高中数学第1章导数及其应用1.2.2函数的和、差、积、商的导数自我小测选修2-2创新

教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）常见函数的导数公式：（默写）（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝； 2log y x ＝．（3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．2．探究活动．例1 求2y x x ＝＋的导数．思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？二、建构数学函数的和差积商的导数求导法则：三、数学运用例2 求下列函数的导数：（1）2()sin f x x x ＝＋； （2）323()622g x x x x ＝－－＋． 例3 求下列函数的导数：（1）()sin h x x x ＝； （2）()2ln f x x x ＝；练习 课本P22练习1～5题．点评 正确运用函数的四则运算的求导法则．四、拓展探究问题1 求下列函数的导数：（1）11x y x －＝＋； （2）44sin cos 44x x y ＝＋； （3）y ； （4）sin ln y x x x ⋅⋅＝． 点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '． 问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4f ＝ ． 五、回顾小结函数的和差积商的导数求导法则．六、课外作业1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题．2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．。

教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）常见函数的导数公式：（默写）（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝；2log y x ＝． （3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．2．探究活动．例1 求2y x x ＝＋的导数．思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？二、建构数学函数的和差积商的导数求导法则：三、数学运用例2 求下列函数的导数：（1）2()sinf x x x＝＋；（2）323()622g x x x x＝－－＋．例3 求下列函数的导数：（1）()sinh x x x＝；（2）()2lnf x x x＝；练习课本P22练习1～5题．点评正确运用函数的四则运算的求导法则．四、拓展探究问题1 求下列函数的导数：（1）11xyx－＝＋；（2）44sin cos44x xy＝＋；（3）11yx x＝－＋－；（4）sin lny x x x⋅⋅＝．（1）[()()]()()f xg x f x g x'''±＝±；（2）[()]()Cf x Cf x''＝（C为常数）；（3）[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x'''＝＋；（4）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g xg x g x'''－＝（()0g x≠）．点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '．问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4f ＝ ． 五、回顾小结函数的和差积商的导数求导法则．六、课外作业1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题．2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．。

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D ．y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C ．法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′ ＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C ．因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x，又x >0，所以f ′(x )>0即x －2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A ．e 2B ．e 3C ．－e 2D ．－e 3解析：选A ．因为f ′(x )＝e x(x －2)x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A ． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC ．21－2eD ．31－2e解析：选D ．因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1，5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________．解析：因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解之得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.故f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x . 答案：f (x )＝2x 3－9x 2＋12x7．已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________． 解析：f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2得，f ′(2)＝12＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－12，所以f (x )＝3x 2－24x ，所以f ′(x )＝6x －24， 所以f ′(5)＝6. 答案：68．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4ex(e x ＋1)2.令e x＋1＝t ，则e x＝t －1，且t >1， 所以y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t.再令1t＝m ，则0<m <1，所以y ′＝4m 2－4m ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122－1, m ∈(0，1)． 容易求得－1≤y ′<0，所以－1≤tan α<0， 得34π≤α<π. 答案：[34π，π)9．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝x ＋cos xx －cos x；(5)y ＝2xcos x －3x log 2 017x ； (6)y ＝cos 2xsin x ＋cos x.解：(1)法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′ ＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二：因为y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， 所以y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)因为y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，所以y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12.(3)因为y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，所以y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(4)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (5)y ′＝(2x)′cos x ＋(cos x )′2x－3[x ′log 2 017x ＋(log 2 017x )′x ]＝2xln 2·cos x －sin x ·2x－3[log 2 017x ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x log 2 017e x ＝2xln 2·cos x －2xsin x －3log 2 017x －3log 2 017e. (6)y ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，所以y ′＝－sin x －cos x .10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.①因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.② 又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]1．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C ．f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.2．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．解析：依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4. 答案：43．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解：因为直线l 过原点， 所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)， 因为点(x 0，y 0)在曲线C 上，所以y 0＝x 30－3x 20＋2x 0， 所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，又k ＝y 0x 0， 所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0， 因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时，y 0＝－38，k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38)．4．(选做题)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，所以f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2，所以f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.。

1.2 导数的运算常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.f(x)=0的导数是（ ）A.0B.1C.不存在D.不确定答案：A解析：f(x)=0是常数,常数的导数是0.2.函数y=sinx 的导数为（ ）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx答案：B解析：由常用函数的导数公式可知(sinx)′=cosx.3.函数y=3x-4的导数是（ ）A.3B.-4C.-1D.12答案：A解析：由函数导数的运算法则知y′=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________.解析：y=x-4x 2+4x-1=-4x 2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案：5-8x10分钟训练 （强化类训练，可用于课中） 1.y=32x 的导数是（ ）A.3x 2B.13x 2C.3131--x D.3132-x 答案：D解析：∵y=32x =32x ， ∴y′=(32x )′=23132-x =2331-x . 2.y=cosx 在x=6π处切线的斜率为（ ） A.23B.23- C.-12D.12 答案：C解析：y′6|π=x =-sin 6π=21-. 3.函数y=sinxcosx 的导数是（ ）A.sin 2xB.cos 2xC.sin2xD.cos2x答案：D解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos 2x-sin 2x=cos2x.4.函数y=x 2·cosx 的导数为___________.解析：y′=(x 2·cosx)′=(x 2)′·cosx+x 2·（cosx ）′=2x·cosx -x 2·sinx.答案：2x·cosx -x 2·sinx5.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________.解析：将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,0x e ),则过该切点的直线的斜率为0x e .∴直线方程为y-0x e =0x e (x-x 0).∴y -0x e =0x e ·x -x 0·0x e .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·0x e =0x e .∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e) e6.求下列函数的导数.(1)y=x 4-3x 2-5x+6;(2)y=x·tanx; (3)y=11+-x x ; (4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y′=(x 4-3x 2-5x+6)′=(x 4)′-3(x 2)′-5x′+6′=4x 3-6x-5. (2)y′=(x·tanx)′=(xx x cos sin •)′ =x x x x x x x 2cos )'(cos sin cos )'sin (-• =xx x x x x x 22cos sin cos )cos (sin +•+ =xx x x x x x 222cos sin cos cos sin ++• =xxx x x x 222cos sin cos 2sin 21++ =xx x 2cos 222sin +. (3)解法一：y′=(11+-x x )′ =2)1()'1)(1()1()'1(++--+-x x x x x=2)1()1()1(+--+x x x =)1(2+x .解法二：y=112+-x , y′=(112+-x )′=(12+-x )′ =2)1()'1(2)1()'2(++-+-x x x =2)1(2+x .(4)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x 2+12x+11.解法二：y=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.若y=sint,则y′|t=6π等于（ ）A.1B.-1C.0D.cost答案：A解析：y′|t=6π=cos6π=1.2.曲线y=2x 3-6x 上切线平行于x 轴的点的坐标是…（ ）A.（-1，4）B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4）D.（-1，4）或（1，-4）答案：D解析：y′=(2x 3-6x)′=6x 2-6,由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x 3-6x,得y=-4或y=4.即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案：A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx)答案：D解析：y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于…( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1答案：C解析：∵f(x)=x(x -1)(x-2)…(x-100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x-100)+x·［(x-1)·(x -2)…(x-100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=_______________.解析：∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32a. 令x=a,得y=3a 2×a -2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a 3.∴S △=21×(a 32-a)×a 3=61.∴a=±1. 答案：±1 7.已知直线l 是曲线y=31x 3+x 的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程是_______________. 解析：∵y′=x 2+1≥1，∴过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l 的方程是y=x.答案：y=x8.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x 21-. 故g(4)=16+821-=247. 9.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解：先确定l 2的斜率,再写出方程,设P(x 0,y 0),则1l k =y′| x=x0=021x . 由l 2和l 1垂直,故2l k =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0),令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0).解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0. ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 10.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案：(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线,则①式和②式都是l 的方程，⎩⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线. 由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。

1.2.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算学习目标：1.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数；2.会使用导数公式表求函数的导数；重点：会使用导数公式表求函数的导数，会使用导数公式表求简单复合函数的导数 难点：会使用导数公式表求函数的导数会使用导数公式表求简单复合函数的导数 基础检测 （独学） 2y x =在 x =3处的导数为 预习提纲：（2）推论：[]'()cf x =探究案：（群学、展示）-------投影展示★例1 根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x = （2）2xy = （3）3xy = （4）3log y x =例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）sin y x x =⋅； （3）2(251)xy x x e =-+⋅ （4）4xx y =；课堂小结：（群学或对学）1、基本初等函数的导数公式2、导数运算法 ◇课堂检测◇：（独学、展示）10分钟-------投影展示 1．(x －5)′＝( ) A ．－15x －6B.15x －4 C ．－5x －6D ．－5x 42．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( ) A ．3x 2＋6 B ．6x 2C ．9x 2＋6 D ．6x 2＋6 3. 课本85页练习2，习题3.2---4,5（创新题）★★★已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193 B.163 C.133D.103。

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 1.2.3 简单复合函数的导数1．导数的四则运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则21．函数f(x)＝sin x＋x的导数是( )A．f′(x)＝cos x＋1B．f′(x)＝cos x－1C．f′(x)＝－cos x＋1D．f′(x)＝－cos x＋xA[f′(x)＝cos x＋1.选A.]2．函数y＝x2cos 2x的导数为( )A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x B [y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .] 3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是__________ .y ′＝x 2＋6x (x ＋3)2 [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′ ＝(x 2)′(x ＋3)－x 2·(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.]4．已知函数f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝____________. 1 [f ′(x )＝2(2x ＋a )(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )， ∴f ′(2)＝4(4＋a )＝20，∴a ＝1.]【例1ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.(2)求下列函数的导数：①f (x )＝(x ＋2)(x －3)；②f (x )＝lg x －3x； ③f (x )＝11－x ＋11＋x；④f (x )＝sin x 1＋sin x .(1)－1e [f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e .∴f ′(e)＝－1e .](2)[解] ①∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1. ②f ′(x )＝(lg x )′－(3x)′＝1x ln 10－3xln 3. ③∵f (x )＝1＋x ＋1－x 1－x ＝21－x ，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. ④∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x，∴f ′(x )＝1′－⎝⎛⎭⎪⎫11＋sin x ′＝－－(1＋sin x )′(1＋sin x )2＝cos x (1＋sin x )2.1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而出错．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．1．求下列函数的导数． (1)y ＝x －2＋x 2； (2)y ＝3x e x －2x＋e ； (3)y ＝ln xx 2＋1； (4)y ＝x 2－sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝2x －2x －3.(2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.(3)y ′＝x 2＋1－2x 2ln xx (x 2＋1)2.(4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .【例2】 (1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝1(2x －1)3；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .[思路探究] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． [解] (1)函数y ＝e2x ＋1可看做函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u)′(2x ＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1(2x －1)3可看做函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6(2x －1)4.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看做函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看做函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．∴y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′ ＝3u 2cos x ＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x .1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤2．求下列函数的导数． (1)y ＝x1－1－x；(2)y ＝log 2(2x 2－1)． [解] (1)y ＝x1－1－x＝x (1＋1－x )(1－1－x )(1＋1－x )＝x (1＋1－x )1－(1－x )＝1＋1－x .设y ＝1＋u ，u ＝1－x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝(1＋u )′·(1－x )′ ＝12u·(－1)＝－121－x.(2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1，则y ′＝y ′u ·u x ′＝1u ln 2·4x ＝4x (2x 2－1)ln 2.[探究问题试说明复合函数y ＝(3x ＋2)2的导函数是如何得出的？[提示] 函数y ＝(3x ＋2)2可看做函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x ＋2)′＝6u ＝6(3x ＋2)．【例3】 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．[思路探究] 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解． [解] 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.若将本例中条件改为“直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交”，求a 的取值范围．[解] 由例题知，直线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交，∴圆心到直线l 的距离小于半径， 即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1<12，解得a >118.关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．1．正确运用四则运算求导法则是求导的关键，注意[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′这两个法则的区别．2．在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导． 3．对于求复合函数的导数，要正确区分基本函数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)已知函数y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝2cos x ＋sin x ．( ) (3)已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)，则f ′(x )＝2x ＋1.( ) [解析] (1)由f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2＋C . (2)由y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝(2sin x )′－(cos x )′＝2cos x ＋sin x . (3)由f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2， 所以f ′(x )＝2x ＋3.[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2D ．2B [f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)．∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)． 即f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2(－2)＝－4.]3．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 2 [令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝(e ax )·(ax )′＝a e ax，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.]4．求下列函数的导数． (1)y ＝cos(x ＋3)； (2)y ＝(2x －1)3；(3)y ＝e－2x ＋1.[解] (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看做函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数， 由复合函数的求导法则可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u )′·(x ＋3)′＝－sin u ·1＝－sin u ＝－sin(x ＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.。

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 1.2.3 简单复合函数的导数学习 目 标核 心 素 养 1.理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点) 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．(难点)3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)通过导数的运算及应用，提升数学运算素养.1．导数的四则运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ) 差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ) 积的导数[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)2复合函数 的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数复合函数 的求导法则若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a1．函数f (x )＝sin x ＋x 的导数是( ) A ．f ′(x )＝cos x ＋1 B ．f ′(x )＝cos x －1 C ．f ′(x )＝－cos x ＋1 D ．f ′(x )＝－cos x ＋x A [f ′(x )＝cos x ＋1.选A.] 2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x B [y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .] 3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是__________ .y ′＝x 2＋6x (x ＋3)2 [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′ ＝(x 2)′(x ＋3)－x 2·(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.]4．已知函数f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝____________. 1 [f ′(x )＝2(2x ＋a )(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )， ∴f ′(2)＝4(4＋a )＝20，∴a ＝1.]利用导数的运算法则求导数【例1ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.(2)求下列函数的导数：①f (x )＝(x ＋2)(x －3)；②f (x )＝lg x －3x； ③f (x )＝11－x ＋11＋x；④f (x )＝sin x 1＋sin x .(1)－1e [f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e .∴f ′(e)＝－1e .](2)[解] ①∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1. ②f ′(x )＝(lg x )′－(3x)′＝1x ln 10－3xln 3. ③∵f (x )＝1＋x ＋1－x 1－x ＝21－x ，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. ④∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x，∴f ′(x )＝1′－⎝⎛⎭⎪⎫11＋sin x ′＝－－(1＋sin x )′(1＋sin x )2＝cos x (1＋sin x )2.1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而出错．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．1．求下列函数的导数． (1)y ＝x －2＋x 2； (2)y ＝3x e x －2x＋e ； (3)y ＝ln xx 2＋1； (4)y ＝x 2－sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝2x －2x －3.(2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.(3)y ′＝x 2＋1－2x 2ln xx (x 2＋1)2.(4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .求简单复合函数的导数【例2】 (1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝1(2x －1)3；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .[思路探究] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． [解] (1)函数y ＝e2x ＋1可看做函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u)′(2x ＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1(2x －1)3可看做函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6(2x －1)4.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看做函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看做函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．∴y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′ ＝3u 2cos x ＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x .1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤2．求下列函数的导数． (1)y ＝x1－1－x；(2)y ＝log 2(2x 2－1)． [解] (1)y ＝x1－1－x＝x (1＋1－x )(1－1－x )(1＋1－x )＝x (1＋1－x )1－(1－x )＝1＋1－x .设y ＝1＋u ，u ＝1－x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝(1＋u )′·(1－x )′＝12u·(－1)＝－121－x.(2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1， 则y ′＝y ′u ·u x ′＝1u ln 2·4x ＝4x (2x 2－1)ln 2.导数法则的综合应用[探究问题]试说明复合函数y ＝(3x ＋2)2的导函数是如何得出的？[提示] 函数y ＝(3x ＋2)2可看做函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x ＋2)′＝6u ＝6(3x ＋2)．【例3】 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．[思路探究] 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解． [解] 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.若将本例中条件改为“直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交”，求a 的取值范围．[解] 由例题知，直线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交，∴圆心到直线l 的距离小于半径， 即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1<12，解得a >118.关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．1．正确运用四则运算求导法则是求导的关键，注意[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′这两个法则的区别．2．在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导． 3．对于求复合函数的导数，要正确区分基本函数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)已知函数y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝2cos x ＋sin x ．( ) (3)已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)，则f ′(x )＝2x ＋1.( ) [解析] (1)由f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2＋C . (2)由y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝(2sin x )′－(cos x )′＝2cos x ＋sin x . (3)由f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2， 所以f ′(x )＝2x ＋3.[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2D ．2B [f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)．∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)． 即f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2(－2)＝－4.]3．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 2 [令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝(e ax )·(ax )′＝a e ax，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.]4．求下列函数的导数． (1)y ＝cos(x ＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.[解] (1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(cos u)′·(x＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.。