高二数学函数的和差积商的导数1

《函数的和、差、积、商的导数》知识清单一、函数的和、差的导数1、定理如果函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼）都可导，那么它们的和（差）＼（u(x) ＼pm v(x)＼）的导数等于它们各自导数的和（差），即：＼（u(x) ＼pm v(x)＇＝ u'（x) ＼pm v'（x)＼）2、理解与示例我们来通过一个简单的例子理解一下。

假设＼（u(x) ＝ x^2\），其导数＼（u'（x) ＝ 2x\）；＼（v(x) ＝ 3x\），其导数＼（v'（x) ＝3\）。

那么函数＼（u(x) ＋ v(x) ＝ x^2 ＋ 3x\）的导数为：＼＼begin{align}（u(x) ＋ v(x)）＇＆＝（x^2 ＋ 3x)＇＼＼＆＝（x^2)＇＋（3x)＇＼＼＆＝2x ＋ 3＼end{align}＼同理，函数＼（u(x) v(x) ＝ x^2 3x\）的导数为：＼＼begin{align}（u(x) v(x)）＇＆＝（x^2 3x)＇＼＼＆＝（x^2)＇（3x)＇＼＼＆＝2x 3＼end{align}＼从这个例子可以清晰地看到，函数和（差）的导数等于各自导数的和（差）。

二、函数的积的导数1、定理如果函数＼（u(x)＼）和＼（v(x)＼）都可导，那么它们的乘积＼（u(x) ＼cdot v(x)＼）的导数为：＼（u(x) ＼cdot v(x)）＇＝ u'（x) ＼cdot v(x) ＋ u(x) ＼cdot v'（x)＼2、理解与示例例如，设＼（u(x) ＝ x^3\），＼（u'（x) ＝ 3x^2\）；＼（v(x) ＝＼sin x\），＼（v'（x) ＝＼cos x\）那么＼（u(x) ＼cdot v(x) ＝ x^3 ＼cdot ＼sin x\）的导数为：＼＼begin{align}（u(x) ＼cdot v(x)）＇＆＝（x^3 ＼cdot ＼sin x)＇＼＼＆＝3x^2 ＼cdot ＼sin x ＋ x^3 ＼cdot ＼cos x＼end{align}＼这表明，求两个函数乘积的导数，不能简单地将它们各自的导数相乘，而是要按照上述定理进行计算。

函数的和差积商的导数教案一、教学目标1. 理解函数的和、差、积、商的导数概念。

2. 掌握求解函数的和、差、积、商的导数的方法。

3. 能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容1. 函数的和导数：两个函数的和导数等于各自导数的和。

2. 函数的差导数：两个函数的差导数等于各自导数的差。

3. 函数的积导数：两个函数的积导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数加上第一个函数的导数乘以第二个函数。

4. 函数的商导数：两个函数的商导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，除以第二个函数的平方。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的和、差、积、商的导数的概念及求解方法。

2. 教学难点：函数的积、商导数的求解。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数的和、差、积、商的导数概念。

2. 采用例题解析法，讲解求解函数的和、差、积、商的导数的方法。

3. 采用练习法，让学生巩固所学知识。

五、教学安排1. 课时：2课时2. 教学过程：第一课时：1. 导入新课，讲解函数的和、差、积、商的导数概念。

2. 讲解求解函数的和、差、积、商的导数的方法。

3. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

第二课时：1. 讲解例题，运用导数解决实际问题。

2. 学生自主练习，教师辅导。

3. 总结本节课所学内容，布置家庭作业。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解导数在实际问题中的应用。

2. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

3. 练习巩固：布置课后习题，让学生通过练习加深对知识点的理解和掌握。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生完成的课后习题，评估学生对知识点的掌握程度。

3. 单元测试：进行单元测试，全面评估学生对本单元知识的掌握情况。

八、教学资源1. 教材：选用合适的数学教材，为学生提供权威的学习资料。

高二数学选修 函数的和、差、积、商的导数教学目的：1、理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2、理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3、能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则 教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1. 求2y x x =+的导数。

变x x y -=2呢？一般地， 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即[]()()''()'()f x g x f x g x ±=±类似地，函数的积、商的求导法则是：三、讲解范例：例2、 求下列函数的导数⑴y=x 2+sinx⑵2(23)(32)y x x =+-（用两种方法）⑶()sin h x x x = ⑷21()t s t t+= ⑸y =5x 10sin x －2x cos x －9 ⑹y =xx sin 2变式：(1) 求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x 1·cos x 的导数. 课堂练习1：书P 701-4书P 711-2例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u)′=2v v u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住五、课后作业：。

高二数学函数的和差积商的导数课题函数的和差积商的导数课型新授时间09/ 10 /学习目标1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数学习重点函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用一、自主学习1. 常见函数的导数公式：（默写）2.求下列函数的导数：（1）：；（2）：；（3）解：（4）解：从上面几个函数的求导的过程与结果看：你可以得到什么结论？3. 函数的和差积商的导数求导法则：法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数，即法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即法则 4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即4.请给出法则的记忆方法：二、合作交流例1 求下列函数的导数(1)y =x2+sinx(2)(3)（4）例2 求下列函数的导数⑴⑵(3)(4) y=・cosx （5）（6）小结：三、拓展探究问题1：求下列函数的导数：（1）（2）小结：问题2：设，求。

小结：问题3：已知，则。

小结：四、巩固练习1.见课本（文P73，理P26）习题1.2第1题：；；；；第2题：；；；；第4题：；第6题：；第7题：；；第8题：；；；第9题：；。

五、课堂小结学习反思：学习反思：(两种方法)学习反思：学习反思：。

函数的和差积商的导数（1）目的要求1.了解函数的和差积的推导.2.掌握两个函数的和、差、积的求导法则.3.能正确运用两个函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.教学过程一、导入新课1.复习求下列导数：（x n ）', (x 3)', (x 2)'.2.提出问题：求函数y=x 3+x 2的导数.（1）利用导数定义求23)(x x x f +=的导数.'f (0lim )→∆=x x x x f x x f ∆-∆+)()(=0lim →∆x =∆+-∆++∆+x x x x x x x )()()(2323 2232033()()2()lim x x x x x x x x x x∆→⋅∆+⋅∆+∆+⋅∆+∆∆=x x 3(lim 0→∆223()2x x x x +⋅∆+∆++ .23)2x x x +=∆（2）探究:,3)(2'3x x = ,2)('2x x = .23)(2'23x x x x +=+结论:.)()()('2'3'23x x x x +=+3.猜想:'[()()]?u x v x += '[()()]?.u x v x -=二、新授1. 对上面猜想的证明:).()()]()(['''x v x u x v x u ±=±证明:令()()().y f x u x v x ==± ±-∆+±∆+=∆)([)]()([x u x x v x x u y ()][()()][()()].v x u x x u x v x x v x u v =+∆-±+∆-=∆±∆xu x u x y ∆∆±∆∆=∆∆∴. .lim lim lim lim0000x v x u x v x u x y x x x x H ∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即).()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 2. 法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即:(.)'''v u v u ±=±3. 范例:① 求x x y sin 3+=的导数.② 求324+--=x x x y 的导数.4. 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:.)('''uv v u uv +=指导学生尝试法则2的证明:令).()()(x v x u x f y ⋅== ()()()()y u x x v x x u x v x ∆=+∆+∆-=).()(()()()()()(x v x u x x v x u x x v x u x x v x x u -∆+⋅+∆+⋅-∆+⋅∆+x y ∆∆=x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆+⋅0lim )(→∆⋅+x x u xx v x x vA ∆-∆+)()(. 因为)(x v 在点x 处可导,所以它在点x 处连续,于是当0→∆x 时,→∆+)(x x v )(x v .从而x x v x x v x u x x v x x u x x u x y x x x ∆-∆+⋅+∆+⋅∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆)()(lim )()()()(lim lim000 ).()()()(''x v x u x v x u +=即:'''')(uv v u uv y +==说明:1..)('''v u uv ≠2.若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数..)(''Cu Cu =三、 例题例1 求453223-+-=x x x y 的导数.例2求)23)(32(2-+=x x y 的导数.解法1:3)32()23(4)23)(32()23()32(2'2'2'⋅++-=-++-+=x x x x x x x y =.98182+-x x解法2: x x x x y 46)23)(32(33-=-+=296x +-∴ .98182'+-=x x y注:在可能的情况下,求导时应尽量少用甚至不用乘积的求导法则.例3求)11(32xx x x y ++=的导数. 例4求)11)(1(-+=x x y 的导数.例5求2cos 2sin x x x y -=的导数. 提示:在求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错。