08群论的起源与发展

抽象代数就是近世代数，法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。

他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。

他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。

抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。

抽象代数也是现代计算机理论基础之一。

抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。

法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。

他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。

他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。

抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。

抽象代数也是现代计算机理论基础之一。

编辑本段定义抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。

由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。

抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。

抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

编辑本段创始人及理论被誉为天才数学家的Galois(1811-1832）是近世代数的创始人之一。

数学中的群论与抽象代数数学中的群论与抽象代数是数学领域中重要而广泛研究的分支。

通过群论和抽象代数的概念和方法，我们可以研究各种代数结构，并深入理解数学的抽象本质。

本文将介绍群论和抽象代数的基本概念、应用领域以及相关的重要定理。

一、群论的基本概念群是数学中最基本的代数结构之一。

群由一个非空集合G和一个二元运算*组成，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。

1.封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b∈G。

2.结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。

3.单位元存在性：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。

4.逆元存在性：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。

在群中，我们可以进行乘法运算，通过乘法运算可以定义群元素的多次运算，例如a^n = a*a*...*a (n个a)。

群论的研究主要关注于群的性质及其在代数、几何和物理等领域的应用。

二、抽象代数的基本概念抽象代数是研究代数结构及其性质的数学分支。

在群论的基础上，抽象代数发展了更为广泛的代数结构，如环、域和向量空间等。

1.环：环是一个包含两个二元运算（加法和乘法）的集合R，满足以下条件：R关于加法构成一个阿贝尔群，乘法满足封闭性、结合律和分配律。

2.域：域是一个包含两个二元运算（加法和乘法）的集合F，满足以下条件：F关于加法构成一个阿贝尔群，乘法满足封闭性、结合律、分配律和乘法逆元存在性。

3.向量空间：向量空间是一个包含两个二元运算（加法和数量乘法）的集合V，满足以下条件：V关于加法构成一个阿贝尔群，数量乘法满足封闭性、结合律、单位元存在性和分配律。

通过抽象代数的研究，我们可以将代数结构抽象为符合特定条件的集合和运算规则，从而更好地研究代数结构的普遍性质和规律。

三、群论与抽象代数的应用领域群论和抽象代数在数学领域的应用非常广泛，它们不仅是研究其他学科的基础，而且在密码学、代数几何、物理学等领域也有着重要的应用。

数学学科中的线性代数与群论数学学科由多个分支组成，其中线性代数与群论是两个非常重要的分支。

线性代数与群论对计算机科学、自然科学以及工程学等领域具有广泛的应用。

本文将从简介、基本概念、用途以及发展趋势四个方面对线性代数与群论进行介绍。

一、简介线性代数与群论是数学学科的两个重要分支。

其中，线性代数研究向量空间、矩阵等代数结构，是现代数学基础课之一；而群论则是研究代数结构中的群以及群作用，是代数学中的一个重要领域。

这两个分支被广泛运用于计算机科学、自然科学以及工程学等领域，为解决实际问题提供了有力支持。

二、基本概念1.线性代数向量空间是线性代数的一个重要概念，它包含有限维向量空间和无限维向量空间。

矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它可以用来表示线性变换或方程组。

对于一般的矩阵乘法，矩阵A*B=C，其中A和B是矩阵，C是一个新的矩阵。

在线性代数中，还有一个概念是本征值和本征向量，它们在求解特征值问题、矩阵对角化、矩阵相似等方面都有广泛的应用。

2.群论群是群论中的最基本概念，它指的是在某个集合中定义的一种运算，同时满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元等性质。

特殊地，若群的运算满足交换律，则称为交换群，也叫做阿贝尔群。

群的子群、同态、环面、正规子群等概念是群论的重要内容。

群与纯数学无关，但它有许多重要的工程应用。

三、用途线性代数与群论都得到广泛的应用，其应用领域不仅仅局限于数学领域。

这两个学科在数学工具的应用方面各有所长，其中线性代数在工程学、计算机科学和自然科学领域里有着广泛的应用。

而群论则在密码学和编码理论等方面得到了广泛应用。

线性代数与群论的应用举例：1.计算机科学：矩阵在图形学、计算机图形学和计算机视觉中扮演着重要的角色，它们广泛地应用于建立三维模型、计算机视觉中深度信息的匹配、检索和跟踪等方面。

群论可以用于密码学，通过建立一些群的性质来保证加密算法的安全性。

2.物理学：线性代数与群论在量子力学、相对论等方面应用非常广泛，它们被广泛应用于量子测量、量子力学中的旋转理论等方向。

抽象代数的发展实数的抽象代数的发展抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。

后来凯莱对群作了抽象定义(1821-1895)。

他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。

"过早的抽象落到了聋子的耳朵里"。

直到1878年，凯莱又写了抽象群的四篇文章才引起注意。

1874年，挪威数学家索甫斯?李(1842-1899)在研究微分方程时，发现某些微分方程的解在一些连续变换群下是不变的，一下子接触到连续群。

1882年，英国的冯?戴克(1856-1934)把群论的三个主要来源--方程式论，数论和无限变换群--纳入统一的概念之中，并提出"生成元"概念。

20世纪初给出了群的抽象公理系统。

群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。

例如，找出给定阶的有限群的全体。

群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。

有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。

伯恩赛德(1852-1927)曾提出过许多问题和猜想。

如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群?并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。

前者至今尚未解决，后者于1963年解决。

舒尔(1875-1941)于1901年提出有限群表示的问题。

群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。

庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说:"群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。

"这当然是过分夸大了。

抽象代数的另一部分是域论。

1910年施泰尼茨(1871-1928)发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑。

他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了任意的域可由其素域经扩张而得。

环论是抽象代数中较晚成熟的。

尽管环和理想的构造在19世纪就出现了，但抽象理论却完全是20世纪的产物。

韦德伯恩(1882-1948)《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环。

第一节代数学的发展一、伽罗瓦理论及群论的发展长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了．不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．则该方程可用根式求解．阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换x i和x j就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程x p-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是x p-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traitédes Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号G i/G i+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．…，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，…，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．二、四元数与向量在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi 与c＋di，他这样定义复数的运算：(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq--111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响．正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：1．等量各加上第三个等量得到等量；2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；4．等量加等量给出等量；5．等量加不等量给出不等量；6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；7．ab＝ba (乘法交换律)；8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b ≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，…，x n)与一个x1e1＋x2e2＋…＋x n e n这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，…，e n的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名．1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量c为实数，称为分量．规定这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；从而建立了向量代数．数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了梯度公式写成了希维赛德把麦克斯韦方程写成了物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．三、线性代数四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”1815年柯西给出了行列式乘法：|a ij|·|b ij|=|c ij|，其中|a ij|、|b ij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数其中a ij是t的函数，A ij是a ij的代数余子式．行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中分也有类似结果．1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，F M(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明y2s+1-…-y2r-s了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p 矩阵去乘．凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如AB≠BA．的公式凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1(其中A ij为行列式|A|中a ij的代数余子式．)他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足A n=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足A n=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵A M＝0与幂等矩阵Am＝A．19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵A T的逆，即M＝(M T)．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S-1－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1们也这样定义了相似行列式．1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：+…＋(-1)n C n．F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑a ij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，C n＝|A|．西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是f AB(λ)，BA的特征多项式是f BA(λ)，则f AB(λ)=λM·f BA(λ)．-n1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型J称为约当标准型，J i称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式矩阵的约当标准型的完整理论．1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如e M，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．四、数论数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范。

抽象代数与群论抽象代数是数学中的一个分支，它研究的是代数结构。

而群论则是抽象代数中的一个重要概念和研究领域。

本文将探讨抽象代数与群论的基本概念、性质和应用。

一、引言抽象代数起源于19世纪，是由德国数学家Galois引领的研究领域。

它的研究对象是代数结构，而这个结构可以通过一组符号和符号间的运算来描述。

二、群的定义和性质群是抽象代数中的一种代数结构，它包含了一个集合和一个二元运算，满足四个基本性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。

根据群运算的性质，我们可以得出一系列有用的结论和定理，比如乘法交换律、唯一逆元等。

三、群的分类与子群群可以根据其性质进行分类，常见的分类包括有限群和无限群、阿贝尔群和非阿贝尔群等。

同时，群还可以根据其子集的性质来定义子群，子群是原群的一个子集，在同一运算下构成一个群。

四、同态与同构同态是群论中的重要概念，它描述了两个群间的映射关系。

同态可以保持群运算的结构，即保持群元素的乘法关系。

而同构是一种更为特殊的同态映射，它不仅保持群的结构，还保持群元素之间的一一对应关系。

五、应用领域抽象代数与群论在各个领域都有广泛的应用。

在数论中，群论被用来研究模运算和同余关系。

在几何学中，群论提供了一种描述对称性和变换的方法。

在密码学中，群论被应用于数据加密和解密算法的设计。

六、结论抽象代数与群论是数学中重要的研究领域，它们通过对代数结构和群的定义、性质以及应用的研究，为数学学科的发展和其他科学领域的应用提供了基础和支持。

深入理解和应用抽象代数与群论的理论，将有助于我们更好地理解和解决实际问题。

写完了，请问还有其他的问题吗？。

最美的数学---群论⼈类对美的追求促进了⽂明的发展，然⽽什么是美却是困扰⼈类最⼤的问题。

⽆论是哲学家还是社会科学家乃⾄⾃然科学家，对美的描述都⼤相径庭。

当然⼤家还是有很多共识。

⽐如和谐代表⼀种美，协调也属于⽐较美的范畴。

感官（包括眼睛，味觉等）是感受美的第⼀道门槛。

很多东西都过不了这道门坎。

信息时代更是如此。

美⼥帅哥基本都是外形漂亮。

没有了外在美，想成为⼀个⽹红是⾮常难的。

然⽽⼈类最缺的却是沁⼈⼼扉的内在美。

⼀个能打动⼈⼼弦的东西。

也就是⼀件能引起你共鸣，唤醒你良知，勾起你激动的事物。

数学特别是群论也许是极其罕见的这样内容之⼀。

⼤家好，今天伟岗跟⼤家聊聊群论，这个被很多数学教授誉为最美数学内容之⼀的学科。

⽂章开头之前，还是要感谢各位朋友同学的⿎励和打赏，没有了朋友同学的⼀再⽀持，伟岗也许早就放弃聊数学了。

跟很多⼈想象的情况相反，数学是现在很多家庭的⼼病。

⼤量的⾦钱，资源和时间都投⼊到⼩孩的数学培训上，效果却不明显。

这甚⾄造成了⼀些家庭的不和谐。

数学成了很多年轻⼈获得美好⽣活的拦路虎。

甚⾄有很多⼈在⼯作以后还在感叹，要是当年的数学成绩好⼀点就好了。

从某种意义讲，教育之所以成为现代⼈背负的三座⼤⼭（房⼦，医疗和教育）之⼀，数学教学的不完美是重要因素。

有多少⼈感受到数学之美，伟岗感到怀疑。

即使到了今天，⼈⼈都能写作的⾃媒体时代，能够告知很多⼈数学是美的科普⽂章或书籍也不多。

由于数学内容的繁杂和深奥，绝⼤多数数学科普只能浅尝辄⽌，还远远到不了探索数学美的层次。

当然也存在⼀些试图把有深度的数学内容展现给⼤家的数学家，⽐如公众号⽼顾谈数学，只可惜这些数学内容，基本都是云⾥雾⾥，离普通⼈能够理解，能够接受的程度相差⼗万⼋千⾥。

可是历史⼜把深刻理解数学内容的重任交到了家长⼿上。

如果家长都对学习数学感到吃⼒，觉得枯燥⽆味，⼜怎么能要求⾃家⼩孩花很多精⼒去学数学呢？所以去感受数学的美，才是⽬前很多⼈急需要完成的事情。

数的发展简史引言概述：数是人类社会发展的基础，它伴随着人类文明的进步而不断演变。

本文将从数的起源开始，概述数的发展简史，并详细阐述数的发展过程中的五个重要部分。

一、原始数的起源1.1 数的概念的初现：原始人类利用手指、石头等物体进行计数，开始形成了数的概念。

1.2 原始数的表示方式：原始人类通过刻画符号或石头堆叠等方式来表示数量。

1.3 原始数的应用：原始人类利用数来记录狩猎收获、家畜数量等，满足生产和生活的需求。

二、古代数学的发展2.1 古埃及数学：古埃及人发展了一套独特的数学体系，主要应用于土地测量、建筑等领域。

2.2 古希腊数学：古希腊人在几何学方面取得了重要突破，提出了许多重要的数学定理和公理。

2.3 古印度数学：古印度人发展了十进制数制，并创造了零的概念，对后来的数学发展产生了深远影响。

三、中世纪数学的进展3.1 阿拉伯数学：阿拉伯学者通过翻译古希腊和古印度的数学著作，将这些知识传播到欧洲，并引入了阿拉伯数字系统。

3.2 代数学的兴起：中世纪欧洲的数学家开始研究方程和代数学，奠定了现代代数学的基础。

3.3 三角学的发展：三角学的概念和计算方法在中世纪得到了发展和应用，为航海和地理学的进步做出了贡献。

四、近代数学的革新4.1 微积分的发现：牛顿和莱布尼茨独立发现了微积分，这一发现对现代科学产生了深远影响。

4.2 概率论的兴起：概率论的发展为统计学和风险评估提供了理论基础，广泛应用于金融、医学等领域。

4.3 群论的建立：群论的发展为代数学提供了新的研究方法，对数学的发展做出了重要贡献。

五、现代数学的发展5.1 数学分支的多样化：现代数学分支繁多，包括数论、拓扑学、几何学等，各个分支相互交叉，形成了丰富多样的数学体系。

5.2 计算机数学的应用：计算机的发展促进了数学的应用，数学算法和模型在计算机科学中发挥着重要作用。

5.3 数学在现代科学中的地位：数学在物理学、经济学、生物学等现代科学领域中扮演着不可或缺的角色，为科学研究提供了理论支持。

近世代数发展简史近世代数是数学中一个重要的分支，它研究的是数和运算的性质。

自17世纪开始，近世代数经历了一系列的发展和演变，为数学的发展做出了重要贡献。

本文将为您详细介绍近世代数的发展历程和主要成就。

1. 代数的起源代数的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家主要关注几何学和算术。

然而，随着数学的发展，人们开始对未知数和方程式的研究产生了兴趣。

在公元3世纪，古希腊数学家丢番图提出了求解一元二次方程的方法，这被认为是代数学的起源。

2. 代数的发展2.1 文艺复兴时期文艺复兴时期是代数学发展的重要时期。

16世纪的意大利数学家卡尔丹诺（Cardano）和费拉里（Ferrari）研究了三次和四次方程的解法，奠定了代数学的基础。

此外，法国数学家维埃特（Viète）提出了代数符号的使用，为代数学的形式化奠定了基础。

2.2 齐次坐标和复数17世纪，法国数学家笛卡尔（Descartes）引入了齐次坐标系，将代数与几何联系在一起，为代数学的发展打开了新的方向。

同时，复数的概念也被引入，这使得代数学的运算更加灵便和丰富。

2.3 群论的兴起19世纪，法国数学家瓦埃斯特拉斯（Galois）的工作对代数学的发展产生了深远的影响。

他研究了方程的根与方程的对称性之间的关系，提出了群论的概念。

群论成为近世代数的一个重要分支，为后续的研究提供了基础。

3. 代数的应用近世代数不仅仅是一门抽象的学科，它还具有广泛的应用。

代数在密码学、编码理论、计算机科学等领域发挥着重要作用。

例如，现代密码学中的公钥密码系统就是基于代数的数论和群论等概念构建起来的。

4. 近世代数的发展和挑战近世代数在20世纪继续发展壮大，涌现出了许多重要的成果。

例如，埃米尔·阿图（Emil Artin）和安德烈·魏尔斯特拉斯（André Weil）等数学家对代数几何的研究做出了重要贡献。

然而，代数学中仍然存在一些未解决的问题和挑战，如费马大定理和黎曼猜想等。

数学中的群论与抽象代数知识点引言：数学是一门广阔而深奥的学科，其中群论与抽象代数作为数学的重要分支，对于理解和研究其他数学领域具有重要的作用。

本文将介绍群论与抽象代数的基本概念、性质以及其在数学中的应用。

一、群论与抽象代数的基本概念1. 群的定义群是一个集合，具有二元运算和满足一定条件的性质。

群的定义包括封闭性、结合律、单位元、逆元等关键概念。

2. 子群子群是一个群的子集，并且保持了群的运算和性质。

子群具有封闭性、单位元、逆元等性质。

3. 循环群循环群是由一个元素生成的群，这个元素称为生成元。

循环群具有特殊的结构和性质。

4. 交换群交换群，又称为阿贝尔群，其群运算满足交换律。

交换群在数学和物理领域的应用非常广泛。

二、群的基本性质与定理1. 基本性质群具有封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。

这些性质使得群成为一个有序的代数结构。

2. 拓展性质群的运算满足取消律、唯一性和可乘性等性质，这些性质进一步扩展了群的应用范围。

3. 拉格朗日定理拉格朗日定理是群论中的重要定理，它确定了子群与群的阶之间的关系，并具有广泛的应用。

4. 加法群与乘法群加法群是指群的二元运算为加法，乘法群是指群的二元运算为乘法。

加法群和乘法群在不同的数学分支中有不同的应用。

三、抽象代数的应用领域1. 数论数论是研究整数性质和整数运算的数学分支，群论与抽象代数在数论中有着广泛的应用，如素数分布、同余关系等。

2. 几何学几何学研究空间中的形状、结构和变换，抽象代数可以用来描述和研究几何中的对称性、平移、旋转等。

3. 计算机科学计算机科学中的密码学、编码理论等领域，都离不开群论和抽象代数的基础概念和方法。

结论：群论与抽象代数作为数学的重要分支，对于理解和研究其他数学领域具有重要的作用。

本文介绍了群论与抽象代数的基本概念、性质及在数学中的应用。

深入学习和理解群论与抽象代数的知识，能够帮助我们更好地理解和应用数学。

随着数学研究的不断深入，群论与抽象代数的作用与意义还将继续扩展和发展。

数学的发展历程一、古代数学（公元前3000年 - 公元5世纪）1. 古埃及数学- 古埃及人在公元前3000年左右就有了初步的数学知识。

他们主要为了满足实际生活的需要，如土地测量、建筑工程等。

- 埃及人发展了一套独特的计数系统，以10为基数，但不是位值制。

例如，他们用象形文字表示数字，一个竖线表示1，一个倒置的U形符号表示10等。

- 在几何学方面，他们能够计算简单的面积和体积。

如计算三角形、梯形面积，并且在建造金字塔等建筑时运用了一定的几何知识。

2. 古巴比伦数学- 古巴比伦人大约在公元前1800年就有了较为发达的数学。

他们的计数系统是60进制，这种进制对现代的时间（60秒为1分钟，60分钟为1小时）和角度（360度，1度 = 60分，1分 = 60秒）计量有深远影响。

- 他们能解一元二次方程，有泥板记录了大量的数学问题，包括商业中的算术问题、土地划分等几何问题等。

3. 古希腊数学- 早期希腊数学（公元前600 - 公元前300年）- 泰勒斯被认为是古希腊第一位数学家，他引入了演绎推理的思想，证明了一些几何定理，如等腰三角形两底角相等。

- 毕达哥拉斯及其学派强调数的和谐，发现了毕达哥拉斯定理（勾股定理），并且对数字进行了分类，如奇数、偶数、完全数等。

但他们也有一些神秘主义的数学观念，如认为数是万物的本原。

- 古典希腊数学（公元前300 - 公元前200年）- 希腊化时期数学（公元前200 - 公元5世纪）- 阿基米德是这一时期最伟大的数学家之一。

他在几何学方面取得了巨大成就，计算出许多复杂图形的面积和体积，如球的表面积和体积公式。

他还善于将数学应用于实际问题，如利用杠杆原理计算物体的重量等。

同时，他也是一位伟大的物理学家。

4. 古代中国数学- 中国古代数学有着悠久的历史。

早在商代（公元前1600 - 公元前1046年）就有了甲骨文记载的数字。

- 南北朝时期（公元420 - 589年）的祖冲之进一步将圆周率精确到3.1415926和3.1415927之间，这一成果领先世界近千年。

近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它涉及了代数方程、代数结构和代数运算等方面的研究。

在近世代数的发展历程中，有许多重要的里程碑事件和贡献者。

本文将以时间顺序为基础，介绍近世代数的发展简史。

16世纪16世纪是近世代数发展的起点，当时欧洲的数学家们开始对代数进行系统的研究。

其中最重要的贡献之一是意大利数学家Cardano的《代数学大全》（Ars Magna）的出版。

这本巨著包含了许多关于代数方程的解法，特殊是三次方程和四次方程的解法。

Cardano的工作奠定了代数学的基础，为后来的发展打下了坚实的基础。

17世纪17世纪是近世代数发展的一个重要时期，其中最著名的事件之一是法国数学家Fermat提出的“费马大定理”。

费马大定理是数学史上最著名的问题之一，它表述了当n大于2时，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。

这个问题激发了许多数学家的兴趣，但直到1994年，英国数学家Andrew Wiles才给出了一个完美的证明。

此外，17世纪还见证了代数学中的另一个重要发展，即复数的引入。

复数是由德国数学家Gauss提出的，它解决了一些代数方程无解的问题。

复数的引入使得代数学变得更加完善和广泛适合。

18世纪18世纪是近世代数发展的一个重要时期，这个时期的代数学家们致力于研究代数结构和代数运算。

其中最重要的贡献之一是法国数学家Lagrange的《代数学原理》（Théorie des fonctions analytiques）。

这本著作系统地介绍了代数学中的一些基本概念和方法，为后来的代数学发展奠定了基础。

此外，18世纪还见证了代数学中的另一个重要发展，即群论的浮现。

群论是由法国数学家Galois提出的，它研究的是代数结构的对称性和变换性质。

群论的浮现极大地推动了代数学的发展，并为后来的数学研究提供了重要的工具和方法。

19世纪19世纪是近世代数发展的一个重要时期，这个时期的代数学家们致力于研究代数方程的普通理论。