有限群的阶与群的结构

有限Abel群的结构定理（Fundamental Theorem ofFinite Abelian Groups）有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups) 有限Abel群是群论中已被研究清楚了的重要群类，也是应用比较广泛的群类，本节的主要结论是有限Abel群可以分解成阶为素数的方幂的循环群(循环p-群)的直积，而且表法是唯一的。

我们先看几个具体的例子。

4阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。

Z,Z，Z422 ，其中是非Abel群;是Abel群，且6阶群有两种不同的类型，代表分别是ZZ,SS6633。

Z,Z，Z6238阶Abel群有三种不同的类型，代表分别是。

Z,Z，Z,Z，Z，Z8242229阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。

Z,Z，Z933 这些有限Abel群都同构于循环群或者循环群的直积，并且每个循环群的阶都是一个素数的方幂，这些循环群的阶组成的有重集合正好是该群阶素数方幂乘积的所有可能组合。

例如8阶32Abel群，有三种情形:，分别对应于8写成素数方幂乘积所有可能的形式{2},{2,2},{2,2,2}32(三种):。

8,2,8,2，2,8,2，2，2下面我们讨论一般有限Abel群的结构。

引理1 设a是群G的一个元素，a的阶等于。

其中与是两个互素的正整数，m,mmmm1212那么a可以唯一的表示成，式中的阶是;;而且都am(i,1,2)a(i,1,2)a,aaaa,aaii12i1221是a的方幂。

证明因为与互素，所以存在整数使得。

于是mmu,uum，um,112121122umumum，umumumumum2211112211222211，令，则，而且a,a,a,aa,aa,aaa,a,aa,aa121221mm12都是的方幂。

因为，所以的阶是的因子。

由于a(i,1,2)adm(i,1,2)ma,e,a,eaiiii112与互素，从而互素，并且，故的阶等于。

阿贝尔群代数结构的运算规则
1、群：
在群论中，初等阿贝尔群是有限阿贝尔群，这里的所有非平凡元素都有p阶而p是素数。

代数结构是二元映射。

阿贝尔群运算规则：交换律+群（结合律+单位元+逆元）。

2、同态和同构：
同态映射：乘积的象=象的乘积，两个代数系统存在满的同态映射叫做两个代数系统同态。

两个系统的同构映射是一个双射的同态映射。

两个代数系统存在同构映射说两个代数系统同构。

自同构映射，即前面讨论的两个代数系统都是同一个代数系统时的情况，称为该代数系统上的自同构。

石家庄铁道学院毕业论文群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．关键词：群论有限群元的阶石家庄铁道学院毕业论文AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements石家庄铁道学院毕业论文目录１绪论 (1)1.1 群论的概括 (1)1.2 群论的来源 (1)1.3 群论的思想 (2)2 预备知识 (2)2.1 群和子群 (2)2.1.1 群的定义 (2)2.1.2 群的阶的定义 (3)2.1.3 元的阶的定义 (4)2.1.4 子群、子群的陪集 (5)2.1.5 同构的定义 (6)2.2 不变子群与商群 (6)2.2.1 不变子群与商群 (6)2.2.2 Cayley(凯莱)定理 (7)2.2.3 内直和和外直积的定义 (8)3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 (8)3.1 有限群中关于元的阶 (9)3.1.1 有限群中元的阶的有限性 (9)3.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系 (9)3.2 无限群中关于元的阶 (10)3.2.1 无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 (10)3.2.2 无限群G中，每个元素的阶都有限 (10)3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 (11)4 群的阶与其元的阶之间的关系 (11)4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 (11)4.1.1 拉格朗日定理 (11)4.1.2 相关结论 (12)4.2 有限交换群的结构定理 (13)4.2.1 有限交换群的结构定理 (13)石家庄铁道学院毕业论文4.2.2 相关例子 (14)参考文献 (15)致谢 ······································································错误！未定义书签。

群中元素的阶的计算群是代数学中一个重要的概念，它可以用来研究数学中的很多问题。

群中的元素是数学对象，而群的阶则是用来描述这些元素的数量。

在本文中，我们将介绍什么是群中元素的阶，以及如何计算群的阶。

首先，我们来回顾一下群的定义。

群是一个集合，其中有一个二元操作，满足结合律、单位元素存在且可逆。

在某些情况下，群的元素还满足一些附加条件，如交换律、幂等性等。

这些附加条件可以使群具有更特殊的性质，例如交换群、循环群等。

一个群中的元素的阶指的是这个元素在群中的循环次数。

也就是说，一个元素的阶是将其连续进行群的二元操作（通常表示为乘法）得到的重复数量。

比如，在以整数加法为二元操作的整数群中，元素3和-3的阶都是无限大，因为它们没有循环点；而元素4的阶是整数4的绝对值，因为它的循环点为4、8、12等。

通常，我们用ord(g)表示群中元素g的阶。

如果一个群中的元素的阶都是有限的，则称该群为有限群。

有限群的阶是群中元素阶数的总乘积，即：|G| = ord(g1) * ord(g2) * ... * ord(gn)其中，G是群，g1、g2、...、gn是G中不同阶的元素。

对于一些特殊的群，它们的元素阶具有一定的规律，可以用数学方法计算。

例如，循环群的元素的阶都是该群中元素的数量，而交换群中的元素的阶要么是2要么是无限大。

此外，一些群的元素阶数具有约束条件，比如Sylow定理描述的p-Sylow群的元素阶必定为p的幂次方。

综上所述，群中的元素阶数是一个十分重要的数学概念，它可以帮助我们更好地理解群的结构和性质。

对于一个给定的群，计算其元素阶数是很有挑战性的，但掌握一些计算技巧和规律，我们可以更好地理解和运用群论知识，解决实际问题。

pq阶群的结构在代数学中，群是一种具有代数结构的数学对象，它由一组元素和一个二元运算组成。

而pq阶群是指群的阶为p^q的群，其中p和q都是素数。

本文将探讨pq阶群的结构以及相关的性质。

让我们回顾一下群的定义。

一个群G是一个非空集合，对于集合中的任意两个元素a和b，群G定义了一个二元运算"·"，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a和b，a·b仍然属于G。

2. 结合律：对于任意的a、b和c，(a·b)·c = a·(b·c)。

3. 单位元：存在一个元素e，对于任意的a，a·e = a。

4. 逆元：对于任意的a，存在一个元素b，使得a·b = e。

现在，让我们来研究pq阶群的结构。

首先，根据拉格朗日定理，如果G是一个有限群，那么G的任意子群的阶都能整除G的阶。

因此，一个pq阶群的子群的阶只能是1、p、q或者pq。

根据pq阶群的结构定理，一个pq阶群可以分为两种情况：1. 当p不等于q时，存在一个阶为p的子群H和一个阶为q的子群K，使得H和K的交集只包含单位元。

此时，pq阶群G是H和K 的直积，即G = H × K。

2. 当p等于q时，存在一个阶为p的子群H，使得G是H的直积，即G = H × H。

这样的群被称为幂等阶群。

对于幂等阶群，可以进一步研究它的子群结构。

根据Sylow定理，一个pq阶群的阶为p的子群和阶为q的子群都是正规子群。

因此，幂等阶群G的子群结构可以表示为：{e}, H, K, G其中{e}表示只包含单位元的子群，H和K分别表示阶为p和q的子群，G表示全体元素构成的子群。

在研究pq阶群的结构时，一个重要的性质是它的元素的幂等性。

对于一个pq阶群G中的任意元素a，a的阶必定是p、q或者1。

这是因为根据群的性质，对于任意的元素a，a的阶必定是a的幂等性的最小正整数次幂。

能表示成四个真子群并的有限群钱国华【摘要】In this note, we study the problem of subgroups covering. By calculating the order of subgroups, we obtain the structure of finite groups G which can be written as a union of p + 1 or p + 2 proper subgroups, where p is the smallest prime divisor of the order of G, and then generalize a result in [1].%本文研究了子群覆盖问题.利用计算子群阶的方法,给出了能表示成p+1或p+2个真子群并的有限群G的结构,这里p是群G阶的最小素因子,从而推广了文献[1]中的结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2011(031)005【总页数】2页(P891-892)【关键词】有限群;子群;并集【作者】钱国华【作者单位】常熟理工学院数学系,江苏常熟215500【正文语种】中文【中图分类】O152.1显然,任何一个有限群都不能表示成两个真子群的并.文献[1]考虑了能表示成3个真子群并的有限群,证明了这样的有限群必有一个商群同构于Klein四元群Z2×Z2.自然地,如同文献[1]中指出的一样,我们希望描写能表示成4个真子群并的有限群.本文目的就是要完成这一工作,并且得到了更一般的结果.证明是初等的,需要的群论知识(及术语符号)参见文献[2].定理1.1 设G是一个有限群,p是|G|的最小素因子,则以下结论成立.(i)G不能表示为p个真子群的并.(ii)G能写成p+1个真子群的并当且仅当G有商群同构于Zp×Zp.(iii)G能写成p+2个真子群的并但不能写成p+1个真子群的并当且仅当p=2且G 有商群同构于Z3×Z3或S3.【相关文献】[1]樊恽,李伟.能表示成三个真子群的并集的群[J].华中师范大学学报,2008,42(2):1–3.[2]徐明曜.有限群导引(上)[M].北京:科学出版社,2001.。

有限Abel群的结构定理（Fundamental Theorem ofFinite Abelian Groups）有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups) 有限Abel群是群论中已被研究清楚了的重要群类，也是应用比较广泛的群类，本节的主要结论是有限Abel群可以分解成阶为素数的方幂的循环群(循环p-群)的直积，而且表法是唯一的。

我们先看几个具体的例子。

4阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。

Z,Z，Z422 ，其中是非Abel群;是Abel群，且6阶群有两种不同的类型，代表分别是ZZ,SS6633。

Z,Z，Z6238阶Abel群有三种不同的类型，代表分别是。

Z,Z，Z,Z，Z，Z8242229阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。

Z,Z，Z933 这些有限Abel群都同构于循环群或者循环群的直积，并且每个循环群的阶都是一个素数的方幂，这些循环群的阶组成的有重集合正好是该群阶素数方幂乘积的所有可能组合。

例如8阶32Abel群，有三种情形:，分别对应于8写成素数方幂乘积所有可能的形式{2},{2,2},{2,2,2}32(三种):。

8,2,8,2，2,8,2，2，2下面我们讨论一般有限Abel群的结构。

引理1 设a是群G的一个元素，a的阶等于。

其中与是两个互素的正整数，m,mmmm1212那么a可以唯一的表示成，式中的阶是;;而且都am(i,1,2)a(i,1,2)a,aaaa,aaii12i1221是a的方幂。

证明因为与互素，所以存在整数使得。

于是mmu,uum，um,112121122umumum，umumumumum2211112211222211，令，则，而且a,a,a,aa,aa,aaa,a,aa,aa121221mm12都是的方幂。

因为，所以的阶是的因子。

由于a(i,1,2)adm(i,1,2)ma,e,a,eaiiii112与互素，从而互素，并且，故的阶等于。

群中元素的阶数在数学中，群是一种代数结构，它由一组元素和一种二元运算组成。

群中的元素可以是数字、矩阵、函数等等。

而群中元素的阶数则是群论中一个重要的概念，它描述了群中元素的重要性质。

一、群的定义群是一个集合G和一个二元运算*，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a,b∈G，a*b∈G。

2. 结合律：对于任意的a,b,c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。

3. 单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a*e=e*a=a。

4. 逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a*a'=a'*a=e。

二、群中元素的阶数是指一个元素在群中重复运算多少次后等于单位元。

例如，对于一个群G中的元素a，如果存在一个正整数n，使得a^n=e，则称a的阶数为n。

群中元素的阶数有以下性质：1. 对于任意的元素a∈G，a的阶数等于生成元素a的最小正整数次幂。

2. 如果a的阶数为n，则a^k的阶数为n/（n，k），其中（n，k）表示n和k的最大公约数。

3. 如果a和b的阶数互质，则ab的阶数为a和b的阶数的积。

三、群中元素阶数的应用群中元素的阶数在密码学中有着广泛的应用。

例如，RSA加密算法就是基于大素数的阶数难以分解的原理。

此外，群中元素的阶数还可以用于解决一些离散数学中的问题，如离散对数问题等。

四、不同类型的群中元素阶数的特点1. 有限群：对于有限群中的元素，它们的阶数一定是有限的。

此外，有限群中的元素阶数一定是群的阶数的因子。

2. 无限群：对于无限群中的元素，它们的阶数可以是无限的。

例如，实数集上的加法群就是一个无限群。

3. 循环群：循环群是由一个元素生成的群。

对于循环群中的元素，它们的阶数一定是循环群的阶数的因子。

4. 对称群：对称群是由一组对象的置换组成的群。

对于对称群中的元素，它们的阶数等于它们对应的置换的阶数。

总之，群中元素的阶数是群论中一个重要的概念，它描述了群中元素的重要性质。

一些含5阶群的生成关系作者：李德乐林立来源：《课程教育研究》2018年第46期【摘要】本文通过群的同构分类的观点，分析了60阶以下5阶群的生成关系。

【关键词】有限群同构分类生成关系【Abstract】In this thesis， we concretely analyze the generated relations by isomorphic classification of finite groups of lower orders（less than 61 orders ）.【Keywords】Finite group；Isomorphic classification；Generated relations【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）46-0112-02引理1：（p，p ，pq结构）1.G的阶是p，是循环群，且a =1。

2.G的阶是p ，1）循环群，a =1，2）初等交换群，a =b =1，ab=ba.3.G的阶是pq，1）循环群，a =1，2）非交换群，a =b =1，a ba=ba ，r ≡1（mod q），r≠1，p|q-1.引理2：（p 阶群结构定理）p 阶群必交换，或者是p 阶循环群或者是（p，p）型初等交换群。

当n=5时，G为循环群。

当n=10，15，25，35，55时，G为交换群。

引理3：（p q阶群结构）设G是p q阶有限群，p ，q是素数，P∈Sylp（G），Q∈Sylp （G），1）若p>q则P？茳G，当n=20=2 ×5时G=G=G=（Frobenius-群），G=（二面体群），G=（广义四元群），当n=50=5 ×2时，G=G=G=，G=（二面体群），G=当n=45=3 ×5时，G=G=引理4：（pqr阶群结构）设G是pqr阶有限群，p，q，r是素数，且pG′是G换位子群，|G′|=qr，则（1）不属于G′的元均为p阶元，（2）若M是G的极小生成集，|M∩G′|=？覫，则|M|=2。

群论第⼆章考前复习总结第⼆章考前复习总结1.1节群1.对称变换：保持系统不变的变换。

（背）群，，所有对称变换只有6个：2. 群是⼀个集合，其中定义了元素的“乘积”法则，这个集合G满⾜4个条件：封闭性、结合律、存在恒元、逆元，这个集合就称为群。

（背）任何两个元素相乘还在这个集合中（背）任意元素乘恒元等于这个元素（背）元素乘逆元等于恒元。

（背）U(n)群：全体n维⼳正矩阵的集合。

⼳正：O(n)群：全体n维实正交矩阵的集合。

正交：，实正交：矩阵元是实数6)乘积的逆：9)有限群的阶：有限群中的元素数⽬4.循环群及其⽣成元1）循环群：由⼀个元素 Rn：循环群的阶，即有限群的元素个数。

R：循环群的⽣成元循环群的阶和其⽣成元的阶相等。

⽣成元的阶是满⾜的最⼩正整数n。

循环群都是阿贝尔群（阿贝尔群不⼀定是循环群）。

R⽣成的群是⼀个nn R是系统的对称变换，则轴称为n次固有转动轴（n次轴），此时转动R称为n次转动轴的⽅向：转动R由右⼿螺旋法则得到，⼤拇指指向轴的正⽅向。

1）元素R 的周期：由有限群的任⼀元素 R 及其幂次⽣成的集合。

2）有限群的⽣成元：有限群的群元素可以由最⼩数⽬个群元素的乘积⽣成3）有限群的秩：⽣成元的个数4）有限群⽣成元的选择并不唯⼀，但秩不变。

在验证B=DA 这种关系时，正三⾓形的三个字母必须画成：这种情况。

6.有限群的重排定理1）复元素：把有限群部分元素的集合2）群的重排定理（考试简答题）设T 是群G = {E, R, S, …}中任⼀确定元素，则下⾯三个集合与原群G 相同 （背）复元素的逆是每个元素取逆7.同构元素是对应的，在这种对应规则下，元素的乘积也是对应的。

群G3）循环群的乘法表4）四阶群（即有4群群：⼀个恒元加3个2阶元素。

其为：5a.含零个三阶元素，即群只含⼀个恒元加5个⼆阶元素。

这种情况不成⽴。

称），⼆阶、三阶、四阶、五阶的群都是阿贝尔群。

6）正N 边形对称变换群1个N 次轴，N 个⼆次轴。

6.4 群6.4.1 群的定义和性质定义6.4-1群〈G , * 〉是一代数系统, 其中二元运算*满足以下3条:　(1) 对所有的a, b, c∈Ga * (b * c) = (a * b) * c(2) 存在一个元素e, 对任意元素a∈G, 有a *e= e * a= a　(3) 对每一a∈G, 存在一个元素a-1, 使a-1 * a= a * a-1=e简单地说, 群是具有一个可结合运算, 存在么元, 每个元素存在逆元的代数系统。

每个元素的逆元是唯一的。

所以可看成是一种一元运算, 故一个群的构成成分可看成是〈G, *, -1, e〉, 这里-1是求逆运算。

但通常为了简便仍记为〈G, *〉。

　如果G是有限集合, 则称〈G, *〉是有限群; 如果G是无限集合, 则称〈G, *〉是无限群。

有限群G的基数|G|称为群的阶数。

　群中的运算* 一般称为乘法。

如果* 是一个可交换运算, 那么群〈G , * 〉就称为可交换群, 或称阿贝尔群。

在可交换群中, 若运算符*改用+, 则称为加法群, 此时逆元a-1写成-a。

例1　(a) 代数〈I, +, -, 0〉是一个阿贝尔群, 这里+表示加法, -表示一元减法。

　(b) 代数〈Q+, ·, -1, 1〉是一个阿贝尔群, 这里·表示乘法, -1表示一个有理数的倒数运算。

　(c) 设A是任一集合, P表示A上的双射函数集合, 结构〈P, 。

, -1, 1A〉是一个群, 这里。

表示函数合成, f-1是f 的逆函数, 通常这个群不是阿贝尔群。

下面介绍群的性质：定理6.4-1 如果〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G,(a) 存在一个唯一的元素x, 使得a * x=b。

　(b) 存在一个唯一的元素y, 使得y * a=b。

　证(a) 至少有一个x满足a * x=b, 即x=a-1 * b, 因为a * (a-1 * b)=(a * a-1) * b= e * b=b如果x是G中满足a * x=b的任意元素, 则x=e * x=(a-1 * a) * x= a-1 * (a * x) = a-1 * b所以, x=a-1 * b是满足a * x=b的唯一元素。

）§9 有限群的分类1.凯莱定理：设G 是n 阶群，则G 一定与对称群n S 的某个子群同构。

凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群n S 研究透就够了，但由于n S 的阶数(!)n 非常大，很难找出G 具体与n S 的哪个子群同构。

实际当中采用具体研究的方式。

，2。

群的直和分解概念 定义 设12,,,s N N N 是群G 的正规子群。

如果x G ∀∈，都存在唯一的i i x N ∈，使得12s x x x x =；同时当i j ≠时，i N 中的元素与jN 中的元素可交换，则称G 为12,,,s N N N 的直和，记为~12.s G N N N ≅⊕⊕⊕例如，以克莱茵四元群为例，4{,,,}K e a b c =， 取1{,},N e a =2{,},N e b = 则 124,,N N K 且有12,,,e ee e N e N =∈∈ 12,,,a ae a N e N =∈∈12,,,b eb e N b N =∈∈ 12,,,c ab a N b N =∈∈从而根据定义有 412.K N N ≅⊕再比如，6阶循环群{}2345,,,,,G a e a a a a a =<>=，6a e =。

取}331{,}N e a a ==<>，2422{,,}N e a a a ==<>，则不难验证有12G N N =⊕。

3.有限群的结构定理群的分类思想就是把复杂的群分解成简单的、结构完全已知的 群的直和，而循环群的结构最简单、完全清楚，因此，总是将 一般的群分解成循环群的直和。

以下将n 阶循环群记为n C 。

情形1：~定理1 每个有限交换群都同构于一些循环群的直和，这些循环群的阶数分别为12,,,s m m m ， 满足12|,m m 23|,,m m 1|s s m m -， 即12s m m m G C C C ≅⊕⊕⊕。

通常称12,,,s m m m 为G 的不变因子（Invariant factors ）。