伽罗瓦五次方程根式解

五次方程式简化一般五次方程无根式解是伽罗瓦用群论证明的，但五次方程式5432123450z a z a z a z a z a +++++= ， （A ）可简化成如下形式：5450x d x d ++= ，（B ）有利于理论分析。

其简化过程为：（一） 令15a z w =−可消去四次方项，将（A ）式化为 53223450w b w b w b w b ++++= ，（1）形式。

（二）布灵--杰拉德（Bring-Jerrard ）转换令2y w pw q =++， （2）将（2）式代入（1）消除五次幂，然后再将（2）式代入与（1）式的计算结果中，消除四次幂，如此逐次反复进行，得到下式：()()22422222324323y p q b y p p q b p b p q b q b w +−++−+−+−+ ()233223235242py pq p pb b y p q pq b pq b q b −+−−++−+−+ ，（3） 将（3）式代入（2）消除w ，w 2，整理得5432123450y c y c y c y c y c +++++= ，（4）在（4）式中，1225c b q =−令 10c = ，225b q = 22222322431082c p b b p q qb b b =++−++令 20c = ，将 225b q = 代入上式，得2p =在将q ，p 代入345,,c c c 中，则（4）式化简为()52345120;0y c y c y c c c +++=== ，（5）形式。

这里32223322233231031239c q p qb q b qb p b pqb pb b =−−+−+−+−223442454625b p b qb b b pb +−++ ，4223223224422233233453832922c q p q b q b q b p qb pq b pqb b qb p b =+−+−+−++−2222344242434455253586451032p qb q b p b b qb b pb b b p b pqb pb b b b ++−−++−+− ，52343232325222332323c q p q b q b q b p q b pq b pq b b =−−+−+−+−22422322534442424345422q b p qb p q b q b p qb b q b b pqb b p b −+−−+++−3232255252535354555532p qb pq b p b b pqb b p b b qb b pb b b ++−−++− .将p ，q 代入345,,c c c 中，就可确定其值。

浅谈拓扑伽罗华理论原创顾险峰老顾谈几何和汪浩然探讨Arnold所创立的拓扑Galois理论，汪浩然比较认同Arnold的观点，Arnold认为应该用初等古典的观点讲解现代数学，而非用故弄玄虚的现代抽象观点讲解初等数学。

这里，我们用Arnold的拓扑方法来解释抽象的Galois理论。

可解群求解多项式方程是代数学的基本问题之一。

Abel证明五次方程无“代数”解（即解无法由方程的系数通过算术运算与求根运算表达），Galois完整地解决了多项式的根求解问题：他给出了多项式根式可解的充分必要条件。

与多项式可解性密切相关的群是对称群。

所谓群是一个集合和一个乘法算子, 满足条件1.封闭性：2.单位元：, , 都有3.可逆性：, , 使得4.结合律：, 都有例如考察数列的所有排列，以排列的复合为乘法，构成所谓的对称群。

对称群由所谓的对换生成，所有由偶数个对换生成的排列构成所谓的交错群。

我们注意到，群的条件中不包含可交换性，即可能。

如果乘法可交换，那么群被称为是Abel群，否则是非Abel群。

衡量一个群到Abel群的距离，要用到换位子群的概念。

设为群，称由集合生成的子群为的换位子群（Communtator Group），记作. 如果是Abel群，则换位子群为. 我们递归构造如下：如果存在一个整数，使得，那么我们说群是一个可解群。

（这里可解群的定义和传统定义不同，但是彼此等价）。

例如，令，直接计算中元素的个数，群GG'G''G'''S221S3631S4241241S5120606060这意味着，是可解群，但不是可解群，其交错群的换位子群等于自身，，因此不是可解群。

根式解存在性给定一个多项式我们将复平面并上一个无穷远点,通过球极投影映到单位球面上. 再将：看成是从球面到自身全纯映射，. 当时，，我们在平面上围绕无穷远点画一个小圆，由最高项，是平面上围绕点的转了圈的圆。

伽罗瓦计算伽罗瓦计算，又称为伽罗瓦理论，是数学中的一个重要分支，它以法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦的名字命名。

伽罗瓦计算主要研究的是数的代数性质以及方程的解法。

通过伽罗瓦计算，我们可以深入了解方程的根式解以及无理数的性质，从而拓展了数学的边界。

伽罗瓦计算的核心思想是通过研究方程的对称性来推导方程的解法。

伽罗瓦理论的基本概念是群论，它描述了一种代数结构的性质。

群论的研究对象是集合以及在集合上定义的一种运算，它要求这种运算满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

通过群论的研究，我们可以描述方程的根之间的对称关系，从而推导出方程的解法。

伽罗瓦计算的一个重要应用是求解方程的根式解。

在数学中，我们经常遇到高次方程，如二次方程、三次方程、四次方程等。

对于一些特殊的方程，我们可以通过开方、立方根等方法求解根式解。

然而，对于一般的高次方程，根式解是无法求得的。

伽罗瓦计算的一个重要结果是，对于五次及以上的方程，一般无法用根式表示其解。

这个结论被称为“伽罗瓦对可解方程的刻画”。

伽罗瓦计算为我们提供了一种判定方程是否有根式解的方法。

除了求解方程的根式解外，伽罗瓦计算还有其他重要的应用。

例如，伽罗瓦计算可以用来研究多项式的因式分解问题。

在数论中，我们经常需要找到一个整数的因子，这就涉及到多项式的因式分解。

伽罗瓦计算提供了一种判定多项式是否可约的方法，从而帮助我们找到多项式的因子。

伽罗瓦计算还可以应用于密码学中。

在现代密码学中，我们经常使用一些复杂的数学算法来保护数据的安全性。

伽罗瓦计算提供了一种分析密码算法强度的方法，从而帮助我们设计更安全的密码算法。

伽罗瓦计算是数学中的一个重要分支，它通过研究方程的对称性来推导方程的解法。

伽罗瓦计算在数论、密码学等领域都有重要的应用。

通过伽罗瓦计算，我们可以深入理解数的代数性质，拓展数学的边界。

伽罗瓦计算的研究不仅为数学领域带来了新的思想和方法，也为其他学科的发展提供了重要的参考。

困扰数学界300年的五次⽅程难题，最终被仅21岁的伽罗⽡成功解决从我们上⼩学开始，我们就已经接触⽅程，什么是⽅程呢？⽅程是指含有未知数的等式。

是表⽰两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的⼀种等式，如x+9=7，这个就属于⽅程，⽅程这个词来源于中国清代⼤数学家李善兰，他将“Equation”翻译为“⽅程”。

⽽使等式成⽴的未知数的值称为“解”或“根”，上⾯这个⽅程x=-2使得等式成⽴，这就是这个⽅程的“解”。

求⽅程的解的过程称为“解⽅程”。

⽅程在研究过程当中，也出现了许多的问题，⽐如最为著名的五次⽅程难题。

五次⽅程难题是什么⼀次⽅程的求解⼗分简单，⼀元⼀次⽅程指只含有⼀个未知数、未知数的最⾼次数为1且两边都为整式的等式，例如ax+b=c。

约公元前1650年，古埃及的莱因德纸草书中记载了第24题，题⽬为：“⼀个量，加上它的1/7等于19，求这个量。

”就解决了形为ax+b=c的⼀次⽅程，即单假设法解决问题。

莱因德纸草书⽽公元820年左右，数学家花拉⼦⽶在《对消与还原》⼀书中提出了“合并同类项”、“移项”的⼀元⼀次⽅程思想。

16世纪，数学家韦达创⽴符号代数之后，提出了⽅程的移项与同除命题。

⽽⼀元⼆次⽅程同样是花拉⼦⽶它在出版的《代数学》中讨论到⽅程的解法，除了给出⼆次⽅程的⼏种特殊解法外，还第⼀次给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法，承认⽅程有两个根。

⽽韦达除推出⼀元⽅程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。

然⽽直到 16 世纪，⼈们对于三次⽅程的研究才取得了突破，在⼗六世纪早期，意⼤利数学家费罗找到了能解⼀种三次⽅程的⽅法，也就是形如x^3+ax=b的⽅程。

事实上，如果我们允许a、b是复数，所有的三次⽅程都能变成这种形式，但在那个时候⼈们不知道复数。

1553 年尼科洛·塔尔塔利亚在⼀场数学竞赛中解出所有三次⽅程式的问题，最早得出三次⽅程式⼀般解。

后来塔尔塔利亚将这个⽅程式告诉了卡尔达诺，卡尔达诺提出了著名的关于⼀次三次⽅程的解法公式。

伽罗瓦理论是现代数学中的一个重要分支，它探讨了数论中的一个经典问题：五次方程不可解。

该问题在数学史上曾经引起了巨大的争议和困惑，直到19世纪初，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦建立了现代群论和伽罗瓦理论，才最终解决了这一难题。

在本文中，我们将深入探讨伽罗瓦如何证明了五次方程的不可解性，并对其理论进行全面的评估和解读。

1. 伽罗瓦理论的概念和基本原理伽罗瓦理论是群论的一个重要应用领域，它主要研究了有限域与多项式方程的根之间的关系。

在伽罗瓦的理论中，一个多项式方程的可解性与其对应的有限域的结构密切相关。

通过研究方程的对称性和置换群的结构，伽罗瓦理论建立了方程可解性的准则，从而证明了五次及以上的一般多项式方程的不可解性。

2. 伽罗瓦对五次方程不可解的证明伽罗瓦最重要的工作之一是对五次方程不可解性的证明。

他首先通过传统的代数方法证明了五次方程的一般解不存在，并进一步利用了群论的概念，分析了五次方程的置换群，证明了其不可约性和不可解性。

这一成果极大地推动了数学领域的发展，为代数基本定理的证明奠定了坚实的基础。

3. 伽罗瓦理论的深度和广度伽罗瓦理论不仅解决了五次方程不可解性的经典问题，更深刻地影响了数学领域的发展。

它在代数、几何、数论等领域都有着重要的应用，并且从根本上改变了数学家们对可解性和不可解性的认识。

伽罗瓦理论的深度和广度超出了人们的想象，成为了现代数学中不可或缺的一部分。

4. 个人观点和理解作为一个数学爱好者，我对伽罗瓦理论深深着迷。

它不仅解决了一个经典的数学难题，更重要的是，它改变了人们对数学可解性的认识，开拓了数学领域的新视野。

伽罗瓦理论的严谨性和美妙性让我深有感触，我相信它将继续在数学领域发挥重要作用，激发数学家们不断探索未知领域的激情。

总结回顾伽罗瓦理论的证明伽罗瓦对五次方程不可解的经典成果，标志着现代代数学的发展达到了一个新的高度。

通过对多项式方程的深入研究和对称性的探讨，伽罗瓦理论揭示了方程可解性的本质，为数学领域带来了革命性的变革。

的证明伽罗瓦对五次方程不可解白
【原创版】
目录
1.伽罗华理论的背景和意义
2.五次方程的求解问题
3.伽罗华的证明方法
4.伽罗华理论对数学发展的影响
正文
1.伽罗华理论的背景和意义
伽罗华理论是 19 世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗华（variste Galois）提出的一种数学理论，主要研究代数方程的解的性质。

在数学史上，伽罗华理论具有重要地位，它解决了许多代数方程求解的难题，并对现代数学的发展产生了深远影响。

2.五次方程的求解问题
在代数学中，五次方程是一个具有挑战性的问题。

自文艺复兴时期以来，许多数学家都尝试寻找五次方程的通解公式，但一直无法找到。

五次方程的求解问题成为当时数学界的一个重要挑战。

3.伽罗华的证明方法
伽罗华通过引入“群”的概念，证明了五次方程无法通过常规代数方法求解。

他发现，代数方程的解与一个称为“群”的数学结构之间存在密切关系。

通过研究群的性质，伽罗华证明了五次方程没有实数解，即不存在满足代数方程的实数解。

他的证明方法为后来的数学家提供了一个通用的框架，用以解决类似的问题。

4.伽罗华理论对数学发展的影响
伽罗华的理论不仅解决了五次方程的求解问题，而且开创了代数学的一个新篇章。

他的群论方法被广泛应用于数学的各个领域，如几何、拓扑、量子力学等。

伽罗华理论为代数学的发展奠定了坚实的基础，并对现代数学产生了深远的影响。

综上所述，伽罗华对五次方程不可解的证明，展示了他卓越的数学才华和创新思维。

五次方程无根式解证明五次方程无根式解证明，听起来是不是很高大上？其实嘛，别被这个名字吓到，咱们来聊聊这个话题，轻松点，别紧张。

说到五次方程，这就像一位神秘的客人，穿着华丽的外衣，却总让人觉得难以接近。

要知道，早在19世纪，数学家们就发现了五次方程无根式解这个事儿，简单来说，就是没法用那些优雅的根式来解开它们。

说得直白点，这就像是你试图用一把钥匙打开一扇根本不对的门，怎么都打不开。

先说说什么是五次方程。

想象一下，一个普通的方程，比如说二次方程，简单吧？x² + bx + c = 0，顶多就是求个平方根，轻轻松松就能解决。

可五次方程就不同了，形状复杂得多，像是一个迷宫，转来转去都找不到出口。

于是，很多人就想：“哎呀，这么难的方程，肯定得有个特别的解法吧？”然而，数学家们的回答却是：“不，真的没有！”听到这里，或许你会问：“为什么呀？难道数学就这样干巴巴的吗？”背后有个故事。

19世纪的数学家们，尤其是一些大佬，比如伽罗瓦，他可不是普通的数学家，他在搞五次方程的时候，就像是在和鬼打墙一样，折腾了不少时间。

最后他总结出来一个重要的结论，五次方程就算你再怎么努力，也无法用根式解出它的根。

就像是你去爬一座高山，努力再努力，结果却发现山顶根本就没路。

再深入一点，咱们来聊聊这些“根式解”是什么。

根式解就像你做菜时用的调料，各种各样，可以混合搭配，最后做出一桌美味。

但五次方程呢，它不喜欢这些调料，像个挑剔的吃货，根本不领情。

那些数学家尝试了无数方法，想要找到一个完美的解法，结果就像是过期的牛奶，没啥用，最后只能作罢。

你可能会想：“这五次方程就不能像二次方程那样，搞个公式出来吗？”可现实就是这样，五次方程的复杂性就像是海里的鱼，游来游去，难以捕捉。

你拿出公式，它却转身就跑，捉不住，真是让人无奈。

这时候，数学家们决定不再强求，而是退后一步，去研究其他的东西。

就像是一个追爱失败的小伙，最终选择了专注于事业。

更有趣的是，虽然没有根式解，五次方程并不意味着我们就此止步。

我们怎么解方程之二——两个天才年轻人的伟大创造自从1813年，著名外科大夫兼非职业数学家鲁菲尼在最后一次向英国皇家学会提交之后，其实很多人都已经相信了一般的五次方程时没有根式解的猜想。

但这块石头仍然没有落地，人们还在等待着这悬了几百年的著名难题何时真正能解决。

其实没过多久，就有人挺身而出，挪威数学家，尼尔斯·亨利克·阿贝尔。

挪威数学家阿贝尔1802年，阿贝尔出生在牧师家庭，那个时候的挪威，做牧师没什么钱的，所以，从小阿贝尔的生活条件还是比较糟糕的，好不容易，阿贝尔挨到了应该去上学的年纪。

1815年，阿贝尔终于有机会在一所天主教的学校读书。

然而有的人只要让他接触到了适合的领域，他的天才仿佛就是与生俱来的，好像他生活的本能一样。

很快，阿贝尔的数学天赋就开始显现，他的老师霍尔姆伯的指引之下，他很快就掌握了远超他年纪应该有的数学知识，他如饥似渴地去学习了牛顿、欧拉、拉格朗日及高斯等大师们的杰作。

今天的我们很清楚，这些大师们的数学创造是在什么层次上，别说一个十几岁的孩童，就是数学专业的研究生啃起来恐怕也都颇为艰深。

而十几岁的阿贝尔不仅仅了解他们的理论，而且已经有能力找出他们一些微小的漏洞。

这个事例意味着什么呢？大概就相当于今天某个小学生给人民教育出版社的教材指出纰漏差不多。

1820年，阿贝尔父亲去世了，一家人的生活重担全部在阿贝尔一个人身上。

辛亏有好友霍姆彪的资助，阿贝尔得以顺利考入大学，并在1年之后就拿到了学位。

在学校的时间里，阿贝尔自学了大量数学知识，深厚的数学天才在那一两年里得到了充分的发挥。

一般五次方程没有根式解1824年，阿贝尔发表了第一篇论文《一元五次方程没有代数一般解》，初生牛犊的年轻人第一篇论文就是要解决困扰数学界几百年的重大问题，这个还是很唬人的。

鉴于当时他所处的环境数学水平实在不高，几乎没人可以看懂这篇划时代的论文，于是他想起来了19世纪的数学超一流大师——高斯，同时，迫于生活的无奈，阿贝尔也想通过高斯对自己的认可，让自己再数学界占有一席之地。

揭露伽罗瓦理论上存在的错误
(伽罗瓦论证过程详见伽罗瓦理论网页)
伽罗瓦错误地论证一元五次方程无一般代数根式解公式，已影响了人类180多年了，现在应当肃清这种错误的时候了。

有人要问他错在哪？现在就让我来明确指出它的错误所在。

1. 违反常规地运用一大堆未知的预解式充当证据。

请问如果法律上也用未知的事情判人罪行，是否可以。

2. 连伽罗瓦自已都承认，要建一元五次方程的预解式非常困难，可是他偏偏把所有
解式的系数都当成了已知数来看，那么，这些预解式组成的方程组中的未知数必然因人为一些数变己知的原因，造成未知数不足，因此也就得出只有某些方程才有解的错觉。

3.群论有自身的适用范围，比如它无法解释卡丹公式中平方根式若出现虚数为何
反表示这个一元三次方程存在三个实根的问题。

请问三个实数根之间的置换怎么弄出了虚数.。

伽罗瓦证明五次方程没有求根公式伽罗瓦证明五次方程没有求根公式，这可真是数学史上的一件大事儿！咱们先来说说啥是方程。

就拿最简单的一元一次方程来说，比如 3x + 5 = 17 ，咱们通过一些计算就能轻松地求出 x 的值。

可当方程变成五次的时候，情况就变得超级复杂啦！我还记得自己上中学那会儿，学方程学到头疼。

老师在讲台上讲得口沫横飞，我在下面听得云里雾里。

那时候我就想，这五次方程咋就这么难呢？伽罗瓦就特别厉害，他居然证明了五次方程没有通用的求根公式。

这可让当时的数学界炸开了锅！想象一下，大家都以为五次方程肯定能像之前的方程那样有个固定的套路来求解，结果伽罗瓦说：“嘿，没有！”伽罗瓦的证明可不是一拍脑袋想出来的。

他深入研究了方程的根与系数之间的关系，运用了他独特的群论思想。

这群论啊，一开始大家都不理解，觉得太抽象，太难懂。

就好像有一次，我给我邻居家的小孩讲数学题，我讲了半天群论的基本概念，那小孩一脸茫然地看着我，说：“叔叔，你在说啥呀？”我当时就觉得，这东西确实不好理解。

但伽罗瓦就是凭借着他对数学的热爱和执着，硬是把这个难题给攻克了。

他的证明过程充满了智慧和创新。

没有求根公式，并不意味着五次方程就没法解了。

只是说，不能像之前那样用一个固定的公式一套就出来答案。

咱们得用其他的方法，比如数值方法，一点点去逼近答案。

这就好比我们在找一个藏起来的宝贝，没有明确的地图告诉我们它在哪里，但我们可以通过一点点的摸索、尝试，最终找到它。

伽罗瓦的这个证明，让我们明白，数学的世界是无穷无尽的，永远都有未知等待我们去探索。

也许在未来，还会有新的理论和方法出现，让我们对五次方程有更深刻的理解。

所以啊，当我们面对困难的数学问题时，别害怕，别退缩，说不定我们也能像伽罗瓦一样，发现别人没有发现的奥秘呢！。

5次方程是否可以根式解的判别方法
5次方程是否可以根式解一直以来都是数学领域中的一个重要问题。

在数学上，一般来说，二次方程可以用根式解来表示，但对于高次方程来说，是否存在根式解就不那么容易确定了。

在这篇文章中，我们将讨论一种判别5次方程是否可以用根式解来表示的方法。

首先，我们知道，对于一元5次方程 $ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$，通常情况下是很难用根式解来表示的。

这是因为Galois在19世纪证明了一元5次及以上的一般多项式方程没有通解。

但是，我们可以通过一些特殊的方法来判断5次方程是否可以用根式解来表示。

其中一个方法是通过判别式来进行判断。

对于5次方程 $ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0$，我们可以计算出其判别式$\Delta$。

如果 $\Delta$ 是一个非零的有理数，那么这个5次方程就可以用根式解来表示；如果 $\Delta$ 是一个非零的无理数，那么这个5次方程就不可以用根式解来表示。

另外一个方法是通过群论的方法进行判断。

Galois理论告诉我
们，一元5次及以上的一般多项式方程是否可以用根式解来表示，取决于其对应的Galois群的结构。

通过研究这个群的性质，我们可以判断这个5次方程是否可以用根式解来表示。

总之，判断一元5次方程是否可以用根式解来表示是一个复杂而又深刻的数学问题。

通过判别式和群论的方法，我们可以在一定程度上解决这个问题，但是对于一般的5次方程来说，是否存在根式解仍然是一个开放的问题，需要更深入的研究和探讨。

伽罗瓦裙可解与根式可解的关系1. 概述在数学领域中，伽罗瓦理论是一门重要的分支，它研究的是关于域的扩张和自同构裙的关系。

伽罗瓦理论被广泛应用于代数方程、几何学、数论等领域，对于理解数学的基本结构和性质有着重要的作用。

2. 伽罗瓦理论基础伽罗瓦理论的基础是伽罗瓦裙的概念。

给定一个有限域扩张 L/K，L 的自同构裙在 K 上的伽罗瓦理论即指的是在它的伽罗瓦裙 Gal(L/K) 上定义的一组结构。

伽罗瓦理论的核心问题就是要研究域扩张的自同构裙和域的结构之间的关系。

3. 伽罗瓦裙可解在伽罗瓦理论中，伽罗瓦裙的可解性是一个重要的概念。

如果一个裙可以通过一系列交换子裙构造成可解裙，则称之为可解裙。

对于伽罗瓦理论而言，一个域扩张的伽罗瓦裙可解指的是该伽罗瓦裙是一个可解裙。

可解裙在伽罗瓦理论中有着重要的地位，通过对伽罗瓦裙的可解性进行研究，我们可以得到不少关于域扩张的重要结论。

4. 根式可解根式可解是另一个重要的概念，它是指一个方程的所有根都可以用有限次加、减、乘、除和开方操作得到。

以一次、二次、三次方程为例，它们都是根式可解的。

而一般的四次及四次以上的方程一般不是根式可解的，这是由于五次及五次以上的一般代数方程没有通解的根式表示。

5. 伽罗瓦裙可解与根式可解的关系伽罗瓦裙可解与根式可解之间存在着密切的关系。

在九十年代以前的研究中，人们普遍认为一个方程是否是根式可解与它的伽罗瓦裙是否可解是存在直接的通联的。

但到了九十年代后期，这种看法发生了较大的变化。

通过研究，人们发现对于四次及四次以上的方程而言，并不存在直接的通联。

6. 结论通过对伽罗瓦裙可解和根式可解的关系进行研究，我们深刻地认识到了数学领域中不同分支之间的内在通联。

伽罗瓦理论在其发展过程中的深刻影响力，让我们更加感受到了数学的博大精深。

期望未来能够进一步深入研究，发掘更多数学的奥秘。

7. 伽罗瓦裙可解与根式可解的关系深度研究虽然早期研究认为伽罗瓦裙可解与方程的根式可解性存在直接的通联，但随着数学理论的发展和深入研究，人们逐渐发现这种关系并非绝对。

要证明伽罗瓦对五次方程不可解的证明过程非常复杂，需要使用大量的代数和数学分析知识。

在这里，我们可以给出证明的大致思路和关键步骤。

首先，我们需要了解伽罗瓦理论的基本思想。

伽罗瓦理论是通过将方程的解与某种特殊的群（称为伽罗瓦群）联系起来，从而解决方程的可解性问题。

对于五次方程，伽罗瓦群是一个由5个元素组成的群，其结构非常复杂。

接下来，我们可以按照以下步骤进行证明：
将五次方程重写为一般形式：ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0。

根据伽罗瓦理论，我们需要构造一个与该方程对应的伽罗瓦群。

这需要对系数进行一些特定的变换，以使方程的解与一个由这些变换生成的群同构。

通过计算和推导，我们可以得到伽罗瓦群的阶数为120。

这意味着该群的结构非常复杂，无法通过简单的计算得到其所有的性质。

根据伽罗瓦理论，如果一个方程的伽罗瓦群的阶数能够整除方程的次数，则该方程可解。

但是，五次方程的次数为5，而伽罗瓦群的阶数为120，不能整除5。

因此，我们可以得出结论：五次方程不可解。

五次方程无根式解
五次方程是一类高阶非线性代数方程，求解起来比较困难。

在一般情况下，五次方程没有根式解，即无法用有限次加、减、乘、除和开方的运算得到这个方程的解。

这一结论最早由意大利数学家费拉利（Lodovico Ferrari）在
16世纪提出，并由他的老师Cardano首次证明。

后来，法国数学家Abel和挪威数学家Galois分别证明了五次方程无根式解的普遍性质，从而奠定了代数学的基础。

虽然五次方程无根式解，但是可以通过其他途径求解。

其中一种常用的方法是利用数值计算技术，通过迭代等方法求得数值解。

另外，还有一些特殊的五次方程，例如因式分解后可以得到有理数解的五次方程，或者可以通过代数变换化为具有根式解的方程等。

总之，五次方程无根式解这一结论虽然看似枯燥，但对于数学发展的历史和现代数学的研究仍具有重要意义。

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一元五次方程求解的历史虽然，我们从小学五年级就开始接触方程的学习，但是在人类历史上，“方程”问题的解决并不是那么一帆风顺，经历数百年的“一元五次方程”的“根式解”问题，一直令数学家们头痛不已，直到两位天才数学家的出现才最终完美的解决，从而也导致了一门崭新的“数学分支”——“群论”诞生，在人类的数学史和科学史上，写下了浓墨重彩的一笔。

这到底是怎么一回事呢？这还得从遥远的古埃及说起。

早在3600年前，古埃及人已经涉及到了含有“未知数”的“等式”，提出了最早的“方程”。

在我国的《九章算术》中展示了用“消元法”来解”三元一次“方程组。

从“一元一次方程”到“一元四次方程”，人们都可以得到“根式解”，但是当人们遇到“一元五次方程”的时候，却无法确定是否有“根式解”，这个难题纠结了数学家们近三百年。

直到两位天才数学家的出现，“一元五次方程”的“根式解”问题才得以完美的解决，并因此意外地创立了新的“数学分支”——“群论”。

这两位年轻而伟大的数学家分别是阿贝尔和伽罗瓦。

阿贝尔从小生活困顿，在老师霍尔姆伯的引导下，深入地学习了牛顿、欧拉、拉格朗日及高斯等大数学家的著作，不但能深刻地了解他们的理论，而且还能找出他们著作中的一些不足之处。

1824年，年仅22岁的阿贝尔写下了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，他在该论文中首次完整地给出了“高于四次的一般代数方程”没有一般形式的代数解的证明，解决了数学家们纠结了250多年之久的数学难题。

他满怀信心地将这篇论文寄给了当时有名的数学家柯西，可惜柯西却不小心将这一份足以改变数学史的论文弄丢了。

1825年的冬季，阿贝尔来到了柏林，认识了同样热爱数学的土木工程师克列尔，缘于对数学的痴迷，两人成为了最要好的朋友。

1826年，克列尔创立了一份数学杂志，刊登了阿贝尔关于“一元五次方程”的研究成果。

1826年夏天，阿贝尔前往巴黎造访当时最顶尖的数学家，却受到了冷落，他尝试着将他的数学研究成果寄去科学院，却石沉大海。

笔记：五次方程的微分方程解法我以前一直很奇怪为什么三次方程求根公式有两部分构成，四次三个部分...如果五次是不是四个部分? 这意味着什么? 看起来很像线性结构?最近看到一种很有趣的五次方程解法.一定程度上解决了我的这个疑惑求解五次方程这个方程不可因式分解，其伽罗瓦群是亚循环群考虑一般情况：转化为同解微分方程一个简单的线性常微分，解之得：所以五个根就是：这就很有趣了...这个同解微分方程怎么得到的呢?我找了下参考文献1.J. Cockle: Sketch of a Theory of Transcendental Roots, Phil. Mag. XX, 145 (1860)2.J. Cockle: On Transcendental and Algebraic Solution, Phil. Mag. XXIII, 135 (1862)3.R. Harley: On the solution of the transcendental solution of algebraic equations, Quart. J. pure appl. Math. V, 337 (1862)以下是Cockle 与 Harley 在 1860 年左右完成的计算...让我们从布林杰拉德正规式开始计算因为所有的五次方程都能转化为布林杰拉德正规式：我们把 x 看成 t 的函数，也就是考虑函数方程：你这个对齐能不能再烂一点我们希望它同解于一个微分方程：接下来我们对(2)式反复求导然后把(4)式代入(3)式然后又是很困难的一步重新代入(5)式中，反复代入直到没有任何项次数高于5然后比较系数呗...注意到第3项系数是求不出的，这意味着线性无关(无关紧要)直接设为1即可。

然后代回(3)式得然后求解这个方程...不说了太长了实验代码：eqn=x[t]^5-x[t]+t==0;diffeqn=Total@Table[Subscript[a,i] Derivative[5-i][x][t],{i,1,5}] +Subscript[a,6]==0deriv=Flatten[Table[Solve[D[eqn,{t,k}],D[x[t],{t,k}]],{k,1,4}]]algeqn=Expand[diffeqn//. deriv]expr=FixedPoint[Collect[#,x@t]/.x[t]^i_/;i>4:>(x[t]-t) x[t]^(i-5)&,Numerator@T ogether[Subtract@@algeqn]];FullSimplify[expr==0]var=Array[Subscript[a,#]&,6];coe=Solve[CoefficientList[expr,x[t]]==0//Thread,var]diffeq=diffeqn//.coesol=First@DSolve[diffeq,x@t,t];approximation=sol/.HoldPattern@HypergeometricPFQ[w__] ->1eqnapprox=eqn/.approximationsystem=(#1==0&)/@Take[CoefficientList[eqnapprox[[1]],t],4] coeC=Solve[system,C/@Range@4]solfinal=sol/.coeCBlock[{rho=RandomReal[1,WorkingPrecision->16]},eqn/.solf inal]。

介绍五次方程的问题五次方程的代数解法最早可以追溯到16世纪，当时有许多数学家为了解决五次方程的问题而努力探索。

然而，他们很快发现五次方程没有通解，即没有一种通用的方法可以求解任意五次方程。

这一发现导致了代数学领域的一场大革命，即无法用根式求解代数方程的定理被提出。

这一定理使得许多数学家开始寻找其他方法来解决五次方程的问题。

尽管五次方程没有通解，但是在特定情况下，我们仍然可以求得其解。

其中一个著名的方法是费拉里方法，由意大利数学家费拉里于16世纪提出。

费拉里方法主要通过代数运算的方式来解决五次方程，其基本思想是将五次方程转化为一个四次方程和一个一次方程的联立方程组，然后通过适当的变换和求解得到五次方程的解。

虽然费拉里方法在实际操作中存在一定的困难，但它为我们解决五次方程问题提供了一个新的视角。

除了费拉里方法，数学家们还发现了其他方法来解决五次方程的问题。

其中一个重要的方法是Galois理论，由法国数学家伽罗瓦于19世纪提出。

Galois理论通过研究方程的对称性和群论的方法来分析方程的解，从而判断一个方程是否能用根式解出。

Galois理论在代数学中有着广泛的应用，为我们理解五次方程和其他高阶方程提供了一种全新的思路。

随着数学理论的不断发展，五次方程的问题也逐渐得到了更深入的研究。

现代数学家们通过引入复数和拓展数域的概念，成功地解决了一些复杂的五次方程问题。

同时，计算机的发展也为我们解决五次方程提供了新的思路和方法。

利用计算机高效的计算能力，我们可以通过数值方法来求解五次方程，从而得到更为精确的解。

总的来说，五次方程是一个复杂而又有趣的代数问题，虽然它没有通解，但是数学家们通过不懈的努力和探索，已经找到了许多方法来解决五次方程的问题。

无论是费拉里方法、Galois理论还是数值方法，这些解题方法都为我们提供了许多启发，让我们对代数方程的解法有了更深入的理解和认识。

在未来，随着数学理论的不断完善和技术的不断进步，我们相信五次方程这一复杂的代数问题一定会迎来新的突破和发展。

数学家伽罗瓦证明: 一元n次代数方程当n≥5时不存在根式解(公式解)。

因此n≥5时一般采用数值解法。

例如: x^5＋3x^4＋x^3－2x^2－x＋120＝0，根据数值分析理论，求解该5次方程等价于求解下列矩阵的特征值。

【-3，-1，2，1，-120 】
【1，0，0，0，0 】
【0，1，0，0，0 】
【0，0，1，0，0 】
【0，0，0，1，0 】
QR分解→RQ正交相似变换→迭代→···反复循环得
λ1＝-3.43001，
λ2＝-1.44725＋j2.28543，
λ3＝-1.44725－j2.28543，
λ4＝1.66231＋j1.42038，
λ5＝1.66231－j1.42038。

五个特征值就是原五次代数方程的5个根。

一个未知数且最高次数为5的整式方程
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为5（即“次”）的整式方程叫做一元五次方程（英文名：Quintic Equation with one unknown）。

一元五次方程的标准形式（即所有一元五次方程经整理都能得到的形式）是
ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0（a,b,c,d,e,f为常数，x为未知数）。