【精品】有限群的几乎次正规子群及可解性

§9 有限群的分类1.凯莱定理：设G 是n 阶群，则G 一定与对称群n S 的某个子群同构。

凯莱定理表明，理论上讲，研究有限群只需把对称群n S 研究透就够了，但由于nS 的阶数(!)n 非常大，很难找出G 具体与n S 的哪个子群同构。

实际当中采用具体研究的方式。

，2。

群的直和分解概念 定义 设12,,,s N N N 是群G 的正规子群。

如果x G ∀∈，都存在唯一的i i x N ∈，使得12s x x x x =；同时当i j ≠时，i N 中的元素与j N 中的元素可交换，则称G为12,,,s N N N 的直和，记为12.s G N N N ≅⊕⊕⊕例如，以克莱茵四元群为例，4{,,,}K e a b c =， 取1{,},N e a =2{,},N e b = 则 124,,N N K 且有12,,,e ee e N e N =∈∈ 12,,,a ae a N e N =∈∈12,,,b eb e N b N =∈∈ 12,,,c ab a N b N =∈∈ 从而根据定义有 412.K N N ≅⊕再比如，6阶循环群{}2345,,,,,G a e a a a a a =<>=，6ae =。

取331{,}N e a a ==<>，2422{,,}N e a a a ==<>，则不难验证有12G N N =⊕。

3.有限群的结构定理群的分类思想就是把复杂的群分解成简单的、结构完全已知的 群的直和，而循环群的结构最简单、完全清楚，因此，总是将 一般的群分解成循环群的直和。

以下将n 阶循环群记为n C 。

情形1：定理1 每个有限交换群都同构于一些循环群的直和，这些循环群的阶数分别为12,,,s m m m ， 满足12|,m m 23|,,m m 1|s s m m -， 即12s m m m G C C C ≅⊕⊕⊕。

通常称12,,,s m m m 为G 的不变因子（Invariant factors ）。

-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature2009年 1月 China Water Transport January 2009收稿日期：2008-12-10作者简介：王娜儿（1979-），女，浙江舟山人，浙江海洋学院数理与信息学院讲师，研究方向为群论。

判定正规子群的若干条件及方法王娜儿（浙江海洋学院 数理与信息学院，浙江 舟山 316004）摘 要：本文给出了判定群的子群成为正规子群的若干条件，并应用这些条件解决某些实际问题，本文的结论对如何寻找正规子群有一定的启示。

关键词：正规子群；可解群；单群中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2009）01-0264-02一、前言正规子群是群论中非常重要的子群，它在研究群可解性、同构分类等方面扮演尤为重要的角色。

事实上，对于群G ，如何确定子群H 是否为G 的正规子群对于判定G 是否可解起到关键作用。

所以讨论子群成为正规子群的条件也显得非常的重要，本文从正规子群的定义出发，给出了子群成为正规子群的若干条件，并应用部分条件解决实际问题。

二、判定正规子群的已知结果定义1：G 是群，≤H G 。

若g G ∀∈，有=gH Hg ，则称H 是G 的正规子群．记为H G 。

定理1：,≤H G 则下述条件等价： （1）a G ∀∈，有aH Ha =； （2）a G ∀∈，有⊆aH Ha ；（3）a G ∀∈，有1−⊆aHa H ；（4）a G ∀∈，有1aHa H −=；（5）a G ∀∈，h H ∈均有1aha H −∈。

定理2：设,()≤H G N H 表示H 的正规化子，则⇔ H G ()=G N H 。

一个关于极小子群与超可解性的注记陈晨;韩章家;张志让【摘要】In order to obtain a sufcient condition of supersolvable groups, by using two concepts of Jt-quasinormal subgroups and semi cover-avoiding subgroups of finite groups . A subgroup H of a group G is called a Tt-quasinormal subgroup of G, if it permutes with every Sylow subgroup of G. A subgroup H of a group G is called a semi cover-avoiding subgroup, if H either covers or avoids every normal factor of a normal series of G. The results extend some known conclusions.%为了得出一个超可解群的充分条件,利用有限群的π-拟正规子群和半覆盖远离子群的概念.群G的子群H称为G的π-拟正规子群,如果它与G的每一个Sylow子群可交换,群G的子群H称为G的半覆盖远离子群,如果H覆盖或者远离G的某个正规列的每一个正规因子.并将所得的结果推广到一些已知的结论.【期刊名称】《成都信息工程学院学报》【年(卷),期】2012(027)002【总页数】3页(P230-232)【关键词】基础数学;有限群;极小子群;π-拟正规子群;半覆盖远离子群;超可解群【作者】陈晨;韩章家;张志让【作者单位】成都信息工程学院数学学院,四川成都610225;成都信息工程学院数学学院,四川成都610225;成都信息工程学院数学学院,四川成都610225【正文语种】中文【中图分类】O152.11 引言及引理文中所指的群都是有限群,所用的符号都是标准的,可参见文献[1]。

２０１４年９月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版S e p．２０１４第３１卷第３期㊀㊀㊀㊀㊀J o u r n a l o fG u a n g x i T e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y:N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n V o l．３１N o．３文章编号:１００２Ｇ８７４３(２０１４)０３Ｇ００１８Ｇ０５次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I)∗黄㊀琼１,２,姚盛贵１,韦华全１,杨立英１,刘㊀丹１,任素梅１(１．广西师范学院数学科学学院,广西南宁５３００２３;２．广西体育运动学校,广西南宁５３００１２)摘㊀要:群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G)或MɪF２(G)或存在G的可解极大子群M,存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２－子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２－子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．关键词:可解群;次正规嵌入子群;S y l o w２－子群;极大完备;强θ－完备中图分类号:O１５２．１㊀㊀文献标识码:A１㊀引㊀言本文之群皆指有限群,所用术语和符号都是标准的．有限群的可解性和非可解性是有限群论的两个主要的研究方向．由于许多群论工作者的努力,可解群的研究有了非常大的发展:新概念的引入,新工具和新方法(包括纯群论方法与表示论方法)的采用,新方向的开拓等不断地增强它的生命力．１９９８年赵耀庆在[１]中提出了θ－完备的概念．２００４年,李世荣和赵耀庆[２]通过定义sＧ完备削弱了极大完备,并得到了有限群可解的若干个结论．２００６年,杜妮和李世荣在[３]中提出了强θＧ完备的概念,这一概念的提出,去掉了θＧ完备的 极大 这一条件,并得到有限群可解的一些新的判别准则,推广了一些相关定理．２００７年,宋玉和韦华全在[４]中给出了一些关于极大完备,θＧ完备,sＧ完备和强θＧ完备等的相关定理的证明,进一步在较弱的条件下,研究有限群的可解性．本章利用极大完备,正规完备和强θＧ完备对有限群的S y l o w２Ｇ子群的极大子群和循环子群的次正规嵌入性进行研究,得到了有限群可解的一些结果．２㊀定义及引理定义２．１([５])㊀设H是群G的子群．H称为G的次正规嵌入子群,若H的S y l o w子群也是G的某个次正规子群的S y l o w子群．引理２．２㊀设G是群,则(１)若H◁◁G,MɤG,则HɘM◁◁M;(２)若N G,且H◁◁G,则HN/N◁◁G/N．引理２．３([５])㊀设N是群G的正规子群,H是G的次正规嵌入子群,则(１)若HɤMɤG,则H在M中次正规嵌入;(２)HN/N在G/N中次正规嵌入．定义２．４([６])㊀设M是群G的一个极大子群．G的一个子群C称为M在G中的一个完备,如果C ⊈M,而C的每个GＧ不变真子群都在M中．若用K(C)表示C的所有GＧ不变真子群之积,则K(C)＜收稿日期:２０１４Ｇ０７Ｇ１０∗基金项目:国家自然科学基金(１０９６１００７,１１１６１００６);广西自然科学基金(０９９１１０１,０９９１１０２)作者简介:黄琼(１９８４－㊀),女,硕士,主要从事群论研究．E m a i l:４１８０６８０６６＠q q．c o m第３期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀黄㊀琼,等:次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I) １９㊀ C且K(C)◁G,M在G中的所有完备作成一个集合,记为I(M),叫做M在G中的指数复合．I(M)按集合包含关系作成一个偏序集,其极大元称为M的极大完备．注２．５([７])㊀若CɪI(M)且C◁G,则称C为M的正规完备．显然,正规完备必为极大完备．注２．６([７])㊀对于群G的任一极大子群M,I(M)必有正规完备．定义２．７([８])㊀设M是群G的一个极大子群．G的一个子群C称为M在G中的一个θＧ完备,如果C满足:(１)C⊈M;(２)M G⊆C;(３)C/M G不真含G/M G的异于１的正规子群．定义２．８([３])㊀设C是关于M的θＧ完备,称C为关于M的强θＧ完备,如果C＝G或存在G的子群B,使得(１)C是B的极大子群;(２)B不是关于M的θＧ完备．注２．９([３])㊀极大θＧ完备必定是强θＧ完备,但强θＧ完备未必是极大θＧ完备．定义２．１０([９])㊀设G是群．记F(G)＝{M M＜ G},F p(G)＝{M MɪF(G)且M非pＧ幂零},F c(G)＝{M MɪF(G)且GʒM是合数},F d(G)＝{M MɪF c(G)且对任意pɪπ(G),GʒMʂp２},F p(G)＝{M MɪF(G)且有PɪS y l p(G)使N G(P)ɤM},F p d(G)＝F p(G)ɘF d(G)ɘF p(G),F o d(G)＝ɣpɪπ(G)－２F p d(G)．定义２．１１([９])㊀若F p(G)非空,S p(G)＝ɘ{M MɪF p(G)};否则S p(G)＝G．若F o d(G)非空, S o d(G)＝ɘ{M MɪF o d(G)};否则S o d(G)＝G．引理２．１２([１０,定理１．７])㊀设G为有限群,则下述两条均为G可解之充要条件:(１)G的合成因子皆为素数阶循环群;(２)G的主因子皆为素数幂阶的初等交换群．引理２．１３([９])㊀设G是群,则S２(G)和S o d(G)都是可解群．引理２．１４([１１])㊀设G是一个群,N◁G使得G/N有唯一极小正规子群U/N．令M是G的一个极大子群且满足:M包含N,但不包含U．并且令C是I(M)的一个极大元．进一步假设U/N不是C/K (C)的截断,那么(１)N＝K(G);(２)C是U C的极大子群．引理２．１５([１２])㊀设M为群G的幂零极大子群,若M的S y l o w２Ｇ子群的极大子群都在G中次正规嵌入㊁则G可解．引理２．１６([１２])㊀若群G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群均在G中次正规嵌入,则G可解．３㊀主要结果定理３．１㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G),存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．下面构造C/K(C)．对任意M＜ G,在非空集合{U U G且G＝UM}中取极小者C,则C为M的一个极大完备,又因K(C)＜２０㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３１卷C,K(C)G,故C/K(C)是G的一个主因子．由引理２．１２知,C/K(C)为p n阶初等交换pＧ群,p为素数．从而得C/K(C)为幂零群．设P/K(C)ɪS y l２(C/K(C)),则可推出P/K(C)G/K(C)．取P１/K (C)＜ P/K(C),那么P１/K(C)P/K(C)．因P１/K(C)◁◁G/K(C),故P１/K(C)在G/K(C)中次正规嵌入．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S o d(G/N)(若否,则U/NɤS o d(G/N),因S o d(G/N)可解,所以U/N可解,矛盾)．故存在M/N＜ G/N且M/NɪF o d(G/N),使得U/N M/N．显然M＜ G,NɤM但U M而MɪF o d(G)．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．于是U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．２㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF２(G),存在I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．下面构造C/K(C)．对任意M＜ G,在非空集{U U G且G＝UM}中取极小者C,显然C G,则C为M的一个极大完备,又因K(C)＜C,K(C)G,故C/K(C)是G的一个主因子．由引理２．１２知,C/K(C)为p n阶初等交换pＧ群,p为素数．从而得C/K(C)为幂零群．设P/K(C)ɪS y l２(C/K(C)),则可推出P/K(C)G/K (C)．取P１/K(C)＜ P/K(C),则P１/K(C)P/K(C)．因P１/K(C)◁◁G/K(C),故P１/K(C)在G/K(C)中次正规嵌入．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S２(G/N)(若否,则U/NɤS２(G/N),因S２(G/N)可解,故U/N可解,矛盾)．故存在M/N＜ G/N且M/NɪF２(G/N),使得U/N M/N．显然M＜ G,NɤM,但U M而MɪF２(G)．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．于是U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N及引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N及引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．３㊀群G可解当且仅当存在G的可解极大子群M及I(M)的极大元C使得C/K(C)幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/K(C)的S y l o w２－子群的极大子群在G/K(C)中次正规嵌入;(２)C/K(C)的S y l o w２－子群的循环子群在G/K(C)中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀必要性是显然的．充分性㊀设G是一个极小阶反例,取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．若NM＝G,则G/N≅M可解,与G/N非可解矛盾．故NM＜G．第３期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀黄㊀琼,等:次正规嵌入子群与有限群的可解性(I I) ２１㊀ 因M＜ G,故NɤM．若U⊆M,则U可解,可推出U/N可解,矛盾,所以U⊈M．由假设I(M)有极大元C使得C/K(C)是幂零的,且满足(１)或(２)．若U/N是C/K(C)的截断,则U/N为幂零群,即U/N可解,与U/N非可解矛盾．因此U/N不是C/K(C)的截断．由引理２．１４知,C 是U C的极大子群,且N＝K(C)．显然,C/N是U C/N的幂零极大子群．若(１)成立,则由C/NɤU C/ NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的极大子群在U C/N中次正规嵌入．由引理２．１５知, U C/N可解,故U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．若(２)成立,则由C/NɤG/N和引理２．３知,C/N的S y l o w２－子群的循环子群在C/N中次正规嵌入．由引理２．１６知,C/N可解,取C G,即C为正规完备,U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．４㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF o d(G),存在I(M)的一个强θＧ完备C使得C/M G幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/M G中次正规嵌入;(２)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/M G中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．对任意M＜ G,在非空集合{U U◁G且G＝UM,M GɤU}中取极小者C,由定义可知C是关于M的强θＧ完备．因C/K(C)是G 的一个主因子,故C/K(C)为初等交换pＧ群,p为素数．可推出C/K(C)为幂零群．因K(C)⊆C,C⊈M,K(C)⊆M,C/K(C)不真含G/K(C)的异于１的正规子群,而M G⊆C,C⊈M,M G⊆M,故M GɤK (C)ɤM．又因K(C)G,所以K(C)ɤM G,故K(C)＝M G．显然G/M G幂零．设P/M GɪS y l２(C/ M G),则P/M G G/M G．取P１/M G＜ P/M G,则P１/M G P/M G．因P１/M G◁◁G/M G,故P１/M G 在G/M G中次正规嵌入．充分性㊀设G为一个极小阶反例．取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S o d(G/N)(若否,则U/NɤS o d(G/N),因S o d(G/N)可解,故U/N可解,矛盾)．故存在M/NɪF o d(G/N)使得U/N M/N．故存在M＜ G,使得NɤM,但U⊈M而MɪF o d(G)．因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故N U,U G,又因N⊆M,U⊈M,N M,故N＝M G．因I(M)有一个关于M的强θＧ完备C使得C/M G＝C/N幂零,显然C＜G．由C的强θＧ完备性可知,存在子群B使C＜ B且B不是关于M的θＧ完备．显然C/N＜ B/N．若(１)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在B/N中次正规嵌入．再由引理２．１５知,B/N可解．又因B⊈M 且N＝M G⊆B,故由定义２．７和定义２．８知,B/N必真含G/N的异于１的正规子群．因U/N为G/N 的唯一一个极小正规子群,故U/NɤB/N,从而U/N可解,矛盾．若(２)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入,由引理２．１６知,C/N可解．取C为{V V◁G且G＝V M}中的一元素,则C G．因U/N为G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．定理３．５㊀群G可解当且仅当对于每个MɪF２(G),存在I(M)的一个强θＧ完备C使得C/M G幂零且下列条件之一得到满足:(１)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在G/M G中次正规嵌入;(２)C/M G的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在G/M G中次正规嵌入．证明㊀必要性㊀因G可解,故由引理２．１２知,G的主因子皆为交换群．对任意M＜ G,在非空集合{U U◁G且G＝UM,M GɤU}中取极小者C,则由定义可知C是关于M的强θＧ完备．因C/K(C)是G的一个主因子,故C/K(C)为初等交换pＧ群,p为素数．可推出C/K(C)为幂零群．因K(C)⊆C,C⊈M,C/K(C)不真含G/K(C)的异于１的正规子群,而M G⊆C,C⊈M,C/M G不真含G/M G异于１的正规子群,故K(C)＝M G．显然G/M G幂零,设P/M GɪS y l２(C/M G),则P/M G G/M G．取P１/M G＜ P/M G,则P１/M G P/M G．因P１/M G◁◁G/M G,故P１/M G在G/M G中次正规嵌入．充分性㊀设G为一个极小阶反例．取G的尽可能大的正规子群N,使得G/N非可解,则U/N是２２㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３１卷G/N的唯一极小正规子群且非可解．由引理２．１３知U/N S２(G/N)(若否,则U/NɤS２(G/N),因S２(G/N)可解,所以U/N可解,矛盾)．故存在M/NɪF２(G/N),使得U/N M/N．故存在M＜ G 使得NɤM,但U⊈M而MɪF２(G)．因U/N是G/N的唯一一个极小正规子群,故N U,U G,又因N⊆M,U⊈M,N M,故N＝M G．因I(M)有一个关于M的强θＧ完备C使得C/M G＝C/N幂零,显然C＜G．由C的强θＧ完备性可知,存在子群B使C＜ B且B不是关于M的θＧ完备．显然C/N＜ B/N．若(１)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的极大子群在B/N中次正规嵌入．再由引理２．１５知,B/N可解．又因B⊈M 且N＝M G⊆B,故由定义２．７和定义２．８知,B/N必真含G/N的异于１的正规子群．因U/N为G/N 的唯一一个极小正规子群,故U/NɤB/N,从而U/N可解,矛盾．若(２)成立,则由引理２．３知,C/N的S y l o w２Ｇ子群的循环子群在C/N中次正规嵌入,由引理２．１６知,C/N可解．取C为{V V◁G且G＝V M}中的一元素,则C G．因U/N为G/N的唯一一个极小正规子群,故U/N C/N,显然U/N可解,矛盾．故极小阶反例不存在,G为可解群．证毕．参考文献:[１]㊀Z HA O Y Q．O n t h e i n d e x c o m p l e xo f am a x i m a l s u b g r o u p a n ds u p e r s o v a b l eo f a f i n i t e g r o u p[J]．C o mm A l g e b r a,１９９６,２４:１７８５Ｇ１７９１．[２]㊀L I SR,Z HA O Y Q．O n sＧC o m p l e t i o n s o fM a x i m a l S u b g r o u p s o f F i n i t eG r o u p s[J]．A l g e b r aC o l l o q 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N GL iＧy i n g１,L I UD a n１,R E NS uＧm e i１(１．S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３００２３,C h i n a;２．G u a n g x i S p o r t sS c h o o l,N a n n i n g５３００１２,C h i n a)A b s t r a c t:G i s s o l v a b l e i f a n d o n l y f o r e a c h MɪF o d(G)o r e x i s t i n g s o l v a b l em a x i m a l s u b g r o u p M i n G, t h e r e i s am a x i m a l e l e m e n t C i n I(M)s u c h t h a t C/K(C)i s n i l p o t e n t a n d o n e o f t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s i s c o n t e n t e d．(１)A m a x i m a l s u b g r o u p o f S y l o w２Ｇs u b g r o u p o f C/K(C)i s s u b n o r m a l l y e m b e d d e d i n G;(２)A c y c l i c s u b g r o u p o f S y l o w２Ｇs u b g r o u p o f C/K(C)i s s u b n o r m a l l y e m b e d d e d i n G．K e y W o r d s:s o l v a b l e g r o u p;s u b n o l r e a l l y e m b e d d e ds u b g r o u p;S y l o w２Ｇs u b g r o u p;m a x i m a l c o mＧp l e t e;s t r o n gθＧc o m p l e t e[责任编辑:班秀和]。

数学中的有限群论数学中的有限群论是研究有限群结构和性质的一个重要分支。

有限群论在数学的各个领域都有广泛的应用，包括代数学、数论、几何学等。

本文将介绍有限群的基本概念和主要性质，并探讨其在数学中的作用和应用。

一、有限群的定义与性质有限群是指群中元素个数有限的群。

群是一个包含了乘法运算和满足一定性质的集合。

一个有限群必须满足以下性质：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，它们的乘积也属于该群。

2. 结合性：群中的元素满足结合律，即对于群中的任意三个元素a、b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。

3. 单位元：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，它满足对于群中的任意元素a，有a·e = e·a = a。

4. 逆元：群中的每个元素a都存在一个逆元a^-1，满足a·a^-1 = a^-1·a = e。

有限群的基本性质包括封闭性、结合律、单位元和逆元，这些性质保证了有限群的运算是良定义的并且具有一定的结构。

二、有限群的分类有限群的分类是一个重要且困难的问题。

根据有限群的性质，可以将有限群分为循环群、交换群和非交换群。

1. 循环群：循环群是由一个元素生成的群，也就是说，循环群中的每个元素都可以表示为某个元素 a 的幂次，记作<a>。

循环群是有限群的一种重要类型，它的结构相对简单。

2. 交换群：交换群是满足交换律的群，也称为阿贝尔群。

在交换群中，任意两个元素的乘积都满足交换律，即对于群中的任意元素a和b，有a·b = b·a。

3. 非交换群：非交换群是指不满足交换律的群。

非交换群的结构比较复杂，它包括了许多不同的类型，如对称群、线性群等。

根据有限群的不同性质和结构，数学家们对有限群进行了深入研究，并提出了许多重要的定理和结论。

三、有限群论的应用有限群论在数学中有广泛的应用，它不仅仅是一门独立的数学学科，还与其他学科有着紧密的联系。

s-正规子群与有限群的p-可解性张雪梅;李长稳【期刊名称】《贵州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)002【摘要】A subgroup H of a group G is said to be s-normal in G if there exists a subnormal subgroup K of G such that G = HK and H∩K≤Hsc, where Hsc is the largest subnormal subgroup of G contained in H. We investigate the p-solvability and solvability of finite Groups by using s-normal subgroups. Some recent results are generalized.%群G的一个子群H 称为在G中s-正规的,如果存在G的一个次正规子群K,使得G=HK且H∩ K≤HSG,其中HSG是包含在H中的G的最大次正规子群.利用s-正规子群研究有限群的p-可解性和可解性,取得并推广了前人的一些结果.【总页数】3页(P6-8)【作者】张雪梅;李长稳【作者单位】盐城工学院基础部,江苏盐城,224003;徐州师范大学数学科学学院,江苏徐州,221116【正文语种】中文【中图分类】O152【相关文献】1.弱s-拟正规子群对有限群的p-幂零性的影响 [J], 王丽芳;张慧芳2.有限群的s-正规子群与可解性 [J], 薛瑞;陶司兴;王品超3.弱c*-正规子群与有限群的P-超可解性 [J], 刘秀;韦华全;郭龙先4.弱c~#-正规子群与有限群的p-超可解性 [J], 韦华全;张晓荟;杨立英;英琼5.子群的S-半置换性与有限群的p-超可解性 [J], 邱正添;乔守红因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界可解群是一类常见的群,在Galois 方程论等方面有重要的应用.判定有限群的可解性是一个常见的问题.以下给出一种方法,把判定有限群G 的可解性的问题转化成寻找G 的三个指数互素的可解子群的问题.如果能够找到三个子群,指数互素,且可解,那么G 是可解的.这样就把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.而阶数较低的群相对容易研究.首先看定义和几个引理.定义1设G 为任意群.a,b ∈G ,令[a,b ]=a -1b -1ab ,称为元素a ,b 的换位子.令G ′=〈[a ,b ]|a,b ∈G 〉,称为G 的换位子群.归纳定义G 的n 阶换位子群:G (0)=G ,G (n )=(G (n -1))′,n ≥1.称群G 为可解群,如果存在正整数k 使G (k )=1.下面的引理1给出了几个关于换位子群的结论.引理1(1)设G=M 1×M 2,则G ′=M 1′×M 2′.(2)设H ≤G ,g ∈G ,则(H g )(n )=(H (n ))g ,n ≥1.(3)设H ≤G ,,则(HN /N )(n )=H (n )N /N ,n ≥1.证明(1)∀(a 1,b 1),(a 2,b 2)∈G ,其中a 1,a 2∈M 1,b 1,b 2∈M 2,[(a 1,b 1),(a 2,b 2)]=(a 1,b 1)-1(a 2,b 2)-1(a 1,b 1)(a 2,b 2)=(a 1-1a 2-1a 1a 2,b 1-1b 2-1b 1b 2)=([a 1,a 2],[b 1,b 2])故G ′=M 1′×M 2′.(2)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1g,h 2g]=(h 1g )-1(h 2g )-1h 1gh 2g=(h 1-1h 2-1h 1h 2)g=[h 1,h 2]g,于是(H g )′=(H ′)g .假设(H g )(n -1)=(H (n -1))g ,于是(H g )(n )=((H g )(n -1))′=((H (n -1))g )′=((H (n -1))′)g =(H (n ))g (3)对n 用归纳法.当n =1时,∀h 1,h 2∈H ,[h 1N ,h 2N ]=(h 1N )-1(h 2N )-1h 1Nh 2N =h 1-1h 2-1h 1h 2N =[h 1,h 2]N ,于是(HN /N )′=H ′N /N .假设(HN /N )(n -1)=H (n -1)N /N ,于是(HN /N )(n )=((HN /N )(n -1))′=(H (n -1)N /N )′=(H (n -1))′N /N=H (n )N /N .引理2设有限群G ≠1为可解群,则存在p -群M ≠1且M .证明取G 的极小正规子群M (即:1≠M ,∀N ,N ⊆M ,则N =1或M ).∀HcharM ,由M 知,H .由M 的极小性知,H =1或M .故M 为特征单群.有限特征单群是同构单群的直积.[1]设M=M 1×…×M s ,其中M i (i =1,...,s )是同构的单群.因为M ≤G ,所以M (n )≤G (n ),n ≥1,由G (k )=1可得M (k )=1.由引理1(1),M (k )=(M 1×…×M s )(k )=M 1(k )×…×M s (k )=1.于是M i (k )=1(i =1,...,s ).又由M i′M i 及M i 是单群知,M i ′=1.故M i 交换.交换单群是素数阶循环群.故M i 是素数阶循环群.又M i (i =1,...,s )是同构的.故M 是p -群.下面的引理3研究了有限群子群指数互素的情形.引理3设G 是有限群,H ≤G ,K ≤G ,若G ∶H 与G ∶K 互素,则G=HK .证明首先,子集HK 中包含H 的右陪集个数(姑且记作HK ∶H )等于K 中包含H ∩K 的陪集个数K ∶H ∩K .[2]这是因为Hk 1=Hk 2⇔k 1k 2-1∈H ⇔k 1k 2-1∈H ∩K ⇔(H ∩K )k 1=(H ∩K )k 2.于是,G ∶H ≥HK ∶H =K ∶H ∩K .从而,G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K ≤G ∶K G ∶H .又G ∶H 与G ∶K 都是G ∶H ∩K 的因子,且G ∶H 与G ∶K 互素,有G ∶H G ∶K G ∶H ∩K .故G ∶H ∩K =G ∶H G ∶K .而G ∶H ∩K =G ∶K K ∶H ∩K =G ∶K HK ∶H ,于是G ∶H =HK ∶H .故G=HK .引理4若K G ,且K 和G /K 都是可解的,则G 是可解的.[3]证明令ν是G 到G /K 上的自然同态,则ν(G ′)=(ν(G ))′.假设ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),则ν(G (i +1))=ν((G (i ))′)=(ν(G (i )))′=((ν(G ))(i ))′=(ν(G ))(i +1).于是ν(G (i ))=(ν(G ))(i ),i ≥1.又ν是满同态,从而ν(G(i ))=(G /K )(i ),i ≥1.因此,由G /K 可解知,存在k ≥1使ν(G (k ))=1.于是G (k )⊆K .由K 可解知,存在l ≥1使K (l )=1.于是G (k+l )⊆K (l )=1,从而G 是可解的.定理1设有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.证明对G 用归纳法.G =1显然成立.假设对小于G 成立.下证对G 成立.断言H 1≠1,否则(G ∶H 1,G ∶H 2)=(G ,G ∶H 2)=G ∶H 2≠1(假如G ∶H 2=1,则G =H 2可解),与互素矛盾.断言成立.又H 1可解,由引理2,存在p -群M ≠1且M H 1.因为(G ∶H 2,G ∶H 3)=1,所以p 至多整除G ∶H 2,G ∶H 3中的一个.不妨设G ∶H 2.但由于p H 1,于是p G ,又G =H 2G ∶H 2,故p H 2.设P 是H 2的Sylow p -子群.由于G ∶H 2,H 2∶P ,G ∶P =G ∶H 2H 2∶P ,于是G ∶P ,故P 是G 的Sylow p -子群.由Sylow 定理,任二Sylow p -子群共轭,任一p -子群含于一Sylow p -子群.存在g ∈G ,使M ≤P g ≤H 2g.由G ∶H 2g=G ∶H 2知,G ∶H 1与G ∶H 2g互素,由引理3,G=H 1H 2g.∀x ∈G ,x=x 1x 2,x 1∈H 1,x 2∈H 2g.由M H 1,M ≤H 2g 知,M x=Mx x =M x ≤H 2g.令N =〈M x |x ∈G 〉,于是N ≤H 2g,1≠N G .H 2可解,对某正整数k ,H 2(k )=1,由引理1(2),(H 2g )(k )=(H 2(k ))g=1,故H 2g可解.从而N 可解.由引理1(3),(H 2N /N )(k )=H 2(k )N /N=1,故H 2N /N 可解.同理H 1N /N ,H 3N /N 可解.又G /N ∶H 1N /N =G /N ·(H 1∩N N )/(H 1N )G ∶H 1.同理G /N ∶H 2N /NG ∶H 2,G /N ∶H 3N /NG ∶H 3.故G /N ∶H 1N /N ,G /N ∶H 2N /N ,G /N ∶H 3N /N 两两互素,又G /N <G ,由归纳假设,G /N 可解,由引理4,G 可解.以上给出了一种判定有限群可解性的方法,把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性.参考文献[1]崔雪晴,何建营.有限特征单群结构[J].科教导刊,2014,11(1):198-199.[2]徐明曜.有限群导引上册[M].2版.北京:科学出版社,1999:6-7.[3]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco:W.H.Freeman and Company,1974:239.[责任编辑:汤静]判定有限群可解性的一种方法崔雪晴陈仁霞(中原工学院理学院,河南郑州450000)【摘要】本文研究了换位子群的性质,得出了几个关于换位子群的结论.研究了有限群子群指数互素的情形.在此基础上,给出了一种判定有限群可解性的方法,即,若有限群G 有三个可解子群H 1,H 2,H 3,且指数G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3两两互素,则G 是可解的.【关键词】有限群;可解性;可解子群An Decision Method of the Solvability of Finite GroupsCUI Xue-qing CHEN Ren-xia(College of Science,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou Henan 450000,China)【Abstract 】It studies the properties of commutator groups,and gets some conclusions about commutator groups.It studies the case that the indexes of subgroups of finite groups are relatively prime.On the basis,it gives an decision method of the solvability of finite groups,that is,if a finite group G has three solvable subgroups H 1,H 2,H 3,and the indexes G ∶H 1,G ∶H 2,G ∶H 3are relatively prime,G is solvable.【Key words 】Finite group;Solvability;Solvable subgroups 作者简介:崔雪晴(1984—),女,硕士研究生,助教,研究方向为代数。

子群与正规子群的判定及求法1.引言1.1 概述在数学中，群是一种代数结构，它是集合及其上的一种二元运算构成的。

群的研究在数学领域具有重要的地位，并且在许多领域中都有广泛的应用。

在群论中，子群和正规子群是两个基本的概念。

子群是指群中的一个子集，该子集在相同的二元运算下也构成一个群。

子群的判定是群论的一个重要问题，它涉及到对群的结构和性质进行分析。

如何判定一个集合是否是给定群的子群，这是我们在本文中要探讨的一个问题。

正规子群是在子群的基础上，具有一些更为特殊的性质。

具体来说，对于一个群的正规子群，它在群的乘法运算下是不变的。

这意味着正规子群对于群的乘法运算是封闭的，并且对于群的元素进行乘法运算后，结果仍然在正规子群中。

正规子群的判定和求法是群论中的一个重要主题。

本文的目的是介绍子群和正规子群的判定方法和求法。

我们将详细讨论如何判定一个集合是否是给定群的子群，并给出相应的证明方法。

同时，我们还将探讨正规子群的定义和性质，以及正规子群与子群之间的关系。

通过本文的研究，我们能够深入理解子群和正规子群的概念，并掌握判定和求法的方法。

同时，研究子群和正规子群也对于深入理解群论以及其他数学领域中的概念和应用具有重要意义。

通过对子群和正规子群的研究，我们可以进一步拓展和应用这些数学工具，促进数学领域的发展。

接下来，我们将在正文部分详细介绍子群的判定方法、正规子群的判定方法，以及子群和正规子群的求法。

最后，我们将对本文进行总结，并展望子群和正规子群研究的未来发展方向。

1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。

每个部分都有其特定的目标和内容，旨在全面介绍子群和正规子群的判定与求法的相关知识。

在引言部分，首先对本文的研究主题进行概述，明确讨论的范围和问题。

随后，介绍了文章的结构，以方便读者理解文章的整体安排和内容安排。

最后，明确了本文的目标，即通过详细讨论子群和正规子群的判定和求法，深入探究其原理和应用。

关于有限群的正规子群的补子群Ⅱ王坤仁【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2004(027)002【摘要】研讨了关于有限群G的一个正规子群K的补子群之存在性与共轭性的更多一些的结果.主要结果如下:(1)假设K是Abel群并且K的每个Sylow子群S在G之含S的Sylow子群中有补子群.则有:(i)K在G中有补子群;(ii)若G有Hallπ-子群H,其中π=π(K),并且K在H中的所有补子群在H中是共轭的,则K在G中的所有补子群在G中是共轭的.(2)假设K是可解的并且对所有的S/K∈Syl(G/K),K是S 的一个直因子.则有:(i)K在G中有补子群;(ii)若G有Hallπ-子群H,其中π＝π(K),则K在G中的所有补子群在G中共轭的充要条件是K在H中的所有补子群在H中共轭.%In this paper, some more properties of the existence and conjugacy of complements of a normal subgroup K of a finite group G are studied. The main results are as follows. (1) Suppose that K is abelian and every Sylow subgrop S of K has a complement in a Sylow subgroup of G which contains S. Then: (i) K has a complement in G; (ii) If G has a Hall π- subgroup H with π = π(K), and all complements of K in H are conjugate in H, then all complements of K in G are conjugate in G. (2) Suppose that K is solvable and K is a direct factor of S for each S/K∈ Syl(G/K).Then: (i) K has a complement in G;(ii) If G has a Hall π-subgroup H with π = π(K), then all complements of K inG are conjugate in G ff and only if all complements of K in H are conjugate in H.【总页数】4页(P124-127)【作者】王坤仁【作者单位】四川师范大学,数学与软件科学学院,四川,成都,610066【正文语种】中文【中图分类】O152.1【相关文献】1.有限群正规子群的算法及S7子群的正规子群 [J], 王积社;饶金平2.关于有限群的正规子群的补子群I [J], 王坤仁3.有限群的C-补和SS-拟正规子群 [J], 李世荣;彭峰;白彦如4.有限群的正规子群之与极大子群有关的补的几个结果 [J], 王坤仁5.有限群的Fuzzy拟正规子群和Fuzzy次正规子群 [J], 张桂生因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。