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高一数学复习考点知识讲解课件5.2.2函数的和、差、积、商的导数 考点知识1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 导语同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容．一、f (x )±g (x )的导数问题令y ＝f (x )＋g (x )，如何求该函数的导数？提示Δy ＝[]f (x ＋Δx )＋g (x ＋Δx )－[]f (x )＋g (x )；Δy Δx ＝[]f (x ＋Δx )＋g (x ＋Δx )－[]f (x )＋g (x )Δx＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＋g (x ＋Δx )－g (x )Δx， y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＋g (x ＋Δx )－g (x )Δx ＝f ′(x )＋g ′(x )．所以有[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )．两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．例1求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cos x；(2)y＝lg x－e x.解(1)y′＝()x5′－()x3′＋()cos x′＝5x4－3x2－sin x.(2)y′＝(lg x－e x)′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.反思感悟两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)＝15x5＋43x3；(2)g(x)＝lg x－e x.解(1)∵f(x)＝15x5＋43x3，∴f′(x)＝x4＋4x2.(2)∵g(x)＝lg x－e x，∴g′(x)＝1x ln10－e x.二、f(x)g(x)和f(x)g(x)的导数1．(f (x )·g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，(Cf (x ))′＝Cf ′(x )(C 为常数)．2.⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式．例2求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2；(3)y ＝e x x ；(4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解(1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.反思感悟(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝2x3－3x＋x＋1x x；(2)y＝x2＋1 x2＋3；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．解(1)∵3131222 23y x x x x---=-++，∴135222233322y x x x x---'+--＝.(2)方法一y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. 方法二∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x 2＋3′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. (3)方法一y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5)＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23.三、导数四则运算法则的应用例3(1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是()A.2B.22C ．1D ．2答案B解析设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴k ＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22.(2)设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．解f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋b x ，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎨⎧ a e ＋b ＝e ，a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0. 反思感悟(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式．(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x ，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案1,1解析f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎨⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. (2)曲线y ＝f (x )＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．答案1解析由题意可知，f ′(x )＝2e x ·e x ，f ′(1)＝2，∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(3)导数四则运算法则的应用．2．方法归纳：公式法、转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．函数y＝x(x2＋1)的导数是()A．x2＋1B．3x2C．3x2＋1D．3x2＋x答案C解析∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x，∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.193B.163C.133D.103答案D解析∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a ＝103.3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案A解析因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案y ＝x解析∵f (x )＝e x ·sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .课时对点练1．(多选)下列运算中正确的是()A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2 D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案AD解析A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为()A.π6B.3π4C.π4D.π3答案B解析因为f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，所以在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4.3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于()A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln2答案B解析∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案B解析∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为()A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)答案C解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x>0，解得x >2，所以f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．6．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是()A ．aB ．0C ．－aD ．a 2答案AC解析y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .7．已知函数f (x )＝x 3－mx ＋3，若f ′(1)＝0，则m ＝_________________________________. 答案3解析因为f ′(x )＝3x 2－m ，所以f ′(1)＝3－m ＝0，所以m ＝3.8．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 答案1解析∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22， 得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln x ＋1x； (2)y ＝cos x e x ；(3)f (x )＝(x 2＋9)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x ； (4)f (x )＝sin x x n .解(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝()ln x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝()cos x ′e x －cos x ()e x′()e x 2＝－sin x ＋cos x e x . (3)f (x )＝x 3＋6x －27x ，f ′(x )＝3x 2＋27x 2＋6.(4)f′(x)＝(sin x)′x n－sin x·(x n)′(x n)2＝x n cos x－nx n－1sin xx2n＝x cos x－n sin xx n＋1.10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝e x sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．解(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝e x sin x＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝e x sin x＋e x cos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.11．已知曲线f(x)＝x2＋ax＋1在点(1，f(1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a等于()A．1B．－1C．7D．－7 答案C解析∵f′(x)＝2x(x＋1)－(x2＋a)(x＋1)2＝x2＋2x－a(x＋1)2，又f′(1)＝tan3π4＝－1，∴a＝7.12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于()A.12B．1C．－32D．－1答案C解析因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·1x，所以f′(1)＝1＋a.又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－12，所以a＝－32.13．如图，有一个图象是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于()A.13B ．－13C.73D ．－13或53答案B解析f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y 轴，此时a ＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f (x )的导函数的图象．由图(3)知f ′(0)＝0，即f ′(0)＝a 2－1＝0，得a 2＝1，又由图(3)得对称轴为－2a 2＝－a >0，则a <0，解得a ＝－1.故f (x )＝13x 3－x 2＋1，所以f (－1)＝－13.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－4x ，x <0，－1x －ln x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．答案14或－4解析f ′(x )＝⎩⎨⎧ x 2－4，x <0，1x 2－1x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则⎩⎨⎧ 0<a <1，1a 2－1a ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－4＝12，解得a ＝14或a ＝－4.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________.答案4096解析因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212＝4096.16．已知函数f (x )＝ax x 2＋b ，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解(1)由题意得f ′(x )＝(ax )′(x 2＋b )－ax (x 2＋b )′(x 2＋b )2＝a (x 2＋b )－2ax 2(x 2＋b )2＝－ax 2＋ab (x 2＋b )2，因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝－a ＋ab(1＋b )2＝0，f (1)＝a 1＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，则f (x )＝4x x 2＋1. (2)由(1)可得，f ′(x )＝－4x 2＋4(x 2＋1)2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20(x 20＋1)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 20＋1)2－1x 20＋1， 令t ＝1x 20＋1，则t ∈(0,1]， 所以k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12， 则在对称轴t ＝14处取到最小值－12，在t ＝1处取到最大值4，所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4.。
