计算多项式的伽罗瓦群

伽罗瓦群论【写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。

哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。

】伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。

他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。

我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。

这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。

遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。

伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。

可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。

伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。

让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。

埃瓦里斯特.伽罗瓦首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their plexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。

）当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。

抽象代数中的伽罗瓦扩张判别法抽象代数是数学领域的一个重要分支，其中涉及到一项重要的工具——伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论主要研究群论、域论和代数方程论等方面的问题，而伽罗瓦扩张判别法则是伽罗瓦理论中的重要内容之一。

本文将从伽罗瓦扩张判别法的定义和基本原理开始，探究其在抽象代数中的应用和意义。

一、伽罗瓦扩张判别法的定义和基本原理伽罗瓦扩张判别法是伽罗瓦理论中的一种方法，用于判断一个域扩张是否属于伽罗瓦扩张。

根据伽罗瓦理论的基本原理，一个域扩张是伽罗瓦扩张的充要条件是该扩张的伽罗瓦群是一个可解群。

因此，伽罗瓦扩张判别法的核心就在于判断给定的域扩张的伽罗瓦群是否是一个可解群。

在具体应用伽罗瓦扩张判别法时，我们需要先找到给定域扩张的极小多项式，然后利用多项式的根和域的关系来推导出其伽罗瓦群的信息。

通过研究伽罗瓦群的结构和性质，我们可以判断这个域扩张是否属于伽罗瓦扩张。

二、伽罗瓦扩张判别法在抽象代数中的应用伽罗瓦扩张判别法在抽象代数中有着广泛的应用。

首先，在代数方程论中，伽罗瓦扩张判别法可以用来解决一元方程的可解性问题。

例如，对于一个一元四次方程，我们可以通过判断其伽罗瓦群是否是一个可解群来确定方程是否有根式解。

其次，在域论中，伽罗瓦扩张判别法可以用来判断给定域扩张的伽罗瓦群的性质。

通过研究伽罗瓦群，我们可以得到有关域扩张的很多重要信息，如扩张次数、子域的存在性等。

最后，在群论中，伽罗瓦扩张判别法也可以用来研究群的可解性。

根据伽罗瓦理论的基本原理，我们可以通过判断群是否是一个可解群来判断对应的扩张是否是伽罗瓦扩张。

三、伽罗瓦扩张判别法的意义与展望伽罗瓦扩张判别法作为伽罗瓦理论的一个重要工具，不仅在抽象代数理论研究中具有重要地位，而且在实际应用中也有着广泛的意义。

例如，在密码学和编码理论中，伽罗瓦扩张判别法可以用于构建安全性更好的密码算法和编码方案。

此外，伽罗瓦扩张判别法还为数学家提供了一种研究域扩张的有效方法，为推动数学理论的进一步发展和应用提供了新的思路。

家庭背景1811年10月25日，伽罗瓦出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内.他的父亲尼古拉·加布里埃尔·伽罗瓦,参与政界活动,属自由党人，是拿破仑的积极支持者.主持过供少年就学的学校，任该校校长.又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴. 他的母亲玛利亚·阿代累达·伽罗瓦, 是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师,为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础.数学天赋1823年l0月,年满12岁伽罗瓦，考入了有名的路易·勒·格兰皇家中学. 他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助.在一些老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”.他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望.他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教.著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美.学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨.接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”.论文第一次被丢失1828年，17岁的伽罗瓦开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的数学问题.伽罗瓦最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌.1829年5月，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院. 负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松.柯西是当时法国首屈一指的数学家,他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失.伽罗瓦向科学院送交论文时，他未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了.论文第二次被丢失1829年7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了,这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义.1829年10月25日,伽罗瓦听从里夏尔老师的劝告,作为预备生进入师范大学学习. 进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖.主持审查论文的是当时数学界权威人士、科学院院士——傅立叶,然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了.人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文,就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了.论文被否定伽罗瓦没有灰心，又继续研究自己所得的新成果.第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》.1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院士波松,总算幸运，这一次论文没有丢失.但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像波松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到波松草率的评语“不可理解”而被否定了。

伽罗瓦理论是现代数学中的一个重要分支，它探讨了数论中的一个经典问题：五次方程不可解。

该问题在数学史上曾经引起了巨大的争议和困惑，直到19世纪初，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦建立了现代群论和伽罗瓦理论，才最终解决了这一难题。

在本文中，我们将深入探讨伽罗瓦如何证明了五次方程的不可解性，并对其理论进行全面的评估和解读。

1. 伽罗瓦理论的概念和基本原理伽罗瓦理论是群论的一个重要应用领域，它主要研究了有限域与多项式方程的根之间的关系。

在伽罗瓦的理论中，一个多项式方程的可解性与其对应的有限域的结构密切相关。

通过研究方程的对称性和置换群的结构，伽罗瓦理论建立了方程可解性的准则，从而证明了五次及以上的一般多项式方程的不可解性。

2. 伽罗瓦对五次方程不可解的证明伽罗瓦最重要的工作之一是对五次方程不可解性的证明。

他首先通过传统的代数方法证明了五次方程的一般解不存在，并进一步利用了群论的概念，分析了五次方程的置换群，证明了其不可约性和不可解性。

这一成果极大地推动了数学领域的发展，为代数基本定理的证明奠定了坚实的基础。

3. 伽罗瓦理论的深度和广度伽罗瓦理论不仅解决了五次方程不可解性的经典问题，更深刻地影响了数学领域的发展。

它在代数、几何、数论等领域都有着重要的应用，并且从根本上改变了数学家们对可解性和不可解性的认识。

伽罗瓦理论的深度和广度超出了人们的想象，成为了现代数学中不可或缺的一部分。

4. 个人观点和理解作为一个数学爱好者，我对伽罗瓦理论深深着迷。

它不仅解决了一个经典的数学难题，更重要的是，它改变了人们对数学可解性的认识，开拓了数学领域的新视野。

伽罗瓦理论的严谨性和美妙性让我深有感触，我相信它将继续在数学领域发挥重要作用，激发数学家们不断探索未知领域的激情。

总结回顾伽罗瓦理论的证明伽罗瓦对五次方程不可解的经典成果，标志着现代代数学的发展达到了一个新的高度。

通过对多项式方程的深入研究和对称性的探讨，伽罗瓦理论揭示了方程可解性的本质，为数学领域带来了革命性的变革。

数论中的伽罗瓦域的应用数论中的伽罗瓦域的应用伽罗瓦理论是数论中的重要分支，它以法国数学家伽罗瓦的名字命名。

伽罗瓦域是伽罗瓦理论中的关键概念之一，它在数论中有着广泛的应用。

本文将介绍伽罗瓦域及其应用，并探讨其在数论中的重要性。

一、伽罗瓦域的概念伽罗瓦域是一个含有无穷个元素的域，它是一个代数闭域，同时也是一个代数扩域。

伽罗瓦理论中的主要研究对象是有限域，而伽罗瓦域是有限域的代数闭包。

伽罗瓦域的一个重要性质是它是一个分裂域，即拆解为不可约多项式的根的集合。

二、伽罗瓦域的应用1. 密码学伽罗瓦域在密码学领域中有着广泛的应用。

通过伽罗瓦域的理论，可以构建强大的密码算法，保障数据的安全性。

伽罗瓦域的性质使得它具有很好的随机性和离散性，这些性质使得伽罗瓦域在密码学中成为一个重要的工具。

2. 编码理论伽罗瓦域在编码理论中也有着重要的应用。

通过伽罗瓦域的理论，可以设计出高效的纠错编码和解码算法，有效地提高数据传输的可靠性。

伽罗瓦域的特性使得它能够正确地检测和修复数据传输过程中的错误。

3. 数论伽罗瓦域在数论中起到了至关重要的作用。

通过伽罗瓦域的理论，可以研究数的性质、素数、整数解等问题。

伽罗瓦域的工具和方法在解决数论问题中具有独特的优势，它有效地提高了数论研究的效率。

4. 代数几何伽罗瓦域在代数几何中也有着广泛的应用。

它可以用来研究代数曲线和代数簇等几何对象的性质。

通过伽罗瓦域的理论，可以得到更多关于曲线和簇的信息，从而推动了代数几何的发展。

5. 数量关系伽罗瓦域在数量关系中也有着重要的应用。

通过伽罗瓦域的理论，可以研究数的各种关系和运算。

伽罗瓦域的性质使得它能够描述数的结构和相互关系，从而在数量关系的研究中发挥着重要的作用。

三、伽罗瓦域的重要性伽罗瓦域作为伽罗瓦理论的核心概念，对于数论的研究具有重要的意义。

它不仅扩展了数论的应用领域，而且为解决复杂的数论问题提供了有力的工具和方法。

伽罗瓦域的理论为数学家们在数论研究中开辟了新的道路，推动了数学领域的发展。

阿贝尔-鲁菲尼定理-详解阿贝尔-鲁菲尼定理(Abel - Ruffini theorem)目录• 1 什么是阿贝尔-鲁菲尼定理• 2 阿贝尔-鲁菲尼定理的内容• 3 阿贝尔-鲁菲尼定理的历史• 4 阿贝尔-鲁菲尼定理的现代证明什么是阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。

它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。

这个定理以保罗•鲁菲尼和尼尔斯•阿贝尔命名。

前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。

埃瓦里斯特•伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表阿贝尔-鲁菲尼定理的内容阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。

事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。

然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。

通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。

例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。

三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。

阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。

或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。

换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。

这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。

比如X5− 2 = 0的解就是。

数学史上的⼀座丰碑——伽罗⽡创⽴群论⽅程求解中的难题⽅程论是古典代数的中⼼课题。

早在公元3世纪的希腊数学家丢番图和9世纪的阿⾥·花拉⼦⽶，均求得⼀元⼆次⽅程ax^2+bx+c=0的解。

到了16世纪，意⼤利数学家卡丹和他的学⽣费拉⾥相继发表了⽤根式求解三次⽅程和四次⽅程的⽅法。

这个被后来数学界称为卡丹公式的三次⽅程求解公式，实际是公元1500年左右波仑亚的数学家⾮尔洛最先研究出的，后来⼏经转折被塔塔利亚掌握，卡丹保证保密后，塔塔利亚告诉给卡丹，但6年后，卡丹给出证明发表了。

由于不超过四次的⽅程都能通过根式求得它的⼀般解，那么⾼于四次的⽅程能否⽤根式求解，便成为⼈们关注的重⼤问题。

很多数学家争相研究和寻找根式求解五次⽅程的公式。

从16世纪后半叶直到19世纪初，许多数学家和数学爱好者，都把它作为检验⾃⼰才能的试⾦⽯，可是毫⽆例外的都失败了。

根式解法虽然没有找到，但⼈们却积累了经验和知识。

1799年，年仅22岁的⾼斯在作博⼠论⽂时，他没有去计算⽅程的根，⽽是证明它的存在性。

他把⽅程与曲线联系起来，通过对曲线作定性研究，证明了每⼀个实系数多项式⾄少有⼀个实根或⼀个复根，这个结论被称为代数学基本定理。

⾼斯的⽅法开创了探讨数学中整个存在问题的新途径。

接着，他研究了分圆⽅程，于1801年证明了这种⽅程可⽤根式求解，这表明某些⾼于四次的⽅程能⽤根式解出。

那么，可⽤根式求解的是所有的⾼次⽅程，还是部分⾼次⽅程？这便成为摆在数学家⾯前的⼀个难题。

阿贝尔的成果轰动了世界就在⾼斯证明了代数学基本定理3年后的1802年，⼜⼀数学新星阿贝尔在挪威的芬诺诞⽣了。

阿贝尔有着较优裕的家庭，更幸运的是，他在中学时代遇上了⼀位杰出的教师霍姆伯。

霍姆伯是挪威天⽂学家汉斯顿的助教，他使阿贝尔第⼀次感受了数学的意义和乐趣。

霍姆伯也看到了阿贝尔不寻常的才能，给他找来欧拉、拉格朗⽇、拉普拉斯等⼤师们的原著，⼀起讨论疑难问题，使阿贝尔迅速了解当代数学的前沿课题。

伽罗瓦理论：人类至今无解的五次方程用汗水和生命浇灌出来的理论之花，困扰人类300多年的高阶谜团1832年，自知必死的伽罗瓦奋笔疾书，写出了一篇几乎半个世纪都没人看懂、只有32页纸的论文，并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他毅然决然参与决斗并身亡，一个瘦弱而极富激情的天才就这样走了，最后闪现出的是绝世才华，他的生命只有21岁！群论、数学质变的前夕为什么数学家对五次方程如此迷恋，因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论。

群论的出现，直接奠定了20世纪的物理基础，从此，统治人类近200年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。

一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般来临。

在这次暴风雨的前夜，历史上最伟大的数学家们悉数登场，他们为五次方程的求解而苦苦思索。

在五次方程获得求解之前，一元三、四次方程在数学大神塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里的努力下，顺利得到了解决，然而到了五次方程，再传统地以根用系数的代数式求解却始终行不通。

在各大高手尝试失败后，它很快成了数学家心中的顶尖难题，这是属于神的命题，与人类无关。

在这条解方程的漫漫长路上，最先为五次方程求解提供了新思路的是上帝之子欧拉，他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x+ax+b=0”的形式。

出于对这一优美表达的倾心喜爱，欧拉自以为是地认为可以找出五次方程的通解表达式。

与此同时，数学天才拉格朗日也在为寻找五次方程的解而废寝忘食。

很快，他便欣喜地发现了一种特别的方法，若将四次方程降阶为三次方程，就能找到一种求解四次方程的简单方法。

但遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为六次方程。

此后，五次方程的进展一度陷入迷局。

当时五次方程的焦点主要集中在两大问题上，第一个问题是，对N次方程，至少都有一个解吗？第二个问题则更进一步：N次方程如果有解，那么它会有多少个解呢？人类历史上另一伟大数学家高斯挥动如椽巨笔，成功解决了这两大问题，证明了分圆多项式-1+xp（p为素数）可以用根式求解，但拨开迷雾之后，一个更加狰狞的难题仍然浮现在眼前，五次方程是否可以用根式求解的难题依旧困扰着人类，挥之不去.数学本无种，业余民科遭歧视为了求解五次方程，欧洲大陆的数学家正紧锣密鼓地开展深入研究。

多项式维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索在数学领域里，多项式是由变量以及标量（一般是实数或复数）经乘法及加法构法而成，属于整式的代数式。

下列四种都是多项式：多项式中每一个 x n 皆称之为多项式的项次数：多项式 x n 中每一项的n为此项的次数同次项：若有多个多项式，其中每一项的 x k 项称之为同次项首项：指多项式的项中次数最大者，若多项式首项为n，则称此多项式为n次多项式∙∙∙∙非多项式的例子：∙∙这些式子的变量位在分母，称作分式，并非多项式。

及也是多项式，但若然及是可置换的变量，即，则这两个多项式是相同的。

单项式是指可以纯粹由乘法构法的多项式，如: 、及。

单项式其实是不含加法或减法运算的整式.（注：有说单项式不是多项式，而多项式是由起码两个或以上的单项式相加起来而成。

这是最常见单项式及多项式的定义。

但多项式相加也可以是单项式，如，这个区分令理论研究变得复杂。

若然把单项式也归纳为多项式，则多项式相加的和也是多项式，情况比较简单。

）几何学中，多项式是最简单的平滑曲线。

简单是指它仅由乘法及加法构法；平滑皆因它类同口语中的平滑——以数学述语来说，它是无限可微，即可以对它的所有高次微分都存在。

事实上，多项式的微分也是多项式。

简单及平滑的特点，使它在数值分析，图论，以及电脑绘图等，都发挥极大的作用。

历史多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老数学问题之一。

有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。

另一些多项式，如f(x)=x² + 1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。

若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。

能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。

一元二次多项式的根相对容易。

三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。

四次多项式的情况也是如此。

经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震掝数坛。