。

第二章 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§2⋅1 特征值问题2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。

该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程：,n Ax x x R λ=∈， （1.1）的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型.若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =，或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出.定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题,n Ax x x R λ=∈，则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）.特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤.例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此组基分别展开为11,n ni i i i i i x x T b b T ====∑∑，则Ax b =等价于11n niii ii i x AT b T ===∑∑，或11n ni i ii ii i x T b T λ===∑∑，比较上式两边i T 的系数可得1, 1i i i x b i n λ-=≤≤，12( ... )n x x x x T =便是原问题的解.例 1.2 设0n x R ∈,12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>. 求解非齐次常微分方程组0(), (0)dx Ax f t x x dt=+=， （1.4）其中'''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>.解 类似于上例，将0,,()x x f t 按基{1}i T i n ≤≤分别展开为 0111, , ()()nnni i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑.则（1.4）等价于0111() () +(), (0), 1nn ni i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt=====≤≤∑∑∑，或011() (()()), (0),1nni i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dtλ===+=≤≤∑∑，比较上式两边i T 的系数可得0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤.（1.5） （1.5）是n 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解(),1i x t i n ≤≤的具体表达式.2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题 在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间n R 和n 阶实对称矩阵A ，在这儿要用到线性空间[0,]C l 的某个子空间H 和该子空间上的二阶线性微分算子A . 一般地取2{()[0,]()H X x C l X x =∈在0,x l =满足齐次边界条件}. （1.6）下面我们讨论二阶线性微分算子22d A dx=-的特征值问题. 先取边界条件为(0)0,()0X X l ==，设()X x H ∈是A 的特征函数，即()0X x ≠且满足()()AX x X x λ=.此问题等价于()X x 是下面问题的非零解"()()0, 0(0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（1.7） （1.7）便是二阶线性微分算子22d A dx =-的特征值问题，即要找出所有使得该问题有非零解的λ. 下面求解特征值问题（1.7）.首先证明要使（1.7）具有非零解，λ必须非负.设)(x X 是相应于λ的一个非零解，用)(x X 乘（1.7）中的方程，并在[]l ,0上积分得0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 02 0"=+⎰⎰dx x X dx x X x X llλ，0)())(()()( 02 02'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X lll λ.由于0)()0(==l X X ，故有2'2 0()(())llX x dx X x dx λ=⎰⎰，'22 0(())()0llX x dxX x dx λ=≥⎰⎰. （1.8）当0λ=时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为12()X x c c x =+. 利用边界条件0)()0(==l X X 可得120c c ==，即()0X x =. 因此，0λ=不是特征值.当0λ>时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为x C x C x X λλsin cos )(21+=. （1.9） 利用边界条件0)()0(==l X X 确定常数21,C C 如下10C =, l C l C λλsin cos 021+=,或0sin 2=l C λ.由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故2C 不能为零. 故有0sin =l λ.0>，从而有πλn l = ， 1n ≥,2)(ln n πλ=，1n ≥ .将n C C λ,,21代入到（1.8）中，并略去任意非零常数2C 得x ln x X n πsin)(= ， 1n ≥ .故特征值问题（1.7）的解为2)(ln n πλ= ， x ln x X n πsin )(= ，1n ≥ （1.10）注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为{ sin 1 }n x n lπ≥. 在高等数学中知道，在一定条件下区间[0 , ]l 的任一函数可按特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥展开为Fourier 级数. 换言之，特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥是区间[0 , ]l 上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，而且还是该空间上的一组正交基，即有0sinsin0 , ln m x xdx n m llππ=≠⎰. 特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1有限维空间n R 中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化. 如将边界条件变为(0)0,'()0X X l ==，则特征值和特征函数分别为2(21)(21)(),()sin,022n n n n X x x n llππλ++==≥.该特征函数系(21){ sin1 }2n x n lπ+≥也具有和特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥类似的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm —Liouville 定理，有兴趣的同学可参阅参考文献[1][4]-. 将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 [1],[4] 考虑二阶线性微分算子22d A dx =-的特征值问题"()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （1.11） 其中0,1k m ≤≤. 则该问题的特征值非负，且满足120......n λλλ≤<<<<→∞.相应的特征函数系1{()}n n X x ≥在[0,]l 上是相互正交的. 且对于任一在区间[0,]l 上分段光滑的函数()f x ，可按特征函数系1{()}n n X x ≥展开为如下的Fourier 级数 1()()n n n f x f X x ∞==∑，其中Fourier 系数为2()(), 1()lnn l n f x Xx dxf n X x dx=≥⎰⎰.为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子22d A dx =-带有周期边界条件的特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用()θΦ表示周期函数，即考虑下面 二阶线性微分算子22d A dx=-的周期边值问题"()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩ （1.12） 可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩（1.13） 和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值0≥λ. 当0λ=时，12()c c θθΦ=+, 由周期边界条件可得20c =. 所以0()1θΦ=为特征函数.当0λ>时，方程通解为θλθλθsin cos )(21c c +=Φ,求导得'()c c θΦ=-+.由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c π⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩ 或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c π⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ （1.14）由于要求非零解，故12,c c 不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩阵行列式必为零，即1cos(20π-=. 解之可得2n n =λ，()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值2n n =λ，特征函数有二个，既θn cos ，θn sin . 总结所得结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子22d A d θ=-带有周期边界条件的特征值问题"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩ 则该问题的特征值和特征函数分别为00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ，(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥.§2⋅2 分离变量法本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation ofvariables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解 分四步求解.第一步 导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令)()(),(t T x X t x u =，并代入到齐次方程中得0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T ,或''''2()()()()X x T t X x a T t = .上式左端是x 的函数而右端是t 的函数，要二者相等，只能等于同一常数.令此常数为-λ，则有λ-=)()("x X x X ，"2()()T t a T t λ=- ，上面的第一个方程为0)()("=+x X x X λ .利用齐次边界条件（2.2），并结合0)(≠t T 得0)()0(==l X X .由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：2() , 1 ;n n n lπλ=≥特征函数：()sin , 1 .n n X x x n lπ=≥第二步 正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系{}1()n n X x ≥展成Fourier 级数，并将),(t x u 也用特征函数{}1()n n X x ≥表出.11()()sinn n n n n n x X x x l πϕϕϕ∞∞====∑∑ , （2.4）11()()sinn n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑, （2.5） 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x lπ∞∞====∑∑, （2.6）11(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑ （2.7）这里n ϕ，n ψ和)(t f n 分别为)(x ϕ，)(x ψ和),(t x f 的Fourier 系数，具体表示如下2()sinl n n d l l πϕϕααα=⎰,2()sinl n n d llπψψααα=⎰,2()(,)sinl n n f t f t d llπααα=⎰,而)(t T n 为待定函数.第三步 待定系数法. 即先将),(t x f 和),(t x u 的Fourier 级数代入到（2.1）中，导出关于)(t T n 满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出)(t T n 满足的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得"2"111()()()()()()nn n nn n n n n Tt X x aT t Xx f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑,"2111()()()(())()()nn nnn n n n n n Tt X x aT t X x f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑,"211(()())()()()nn n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑. （2.8）由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端)(x X n 系数得"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥ （2.9）在（2.7）中令0=t 并结合（2.4）得()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑ （2.10）比较（2.10）两端)(x X n 系数得(0), 1.n n T n ϕ=≥ （2.11） 类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥ （2.12） 结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于)(t T n (1)n ≥满足的二阶常系数非齐次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.13） 第四步 求解关于)(t T n 的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中即可.为简单起见，我们设()0,1n f t n =≥. 将n λ代入到（2.13）中可得方程的通解为t la n d t la n c t T n n n ππsincos)(+= ，利用初始条件确定常数,n n c d 如下'(0), (0)n n n n nn a T c T d lπϕψ====.故有()cossin n n n l n an aT t t t l n a lψππϕπ=+.最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为12(,)()sincossinl n n n a n u x t d t x l ll l πππϕααα∞==∑⎰12()sinsinsinln n n an d t x n alllπππψαααπ∞=+∑⎰ (2.14)注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号∑逐项求导. 而通过∑号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献[1]和[2]. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.注2 当(,)0f x t =时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多简单振动(,)()sinn n n u x t T t x lπ=的叠加，当(11)k kl x x k n n==≤≤-时，对任意的时刻t ，(,)0n k u x t =，即(,)n u x t 在振动的过程中有(1)n +个点永远保持不动，所以称这样的振动为驻波,而k x 称为该驻波的节点.显然当21(11)2k x l k n n+=≤≤-时sin 1x =，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间3R 中，每个向量可由基{,,}i j k的线性组合表出，两个向量111222 , a i b j c k a i b j c k αβ=++=++相等当且仅当在基{,,}i j k下两个向量的坐标相等. 既121212 , , a a b b c c ===.与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边()n X x 的系数而得到（2.13）. 与三维空间3R 相比较，例2.1中特征函数系{ sin1 }n x n lπ≥相当于3R中的基{,,}i j k，而{ T () 1 }n t n ≥也就相当于上面的111{,,}a b c ，即定解问题的解关于基函数{ sin1 }n x n lπ≥的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特征函数法也称为待定系数法.例 2.2 设有一均匀细弦，其线密度为ρ. 若0x =端为自由端，x l =端固定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为sin t ω. 求此弦的振动. 解 所求定解问题为21 sin , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2.15）利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即22, 0n a n ωλ≠≥. 该定解问题的特征值问题为"'()()0, 0 (0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ (2.16) 其解为2(21)()2n n lπλ+= ， (21)()cos2n n X x x lπ+= ，0n ≥将1sin t ρω-按特征函数{}0)(≥n n x X 展开成Fourier 级数得11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑ , （2.17)21214()sin sinsin sin 2(21)l n n n f t t d t f t lln ωπααωωρπρ+===+⎰.令0(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑ （2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意0, ()n n T t ≥满足下面问题"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n nn T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.19） 初值问题(2.19)中齐次方程的通解为12()cos sin n T t c c =+，而非齐次方程的一个特解为22()sin nn n f T t t a ωλω=-.因此，（2.19）的通解为1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-. （2.20）由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的()n T t 代入到（2.18）中便得（2.15）的解.情形2 共振问题，即存在某个0,n ≥ 使得22n a ωλ=.不妨假设220a ωλ=. 此时，在情形1中求解所得到的{ T () 1 }n t n ≥不变. 当0n =时，要求解以下问题"2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.21） （2.21）中齐次方程通解为012()cos sin T t c t c t ωω=+.为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为0i t f e ω，而求以下问题的一个特解"2000()(). i t T t T t f e ωω+=令()i t T t Ate ω=并代入到上面非齐次方程中可得 02f i A ω=-，故有00()sin cos 22f t f t T t t it ωωωω=-，取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为00()Im(())cos 2f t T t T t t ωω==-.结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为0012()cos sin cos 2f t T t c t c t t ωωωω=+-，由初始条件确定出 01220, 2f c c ω==，由此可得0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-.将()n T t 代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为0001002112(,)()()()()()()(sin cos )cos()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x lu x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 2(,)u x t 是有界的. 而在1(,)u x t 的表达式中取 2k k t πω=，则1(,)u x t 中的基本波函数cos2x lπ的振幅0()k T t 当k 逐渐变大时将趋于无穷大，最终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率ω等于系统的第一固有频率数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率ω很接近或等于系统的某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题20, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（2.22）解 利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取0(,)sin w x t u x t ω=+，并令w u v -=，则（2.22）转化为20cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩（2.23）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ 特征值和特征函数分别为2(21)()2n n lπλ+= 0≥n ,(21)()sin2n n X x x lπ+= 0≥n .将(,)cos f x t x t ωω=-，0)(u x -=ϕ按特征函数{}0)(≥n n x X 展成Fourier 级数得0cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑ ， (2.24)2(21)()(1)cos sincos 2l n n n f t t d f t llπωαωααω+=-=⎰,其中1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+.00n n n u X ϕ∞=-=∑， (2.25)其中00042(21)()sin2(12)l n u n u d l ln πϕααπ-+=-=+⎰.令0(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑ (2.26)并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得'2"00()()()()cos ()n nn nn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑ ,'2(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑.在（2.26）中令0=t 并结合（2.25）得()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑.比较上面两式中特征函数()n X x 的系数便得'2()()cos , 0(0).n n n n n n T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩ （2.27） （2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为tan n Ce t T λ2)(-=.令()cos sin n T t A t B t ωω=+，并利用待定系数法求特解可得2242242()cos sin n nn n nna f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++,故有22242242()cos sin n a tn nn n nna f f T t Ce t t a a λλωωωωλωλ-=++++ （2.28）在上式中代0t =得2242n nn n a f C a λϕωλ=++,2242n nn na f C a λϕωλ=-+ .最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑ .故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中)(t T n 由（2.28）给出.2．2.3 平面上位势方程边值问题 考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设0)()(21==x f x f 或0)()(21==y g y g . 否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于x 具有齐次边界条件，而另一个关于y 具有齐次边界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题0, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩（2.30）解 令)()(),(y Y x X y x u =并将其代入到（2.29）中齐次方程得0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X ,"()()0, 0 2(0)0, (2)0.X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩ （2.31）0)()("=-y Y y Y λ （2.32） （2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为2)2(πλn n =， x n x X n 2sin )(π=， 1≥n .将n λ代入到（2.32）中得0)()("=-y Y y Y n λ ， （2.33）该方程有两个线性无关解yn e2π，yn e2π-. 由于2n shy π，2n chy π也是（2.33）的解且线性无关，故（2.33）通解为y n chd y n shc y Y n n n 22)(ππ+=.令11(,)()()()sin222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d chy x πππ∞∞====+∑∑ (2.34)则),(y x u 满足（2.30）中方程和关于x 的齐次边界条件. 利用关于y 的边界条件可如下确定n c ，n d ，∑∞==12sin1n n x n d π,))1(1(22sin12220n n n d n d --=⨯=⎰πααπ.（2.35） x n n chd n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin)22()1(πππ,22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn shn chn n sh n n c n nn n -------=. （2.36） 故（2.30）解为1(,)()sin,222n n n n n n u x y c shy d chy x πππ∞==+∑ （2.37）其中n c ，n d 由（2.36）和（2.35）确定.对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，则有θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+.令)()(),(θρθρΦ=R u ，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,22233216(1)164(1)(1)sin,2222n nn n n n n n c shd chd n ππππααααπ----+=-=⎰"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ,故有0)()("=Φ+Φθλθ, （2.38） 0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.39）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而 （2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换s e =ρ可得s e =ρ ， ρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==,2222'''2222211()ss s d Rd R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-. 将以上各式代入到（2.39）得''0ss R R λ-= . （2.40） 例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题22220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩（2.41）的有界解.解 令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，（2.41）转化为2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,)0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩（2.42）令)()(),(θρθρΦ=R u 代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩ （2.43）0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.44） （2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得224)2/(n n n ==ππλ ， θθn n 2sin )(=Φ ， 1≥n .将n λ代入到（2.44）中，并令s e =ρ作自变量变换可得"240ss R n R -=,2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+.由于是求（2.42）的有界解，故有∞<)0(R ，即0=n d . 从而有n n n c R 2)(ρρ=.上面求出的(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ对每个1n ≥都满足（2.42）中的方程和齐次边界条件，由叠加原理得∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ, （2.45）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件(2,)2sin u θθ=得以满足，在（2.45）中令2ρ=得212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑， （2.46）比较上式两边特征函数θθn n 2sin )(=Φ的系数得 112c =， 1)( 0≠=n c n .将1c ，1)(≠n c n 代入到（2.45）中便得（2.42）的解为 θρθρ2sin 21),(2=u .例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题2110, 0, 02 (,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47） 解 圆域上的函数(,)u ρθ相当于关于变量θ具有周期2π. 令)()(),(θρθρΦ=R u 并代入到（2.46）中的方程可得"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩ （2.48）0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.49） （2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为2,()c o s s i n ,n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥. 将n λ代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件(0,)u θ<∞)00)(c R =ρ,n n n c R ρρ=)(，1≥n利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ . （2.50）根据边界条件)(),(θϕθ=a u 得01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑,其中2001()2c d πϕττπ=⎰,⎰=πτττϕπ20cos )(1d n ac nn , ⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n .将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0111(,)()()(()cos cos 2nn u d n d n aππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n . （2.51）注4 利用等式)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ可将（2.51）化为如下形式222221()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰ （2.52）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它.注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项),(θρf 不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献[5]. 在这部著名论著中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤.结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习 题 二 1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题（1） "''()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩（2） "()()0, 1 1 (1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩（3） "()()0, 0'(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（4） "()()0, 02(0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3*考虑下面特征值问题"()()0, 0(0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩（1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.（3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4． 设(),()p x q x 在区间[0,]l 一阶连续可导且()0,()0.p x q x >≥ 考虑如下特征值问题[()()]()()(), 0 (0)0, ()0.d d p x X x q x X x X x x l dx dx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩ （1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.5．求解下列弦振动方程的定解问题（1） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩ （4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx xu a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩ 7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0(,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4(,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩（4） 222222, 1< 4(,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8* 设()x ϕ在区间[0,]l 的Fourier 展开式为1()sin ,k k k xx c lπϕ∞==∑（6.1） 其部分和为1()sin ,nn k k k xS x c l π==∑ 求解或证明以下结果.（1）设()[0,]x C l ϕ∈，求20[()()]ln x S x dx ϕ-⎰.（2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰（6.2） （3）设2()[0,]x C l ϕ∈，()x ϕ的二阶导数的Fourier 展开式为1''()sin,n n n x x d l πϕ∞==∑如果 (0)()0l ϕϕ==，利用分部积分法证明2, 1,n n d An c n =≥ （6.3）其中A 为正常数.（4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间[0,]l 上一致收敛，并且可以逐項求导.9*考虑如下定解问题2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩ （1） 给出该定解问题的物理解释.（2） 当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布(,)u x t 如何？（3） 求极限lim (,)t u x t →+∞. 10*考虑如下定解问题2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩ （1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限lim (,)t u x t →+∞. 11*考虑下面定解问题20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数. 12*考虑下面定解问题(,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （12.1） （1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果()0,()0x x ϕψ==，而(,)sin f x t t =，求解该定解问题.（3）如果(,)0f x t =，证明 0τ∀>，下面等式222200[(,)(,)][()()]llt x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰， （12.2） 成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。