舒尔定理 群论

群的定义设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有e*a=a，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有a*e=a，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。

Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使a^(-1)*a=e；则称G对代数运算*做成一个群。

一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：（1）封闭性若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;（2）结合律成立任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);（3）单位元存在存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;（4）逆元存在任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。

否则称为无限群。

有限群的元素个数称为有限群的阶。

定义运算对于g∈G，对于G的子集H，g*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg.对于G的子集A，B，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB.群的替换定理G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G.定义记法G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}子群的定义如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。

这条定理可以判定G的子集是否为一个子群：HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群。

群论复习思考题2006.121． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。

（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。

2． 试由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00i i 生成一矩阵群。

证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。

（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。

4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。

（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。

5． 叙述同态核定理，并加以证明。

6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。

其商群必为二阶循环群。

7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。

8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。

（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。

9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。

（2）证明下列循环积恒等式：()()()()y b X a y Xb a ab =10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A D A X O A D A D 21其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。

（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。

定义为a r r r T a-=='，求平移算符a J 的形式。

数学专业的群论群论是数学中一个重要的分支领域，它主要研究群的定义、性质和应用。

群论在数学中起到了举足轻重的作用，被广泛应用于代数、几何、物理和密码学等领域。

本文将对群论的概念、性质和应用进行介绍。

一、群的定义与性质在群论中，群是一种代数结构，由一个集合和一个二元运算组成。

群的定义需要满足四个条件：封闭性、结合性、单位元存在性和逆元存在性。

具体地说，设G是一个集合，*表示G上的二元运算。

若集合G满足以下条件，则称G为一个群：1. 封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G；2. 结合性：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；3. 单位元存在性：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a；4. 逆元存在性：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。

群的性质主要有唯一性、消去律和子群的定义等。

群的唯一性指的是一个集合上可能存在多个群结构，但这些群结构之间具有一一对应的关系。

消去律是指若群G中的元素a*b=a*c，则可以推出b=c。

二、群的应用1. 代数学应用群论在代数学中扮演着核心的角色。

它被广泛应用于线性代数、数论和域论等领域。

群的概念和性质为这些领域提供了基础，通过群论的方法可以研究和解决各种代数结构的问题。

2. 几何学应用几何学是另一个重要的应用领域。

群论在点群、对称群和Lie群等几何结构的研究中发挥着重要作用。

通过群论的方法可以研究几何对象的对称性和变换性质，从而深化对几何学的理解。

3. 物理学应用群论在物理学中也有广泛的应用。

在量子力学、粒子物理学和宇宙学等领域，群论被用来研究物理系统的对称性和变换规律。

通过群论的方法可以建立描述物理系统的数学模型，推导出物理定律。

4. 密码学应用群论在密码学中的应用得到了广泛的认可。

通过利用群的性质，可以设计和分析各种密码算法，保障信息的安全性。

群论可以用来研究离散对数问题，并构造一些具有强安全性的密码体制。

群论是离散数学中的重要分支，研究集合上的一种二元运算，需要满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。

在群论中，群是指一个集合G以及G上的一个二元运算组成的结构。

群需要满足四个性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。

封闭性指的是对于任意的a、b∈G，a b也属于G；结合律指的是对于任意的a、b、c∈G，(a b)c=a(b c)；单位元指的是存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a e=e a=a；逆元指的是对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a b=b a=e。

有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。

有限群是指元素个数有限的群。

有限群分类定理说明了任意一个有限群都可以被分解成若干个单群的直积。

一个单群是指除了单位元外，没有其他真子群的群。

有限群分类定理指出，任意一个有限群都可以被表示为若干个单群的直积，其中每个单群可以有不同的重复次数。

这样的分解方法是唯一的。

有限群分类定理的证明十分复杂，涉及到许多高级群论的概念和工具，如正规子群、陪集、同态映射、共轭等。

证明过程中使用了许多数学技巧和方法，如数学归纳法、反证法、构造法等。

有限群分类定理的应用非常广泛。

在代数几何、组合数学、密码学等领域都有运用。

例如在密码学中，公钥密码体制中的群是密码算法的基础，有限群分类定理提供了使用一些特殊类别的群的可行性。

综上所述，群论和有限群分类定理是离散数学中的重要内容。

群论研究集合上的一种二元运算，有限群分类定理描述了有限群的分类和结构。

它的应用广泛且重要，对于理解和应用群论有着重要的意义。

对于研究者来说，深入理解群论和掌握有限群分类定理是探索数学更深层次的必经之路。

数学名人的生平事迹及其贡献数学，是一门古老而又极为重要的学科。

它作为一门工具学科，在各个领域具有不可替代的重要性。

而在历史长河中，也有许多数学名人的生平事迹值得我们去品读。

一、欧几里得欧几里得是古希腊数学家，他所创立的欧几里得几何，被誉为几何学的基础。

欧几里得的生平事迹颇为传奇，他是亚历山大帝国的一名数学家，不仅有编写《几何原本》等众多作品，还对四大定理的研究作出了突出的贡献。

在欧几里得看来，数学不仅是一种工具，更是一种思维方式。

他的研究思路被后人称之为欧几里得方法，即是寻找形式主义与逻辑分析的平衡点，建立起一套独特的证明方法体系。

二、牛顿众所周知，牛顿是物理学的创始人之一，但他在数学领域的成就也是非常突出的。

他最重要的贡献就是发明了微积分学，这是数学史上非常重要而且普遍使用的一个概念，他的研究成果在很多学科领域中都被广泛应用。

牛顿的个人生活也是一个传奇，他十分珍惜自己的时间，超常的工作效率让他不断地创造出新的成果。

经过多年的研究与实践，他获得了“自然科学三定律”和“通用引力定律”，成为物理学与数学研究的两个重要领域。

三、伽罗瓦伽罗瓦是19世纪法国著名数学家，他的研究成果对现代数学的发展产生了深远的影响。

他的生平事迹颇显传奇色彩，他只活了21年，但留下了世界上最重要的数学遗产之一——伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论被认为是现代数学的一项重大成就，它不仅引刊了数学的一种新范式，而且在后来的数学研究中被广泛应用。

此外，伽罗瓦还对代数学的发展做出了突出的贡献，他所写的论文和作品，迄今仍受到广泛关注。

四、舒尔舒尔是19世纪德国著名数学家，他对数学的研究产生了深远的影响。

他最著名的成就就是舒尔引理，它被认为是现代代数结构分析的开端。

舒尔引理是现代数学研究的一个基本定理，它是组合数学研究中的一个重要组成部分。

此外，舒尔还发明了一个误差纠正技术——矩阵补码，这项技术被广泛应用在信息通信领域中。

五、高斯高斯是19世纪古典数学的伟大代表之一，他被誉为数学天才。

群论试题一、名词解释：（5’*6）1、群：有限或无限个数学对象（称为元或元素）A 、B 、C …..的集合{}.......C B A 、、，其中有一个与次序有关的运算方法（称为群乘），能从集合中任意两个元A 、B 得出确定的元C （记为AB=C ），若满足下面四个条件，则这一集合称为群，用G 表示，集合中的元素称为群元。

（1）封闭性：集合中任意两个元的乘积（包括自身相乘）都在此集合之内； （2）结合律成立：A(BC)=(AB)C ；（3）单位元存在：集合中存在单位元E ，使集合中的任意元A 有 EA=AE=A ； （4）集合中每一元A 有逆元A -1存在，满足A -1A=A A -1=E 以上就是群的定义。

2、子群：群G 中的一些元的集合S ，若在相同的群定义下又构成群，则S 称作群G 的子群。

3、正规表示：把群元空间作为表示空间，群元本身作为此空间的变换算符。

于是算符（群元）作用在这个空间的基失（也是群元）上的矩阵，就是这个群的一个表示。

这个表示称为这个群的正规表示。

4、舒尔引理：若有一非零矩阵A 同一个群的某一表示中的所有矩阵对易， （1） 若此表示是不可约表示，则A 必为单位矩阵的常数倍；（2） 若A 不是单位矩阵的常数倍，则表示必为可约的。

当A 是厄米矩阵时，约化矩阵就是使A 对角化的矩阵。

5、不可约表示特征标的完全性定理：lm lm i ri l i h g C C δχχ=∑=)()(1* 这就是特征标的完全性关系6、不可约表示特征标的正交性定理：一个群的两个不等价不可约幺正表示为i GD 和j G D ，相应的特征标)(R i χ和)(R j χ必满足 g R R ij j GR i δχχ=∑∈)()(*或写成g C C h ij j Ci C δχχ=∑)()(*二、证明（20’）7、 现在给置换操作⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c ba 321一个新的定义，把放有东西①的位置改放东西a1，把放有东西②的位置改放东西b1等等〔其中a ，b ，c 也是东西1,2,3的一中排列〕.证明：﹝1﹞全部新的置换操作仍服从原列表. ﹝2﹞操作结果与意义跟原定义相同.解：E=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 321； A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b c 321 ； B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b ca 321； C=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c a b 321； D=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a c 321； F=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a cb 321EE=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 321=E ； EC=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c a b 321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c ab321=C 同理可得：EB=B ；EA=A ；ED=D ；EF=F ； CE=C ；CC=E ；CB=F ；CA=D ；CD=A ；CF=B ； BE=B ；BC=D ；BB=E ；BA=F ；BD=C ；BF=A ； AE=A ；AC=F ；AB=D ；AA=E ；AD=B ；AF=C ； DE=D ；DC=B ；DB=A ；DA=C ；DD=F ；DF=E ； FE=F ；FC=A ；FB=C ；FA=B ；FD=E ；FF=D ； 则全部新的置换群操作仍服从原群表.﹝2﹞相当与把东西的位置变化了，所以结果与意义与原定意义相同. 三、计算题（25’*2） 8、 试写出d D 2群的正规表示。