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大学数学微积分公式推导微积分是数学的重要分支，运用于各个科学领域和工程学中。
微积分公式的推导过程对于研究和理解微积分的基本概念和方法非常重要。
本文将从基本的微分和积分开始，推导一些常见的微积分公式。
1. 导数公式推导1.1 基本函数的导数1.1.1 常数函数的导数推导常数函数f(x) = C的导数为f'(x) = 0。
1.1.2 幂函数的导数推导幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = n * x^(n-1)。
1.1.3 指数函数的导数推导指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
1.1.4 对数函数的导数推导对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1 / x。
1.2 导数的基本性质1.2.1 和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
1.2.2 数乘法则若f(x)可导，k是常数，则(k * f(x))' = k * f'(x)。
1.2.3 乘法法则若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
1.2.4 商法则若f(x)和g(x)都可导且g(x) ≠ 0，则(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) -f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
2. 积分公式推导2.1 基本函数的不定积分2.1.1 幂函数的不定积分推导幂函数f(x) = x^n的不定积分为F(x) = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) + C。
2.1.2 正弦函数的不定积分推导正弦函数f(x) = sin(x)的不定积分为F(x) = -cos(x) + C。
1.2.2 导数的运算法则（一）知识要点1，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的 ，即()()'u x v x ±=⎡⎤⎣⎦2，两个函数的积的导数，等于 ，加上 ，即()()'u x v x ⋅=⎡⎤⎣⎦ 。
特别地，()'cu x =⎡⎤⎣⎦ （其中c 为常数）。
3，两个函数的商的导数，等于 减去 ，再除以 。
即知识点一，直接求导例1，求下列函数的导数（1）23cos y x x x =+ （2）1x y x=+ （3）tan y x = （4）lg x y x e =-变式训练1，求下列函数的导数(1)23y x =(2)5314353y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1x y x =+知识点二，先变形再求导例2，求下列函数的导数（1）y =（2）cos 2sin cos x y x x =+（3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (2)44sin cos 44x x y =+知识点三，导数的综合应用例3，已知函数21nx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭过点11,9P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数在点P 处的切线方程。
变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v水平基础题1．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －23．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________．5．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. 水平提升题6．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2 D.12(2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数9．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为______．10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． 提升拓展题13．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数）1(1)(2)y f y f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭知识要点1，和（或差） ()()''u x v x ±2，第一个函数的导数乘第二个函数 第一个函数乘第二个函数的导数()()()()''u x v x u x v x ⋅+⋅ ()'cu x3,分子的导数与分母的积 分母的导数与分子的积 分母的平方()()()()()()()()()2'''0f x g x f x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦典型例题例1，答案：（1）'6cos sin y x x x x =+-（2）()21'1y x =+（3）21'cos y x=（4）1'ln10x y e x =- 变式训练1，(1)'6y x =(2)42'43y x x =-+(3)()2'21sin cos y x x x x =-+(4)()2ln 1'1x x x y x x -+=+例2，答案：（1）21y x==- ()22'1y x =-（2）cos 2cos sin sin cos x y x x x x==-+ 'sin cos y x x =--（3）)212sin cos 4sin 222x x y x x =-=--1'1cos 2y x x =-- 变式训练2，(1)232'3y x x =-(2)1'sin 4y x =-例3，答案：因为1921n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以2n =，221x y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭()32'21x y x =+，12'|27x y == 所以切线方程为22710x y -+=变式训练3，53m v = 作业练习1．[答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.2．[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.3．[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.4．[答案] (－1,3)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.5．[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.6．[答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 7．[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.8．[答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．9．[答案] －32[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 10．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1 [解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ， 故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 11．[解析] 因为y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存有公共点，使在这个点处的两条切线互相垂直．12．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.13．则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， 所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.14,()()()2112222211111(1)'''''(2)''''11'11''1222'y f f f x x x x x y f f f x x f x x f --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==•=-• ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤==•⎢⎥⎣⎦=•++=•+•=解：。
导数的四则运算法则3.2.3 导数的四则运算法则教学目的:1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数(2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点:用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点:函数的积、商的求导法则的推导(教学过程:一、复习引入:常见函数的导数公式:nn,1xxC',0;(k,b为常数) ; ()'kxbk，,()'ln(0,0)aaaaa,,,且(x)',nx111xxxeaa,,,,且(ln)'x, (log)'log(0,0)()'ee,aaxxxaln; (sinx)',cosx(cosx)',,sinx二、讲解新课:2引例求的导数. yxx,，法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即fxgxfxgx()()''()'(),,,,,cfxcfx()'()',法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数( ,,法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以fxgxfxgxfxgx()()''()()()'(),，第二个函数的导数，即 ,,证明:令yfxgx,()()，则,y,fxx()，,gxx()，,-fxgx()(),，,fxx()gxx()，,fx()gxx()，,fx()gxx()，,fxgx()()-+-，- 1 -fxxfx()()，,,gxxgx()()，,,,y + ,gxx()，,fx(),x,x,x,x,0因为在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当时，，gx()gxxgx()()，,,fxxfx()()，,,gxxgx()()，,,,ylimlimlim从而+ ,gxx()，,fx(),x,0,x,0,x,0,x,x,x， ,，fxgxfxgx'()()()'()法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即',,fxfxgxfxgx()'()()()'(),,,(()0)gx ,,2gxgx()(),,三、讲解范例:例1 求下列函数的导数:5432(1)求多项式函数f(x)=2x+3x-4x+5x-6x+7的导数;2 (2)求的导数. yxx,，,(23)(32)2t，1例2 求下列函数的导数: ?st(), ? hxxx()sin,t例3 求函数(1)y=sin2x;(2)y=tanx的导数。
