下载文档原格式
奇数群的可解性
奇数阶群是可解群：数学上的单群是指没有非平凡正规子群的群。
任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。
这个过程可以一直做下去。
对于有限群，若尔当—赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。
所有的奇数阶群都是可解群。
因此，除素数阶循环群外，所有有限单群的阶都是偶数西罗测试：设n为一正合数，p是它的一个素因子。
若在n的所有约数中只有1模p同余于1，则不存在阶为n的单群。
证明：如n为一素数幂，则阶数为n的群有非平凡的中心，因而不是单群。
若n不是素数幂，则阶数为n的群的每一个西罗子群都是真子群，由西罗第三定理可知，阶数为n的群的西罗p—子群的个数模p同余于1且为n的约数。
但由上面的假设，这样的数只有1，这表明该群只有一个西罗p —子群，因此，根据西罗定理，该西罗子群是正规子群。
根据上面的讨论，它又是一个真子群，从而它是阶数为n的群的一个非平凡正规子群，所以阶数为n的群不是单群。
1832 年的某个清晨，革命中的法国见证了又一次决斗。
在某个瞬间，某位青年被对手的枪 射中腹部，随后去世。
在当时狂热的政治斗争中，只有寥寥数人意识到，法国，甚至世界， 又失去了另一个伟大的头脑。
这位青年姓伽罗华，他的最大遗产围绕着一个数学概念：群。
在接下来的一百多年后，一群在世界各地的数学家，沿着这位青年开辟的路径，对有限群的 结构进行了彻底的分析。
其中的发现，可能出乎所有人的意料。
这是一个关于群的故事，这是一个关于单群的故事。
高度抽象的对称交错群 A_5 的一个 Cayley 图（一种群的图示） 什么是群？一个数学家可能会给你这样的回答： 一个群是一个集合 G 以及在 G 上的一个运算，满足以下三个条件： 1. 存在一个 G 中的元素 e，使得对于 G 中的任意元素 x，有 x=xe=ex。
这样的 e 叫做 群的单位元 2. 对于 G 中的任意元素 x,y,z，有(xy)z=x(yz)，这是结合律 3. 对于 G 中的任意元素 x，存在 G 中的一个元素 y，使得 e=xy=yx。
这样的 y 被称为 x 的逆元 这样的定义， 即使是对一名刚进大学的数学系学生来说也稍显抽象。
但数学的力量就在于它 的抽象。
它什么都不是，所以它什么都是。
整数和加法就构成一个群。
什么数加上 0 都不变， 所以 0 是单位元； a+(b+c)=(a+b)+c， 这是小学的加法结合律；一个数加上它的相反数是单位元 0，所以相反数就是逆元。
正实数 和乘法也构成一个群，1 是它的单位元，乘法有结合律，倒数是逆元。
如果我们认为 9 点 +5 点相当于 9 点的 5 个小时后，也就是 2 点的话，就连时钟也构成一个群。
宝石的晶体 构造，电脑的压缩校验算法，以至于魔方的还原，无不牵涉“群”这个概念。
而对于自然界的 各种对称性，群也是对其最自然的描述方式。
难怪有人会说，群就是对称，研究群，就是研 究各种对称性。
近世代数科普群论⼆1. 同态与同构群的同态：设f:G→G′，如果其满⾜∀a,b∈G,f(a)f(b)=f(ab)，则称f是⼀个同态当f是⼀个满射时，称为满同态当f是⼀个单射时，称为单同态当f是⼀个双射时，称为同构，称为G≅G′常记f(G)={f(x):x∈G}，f−1(x)={a:f(a)=x}，f−1(S)={a:f(a)∈S}常⽤结论设f:G→G′为⼀个同态，则f(e)=e′，f(a)−1=f(a−1)设f:G→G′为⼀个同态，则f(G)⩽G′Prof：对a′,b′∈f(G)，∃a,b∈G,f(a)=a′,f(b)=b′，则a′b′−1=f(a)f(b)−1=f(ab−1)∈f(G)2. 正规⼦群Def：设H⩽G，若∀a∈G,aH=Ha，则称H为⼀个正规⼦群，记做H⊲G正规⼦群的等价结论：设H⩽G，∀a∈G,aHa−1=H设H⩽G，∀a∈G,aHa−1⊆HProf：取a和a−1，aHa−1⊆H，a−1Ha⊆H设H⊲G，K⩽G，则H∩K⊲KProf：∀x∈H∩K,∀g∈K,g−1xg∈H∩K（H是由正规⼦群，K由群的封闭性）3. 核Def：设f:G→G′是⼀个同态，则f−1(e)称为f的核，记做ker(f)核⼀定是正规⼦群：⼦群：∀a,b∈ker(f),f(ab−1)=f(a)f(b−1)=e∈ker(f)正规⼦群：∀g∈G,h∈ker(f)，f(ghg−1)=f(g)ef(g−1)=e∈ker(f)，从⽽g ker(f)g−1⊆ker(f)，从⽽ker(f)是正规⼦群f−1(a)=a ker(f)4. 商群定义⼀种集合运算，AB={ab|a∈A,b∈B}Def：设H⩽G，G/H为H的陪集的集合，若H⊲G，G/H在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为H，元素aH的逆元为a−1HProf：∀aH,bH∈G/H,aHb−1H=ab−1H∈G/H5. ⾃然同态设H⊲G，则存在G→G/H的同态φ(a)=aH，称为H的⾃然同态⾃然同态⼀定是满同态φ(H)=φ−1(H)=H6. 群同态基本定理设f:G→G′是⼀个满同态，则G/ker(f)≅G′Prof：记N=ker(f)，构建映射ϕ(aN)=f(a)先证为双射，如果f(a)=f(b)，则a∈bN，则aN=bN，故为单射∀a′∈G′,∃a∈f−1(a′),s.t.ϕ(aN)=a′，故为满射再证同构，ϕ(aN)ϕ(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=ϕ(abN)=ϕ(aNbN)推论：设f:G→G′是⼀个同态，则G/ker(f)≅f(G)7. 群同态定理设f:G→G′是⼀个满同态，记N=ker(f)f建⽴G包含N的⼦群与G′的⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S1={K:N⩽K⩽G}，S2={K:K⩽G′}(a) ⾸先证明映射合法，∀H∈S1,f:H→G′是⼀个同态，因此f(H)⩽G′(b) 证明单射，先证∀H∈S1,f−1(f(H))=H，知H⊂f−1(f(H))，并且∀x∈f−1(f(H)),f(x)∈f(H)，因⽽∃h∈H,f(x)=f(h)，故x∈hN⊂H，故f−1(f(H))⊂H，因此f−1(f(H))=H，那么如果f(H1)=f(H2)就有H1=H2(c) 证明满射，∀H′∈S2,f(f−1(H′))=H′f建⽴G包含N的正规⼦群与G′的正规⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S a={K:N⩽K⊲G},S b={K:K⊲G′}(a) f:S a→S b合法，因为∀K∈S a,∀g∈G,gKg−1=K，故f(K)=f(gKg−1)=f(g)f(K)f(g)−1，由f是满同构知f(K)∈S b，⼜由f:S1→S2是双射知，f是⼀个单射(b) 反之，∀K′∈S b,∀g∈G,f(g−1f−1(K′)g)=f(g)−1K′f(g)=K′，从⽽g−1f−1(K′)g⊂f−1(K′)，从⽽f−1(K′)∈S a，由f:S1→S2是双射知，f是⼀个满射上述两条主要是为了接下来的定理的描述第⼀群同构定理：设f:G→G′是⼀个满同态，设N=ker(f)，设N⊂H⊲G，则G/H≅G′/f(H)Prof：设G′/f(H)的⾃然同态为π，那么我们考虑同态φ=πf(G→G′/f(H))，由π,f为满同态，则φ为满同态我们考虑证明H=ker(φ)，即{x|πf(x)∈f(H)}，显然H⊆ker(φ)，⽽∀x∈ker(φ)，有πf(x)∈f(H)，即f(x)∈f(H)，即x∈f−1(f(x))⊆H，从⽽H=ker(φ)，由群同态基本定理，我们得到G/H≅G′/f(H)第⼆群同构定理：设H⩽G,N⊲G，则HN/N≅H/H∩N为了使定理有意义，先证HN是⼦群，⾸先HN=NH，∀h1,h2∈H,n1,n2∈N，n1h1(n2h2)−1=n1(h1h−12)n2∈NHN=HN，故HN为⼦群Prof：设H/H∩N的⾃然同态为π，π(a)=a(H∩N)，构造f:HN→H，∀x∈aN,f(x)=a，则ϕ=πf是⼀个满同态我们考虑证明N=ker(ϕ)，即{x|πf(x)∈H∩N}，⾸先f(N)=e,π(e)=H∩N，故N⊆ker(ϕ)⽽且∀x∈ker(ϕ),f(x)∈{e}，故x∈N，故ker(ϕ)⊆N第三群同构定理：设N⊲G,N⩽H⊲G，则G/H≅(G/N)/(H/N)Prof：第⼀群同构定理，取G′=G/N的特例群论三1. 单群Def：如果G没有⾮平凡的正规⼦群（{e}和G），那么G称为单群G≠{e}是交换单群，当且仅当G为素数阶的循环群Prof：对任意g≠e，考虑⟨g⟩2. ⽣成⼦群记最⼩包含S的⼦群为⟨S⟩，即⟨S⟩=⋂S⊂H⩽G H∀x∈S,x=x1x2...x m(x1,x2,...,x m∈S∪S−1)当S有限时，⟨S⟩称为有限⽣成群3. 换位⼦群（导群）a−1b−1ab称为元素a,b的换位⼦（交换⼦），记做[a,b]所有的换位⼦⽣成的⼦群称为换位⼦群（导群），常记做G′, [G,G], G(1)（以后变量要取别的名字了...）当ab=ba时，[a,b]=a−1b−1ab=eG′⊲GProf：g[a,b]g−1=(ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1)=[gag−1,gbg−1]∀x∈G′,x=[a1,b1][a2,b2]...[a m,b m], 故gxg−1=[ga1g−1,gb1g−1][ga m g−1,gb m g−1]∈G′故∀g∈G,g−1G′g⊆G′，故G′⊲GG/G′是阿贝尔群Prof：aG′bG′=bG′aG′⇔aG′b=bG′a⇔G′=a−1bG′ab−1⇔G′=G′a−1bab−1⇔G′=G′[a,b−1]4. 可解群定义G(n)=(G(n−1))(1)，注意到G⊳G(1)⊳G(2)⊳...Def：如果G(k)={e}，则称G为可解群利⽤换位⼦群的商群的性质，有这样的充要条件：群G是可解群当且仅当存在G⊳G1⊳G2....⊳G k={e}，且G i−1/G i(1≤i≤k)为阿贝尔群Prof：“⇒"：显然，G,G(1),G(2),....，满⾜题意“⇐”：如果G/N是阿贝尔群，考虑φ:G→G/N为⾃然同态，那么有φ([a,b])=e，即[a,b]∈N从⽽我们有G(1)⩽N，在本题中，由于G/G1是阿贝尔群，故G(1)⩽G1，归纳得到G(k)⩽G k，即G(k)={e}5. 中⼼化⼦定义C(G)={x:∀a∈G,ax=xa}，称为群G的中⼼C(G)⊲G类似的，定义C S(G)={x:∀a∈S,ax=xa}，称为S的中⼼化⼦C S(G)⩽G6. 群对集合的作⽤设f:G×S→S，且满⾜[1] f(e,x)=x [2] f(g1g2,x)=f(g1,f(g2,x))，称f决定了群G在S上的作⽤，f(g1,x)常简写为g1(x)设G是⼀个群，X,X′是两个⾮空集合，G作⽤在X,X′上，如果存在双射ϕ:X→X′，使得ϕ(g(x))=g(ϕ(x))，则称这两个作⽤等价example：项链的旋转构成群，对长为n的全红项链和全蓝项链显然等价设G作⽤在X上，定义关系R={(x,y)|∃g∈G,g(x)=y}，易证R是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和x 等价的元素记做O x={g(x)|g∈G}给⼀条项链染⾊，在旋转操作下等价的元素设G作⽤在X上，∀x∈X，定义H x={g∈G|g(x)=x}为x的稳定⼦群（显然为⼦群）如果|O x|=1，或者说∀g∈G,g(x)=x，则称x为不动点7. 齐性空间Def：设H⩽G，则H的所有左陪集构成的集合称为G的齐性空间⼀般的，默认g(aH)=gaH是G在G/H上的作⽤设G作⽤在X上，则\forall x \in X，G在O_x上的作⽤和其在G/H_x上的作⽤等价Prof：定义映射f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)其为单射，因为b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x其显然为满射，因此此为⼀⼀映射，并且，f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))设G为有限群，G作⽤在X上，则|O_x| = |G/H_x|Prof：由上⼀个命题，f是⼀个⼀⼀映射，故这两个集合的基数相等ex：求正⽅体的旋转群的⼤⼩我们考虑利⽤上式公式，不难得到|H_1| = 3，|O_1| = 8，从⽽|G| = 24在G作⽤到G上，并且g(x) = gxg^{-1}时，此时H_x = C_G(X)，定义C(x)为和x共轭的元素的集合，则|C(x)| = |G :C_G(x)|根据等价类的定义，从每个共轭类中选择⼀个元素，得到|G| = \sum_x [G:C_G(x)]特别的，当x\in C(G)时，[G:C_G(x)] = 1，因此我们选择从每个⾮平凡的共轭类中选择⼀个x元，则有|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|这称为共轭类⽅程设H\leqslant G，则H \cong xHx^{-1}(x\in G)8. p-群Def：如果|G| = p^k(k\geq 1)，其中p为素数，则称G为p-群设p-群G作⽤于集合X上，设|X|=n，设t为X中不动点的数⽬，则t \equiv n(mod\;p)Prof：设集合X的全部轨道为O_1, O_2, ..., O_k，则有\sum |O_i| = n，注意到|O_i| = p^m(m\geq 0)，当且仅当|O_i| = 1时，有|O_i|\;mod\;p =1，否则|O_i| \;mod\;p=0，因此t \equiv n(mod\;p)p-群⼀定有⾮\{e\}的中⼼Prof：考虑G到G上的共轭变换，任意G的中⼼中的元素⼀定是⼀个不动点，因此，我们有|C(G)|\equiv 0(mod\;p)，⾃然我们得到|C(G)|>19. Burnside 引理设群G作⽤于集合S上，令t表⽰S在G作⽤下的轨道的条数，\forall g\in G，F(g)表⽰S在g作⽤下不动点的个数，则t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}Prof：⾸先转化命题，我们运⽤双计数证明|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)考虑右式，\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|由于|H_x| = |G| / |O_x|，因此所求即|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|}，即证\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t考虑⼀个轨道O_x，这个轨道产⽣的贡献为|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1，如此，t为不同的轨道的条数，命题得证群论四好像有些不太正常的要来了1. 西罗第⼀定理设G是⼀个阶为n的有限群，p为素数，如果p^k | n, k \geq 0，那么G中存在⼀个阶为p^k的⼦群Prof：引理：设n = p^r*m, (p, m) = 1，对k \leq r，有v_p(\binom{n}{p^k})=r-k（由Kummer\;TH显然）取G中所有含有p^k个元素的⼦集，构成集合X，令G作⽤在X上，定义g(A) = gA, A\in X那么有|X| = \sum |O_i|，由于p^{r-k+1} \nmid |X|，因此存在A\in X，使p^{r-k+1} \nmid |O_A|，下证|H_A|=p^k由|O_A| |H_A|= |G|知，v_p(H_A) \geq k，即|H_A| \geq p^k但\forall a\in A, H_Aa \subset A，故|H_A| \leqslant |A| = p^k，从⽽|H_A|=p^k设v_p(|G|) = k，则阶为p^k的⼦群称为西罗p-⼦群2. 西罗第⼆定理设v_p(|G|) = r，P是G的⼀个西罗p-⼦群，\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}Prof：考虑X为P的左陪集的集合，将H作⽤于X，h(aP)=haP由于(|X|, |H|) = 1，那么存在⼀个不动点，使得HgP = gP此时\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2，即h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}，因此H \leqslant gPg^{-1}推论1：任意两个西罗p-⼦群互相共轭推论的推论：⼀个群G有唯⼀的西罗p-⼦群P的充要条件为P \lhd G3. 正规化⼦Def：对H \leqslant G，定义\{g:g\in G, gH=Hg\}为H的正规化⼦，记做N(H) N(H) \leqslant GH \lhd N(H)C_G(H) \leqslant N(H)G中西罗p-⼦群的个数，以及对任⼀西罗p-⼦群P，N(P)的阶为|G|的因⼦Prof：设X为G中所有西罗p-⼦群的集合，在上⾯作共轭变换对任⼀西罗p-⼦群P，有O_P = X，H_P = N(P)，从⽽|X|*|N(P)|= |G|4. 西罗第三定理若G中所有西罗p-⼦群的个数为t，则t \equiv 1(mod\;p)证明从略|G| = p^r * m, (p, m) = 1，结合t | |G|，我们有t | m。
有限群的阶与群的结构夏晶【摘要】给出了若有限群G的阶是p1p2…pn,其中P1,…,Pn是不同的素数,则G 是超可解群.同时还给出了若群G的阶| G|=60p1p2…pn,其中p1,…,pn均是大于5的不同的素数,且G是极小单群,则G(=)A5.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(028)006【总页数】2页(P20-21)【关键词】极小单群;可解群;超解群【作者】夏晶【作者单位】大庆师范学院【正文语种】中文0 引言通过群的阶来给出群的一些性质已有许多结果.例如著名的Feit-Thompson定理:奇数阶群必可解和Burnside定理:设p、q是素数，a、b是正整数，则paqb阶群必可解等等.以及在文献［1］中还给出了象有限p-群(p是素数)是幂零群阶是2n，n是奇数的群是可解群，p2(p是素数)阶，群必为交换群等重要结果.该文给出了若群的阶|G|=p1p2…pn，则G是超可解群;以及群G的阶|G|=60p1…pn，若G 是极小单群，则G ≌ A5，这里p1，p2，…，pn是互不相同的大于5素数.1 主要概念和引理定义极小非可解群即每个真子群为可解的单群，称之为极小单群.引理1［1］设p是群G的阶的最小素因子，P∈Sylp(G)，P循环，则G有正规p-补.引理2［1］设G是非交换单群，p是G的阶的最小素因子，则p3||G|或12||G|. 引理3［1］ 60阶单群必同构于A5.引理4［2］极小单群有下述五个类型:Ⅱ.PSL(2，2q)，q 是素数，阶 2 q(22q-1)Ⅲ.PSL(2，3q)，q是奇素数，阶·3q(32p-1).Ⅳ.PSL(3，3)，33(33-1)(32-1)=24 ×33×13.Ⅴ.Suzuki群 S2(2q)，q奇素数，阶(22q+1)22q(2q-1).引理5［1］ 60阶单群必同构于A5.2 主要定理定理1 设G的阶为|G|=p1p2…pn，其中p1，p2，…，pn是不同的素数，则 G 是超可解群.证明不妨设p1＜p2＜… ＜pn.当n=1时，G是p-群，是幂零群，当然是超可解群.于是可以假设n≥2，Sylow定理知G的Sylow p1-子群P1的阶是素数p1，从而是循环子群.于是G有正规 p1- 补 G1，且|G1|=p2…pn.同理 G1有正规 p2- 补G2.即 G2◁G1，且|G2|=p3…pn.易知G2是G的Hall子群，再由G2是G的次正规子群，从而G2是G的正规子群.如此下去，我们得到G的一个正规子群列.使得 |Gi-1/Gi|=pi，i=1，2，…，n.从而 G 是超可解群.定理2 A5是极小单群.证明设N是A5的任意真子群，由|A5|=60，|M|||A| 知 |N|=1，2，3，5，4=2× 2，6=2 × 3，10=2 × 5，12=22 × 3，15=3 × 5，20=22×5，30=2 ×3 ×5，即|N|=p，paq，pqr型群.其中p、q、r是不同的素数，由文献［1］及定理1，知N是可解群.而A5是单群，从而A5是极小单群.定理3 设群G的阶为|G|=22×3×5×p1×p2×… ×pn，其中p1，…，pn均是大于5的不同素数，若G是极小单群，则G≌A5.即G是阶为60的单群.证明由引理4知G只有五个类型的可能.若 G是类型Ⅰ由5||G|，5，知p=5.即由引理5知G≌PSL(2.5)≌A5.若G是类型Ⅱ.由22|||G|，及q是素数知，q=2，即22(22×2-1)=60.从而有G ≌ A5≌PSL(2.4).若G是类型Ⅲ，q是奇素数，则33||G|，与|G|恰好被3 整除，矛盾，故 G≌/PSL(2，33).由24||PSL(3，3)|，知G≌/PSL(3，3)，即G不可能是类型Ⅳ.若G≌S2(2q).由q是奇素数知26||G|，与4|||G|矛盾.故G ≌/S2(2q).综上所述，有G≌A5.参考文献［1］徐明曜.有限群导引(上)［M］.北京:科学出版社，1999.［2］陈重穆.内外-∑群与极小非 -∑群［M］.重庆:西南师范大学出版社，1988.。
抽象代数第二版课程设计一、课程背景抽象代数是现代数学的一个重要分支，是数学的一种高度抽象和理论化的体现。
抽象代数的发展历程关联到数学中许多基础问题的解决，如方程的求解、多项式的因式分解等等。
抽象代数的概念和理论在各种领域都有广泛的应用，如在密码学、编码理论、通讯等领域。
《抽象代数》（第二版）是一本经典的教材，该课程以该教材为主要教材，旨在让学生了解抽象代数这一重要分支，并掌握其基本理论和方法。
二、课程目标本课程旨在使学生：1.掌握抽象代数的基础理论和方法；2.理解群、环、域等基本代数结构的概念、性质及其在数学中的应用；3.理解群作用的概念和性质；4.掌握基本的代数计算方法；5.培养学生抽象思维和逻辑思维能力；6.培养学生分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容及安排第一部分：群论（30学时）1.群的基本概念–群的定义、群的性质；–子群的定义和性质；–同态、同构等基本概念。
2.群的分类–有限群、无限群；–阿贝尔群、非阿贝尔群；–单群、可解群等。
3.群作用–群作用的定义、性质和基本例子；–圆周排列群、对称群、线性群等的群作用；–Burnside引理的证明。
第二部分：环论（20学时）1.环的基本概念–定义和性质；–整环、域、布尔环等。
2.环与矩阵–环的基本运算、理想和同态等；–线性方程组、矩阵的秩等基本概念及其代数表示。
3.环的进一步理解–Euclid算法、唯一分解定理等；–四平方定理等。
第三部分：域论（20学时）1.域的基本概念–定义和性质；–代数闭包、三次以上方程的解法、高次方程的构造等。
2.有限域–二元有限域、线性码、考虑F_p[x]中的多项式的统计。
3.Galois理论–Galois群和Galois扩张的基本概念；–Galois定理及其推论。
第四部分：选修（10学时）1.线性群的性质及其应用；2.代数数论的基本概念和方法。
四、教学方法本课程采用讲授、练习相结合的教学方法。
在课堂上，重点讲授群论、环论、域论的基本理论，通过举例及问题讨论巩固学生的理解，激发学生对数学的兴趣和思考；同时，安排一定量的习题课，引导学生主动思考，通过问题解决和相互讨论的方式深化对知识的理解。
代数群的概念一、代数群的定义代数群是由代数运算定义的群。
具体来说，设G是一个群，定义域为代数闭域K（例如，实数域R或复数域C）。
如果G中的元素都是K上的代数元，则称G为K上的代数群。
二、代数群的性质1.封闭性：对于任何a,b∈G，存在唯一的c∈G，使得a×c=b。
2.结合律：对于任何a,b,c∈G，有(a×b)×c=a×(b×c)。
3.单位元存在：存在一个元素e∈G，使得对于任何a∈G，有e ×a=a。
4.逆元存在：对于任何a∈G，存在一个元素a−1∈G，使得a×a−1=e。
三、代数群的分类根据不同的分类标准，代数群有以下几类：1.根据定义域分类：有理数域上的代数群、实数域上的代数群、复数域上的代数群等。
2.根据代数结构分类：单群、可解群、幂零群等。
3.根据具体形态分类：椭圆曲线、超椭圆曲线、代数簇等。
四、代数群的结构代数群的结构一般比较复杂，往往具有某种特定的对称性或对称性结构。
例如，椭圆曲线可以看作是平面曲线上的点构成的代数群，其对称性结构与平面曲线上的对称性有关。
超椭圆曲线的对称性结构则更为复杂。
五、代数群的运算规则代数群的运算规则与一般的群运算规则类似，但具体运算依赖于定义域和代数结构。
例如，在有理数域上定义的代数群，其运算规则通常涉及到有理数的加法、乘法和取逆等运算；而在复数域上定义的代数群，其运算规则则涉及到复数的加法、乘法和取逆等运算。
六、代数群在数学中的应用代数群在数学中有着广泛的应用。
例如，在代数几何中，代数簇可以看作是多项式方程的解构成的代数群；在数论中，椭圆曲线可以看作是平面曲线上的点构成的代数群；在物理中，一些复杂的系统也可以通过代数群来描述其对称性和对称性破缺等性质。
七、代数群与其他数学概念的关系1.与群论的关系：代数群是群论的一个重要分支，它是通过代数的运算定义的特殊类型的群。
研究代数群的性质和结构对于理解一般的群论概念具有重要意义。
作者： 姜希
出版物刊名： 乐山师范学院学报
页码： 105-109页
主题词： 群的中心;有限群;可解群;单位元群;有限单群;无限群;正规子群;非交换群;循环群;基本定理
摘要：<正> 有限群大致可以分为两类,一类是有限单群,一类是有限可解群,有限可解群能分解成p—群之积是 P·霍尔(P·Hall)的工作,见文献[1,2,3],由此可见 p—群的理论在有限群中的重要地位。
关于 p—群的基本性质,不少群论的专著中都有介绍,参看文献[4,5,6]等。
群的许多定理并不涉及这群是否是有限群的问题,但是在有的时候对于有限群和无限群结论可以截然不同,而且即使结论相同,证明的方法也常常不同。
对于 p—群的情形,亦是如此。
本文将围绕 p—群的中心问题作初步的探索,最后与有限 p—群的基本定理的结论相反,给出一个中心为单位元群的无限 p —群的例子。
韶关学院课程教学设计（ 2 学时）教学过程、内容（含教与学的方法）绪论一、抽象代数发展简史1、代数的组成代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分.初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根），以及方程的根有何性质等问题.抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪.抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的集合，例如向量、矩阵超数、变换等，这些集合分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数.抽象代数，包含有群论、环论、域论、模论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言.2、高次方程的根式解问题什么叫代数？代数的基本问题是什么呢？代数就是字母运算学，这是法国数学家韦达的观点，也是关于代数的第一种观点.到了15-16世纪，代数学的中心问题开始转移到代数方程理论上来了，（关于代数的观点发生了变化，将代数定义为代数方程理论）.我们知道，一次、二次的方程有根式解，三次和三次以上的方程是否有根式解呢？经过数学家们的努力，1542年意大利数学家卡当给出了三次方程的求根公式.这个公式实际上是泰塔格利亚发现的，卡当恳切要求泰塔格利亚把求解公式告诉他，并发誓对他保密.但卡当不顾自己的誓言，把这个方法的叙述发表在他的《重要的艺术》里.所以这个公式不应该叫卡当公式，而应叫泰塔格利亚公式.在三次方程成功地解出之后，接着卡当的学生费拉里成功的解出了四次方程.三次、四次方程有求根公式，那么五次和五次以上的方程是否有公式解呢？世界上许多数学家试图找出五次和五次以上的方程的公式解，经过了三百年没有成功.在这期间，德国数学家高斯在1799年他的博士论文中作出了代数基本定理的证明.“每个次数 1的复系数多项式在复数域中有一个根.”探求四次以上的方程的求解问题，多少数学家作了努力，但都失败了.直到1824年轻的数学家阿贝尔证明了“高于四次的一般方程用根式求解的不可能性”.这样，代数的这个问题才告一个段落.阿贝尔（1802-1829）是一个挪威的数学家，出生（1802.8.5）于一个穷牧师家里，兄弟姐妹七个，他排行第二，小学教育基本上是由父亲完成的.中学时是一个比阿贝尔大七岁的数学教师，名叫洪波义.此人学过一些纯粹数学，对中学数学很熟，他采取让学生发挥独立的工作能力的教学方法，给一些适合他们的数学问题鼓励学生们去解决.第一学年来，洪波义在学生的报告书上对阿贝尔的评语是：“一个优秀的数学天才”.他私人教阿贝尔高等数学.在中学读书的最后一年，他开始考虑当时著名的难题：五次方程的一般解问题.他按高斯对二次方程的处理方法，起初，阿贝尔以为他已经解决了用根式解一般的五次方程的问题.他的方法洪波义看不懂，也不知道有什么地方错，因此便拿去找教授看，结果也没有人了解他的东西.一位叫达根的教授劝告阿贝尔研究一些椭圆积分.后来阿贝尔用实际例子来验证，证明他的发现是错误的.当阿贝尔18岁时父亲去世了，大哥精神不正常，家庭生活十分贫困.阿贝尔上大学是由洪波义出面，希望几个教授帮忙，结果教授们和朋友们都把薪水分出一点，凑起来给阿贝尔作为学习和生活的经济来源.阿贝尔自己还写信给当局提出要求，幸运地获得了免费的宿舍.1824年，阿贝尔重新考虑了一元五次方程的根式解问题.他试图证明这个解答是不可能的.首先他成功的证明了下述定理：“可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理函数.”然后阿贝尔用这个定理证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性.阿贝尔的家境贫困，大学毕业后，他靠为一些学生补习功课而生活，好心的朋友克勤为了替阿贝尔谋求一个职业而尽力奔走，终于在1828.10.8写信告诉阿贝尔“职业是肯定有了”.但克勤不知道，我们的阿贝尔在三月肺结核病病情恶化了，4月6日，这世上少有的天才就这样怀着沉重的心情，在他未婚妻旁离开了人间.克勤的消息来迟了.“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌150年！”法国数学家厄米特说：这话并不夸张.在和阿贝尔同时代的一个法国青年伽罗华读到了阿贝尔的著作，不到20岁，就在代数方程论上作出了卓越的贡献，创立了“伽罗华理论”.他使阿贝尔的思想得到了更好的发展.3、伽罗华和他的理论的兴起法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题.他是第一个提出“群”的思想的数学家，一般称他为近世代数的创始人.伽罗瓦使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期.伽罗瓦是巴黎附近一个小镇镇长的儿子，他积极参加学生运动.伽罗华在中学时遇到了一位叫里沙的好老师（数学家），在里沙的指导下开始学习阿贝尔的著作，给出5次及5次以上方程有根式解的充要条件.他的论文三次交到法兰西科学院评审（柯西、付里叶、波松）.最后是波松“完全不能理解！”.伽罗瓦是1832年5月31日死于爱情决斗.伽罗瓦提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题.伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响.抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念.后来凯莱对群作了抽象定义(Cayley，1821-1895).他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响.“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”.直到1878年，凯莱又写了抽象群的四篇文章才引起注意.1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842-1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群.1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856-1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念.1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体.20世纪初给出了群的抽象公理系统.群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开.例如，找出给定阶的有限群的全体.群分解为单群、可解群等问题一直被研究着.有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决.伯恩赛德（Burnside，1852-1927年）曾提出过许多问题和猜想.如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的.前者至今尚未解决，后者于1963年解决.舒尔（Schur，1875-1941）于1901年提出有限群表示的问题.群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出.庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说：“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学.”这当然是过分夸大了.1843年，哈密顿（Hamilton, W. R. ）发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数.1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数.1870年，克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义.4、诺特和抽象代数学的兴起有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是爱米·诺特（1882-1935）, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，其父亲麦克斯是一位大数学家，1900年入埃朗根大学（上千名学生中只有两位女生），1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位.诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响.1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式.她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组.还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题.对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明.她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起. 1922年，诺特终于被聘为教授，但政府不承认.1920-1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”.1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡.1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念.1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理.1926年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件.诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变.诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一.1927－1935年，诺特研究非交换代数与“非交换算术”.她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上.后又引进交叉积的概念并用决定有限维伽罗瓦扩张的布饶尔群.最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数.诺特的学生范．德．瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构.这就发生了质变.由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支.人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展.诺特的思想通过《近世代数学》得到广泛的传播.她的主要论文收在《诺特全集》(1982年)中. 1955年范．德．瓦尔登的《近世代数学》改版为《代数学》（一、二册）（瓦尔登后来研究数学史）.抽象代数的另一部分是域论.1910年施泰尼茨（Steinitz，1871-1928）发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑.他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得.环论是抽象代数中较晚成熟的.尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物.韦德伯恩（Wedderburn，1882-1948）《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环.环和理想的系统理论由诺特给出.她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论.诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础.诺特对环和理想作了十分深刻的研究.人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年.1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论.到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子.这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映.到了20世纪60年代，美国代数学家贾柯勃逊编著的《抽象代数学》（一、二、三册）代替了瓦尔登的《代数学》，到了20世纪70-80年代贾柯勃逊改版为《基础代数学》（一、二册）分别于1974年和1980年出版.5、代数是研究代数系统的科学抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位.而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响.泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来.中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代.当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著.现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的.在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量.可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了.一个带有形式运算的集合称为代数系统，因此，代数是研究一般代数系统的一门科学.现代数学的基础课程正在更新.50年代数学系的教学计划，以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体.时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛函分析.现代数学理论是由这三根支柱撑着的.现在，我们来追寻它们形成和发展的历史足迹，并从这一侧面窥视21世纪数学的特征.参考文献：[1] 乐秀成, 刘宁. 青年数学家、战士和人:E.伽罗瓦[J]. 自然辩证法通讯, 1980,(06)[2] 胡作玄. 爱米·诺特与抽象代数学的兴起[J]. 自然辩证法通讯, 1983,(02)二、近世代数的特点、意义与学习方法1、近世代数的特点代数学经历了两个转变，它有三种观点：第一种观点：代数是字母运算学（这是韦达的观点）；第二种观点：代数是代数方程理论；第三种观点：代数是研究各种代数系统（即研究群、环、域等的结构与性质）.第一、第二是具体的，第三是抽象的，它的对象不一定是数，如向量、矩阵、线性变换等.由于它理论的抽象，对象的广泛，因而就带来应用的广泛性.近世代数的大多数概念是采取公理化定义，这就使它的理论更严谨，许多学科都用到近世代数的思想和方法.近世代数具有以下特点：概念的抽象性、理论的严谨性、应用的广泛性.2、学习近世代数的意义一是数学类专业的基础课程，后继课程学习的需要，更高一级学校学习的准备；二是指导中学教学与实践，处理好中学数学的有关教材内容，能在高观点下看清中学数学的来龙去脉；三是培养同学的科学思维、逻辑推理和运算的能力,以及辩证唯物论观点.3、学习方法与要求学习的四步曲：预习、听课（笔记）、复习、练习；①预习：认真看书，做好预习工作，带着问题来听课，做到有的放矢；②听课（笔记）：认真听课，做好笔记，笔记的形式可以多样，与书上不同的；③复习：认真做好复习工作，多思考、多提问题.问题可以自问自答；有问题要自己先想想，再问老师.要扣概念，找模型；④练习：复习后再练习、作业，作业要独立完成，不要抄题解、不要抄别人的.请记住：预习、听课（笔记）、复习、练习，再预习等，这就是学习上的良性循环.我们一定要做到学习上的良性循环，克服恶性循环，牢牢掌握学习的主动权，努力做到：概念准、理论熟、思路活、计算快.教材：张禾瑞著的《近世代数基础》.参考书：吴品三的《近世代数》；熊全淹的《近世代数》；谢帮杰的《抽象代数学》；范．德．瓦尔登的《代数学》（一、二册）；贾柯勃逊的《基础代数学》（一、二册）；[美]G.伯克霍夫、S.麦克莱恩 著，王连祥、徐广善译 《近世代数概论》.三、近世代数的教学安排51课时,讲四章内容，共135页，每次课约7页.教学安排如下：第一章 基本概念 10课时（含绪论），含习题2课时；第二章 群 论 18课时，含习题4课时；第三章 环与域 16课时，含习题4课时；第四章 整环里的因子分解（2节） 5课时，含习题1课时；复习 2课时.教学内容及各章课时（见教学进度表）并参考“《近世代数》课程标准”.第一章 基本概念在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除.数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算.这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算.近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究各种代数系统，即带有运算的集合.因此我们的讨论就从最基本的概念——集合、映射开始.§1.1 集 合一、集合及其表示集合是一个不加定义的基本概念，它描述性的定义为：作为整体看的一堆东西若干个（有限或无限多个）固定事物的全体组成一个集合的事物叫做这个集合的元素.注意：1.强调“全体”，2.确定集合的表示法：1.列举法；2.性质法；3.图象法集合用大写拉丁字母A ，B ，C ，…来表示.元素用小写拉丁字母a ，b ，c ，…来表示.集合的属于与不属于的表示：a A∉∈，a A二、若干记号1.数集：N，Z，Q，R，C，*Z，*Q2.逻辑：全称号：∀（对于任意）特称号：∃（存在），|∃（存在唯一）若A则B：A B⇒A等价于B：A B⇔或者：∨，而且：∧三、空集合、子集与集合的相等空集合：一个没有元素的集合，记为∅子集：设A，B是两个集合，若x B x A⊆.∀∈⇒∈，则称B是A的子集，记为B A 空集合是任何集合的子集，即∀集合A，均有A∅⊆.为此需证明命题“x x A∀∈∅⇒∈”，但这个前提不成立.任一命题，只要前提不真，那么，无论结论如何，整个命题被认为成立，故有A∅⊆.真子集：若集合B是集合A的子集，而且至少有一个A的元不属于B，则称B是A的真子集，记为B A⊂.集合的相等：若集合A和集合B所包含的元素完全一样，则称集合A等于集合B，记为A B=⇔⊆∧⊆.=.充要条件：A B A B B A四、集合的运算、幂集合、卡氏积设A，B是全集U的两个子集，则A，B的交、并、差为：⋂=∈∧∈{|}A B x x A x B第 11 页 {|}A B x x A x B ⋃=∈∨∈\{|}A B x x A x B =∈∉但性质：交换律，结合律，分配律幂集合：设A 是给定的两个集合，A 的所有子集所组成的的集合叫做A 的幂集合，用A 2表示.例如：设{a b c}A =，，，则A 2={{a}{b}{c}{a b}{b c}{a c}{a b c}}∅，，，，，，，，，，，，. 卡氏积：设1A ，2A ，…，n A 是n 个集合集合12n 12={|(,,,),,1,2,,}n i i A A A x x a a a a A i n ⨯⨯⨯=∈= 称作集合1A ，2A ，…，n A 的积，这也是一个集合.当12n A A A === 时，记为n A .。
课程名称：代数学一、课程编码：1700102课内学时： 48 学分： 3二、适用学科专业：基础数学与应用数学三、先修课程：高等代数四、教学目标本课程的教学内容包括：群论（含群同态，群在集合上的作用，Sylow定理，有限生成Abel群的同构分类等），环论（含理想，素理想，极大理想，欧几里得整环，主理想整环，唯一因子分解整环等），域论（含域扩张，域扩张的性质，域扩张的自同构群，伽罗瓦扩张，伽罗瓦理论的基本定理等）和模论的基本知识。
通过本课程的学习，了解群论、环论、域论以及模论的基本理论与主要结果，掌握这些代数对象的基本研究方法，熟悉各个定理的灵活运用，提升抽象思维和推理的能力。
五、教学方式课堂教学与讨论六、主要内容及学时分配1.近世代数的历史与发展，笛卡尔积，等价关系 3学时2.循环群与图形的对称群 3学时3.n元对称群，子群， Langrange定理 3学时4.群的直积与直和 3学时5.群同态，正规子群，商群与同态基本定理 3学时6.可解群，单群，Jordan-Holder定理 3学时7.群在集合上的作用，轨道-稳定子定理，Sylow定理 3学时8.有限生成的Abel群的结构 3学时9.环同态，理想，商环，素理想和极大理想 3学时10.欧几里得整环，主理想整环，唯一因子分解整环 3学时11.域扩张的性质，分裂域，正规扩张，可分扩张 3学时12.域扩张的自同构群，伽罗瓦扩张 3学时13.伽罗瓦理论，本原元素，迹与范数 3学时14.模的概念，模同态，正合序列，投射模与自由模 3学时15.主理想整环上的有限生成模的结构 3学时16.主理想整环上的有限生成模的同构与分类 3学时七、考核与成绩评定期末卷面成绩60%-70%，平时作业成绩30%-40%八、参考书及学生必读参考资料1. 丘维声，近世代数，北京，北京大学出版社，2015年.2. Hungerford Thomas W., Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 73, Springer,1980.九、大纲撰写人：胡峻。
抽象代数重点解析——群（三）1.6变换群与置换群定义1.6.1：设A是非空集合，A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群，称为A的全变换群，记为S_{A}，S_{A}的一个子群称为A的一个变换群；当S_{A}为含有n个元素的有限集时，S_{A}也叫作n元对称群，记作S_{n}，S_{A}中的一个元素称为一个n元置换，S_{n}的一个子群称为一个n元置换群。
要注意全变换群，变换群；对称群，置换群。
这两对递进的概念的区别。
下面是一个奠定变换群地位的定理，只给出证明思路。
定理1.6.1（Cayley定理）：任何群都与一个变换群同构。
证明思路：设 G 是群， \forall a\in G ，定义映射 \forall g\in G ，f_{a}(g)=ag ，称为左平移变换。
不难验证左平移变换是 S_{G} 的一个子群，且能与 G 可以建立同构。
关于对称群 S_{n} 而言，我们把它的 n 个元素用前 n 个自然数表示，则置换 \sigma 可记作 \begin{pmatri某}1&2&...&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&...&\sigma(n) \end{pmatri某} ，可以看出\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(n) 对 n 个元素的一个排列，自然有下面结论。
定理1.6.2： \left， S_{n} \right，=n。
接下来深入研究置换，首先给出两个定义。
定义1.6.2：设集合 A 有 n 个元素，设I=\left\{ i_{1},i_{2}...i_{r} \right\}\subset A ， \sigma\inS_{A} ，有 \sigma(i_{j})=i_{j+1}(j<r) ， \sigma(i_{r})=i_{1} ，\sigma(k)=k(k\notin I) ，则称 \sigma 为一个r-轮换，或称r-循环置换，记为 \sigma=(i_{1}i_{2}...i_{r}) ， i_{1},i_{2}...i_{r} 称为\sigma 的文字， r 称为 \sigma 的长；特别地，2-轮换称为对换，1-轮换称为恒等置换。
伽罗瓦河北师范学院邓明立伽罗瓦，E．(Galois，Evariste)1811年10月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；1832年5月31日卒于巴黎．数学．伽罗瓦的父亲N．G．伽罗瓦(Galois)是法国资产阶级革命的支持者，为人正直厚道．他在1815年拿破仑发动“百日政变”期间，当选为拉赖因堡市的市长．伽罗瓦的母亲是一位当地法官的女儿，聪明而有教养，但个性倔强，甚至有些古怪．她是伽罗瓦的启蒙老师，为他的希腊语和拉丁语打下了基础，并且把她自己对传统宗教的怀疑态度传给了儿子．1823年10月，12岁的伽罗瓦离别双亲，考入路易·勒格兰皇家中学，开始接受正规教育．在中学的前两年，他因希腊语和拉丁语成绩优异而多次获奖；但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书，直接阅读数学大师们的专著．A．M．勒让德(Legendre)的经典著作《几何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他领悟到数学推理方法的严密性；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解数值方程》(Rélution deséquations nume－riques，1769)、《解析函数论》(Théorie des fonctions analytiques，1797)等著作，不仅使他的思维更加严谨，而且其中的思想方法对他的工作产生了重要的影响；接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．学习和研究数学大师的经典著作、是伽罗瓦获得成功的重要途径．他深信自己能做到的，决不会比他们少．他的一位教师说：“他被数学的鬼魅迷住了心窍．”然而，他忽视了其他学科，导致了他首次(1828)报考巴黎综合工科学校失败．1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，“只宜在数学的尖端领域中工作”．于是，年仅17岁的伽罗瓦开始着手研究关于方程理论、整数理论和椭圆函数理论的最新著作．他的第一篇论文“周期连分数的一个定理的证明”(Démonstration d’un théoréme sur les fractionscontinues périodiques)，于1829年3月发表在J．D．热尔岗(Gergonne)主办的《纯粹与应用数学年刊》(Annales de Mathé－matiques Pures et Appliquées)上，它更为清楚地论述和说明了欧拉与拉格朗日关于连分式的结果．据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．1829年5月25日和6月1日，他先后将他的两篇关于群的初步理论的论文呈送法国科学院．科学院请柯西做论文的主审．然而，一些事件挫伤了这个良好的开端，而已在这位年轻数学家的个性上留下了深深的烙印．首先，伽罗瓦的父亲由于受不了保守的天主教牧师的恶毒诽谤于7月2日自杀身亡．之后不到一个月，伽罗瓦参加了巴黎综合工科学校的入学考试，由于他拒绝采用主考官建议的解答方法，结果又遭失败．最后他不得已报考了高等师范学院，于1829年10月被录取．柯西审核的伽罗瓦的论文，新概念较多，又过于简略，因此柯西建议他重新修改．1830年2月，伽罗瓦将他仔细修改过的论文再次呈送科学院，科学院决定由J．B．J．傅里叶(Fourier)主审．不幸，傅里叶5月份去世，在他的遗物中未能找到伽罗瓦的手稿．1830年4月，伽罗瓦的论文“关于方程代数解法论文的分析”发表在B．D．费吕萨克(Férussac)的《数学科学通报》(Bulle－tetin des Sciences Mathématiques)上．同年6月，他又在同一杂志上发表了两篇论文——“关于数值方程解法的注记”和“数的理论”，这期杂志上还刊登着柯西和S．D．泊松(Poisson)的文章，这充分说明了伽罗瓦已在数学界赢得了声誉．伽罗瓦进入师范学院一年，正当他做出卓越的研究工作之时，法国历史上著名的1830年“七月革命”爆发了．伽罗瓦作为一名勇敢追求真理的共和主义战士，反对学校的苛刻校规，抨击校长在“七月革命”期间的两面行为．为此，他于1830年12月8日被校方开除．于是，他便根据自己的意志投身于政治活动．1831年5月9日，在一个共和主义者的宴会上，伽罗瓦举杯对国王进行了挑衅性的祝酒，于第二天被捕．罪名是教唆谋害国王生命的未遂罪．6月15日被塞纳陪审法院释放．在此期间，伽罗瓦继续进行数学研究．他于1831年1月13日开了一门关于高等代数的公开课，以讲授自己独创的学术见解谋生．但是，这个设想并未获得多大成功．1831年1月17日，他向科学院呈送了题为“关于方程根式解的条件”的论文，这次负责审查论文的是泊松和S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)．虽然泊松认真地审阅了它，可得出的结论却是“不可理解”．在他们给科学院的报告中说：“我们已经尽了最大努力来研究伽罗瓦的证明，他的推理显得不很清楚，到目前为止，我们还不能对它作出正确评价，因为有说服力的证明还没有得到．因此，在这篇报告中，我们甚至不能给出他的证明思想．”最后，泊松建议伽罗瓦进一步改进并详细阐述他的工作．1831年7月14日，伽罗瓦率众上街示威游行时，再次被捕，他被关押在圣佩拉吉监狱．他在狱中顽强地进行数学研究，一面修改他关于方程论的论文，研究椭圆函数，一面着手撰写将来出版他著作时的序言．1832年3月16日，由于宣布霍乱正在流行，伽罗瓦被转移到一家私人医院中服刑．他在那里陷入恋爱，后因爱情纠纷而卷入一场决斗．4月29日，伽罗瓦获释．5月29日，即决斗的前一天，伽罗瓦给共和主义者的朋友们写了绝笔信．尤其在给A．舍瓦列耶(Cheralier)的信中，表明他在生命即将结束的时候，仍在整理、概述他的数学著作．第二天清晨，在冈提勒的葛拉塞尔湖附近，他与对手决斗，结果中弹致伤后被送进医院．1832年5月31日，这位未满21岁的数学家与世长辞了．伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了代数方程的可解性问题．人们为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗瓦理论．它已成为近世代数学的最有生命力的一种理论．群论起源于代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果．对于方程论，拉格朗日有过卓越的概括．在1770年前后，他利用统一的方法(现在称为拉格朗日预解式方法)，详细分析了二次、三次、四次方程的根式解法，提出了方程根的排列置换理论是解决问题的关键所在．他的方法对于求解低次方程卓有成效，但对一般的五次方程却没有任何明确的结果，致使他对高次方程的求解问题产生了怀疑．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其证明并不完善．在1824—1826年，阿贝尔修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明了一般的五次或五次以上的代数方程不可能有根式解．其间，高斯于1801年建立了分圆方程理论，解决了二项方程的可解性问题，这对于伽罗瓦理论的创立至关重要．1815年，柯西对于置换理论的发展做出了贡献．固然高于四次的一般方程不能有根式解，但是有些特殊类型的方程(如二项方程、阿贝尔方程割仍然可以用根式求解．因此，全面地刻画可用根式求解的代数方程的特性问题，乃是一个需要进一步解决的问题．伽罗瓦的理论正是在这样的背景上发展起来的．伽罗瓦继承和发展了前人及同时代人的研究成果，融会贯通了各流派的数学思想，并且凭着他对近代数学概念特性的一种直觉，超越了他们．他系统地研究了方程根的排列置换的性质，首次定义了置换群的概念，他认为了解置换群是解决方程理论的关键．在1831年的论文中，伽罗瓦把具有封闭性的置换的集合称为“群”．当然，这只是抽象群的一条重要性质而已．群是近代数学中最重要的概念之一，它不仅对数学的许多分支有深刻的影响，而且在近代物理、化学中也有许多重要的作用．因此，群的概念需要以高度抽象的形式来表达．现在公认群是元素间存在二元运算(例如乘法)并具有下列四条性质的集合：(1)(封闭性)集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；(2)(结合性)乘法满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)；(3)(存在单位元)集合中存在单位元I，对集合中任意元素a满足I·a=a·I=a；(4)(存在逆元)对集合中任一元素a，存在唯一元素a-1，使得a-1·a=a·a-1=I．伽罗瓦是利用群论的方法解决代数方程可解性问题的．他注意到每个方程都可以与一个置换群联系起来，即与它的根之间的某些置换组成的群联系；现在称这种群为伽罗瓦群．对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使该函数的值不变．反过来，如果伽罗瓦群中的每个置换都使一个根的多项式函数的值不变，则这多项式函数的值是有理的．因此，一个方程的伽罗瓦群完全体现了它的根(整体)的对称性．伽罗瓦的思想方法大致是这样的：他将每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域(现在称之为方程的伽罗瓦域)，这个域又对应一个群，即这个方程的伽罗瓦群．这样，他就把代数方程可解性问题转化为与方程相关的置换群及其子群性质的分析问题．这是伽罗瓦工作的重大突破．具体说来，假设方程x n+a1x n-1+a1x n-2+…+a n-1x+a n=0的系数生成的域为F，E是方程的伽罗瓦域，它是将方程的根添加到F上所生成的域，现在称之为伽罗瓦扩张．让G表示方程的伽罗瓦群．这个方程是否可用根式求解的关键问题是：数域F是否可以经过有限次添加根式而扩张为根域E．也就是说是否存在有限多个中间域：F1，F1，…，F s-1，F s=E，使F=F0F1F1…F s=E．其中每个F i都是由F i-1添加F i-1中的数的根式所生成的扩域．不妨假定，F是含有这个方程的系数及1的各次方根的最小域，且每次所添加的根式均为素数次根．那么，这样的中间域Fi与Fi-1之间有何关系呢？伽罗瓦经过认真的研究，认为关键取决于使Fi-1保持不变的Fi的自同构变换群的结构．可以证明，这样的自同构群是素数阶的循环群，且阶数为[Fi∶Fi-1]．域上的自同构群概念的引入，使域与群发生了联系．即建立了伽罗瓦域的子域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系．事实上，保持F=F0的元素不动的E的每个自同构决定方程根的一个置换，它属于伽罗瓦群G；反之，G中每个置换引起E的一个自同构，它使F的元素不动．这样就建立了E的自同构群和方程的伽罗瓦群之间的同构．由此建立E的子域(包含F)和G的子群之间的一一对应：保持子域Fi元素不动的G中全部置换构成G的一个子群Gi，让Gi与Fi对应，而且反过来也可用Gi来刻划Fi，即Fi是E中对Gi的每个置换保持不动的元素全体．伽罗瓦还利用方程根的n！值的线性系数θ(n表示方程根的个数)来定出方程的伽罗瓦群．虽然这种计算并非易事，但的确给出了计算伽罗瓦群的一种方法，而且伽罗瓦在这里给出了域扩张的本原元素的概念．在代数方程可解性的研究中，伽罗瓦的主要思想是对给定方程的系数以及经过有限次扩张的中间域给出了一个群的序列，使得每个扩域相对应的群是它前一个域相应的群的子群．伽罗瓦基本定理就描述了中间域与伽罗瓦群的子群之间的对应关系．利用这种关系，可由群的性质描述域的性质；或由域的性质描述群的性质．因此，伽罗瓦的理论是域与群这两种代数结构综合的结果．伽罗瓦的工作主要基于两篇论文——“关于方程根式解的条件”和“用根式求解的本原方程”．这两篇论文于1846年由J．刘维尔(Liouille)编辑出版．此后，人们便开始介绍和评价伽罗瓦的工作，他的思想方法逐渐为人们所接受．在这些论文中，伽罗瓦将其理论应用于代数方程的可解性问题，由此引入了群论的一系列重要概念．当伽罗瓦将二项方程作为预解方程研究时，他发现其相应的置换子群应是正规子群且指数为素数才行．正规子群概念的引入及其性质和作用的研究，是伽罗瓦工作的又一重大突破．属于伽罗瓦的另一个群论概念是两个群之间的同构．这是两个群的元素之间的一一对应，使得如果在第一个群中有a·b=c，则对第二个群的对应元素，有a′·b′=c′．他还引进了单群和合成群的概念．一个没有正规子群的群是单群，否则是合成群．他表述了最小单群定理：阶是合成数的最小单群是60阶的群．伽罗瓦还利用正规子群判别已知方程能否转化为低次方程的可解性问题．用现代语言可将他的思想方法描述如下：首先定义正规子群的概念，即群G的子群N叫做G的正规子群，是指对于每个g∈G，g－1Ng=N；其次是寻找极大正规子群列，确定极大正规子群列的一系列合成因子．如果一个群所生成的全部合成因子都是素数，伽罗瓦就称这个群为可解的．他利用可解群的概念全面刻画了用根式解方程的特性，给出了判别方程可解性的准则：一个方程可用根式解的充要条件是这个方程的伽罗瓦群是可解群．虽然这一准则不能使一个确定方程的精确求解更为简单，但它确实提供了一些方法，可以用来得出低于五次的一般方程，以及二项方程和某些特殊类型方程的可解性的有关结果，还可以直接推导出高于四次的一般方程的不可解性．因为一般的n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn；当n＞4时，n次交错群An是非交换的单群(不可解)，An又是Sn的极大正规子群．由此可推出Sn 是不可解的．既然对于所有这样的n值，都存在其Sn是伽罗瓦群的n次方程，所以一般的高于四次的方程不可能得到根式解．在“关于方程代数解法论文的分析”中，伽罗瓦提出了一个重要定理(未加证明)：一个素数次方程可用根式求解的充要条件是这个方程的每个根都是其中两个根的有理函数．伽罗瓦用它判别特殊类型方程的根式解问题．他所研究的这种方程，现在称之为伽罗瓦方程，是阿贝尔方程的推广．在“数的理论”一文中，伽罗瓦用现在所谓的“伽罗瓦虚数”对同余理论作了推广并将之应用于研究本原方程可用根式求解的情况．关于伽罗瓦虚数，在伽罗瓦之前只知道特征0的域，如有理数域、实数域、复数域等，伽罗瓦在这篇论文中给出了一类新的域，即伽罗瓦域，现在称为有限域，它们是素数特征的城．有限域在现在通讯中的重要作用是尽人皆知的．伽罗瓦的数学遗作，首次(1846)发表在刘维尔主办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．1897年，E．皮卡(Picard)再次出版了《伽罗瓦数学手稿》(Ocuvres mathématiques d’Evariste Galois)．之后，J．塔涅伊(Tannery)编辑的《伽罗瓦的手稿》(Manuscriste d’Evariste Galo－is)于1908年正式出版．1962年，R．布尔哥涅(Bourgne)和J．P．阿兹拉(Azra)编辑出版了带有评论性的典型版本《伽罗瓦数学论文全集》(Ecrists et mémoires mathématiques d’EvaristeGalois)，它汇集了伽罗瓦所有已发表的著作，以及绝大部分还保存的数学提纲、信件和原稿．这些史料证实了伽罗瓦的数学研究，与他对数学本质尤其对数学方法的追求、探索是密不可分的，展示了他对现代数学精神的远见卓识．从中精选出的有关数学观、方法论的原文，已成为当今研究的方向．伽罗瓦不仅研究具体的数学问题，而且研究能概括这些具体成果并决定数学长期发展及人们思维方式转变的新理论——群论．由此还发展了域论．D．希尔伯特(Hilbert)曾把伽罗瓦的理论称为“一个明确的概念结构的建立”．这种理论，对于近代数学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响．正象E．T．贝尔(Bell)所说的：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐，群的概念是近世科学思想的出色的新工具之一．”伽罗瓦还是头一位有意识地以结构研究代替计算的人．他使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他的理论是群与域这两种代数结构综合的结果．在他的论文序言部分明确表述了这种思想，他提出：“使计算听命于自己的意志，把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类——这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路．”这种深邃的数学思想，已明显地具有现代数学的精神．伽罗瓦“‘把数学运算归类”这句话，毫无疑问是指现在所谓群论．群的功能正是将所研究的对象进行分类，而不管研究对象本身及其运算的具体内容，它是在错综复杂的现象中探讨共同的结构．一般说来，一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构，一旦引进了运算或变换就形成了结构；所形成的结构中必须包含着元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的．“把数学运算归类，而不是按照它们的外部特征加以分类”，其思想实质是：数学由研究具体的数和形的外部特征转变成研究一般的、抽象的结构．伽罗瓦对代数结构的探索，深化了人们关于数学研究对象的认识——按照这种观念，数学的研究对象不是孤立的量，而是数学的结构．从自发到自觉转变的意义上说，伽罗瓦已经处于近代数学的开端．他为19世纪数学家们提出的问题及任务，导致了公理方法的系统发展和代数基本结构的深入研究．因此，伽罗瓦是近世代数学的创始人．伽罗瓦在数学上做出了巨大的贡献，他在数学观、认识论方面也有不少独立的见解．他认为科学是人类精神的产物，与其说是用来认识和发现真理，不如说是用来研究和探索真理．科学作为人类的事业，它始于任何一个抓住它的不足并重新整理它的人．伽罗瓦指出：“科学通过一系列的结合而得到进展，在这些结合中，机会起着不小的作用，科学的生命是无原由的、没有计划的(盲目的)，就像交错生长的矿物一样．”在数学中，正像在所有的科学中一样，每个时代都会以某种方式提出当时存在的若干问题，其中有一些迫切的问题，它们把最聪慧的学者吸引在一起，这既不以任何个人的思想和意识为转移，也不受任何协议的支配．伽罗瓦向往着科学家之间的真诚合作，认为科学家不应比其余的人孤独，他们也属于特定时代，迟早要协同合作的．伽罗瓦的奠基性工作及其思想中孕育的开创精神，并未得到他同时代人的充分赏识和理解，其原因不是人为的偏见，而是当时人们认识上的不足．直到伽罗瓦去世14年后的1846年，刘维尔编辑出版了他的部分文章；1866年，J．A．塞雷特(Serret)出版的《高等代数教程》(第三版)(Cours d’algébre superieure)，澄清了伽罗瓦关于代数方程可解性理论的思想，建立了置换理论；1870年，C．若尔当(Jordan)出版的《置换和代数方程专论》(Traitédes substitutions et deséquations algébriques)，全面介绍了伽罗瓦的理论．从此，群论和伽罗瓦的全部工作才真正被归入数学的主流．伽岁瓦的理论导致了抽象代数学的兴起．。
【抽象代数】03-商群和直积1. 陪集 现在继续研究群的分解，先来讨论⼀般⼦群之间、以及⼦群和⽗群的关系。
⾸先根据⼦群的判定条件，如果H,K⩽，则很容易有H\cap K\leqslant G。
那么H\cup K呢?当然这⾥H,K都是真⼦群，并且不互相包含。
从H中取元素h\not\in K，从K中取元素k\not\in H，则容易证明hk\not\in H\cup G，从⽽H,K⼀定不是G的⼦集。
如果再把hk都包含进来呢，即HK是不是G的⼦集？对h_1k_1,h_2k_2\in HK，如果总有有(h_1k_1)(h_2k_2)=hk，容易证明该条件和HK=KH等价。
所以就有下式结论，但要注意HK=HK并不表⽰hk=kh。
这样的分割需要⼦集满⾜⼀定条件，不符合我们现在的需求，需要另找⽅法。
HK\leqslant G\quad\Leftrightarrow\quad HK=KH\tag{1} 现在看来，我们必须放弃将⽗群分解为若⼲个⼦群的想法，⽽只能以某个⼦群H为参考或划分单位。
我们还希望分成的每⼀块和⼦群⼀样⼤，最好元素与H也有⼀⼀对应的关系。
由此我们想到了考察集合aH，它表⽰a和H每个元素的乘积组成的集合，被称为H的左陪集（left coset），a是左陪集的代表元。
如果a\in H，显然aH=H，现在来研究a\not\in H时，aH之间的关系。
对任意b\in aH，存在b=ah,(h\in H)，则bH=ahH=aH，也就是说以aH的中任何元素为代表元的左陪集都与aH完全重合。
换句话说，所有左陪集要么完全相等，要么没有交集，每个元素都被划分到了⼀个左陪集中，且都能作为该左陪集的代表元。
另⼀⽅⾯，对b\in aH，有a^{-1}b=h\in H，容易证明a^{-1}b\in H就是a,b同属于⼀个左陪集的充要条件，它是群元素之间的⼀个等价关系。
同样可以定义右陪集Ha的概念，并有着和左陪集⼀样的结论，只不过同属于⼀个右陪集的条件要改成ab^{-1}。
近世代数近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
1理论构成抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。
抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。
经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。
而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。
泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。
抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。
后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。
他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。
“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”。
直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。
1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。
1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856~1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。
20世纪初给出了群的抽象公理系统。
群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。
例如，找出给定阶的有限群的全体。
本世纪未解的数学难题数学的前沿与一般人的印象大不相同，这是由于通过中学教育学的数学大都是300年之前的东西，而物理学、化学、生物学的内容则是近300年、300年、100年、50年甚至最近的成果。
可是在这300年中数学已发展成为极为庞大的领域，有十几个二级学科，一百多个三级学科以及成千上万的分支。
每一个学科和分支都有大量的象哥德巴赫猜想那样的未解决的难题。
明确提出，写在文献中的数伦难题上万个，群论难题上千个，各学科的重要猜想也不下几百个。
这些难题当然重要性各有不同，最重要的难题就像刚解决不久的费尔马大定理一样，处于数学主流当中，它的进展能够带动许多学科的发展，并且产生出许多新问题推动数学向更高的水平前进。
由于90%的数学问题对于隔行的人难以理解，这里只选择2个比较易懂的重要难题（更正确说是难题组），其中有的有上百年的历史，它们是公认的重大的数学问题，它们的解决对数学将有巨大的推动。
黎曼猜想这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。
这个猜想是指黎曼ζ函数： it s s s n n +==∑∞=σζ11)( 的非平凡零点都在21=σ的直线上。
在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。
多项式)(x P 的零点也就是代数方程)(x P =0的根。
根据代数基本定理，ｎ次代数方程有ｎ个根，它们可以是实根也可以是复根。
因此，多项式函数有两种表示方法，即)())(()(110111n n n n n n x x x x x x a a x a xa x a x P ---=++++=-- 当s 为大于1的实数时，)(s ζ为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式： ∑∞=-∏==111)1(1)(n p P n s s ζ但是，这样的)(s ζ用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s 就包含非常多的信息。
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界可解群是一类常见的群,在Galois 方程论等方面有重要的应用.判定有限群的可解性是一个常见的问题.以下给出一种方法,把判定有限群G 的可解性的问题转化成寻找G 的三个指数互素的可解子群的问题.如果能够找到三个子群,指数互素,且可解,那么G 是可解的.这样就把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.而阶数较低的群相对容易研究.首先看定义和几个引理.定义1设G 为任意群.a,b ∈G ,令[a,b ]=a -1b -1ab ,称为元素a ,b 的换位子.令G ′=〈[a ,b ]|a,b ∈G 〉,称为G 的换位子群.归纳定义G 的n 阶换位子群:G (0)=G ,G (n )=(G (n -1))′,n ≥1.称群G 为可解群,如果存在正整数k 使G (k )=1.下面的引理1给出了几个关于换位子群的结论.引理1(1)设G=M 1×M 2,则G ′=M 1′×M 2′.(2)设H ≤G ,g ∈G ,则(H g )(n )=(H (n ))g ,n ≥1.(3)设H ≤G ,,则(HN /N )(n )=H (n )N /N ,n ≥1.证明(1)∀(a 1,b 1),(a 2,b 2)∈G ,其中a 1,a 2∈M 1,b 1,b 2∈M 2,[(a 1,b 1),(a 2,b 2)]=(a 1,b 1)-1(a 2,b 2)-1(a 1,b 1)(a 2,b 2)=(a 1-1a 2-1a 1a 2,b 1-1b 2-1b 1b 2)=([a 1,a 2],[b 1,b 2])故G ′=M 1′×M 2′.(2)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1g,h 2g]=(h 1g )-1(h 2g )-1h 1gh 2g=(h 1-1h 2-1h 1h 2)g=[h 1,h 2]g,于是(H g )′=(H ′)g .假设(H g )(n -1)=(H (n -1))g ,于是(H g )(n )=((H g )(n -1))′=((H (n -1))g )′=((H (n -1))′)g =(H (n ))g (3)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1N ,h 2N ]=(h 1N )-1(h 2N )-1h 1Nh 2N =h 1-1h 2-1h 1h 2N =[h 1,h 2]N ,于是(HN /N )′=H ′N /N .假设(HN /N )(n -1)=H (n -1)N /N ,于是(HN /N )(n )=((HN /N )(n -1))′=(H (n -1)N /N )′=(H (n -1))′N /N=H (n )N /N .引理2设有限群G ≠1为可解群,则存在p -群M ≠1且M .证明取G 的极小正规子群M (即:1≠M ,∀N ,N ⊆M ,则N =1或M ).∀HcharM ,由M 知,H .由M 的极小性知,H =1或M .故M 为特征单群.有限特征单群是同构单群的直积.[1]设M=M 1×…×M s ,其中M i (i =1,...,s )是同构的单群.因为M ≤G ,所以M (n )≤G (n ),n ≥1,由G (k )=1可得M (k )=1.由引理1(1),M (k )=(M 1×…×M s )(k )=M 1(k )×…×M s (k )=1.于是M i (k )=1(i =1,...,s ).又由M i′M i 及M i 是单群知,M i ′=1.故M i 交换.交换单群是素数阶循环群.故M i 是素数阶循环群.又M i (i =1,...,s )是同构的.故M 是p -群.下面的引理3研究了有限群子群指数互素的情形.引理3设G 是有限群,H ≤G ,K ≤G ,若G ∶H 与G ∶K 互素,则G=HK .证明首先,子集HK 中包含H 的右陪集个数(姑且记作HK ∶H )等于K 中包含H ∩K 的陪集个数K ∶H ∩K .[2]这是因为Hk 1=Hk 2⇔k 1k 2-1∈H ⇔k 1k 2-1∈H ∩K ⇔(H ∩K )k 1=(H ∩K )k 2.于是,G ∶H ≥HK ∶H =K ∶H ∩K .从而,G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K ≤G ∶K G ∶H .又G ∶H 与G ∶K 都是G ∶H ∩K 的因子,且G ∶H 与G ∶K 互素,有G ∶H G ∶K G ∶H ∩K .故G ∶H ∩K =G ∶H G ∶K .而G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K =G ∶K HK ∶H ,于是G ∶H =HK ∶H .故G=HK .引理4若K G ,且K 和G /K 都是可解的,则G 是可解的.[3]证明令ν是G 到G /K 上的自然同态,则ν(G ′)=(ν(G ))′.假设ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),则ν(G (i +1))=ν((G (i ))′)=(ν(G (i )))′=((ν(G ))(i ))′=(ν(G ))(i +1).于是ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),i ≥1.又ν是满同态,从而ν(G(i ))=(G /K )(i ),i ≥1.因此,由G /K 可解知,存在k ≥1使ν(G (k ))=1.于是G (k )⊆K .由K 可解知,存在l ≥1使K (l )=1.于是G (k+l )⊆K (l )=1,从而G 是可解的.定理1设有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.证明对G 用归纳法.G =1显然成立.假设对小于G 成立.下证对G 成立.断言H 1≠1,否则(G ∶H 1,G ∶H 2)=(G ,G ∶H 2)=G ∶H 2≠1(假如G ∶H 2=1,则G =H 2可解),与互素矛盾.断言成立.又H 1可解,由引理2,存在p -群M ≠1且M H 1.因为(G ∶H 2,G ∶H 3)=1,所以p 至多整除G ∶H 2,G ∶H 3中的一个.不妨设G ∶H 2.但由于p H 1,于是p G ,又G =H 2G ∶H 2,故p H 2.设P 是H 2的Sylow p -子群.由于G ∶H 2,H 2∶P ,G ∶P =G ∶H 2H 2∶P ,于是G ∶P ,故P 是G 的Sylow p -子群.由Sylow 定理,任二Sylow p -子群共轭,任一p -子群含于一Sylow p -子群.存在g ∈G ,使M ≤P g ≤H 2g.由G ∶H 2g=G ∶H 2知,G ∶H 1与G ∶H 2g互素,由引理3,G=H 1H 2g.∀x ∈G ,x=x 1x 2,x 1∈H 1,x 2∈H 2g.由M H 1,M ≤H 2g 知,M x=Mx x =M x ≤H 2g.令N =〈M x |x ∈G 〉,于是N ≤H 2g,1≠N G .H 2可解,对某正整数k ,H 2(k )=1,由引理1(2),(H 2g )(k )=(H 2(k ))g=1,故H 2g可解.从而N 可解.由引理1(3),(H 2N /N )(k )=H 2(k )N /N=1,故H 2N /N 可解.同理H 1N /N ,H 3N /N 可解.又G /N ∶H 1N /N =G /N ·(H 1∩N N )/(H 1N )G ∶H 1.同理G /N ∶H 2N /NG ∶H 2,G /N ∶H 3N /NG ∶H 3.故G /N ∶H 1N /N ,G /N ∶H 2N /N ,G /N ∶H 3N /N 两两互素,又G /N <G ,由归纳假设,G /N 可解,由引理4,G 可解.以上给出了一种判定有限群可解性的方法,把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.参考文献[1]崔雪晴,何建营.有限特征单群结构[J].科教导刊,2014,11(1):198-199.[2]徐明曜.有限群导引上册[M].2版.北京:科学出版社,1999:6-7.[3]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco:W.H.Freeman and Company,1974:239.[责任编辑:汤静]判定有限群可解性的一种方法崔雪晴陈仁霞(中原工学院理学院,河南郑州450000)【摘要】本文研究了换位子群的性质,得出了几个关于换位子群的结论.研究了有限群子群指数互素的情形.在此基础上,给出了一种判定有限群可解性的方法,即,若有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.【关键词】有限群;可解性;可解子群An Decision Method of the Solvability of Finite GroupsCUI Xue-qing CHEN Ren-xia(College of Science,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou Henan 450000,China)【Abstract 】It studies the properties of commutator groups,and gets some conclusions about commutator groups.It studies the case that the indexes of subgroups of finite groups are relatively prime.On the basis,it gives an decision method of the solvability of finite groups,that is,if a finite group G has three solvable subgroups H 1,H 2,H 3,and the indexes G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3are relatively prime,G is solvable.【Key words 】Finite group;Solvability;Solvable subgroups 作者简介:崔雪晴(1984—),女,硕士研究生,助教,研究方向为代数。
GL(3,2)是168阶不可解单群孔亚峰【摘要】为了更好的理解GL(3,2)是168阶不可解单群,本文利用有限群论的有关知识,运用分类讨论的方法,给出了GL(3,2)是168阶不可解单群一个新的证明.【期刊名称】《赤峰学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(027)005【总页数】2页(P9-10)【关键词】有限群;单群;可解群【作者】孔亚峰【作者单位】曲阜师范大学,数学科学学院,山东,曲阜,273100;济宁学院,山东,曲阜,273100【正文语种】中文【中图分类】O152.1我们用K≥G表示 K为 G的正规子群，Gα表示α的稳定子群.所有群论术语及主要符号见文[1].定义1 称有限群G为单群，如果G只有平凡正规子群.定义2 如果G在Ω上只有一个轨道，即Ω本身，则称G在Ω上作用是传递的. 引理1 设有限群G作用在有限集合Ω上，α=Ω，则定理 1(G L(3,2)是 1 6 8阶不可解单群.证明下面分四步证明：(ⅰ)|G L(3,2)|=1 6 8.事实上，设 V为 Z2上的三维向量空间，G L(3,2)表示可逆线性变换的集合，基的个数为(23-1)(23-2)(23-22)=1 6 8，故 |G L(3,2)|=1 6 8. (ⅱ)设 V*=V-1，令 G=G L(3,2),则 G在 V*上传递，即对任意的α,β∈V*，存在c∈G,使ασ∈β.(ⅲ)G L(3,2)不可解.反证法，设 G可解，N是 G的极小正规子群，则 N是 A b e l p-群，设N=P1× P2× … Pm,由 N极小知，N=P为 p-群，令 H=}，则 H c h a r N,存在H c h a r N≤G,H≤G,由 N的极小性知 H=N.G的极小正规子群 N是初等 A b e l p-群，这时 N在 V*上传递，事实上，V*=α1，α2，…，α7，Nαi表示N中固定的元素αi的集合，α1所在的轨道长为(N:Nαi).设Nαi在 N中的陪集为为α1所在的轨道，事实上彼此不等，若不然，若则矛盾，所以彼此不等，又，故对任意g∈N，存在 gi使，任意，存在(3,2)，使，事实上，α1g∈，同理可证把 G L(3,2)分成等长的若干个轨道，由于，若所以,因而 |N|=3或（1）|N|=3，N是 G L(3,2)的正规子群，取 A=不正规 G，矛盾.（2）|N|=2，N=〈a〉，任意g∈G=G L(3,2)，g-1a g∈N，所以 g-1a g=a，a∈Z(G)，G L(3,2)=1，矛盾.（3）|N|=22=4，则 GG(N)的 S y l o w 2-子群可交换，盾.（4）|N|=23=8，这时 G=G L(3,2)的 S y l o w 2-子群正规且是一个 A b l e群，取且A B≠B A，矛盾，所以不成立，所以 N在 V*上传递，|N:Nα1|=7，故 7||N|，所以|N|=7，G=G L(3,2)的 S y l o w 7-子群正规，由上已证矛盾，因而得到G不可解.(ⅳ)G=G L(3,2)为单群，若不单，则存在N≠1，G◁G，|N||23×7×3，N可解，G/N可解，从而 G可解，矛盾.故 G=G L(3,2)为单群.综上所述，G L(3,2)是 1 6 8阶不可解单群.〔1〕徐明曜.有限群导引（上、下册）[M].北京：科学出版社，2001.【相关文献】〔1〕徐明曜.有限群导引（上、下册）[M].北京：科学出版社，2001. 中图分类号：O 1 5 2.1。
