苏教版数学高二《函数的和、差、积、商的导数》 名师导学案 苏教

函数的和、差、积、商的导数(2)教学目的：1. 理解两个函数的积的导数法则、和(或差)的导数法则，学会用法则求复 杂形式的函数的导数2.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：灵活应用函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的综合应用．授课类型：习题课教学过程：一、复习引入：函数的差、积、商的求导法则：（1） []()()''()'()f x g x f x g x ±=±（2） []()'()'cf x cf x =（3） []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+（4） '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：例1. 求下列函数的导数（1）42356y x x x =--+ （2）y =x x sin 2（3）(1)(2)(3)y x x x =+++ （4）1sin 1cos x y x-=+（5）423335x x y x +-= （6）sin (cos 1)y x x =+例2： 在曲线31y x x =+-上求一点P ，是过点P 点的切线与直线47y x =- 平行。

变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=三：课堂练习1．函数2cos x y x=的导数为 。

函数的和、差、积、商的导数教学目标知识与技能1 使学生理解两个函数的和、差、积、商的求导法那么2 使学生能运用导数公式和函数的和、差、积、商的求导法那么求函数的导数过程与方法体会建立数学理论的过程,感受学习数学和研究数学的一般方法,进一步开展学生的思维能力情感、态度与价值观学生从感性认识上升到理性认识,从中体会数学的理性之美教学重、难点函数的和、差、积、商的求导法那么及应用教学方法从具体函数入手,引导学生探究两个函数和的导数的求导法那么,通过抽象概括,帮助学生理解并掌握两个函数的和、差、积、商的求导法那么教学过程一、问题情境1、回忆根本求导公式2、求以下函数的导数〔1〕＝32 〔2〕＝2 〔3〕＝og23由定义求导数〔三步法〕〔1〕求增量〔2〕算比值〔3〕当常数探究活动例1、利用导数定义求的导数。

思考,,怎样求呢？猜测=建构数学：法那么1、两个函数和〔或差〕的导数，等于这两个函数的导数的和〔或差〕即：=法那么2、〔C为常数〕例2、〔1〕求函数的导数〔2〕求函数的导数法那么3、两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：例3、〔1〕求函数；〔2〕求函数的导数法那么4、两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即：其中例4、〔1〕求函数的导数；〔2〕求函数的导数；〔3〕求函数的导数；〔4〕求函数的导数练习、课本1～5小结、函数四那么运算的求导法那么拓展研究、求以下函数的导数〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕1、曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为2、函数的导数为，那么，3、函数，假设，那么4、函数在处的导数5、在平面直角坐标系中，点在曲线：上，且点在第二象限内，曲线在点处的切线的斜率为2，那么点的坐标为6、函数，当时，的取值范围是7、求以下函数的导数：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕8、函数，那么=9、假设存在过点〔1，0〕的直线与曲线和都相切，那么=10、函数〔1〕求〔2〕假设曲线在点〔2，1〕处的切线与轴平行，求的解析式。

3.2.2 函数的和、差、积、商的导数 课时目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即′＝______________.2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即′＝________________.特别地′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.一、填空题1．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f′(x)＝__________.2．曲线y ＝xe x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．3．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.4．曲线y ＝x(x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．6．已知函数f(x)＝f′(π4)cos x ＋sin x ，则f(π4)的值为__________． 7．曲线C ：f(x)＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为____________． 8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s.二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3xlog 2 011x ；(4)y ＝x·tan x.10.求曲线y＝x2＋sin x在点(π，π2)处的切线方程．能力提升11．已知点P在曲线y＝4e x＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．12．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．3．2.2 函数的和、差、积、商的导数知识梳理1．和(或差) f′(x)±g′(x)2．第一个函数乘第二个函数的导数 f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) C·f′(x)3．分母的积 分母的导数 分母的平方 ′＝g x f′x －f x g′xg 2x (g(x)≠0)作业设计1．3x 2＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 2．x －y ＋1＝0解析 y′＝e x ＋xe x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.3．18解析 ∵f′(x)＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f′0＝－13f′－1＝－27∵⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13. ∵a ＋b ＝5＋13＝18. 4．y ＝720x解析 y′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x′，所以f′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720.故切线方程为y ＝720x.5.12e 2 解析 ∵y′＝(e x )′＝e x ，∵在(2，e 2)处的切线斜率为e 2，∵曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1.∵S ∵＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 6．1解析 ∵f(x)＝f′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，∵f′(x)＝－f′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x.∵f′⎝⎛⎭⎫π4＝－f′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22. ∵f′⎝⎛⎭⎫π4＝11＋2＝2－1. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 7．2x －y ＋3＝0解析 由f(x)＝sin x ＋e x ＋2得f′(x)＝cos x ＋e x ，从而f′(0)＝2，又f(0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3.8.12516解析 ∵s′＝2t －3t2， ∵当第4秒末，v ＝8－316＝12516(m/s)． 9．解 (1)y′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y′＝x ＋cos x′x －cos x －x ＋cos x x －cos x ′x －cos x 2 ＝1－sin xx －cos x －x ＋cos x 1＋sin x x －cos x 2 ＝－2cos x ＋xsin x x －cos x 2. (3)y′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x′log 2 011 x ＋(log 2 011x)′x] ＝2x ln 2·cos x －sin x·2x －3＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 011 x －3log 2 011 e.(4)y′＝(xtan x)′＝⎝⎛⎭⎫xsin x cos x ′ ＝xsin x ′cos x －xsin x cos x ′cos x 2＝sin x ＋xcos x cos x ＋xsin 2x cos x 2＝sin xcos x ＋x cos 2x ＋sin 2x cos x 2＝12sin 2x ＋x cos x 2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x. 10．解 f′(x)＝2x ＋cos x.故曲线在点(π，π2)的切线斜率为2π－1， 所以切线为y －π2＝(2π－1)(x －π)，即(2π－1)x －y －π2＋π＝0.11．[3π4，π) 解析 y′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1ex ， ∵e x ＋1ex ≥2，∵－1≤y′<0，即－1≤tan α<0， ∵α∵⎣⎡⎭⎫3π4，π.12．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)． ∵y′＝(x 2)′＝2x ，∵2x 0＝1，∵x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∵所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数一、学习目标1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数二、学习重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则三、学习难点：函数的积、商的求导法则的推导．四、学习过程：【复习回顾、引入】1.基本求导公式:0'=C ；()'kx b k +=(k ,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x s i n )'(cos -=注意：关于x a a x 和是两个不同的函数，例如:(1)(3)x '= 3ln 3x3(2)()x '= 23x2、由定义求导数（三步法）①求函数的增量：=∆y 00()();y f x x f x ∆=+∆-②算比值（平均变化率）：00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ ③取极限，得导数：0.0x x y y x x=∆'=∆→∆在时 巩固练习1：求2y x x =+的导数.解：2()f x x = ()g x x = 2()()f xg x x x+=+ 结论：22()()().x x x x '''+=+ 猜想：[()()]()()f x g x f x g x '''+=+【证明猜想】[]()()()().f x g x f x g x '''±=±证明：令()().y f x g x =+[][]()()()()y f x x g x x f x g x ∆=+∆++∆-+[][]()()()()f x x f x g x x g x =+∆-++∆- [][]()()()()f x x f x g x x g x y x x+∆-++∆-∆=∆∆ [][]()()()()f x x f x g x x g x x x+∆-+∆-=+∆∆ ()()f x g x ''=+.【数学建构】 法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x =.【例题讲解】例1 求函数3()sin f x x x =+的导数.解：例2 求函数323()622g x x x x =--+的导数. 解：【数学建构】。

函数的和、差、积、商的导数学习目标：1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 学习重点：能熟练运用函数的和、差、积、商的求导法则.难点：对函数的商的求导法则的掌握. 学法指导：应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题.要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.考纲要求：不超过3次的多项式求导. 数学思想方法：猜想→验证 学习过程：复习引入在此前我们已经学习了常见函数的导数，并用导数定义xy∆∆帮助大家推导了部分常见函数的导数，下面我请同学们来口答一下： ⑴()()为常数b k k b kx ,='+ ⑵()为常数C C 0=' ⑶1='x ⑷()x x 22='⑸()233x x='⑹211x x -='⎪⎭⎫⎝⎛⑺()xx 21='⑻()()为常数αααα1-='x x⑼()()1,0ln ≠>='a a a aaxx且⑽()()1,0ln 1log 1log ≠>=='a a ax e x x a a 且 ⑾()xxee='⑿ ()xx 1ln ='⒀()x x cos sin ='⒁()x x sin cos -='新授那么我们如何解决()()[]()[]()()[]()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''±x g x f x g x f x Cf x g x f ,,, 让我们通过今天学习来学会处理这些问题.例1 求函数x x y +=2的导数.()()()()[]()12limlim lim22000+=∆+-∆++∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆x x xx x x x x xx f x x f x y x x x 此题教者用PPT 进行相关过程的展示，不要求学生们完全会这种方案.但教者可以通过几何画板进行相关的验证猜想的工作.在此过程中进行充分的人机对话，如老师与多媒体，学生与多媒体的互动，使学生在学习过程中增加乐趣.通过多方验证得到函数和的导数运算法则：()()[]()()x g x f x g x f '+'='+ 进而迅速得出函数差的导数运算法则：()()[]()()x g x f x g x f '-'='- 小题强化：求下列函数的导数⑴()x x x f sin 2+=; ⑵()262323+--=x x x x g ; ⑶()x x x h cos 2+=; ⑷()x x xln 22-=ϕ;认识了函数和与差的导数，如何解决函数积的导数呢？这是我们接下来要解决的一个问题，请同学们先做一个思考，然后再讨论.请一位学生来说他对积的导数的认识，老师在必要的时候给他一些帮助.得出相关结论：()()[]()()()()x g x f x g x f x g x f '+'='例题2：求下列函数的导数:⑴()x x x f sin =; ⑵()x x x h ln =;⑶()22x x x ⋅=ϕ; ⑷()()()312+-=x x x f .完成了对函数积的导数的认识，下面我们来看商的导数的运算是如何进行的？直接给出相关运算性质：()()()()()()()()()0,2≠'-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f 例题3：求下列函数的导数:⑴()t t t s 12+=; ⑵()21xx f =;⑶()32+=x x x f ; ⑷()2sin xxx f =;⑸()x x h tan =.课堂小结：()()[]()()()[]()()()[]()()()()()()()()()()()()()0,2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=''=''+'='±x g x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f C x Cf x g x f x g x f()()0,2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=''±'='±v v v u v u v u v u v u uv v u v u本节课我们一起认识了函数和、差、积、商导数运算法则，在本节课的学习过程中，我们大家一起体验了在数学研究，乃至在今后所有的研究活动中所要用的一种重要的思想方法：猜想→验证。

2019-2020学年苏教版选修2-2 函数的和、差、积、商的导数 教案 教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）常见函数的导数公式：（默写）（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝； 2log y x ＝．（3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．2．探究活动．例1 求2y x x ＝＋的导数．思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？二、建构数学函数的和差积商的导数求导法则：三、数学运用例2 求下列函数的导数：（1）2()sin f x x x ＝＋； （2）323()622g x x x x ＝－－＋． 例3 求下列函数的导数：（1）()sin h x x x ＝； （2）()2ln f x x x ＝；练习 课本P22练习1～5题．点评 正确运用函数的四则运算的求导法则．四、拓展探究问题1 求下列函数的导数：（1）11x y x －＝＋； （2）44sin cos 44x x y ＝＋； （3）y ； （4）sin ln y x x x ⋅⋅＝． 点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '． 问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4f ＝ ． 五、回顾小结函数的和差积商的导数求导法则．六、课外作业1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题．2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．。

3.2.2函数的和、差、积、商的导数一、学习目标准确记住函数和、差、积、商的导数公式并能熟练应用.二、课前预习1、基本公式：[]='±)()(x g x f _______________[]=')(x Cf ______________[]=')()(x g x f ______________________='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ___________________________ 2、求下列函数的导数1）x x y cos 2+=（2）22x y =（3）32+=x x y （4）x x y cos ⋅= 三、课堂探究法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即[]='±)()(x g x f法则2: []=')(x Cf例1 求下列函数的导数x x x f sin )()1(2+= 2623)()2(23+--=x x x x g 法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即[]=')()(x g x f例2 求下列函数的导数x x x f ln 2)()1(⋅=)2(用两种方法求函数)23)(32()(2-+=x x x f 的导数法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f 例3 求下列函数的导数tt t s 1)()1(2+= （2）sin y x x = 四、巩固训练1．函数3223y x x x =-+-的导数是 .2．若函数()y f x =的导数2'()34f x x x =+，则()f x = （写一个满足的即可）. 3．sin y x x =的导数'y = .4．已知(),'()1x f x f x x==+则 . 5．已知32()32,'(1)4f x ax x f =++-=若，则a 的值为6．已知函数'6a b y ax y x +==的导数为，则a= ，b= .7．已知32()(23)(5),'()f x x x f x =--则= .8．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能是(1)3()(1)3(1)f x x x =-+-(2)()2(1)f x x =- (3)()2(1)f x x =- (4)()1f x x =-9．()()f x g x 与是定义在R 上的两个可导函数，若(),()'()'()f x g x f x g x =满足， ()()f x g x 则与满足(1)()()f x g x =(2)()()f x g x -为常数函数 (3)()()0f x g x == (4)()()f x g x +为常数函数10．已知函数ln 2,'x y x x y =+则= .11．已知曲线432:3294C y x x x =--+.（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？五、课堂总结四个基本公式六、课后反思。

高二数学函数的和、差、积、商的导数教案教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 '')'(v u v u ±=±证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴ x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆， x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．()''Cu Cu =法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv +=证明：令)()()(x v x u x f y ==，则=∆y )(x x u ∆+)(x x v ∆+-)()(x v x u)(x x u ∆+=)(x x v ∆+-)(x u )(x x v ∆++)(x u )(x x v ∆+-)()(x v x u ，=∆∆x y x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u xx v x x v ∆-∆+)()( 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，)()(x v x x v →∆+， 从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u 0lim →∆x xx v x x v ∆-∆+)()( )(')()()('x v x u x v x u +=，即 ='y '')'(uv v u uv +=．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭证明：令)()()(x v x u x f y ==， -∆+∆+=∆])()([x x v x x u y )()(x v x u )()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ∆+∆+-∆+= )()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ∆+-∆+--∆+=， ∴ )()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ∆+∆-∆+-∆-∆+=∆∆ 因为v (x )在点x 处可导，所以v (x )在点x 处连续．于是当0→∆x 时，v (x +x ∆)→v (x )．∴ )()](lim [)lim ()lim (lim 0000x v x x v x v u v x u x y x x x x ∆+∆∆-∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆2''v uv v u -=即)0('''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v uv v u v u y ． 三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 3+sin x 的导数.2求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)3 、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′4求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 解法一： 解法二：3、求y =xx x cos 423-的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=（2）'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232xx + (3)y =tan x (4)y =x cos 11- 五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(vu )′=2v v u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数函数的导数公式求导数.1．函数的和的求导法则[f (x )＋g (x )]′＝__________.2．函数的差的求导法则[f (x )－g (x )]′＝__________.预习交流1做一做：y ＝3x 2－6x ＋7的导数是__________．3．函数的积的求导法则(1)[Cf (x )]′＝________(C 为常数)；(2)[f (x )g (x )]′＝____________.预习交流2做一做：函数y ＝sin x cos x 的导数是__________．4．函数的商的求导法则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝____________〔g (x )≠0〕． 预习交流3做一做：求下列函数的导数：(1)y ＝ln x x ＋1－2x ； (2)y ＝x 2sin x； (3)y ＝x ＋3x 2＋3. 预习导引1．f ′(x )＋g ′(x )2．f ′(x )－g ′(x )预习交流1：提示：6x －63．(1)Cf ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )预习交流2：提示：y ′＝(sin x ·cos x )′＝(sin x )′cos x ＋sin x (cos x )′＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x .4．f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2预习交流3：提示：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1－2x ′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x )′ ＝x ＋1x －ln x (x ＋1)2－2x ln 2 ＝x ＋1－x ·ln x x (x ＋1)2－2x ln 2； (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2sin x ′＝2x sin x －x 2cos x sin 2x ； (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 2＋3′＝x 2＋3－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2 ＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.一、导数的四则运算法则求下列函数的导数：(1)y ＝cos x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 44＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 44； (5)y ＝cos 2x sin x ＋cos x； (6)y ＝x ln x .思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．1．若函数y ＝f (x )＝e x x在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值为__________．2．求下列函数的导数：(1)f (x )＝2x x 2＋1； (2)f (x )＝x 2＋sin x 2cos x 2；(3)f (x )＝(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2.1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y ＝f (x )的结构和特征，若直接求导很繁琐，一定要先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简，整理，然后再套用公式求导．二、导数四则运算法则的应用已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．思路分析：题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a ，b ，c 的值．过原点作曲线y ＝f (x )＝x ＋e x 的切线，求切线的方程．利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．1．f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是__________． 2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是__________．3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的坐标为__________． 4．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)＝________. 5．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝(x －2)2.答案：活动与探究1：解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝－sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12. (2)方法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；方法2：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(3)方法1：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2； 方法2：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. (4)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′ ＝－14sin x . (5)y ＝cos 2x sin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ， ∴y ′＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x .(6)y ＝x ln x ＝12x ln x ， ∴y ′＝12(x )′·ln x ＋12x ·(ln x )′＝12ln x ＋12. 迁移与应用：1．12 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ′＝x e x －e x x 2， ∴()000020e e x x xf x x -'＝. 又()000e x f x x ＝，依题意得000200e (1)e 0x x x x x -+=， 解得x 0＝12. 2．解：(1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1′ ＝(2x )′(x 2＋1)－2x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2； (2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋sin x 2cos x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12sin x ′ ＝2x ＋12cos x ；(3)f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋2x －4′＝⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋2x －3′ ＝32x-＝－1x －1x x . 活动与探究2：解：∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点，∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.迁移与应用：解：设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋0e x .①∵y ′＝1＋e x ，当x ＝x 0时，y ′＝1＋0e x，且切线过原点， ∴1＋0e x＝y 0x 0.② 由①②解得x 0＝1，y 0＝1＋e ，∴切线方程为(1＋e)x －y ＝0. 当堂检测1．3 解析：∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ＋1′＝x 2＋2， ∴f ′(－1)＝1＋2＝3.2．－8x ＋5 解析：y ′＝[x －(2x －1)2]′＝(x )′－(4x 2－4x ＋1)′＝1－8x ＋4＝－8x ＋5.3．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3 解析：∵y ′＝x 2－3x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ＝12，x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6＝0，x >0，得x ＝3，故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3. 4．－1 解析：∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， ∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.令x ＝－1代入得f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，得f ′(－1)＝－1.5．解：(1)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.方法二：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×1212x -＝1－122x -.欢迎您的下载，资料仅供参考！。