2.2.6切变变换

2.2.4 旋转变换 2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点.2.了解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.[基础·初探]1.旋转变换(1)旋转变换的定义：将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换，其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角.(2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O 且逆时针旋转θ角时，旋转变换的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ，像⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵称为旋转变换矩阵.(3)旋转变换的特点：①旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状. ②旋转中心在旋转过程中保持不变.③图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定.④绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换. 2.投影变换(1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换. (2)投影变换矩阵：像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射. 3.切变变换(1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换.(2)切变变换矩阵一般地，在平面直角坐标系xOy 内，将任一点P (x ，y )沿着x 轴(或y 轴)方向平移|ky |(或 |kx |)个单位变成点P ′(x ′，y ′)，(其中k 是非零常数)，对应的变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1(k ∈R ，k ≠0)，称为切变变换矩阵. (3)切变变换的矩阵表示及其几何意义 ①矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01(k ∈R ，k ≠0)把平面上的点P (x ，y )沿x 轴方向平移|ky |个单位：当ky ＞0时，沿x 轴正方向移动；当ky ＜0时，沿x 轴负方向移动；当ky ＝0时，位置不变.在此变换作用下，x 轴上的点为不动点.②矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k1(k ∈R ，k ≠0)把平面上的点P (x ，y )沿y 轴方向平移|kx |个单位：当kx ＞0时，沿y 轴正方向移动；当kx ＜0时，沿y 轴负方向移动；当kx ＝0时，位置不变.在此变换作用下，y 轴上的点为不动点.[思考·探究]1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？【提示】 旋转变换所对应的矩阵表示为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ，这里θ为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当θ＞0时，旋转的方向是逆时针；当θ＜0时，旋转的方向则是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向.2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？【提示】 (1)恒等变换，关于x 轴、y 轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化.(2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动，另一边平移了的平行四边形.(3)投影变换把正方形区域变成了线段.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：线？曲线方程是什么？【精彩点拨】 根据题设条件找到旋转角θ，求出旋转变换矩阵，从而求出曲线方程，判断曲线类型.【自主解答】 将曲线xy ＝1绕坐标原点顺时针旋转90°，相当于逆时针旋转270°，故旋转变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 270° －sin 270°sin 270° cos 270°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0， 设P (x 0，y 0)为曲线xy ＝1上任意一点，在矩阵M 作用下对应点为P ′(x 0′，y 0′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ y 0－x 0， 所以⎩⎨⎧x 0′＝y 0，y 0′＝－x 0，故x 0′y 0′＝－x 0y 0＝－1.因此曲线xy ＝1在矩阵M 的作用下变成曲线 xy ＝－1，如图所示.求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转变换矩阵，进而用代入法(相关点法)求出曲线方程.若将本例中“旋转90°”变成“旋转45°”情况如何？ 【解】 由题意得旋转变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （－45°） －sin （－45°）sin （－45°） cos （－45°）＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2222－2222.在曲线xy ＝1上任取一点P (x ，y )，设其在此旋转变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22（x ＋y ），y ′＝－22（x －y ），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（x ′－y ′），y ＝22（x ′＋y ′）.将其代入xy ＝1中得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（x ′－y ′）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（x ′＋y ′）＝1. 即x ′22－y ′22＝1，因此曲线xy ＝1，在矩阵的作用下变成曲线x 22－y22＝1.y ＝x的方向投影到x 轴上.试求：(1)点A (3，2)在这个投影变换作用下得到的点A ′的坐标； (2)这个投影变换对应的变换矩阵.【导学号：30650016】【精彩点拨】 根据题设条件画出图形，数形结合求解.【自主解答】 (1)如图所示，点A (3，2)在这个投影变换作用下得到的点A ′的坐标为(1，0).(2)设点(x ，y )是平面直角坐标系xOy 内的任意一点，则它在这个投影变换作用下得到的点为(x －y ，0)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y 0， 从而可知所求的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 0.1.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到x 轴上，即(x ，y )―→(x ，0)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直于x 轴方向投影到直线y ＝x 上，即(x ，y )―→(x ，x )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到y 轴上，即(x ，y )―→(0，y ).2.求解该类问题常用数形结合思想求解.(1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 100，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 001对应的变换的几何意义是什么？ (2)矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121212 12对应的变换的几何意义是什么？ 【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x 轴的方向投影到x 轴上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线x ＋y ＝0的方向投影到x 轴上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x 轴的方向投影到直线y ＝x 上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于y 轴的方向投影到y 轴上.(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线x ＋y ＝0的方向投影到直线x ＋y ＝0上.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上.如图2-2-2所示，已知矩形ABCD ，试求在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD 在变换过程中的不变线段.【导学号：30650017】图2-2-2【精彩点拨】 由于本变换对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况，从而得解.【自主解答】 因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况即可，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－1. 从而矩形ABCD 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1作用下变成了平行四边形A ′B ′C ′D ′.这里A ′(－2，－1)、B ′(4，1)、C ′(1，1)、D ′(－5，－1)，即原图形上任意一点(x ，y )沿x 轴方向平移|3y |个单位，而纵坐标不变.如图所示，线段EF 为该切变变换下的不变线段.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1(k ∈R ，k ≠0)确定的变换为沿x 轴方向平移|ky |个单位的切变变换；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1(k ∈R ，k ≠0).确定的变换为沿y 轴方向平移|kx |个单位的切变变换，不要将二者混淆.如图2-2-3(1)、(2)所示，已知正方形ABCD 在变换T 作用下变成平行四边形A ′B ′C ′D ′，试求变换T 对应的矩阵M .图2-2-3【解】 由图知，A (0，0)变换为A ′(0，0)，B (1，0)变换为B ′(1，1)，C (1，1)变换为C ′(1，2)，D (0，1)变换为D ′(0，1)，从而可知变换T 是沿y 轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y 轴上的点为不动点，故可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011. [真题链接赏析](教材第34页习题2.2第8题)已知曲线xy ＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？已知椭圆Γ：x 2＋y 214＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图.【命题意图】 本题主要考查旋转变换，同时考查了函数方程思想及运算求解能力.【解】 设椭圆与坐标轴的交点分别为A (－1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，C (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12(如图).因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为 M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 0. 点A ，B ，C ，D 在旋转变换M 的作用下分别变为点A ′(0，－1)、B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0、C ′(0，1)、D ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，从而椭圆曲线Γ：x 2＋y 214＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ′：x 214＋y 2＝1.1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转π4的旋转变换的变换矩阵为________.【导学号：30650018】【解析】矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π4 －sin π4sin π4 cos π4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22. 【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22 2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤00 1对应的投影变换把椭圆变成________.【解析】 设椭圆上任意一点P (x ，y )在投影变换下对应点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0y ， ∴⎩⎨⎧x ′＝0，y ′＝y .椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，－b ≤y ≤b ，∴投影后的曲线方程为x ＝0(－b ≤y ≤b )，为一条线段. 【答案】 线段3.直线y ＝3x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0对应的变换作用下所得的几何图形的方程为________.【解析】 设直线y ＝3x 上任意一点为P (x ，y )，在线性变换下的像为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ， 即⎩⎨⎧x ′＝y ，y ′＝x ，∴⎩⎨⎧x ＝y ′，y ＝x ′.代入y ＝3x ，得x ′＝3y ′，即y ′＝13x ′， ∴变换后的图形为直线y ＝13x . 【答案】 y ＝13x 4.在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1对应的变换作用下，点(2，1)将会变为________，这是一种________变换.【导学号：30650019】【解析】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41可知点(2，1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1对应的变换作用下，变为点(4，1)，从而可知该变换为切变变换.【答案】 点(4，1) 切变我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(四)[学业达标]1.求出△ABC在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12作用下得到的图形，并画出示意图，其中A (0，0)，B (1，3)，C (0，2).【解】因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 1， 所以△ABC 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12作用下变换得到的图形为△A ′B ′C ′，其中A ′(0，0)，B ′(－1，3)，C ′(－3，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.2.(1)直线x ＋y ＝3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101作用下变成什么图形？ (2)正方形ABCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1作用下变成什么图形？这里A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1).【解】 (1)直线x ＋y ＝3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1作用下变成直线x ＝3.(2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1对应变换下，A →A ′(－2，－1)，B →B ′(0，－1)，C →C ′(2，1)，D →D ′(0，1)，则变换所成图形为平行四边形A ′B ′C ′D ′，如图.3.椭圆x 29＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换作用下得到什么图形？ 【解】 设(x ，y )为椭圆x 29＋y 2＝1上的任意一点，则有x 2≤9.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，所以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆x 29＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0对应的变换作用下得到的图形是线段y ＝0(－3≤x ≤3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy 内有一点P (2，3)，将该点沿平行于直线x ＋2y ＝0的方向投影到x 轴上，求P (2，3)在此投影变换下得到的点P ′的坐标.【解】 设P (2，3)在此投影变换下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则由题意知⎩⎨⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 0，从而可知此投影变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤80，可知点P ′的坐标为(8，0). 5.如图2-2-4所示，已知△ABC 在变换T 的作用下变成△A ′B ′C ′，试求变换T 对应的矩阵M .【导学号：30650020】图2-2-4【解】 从△ABC 到△A ′B ′C ′对应的是x 轴方向上的切变变换，因为A 、B在x 轴上，原地不变，注意到C (－1，1)→C ′(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201. 6.如图2-2-5所示，已知矩形ABCD 在变换T 的作用下变成图形A ′B ′C ′D ′，试求变换T 对应的矩阵M .图2-2-5【解】 从图可以看出，T 是一个切变变换，且 T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x y ＋12x . 故T 对应的变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1. 我们可以进行如下验证：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1. 所以矩形ABCD 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1的作用下变成了平行四边形A ′B ′C ′D ′. 7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上的矩阵表示.【解】 不妨设P (x ，y )是平面上的任意一点，则它关于直线y ＝x 对称的点P ′的坐标为P ′(y ，x )，PP ′的连线一定垂直于直线y ＝x ，且交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2，如图所示.根据题意，该变换即为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y 2x ＋y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 因此，将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上的变换的矩阵表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212. [能力提升]8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线x ＝y 2逆时针方向绕原点旋转90°所成的曲线方程. (2)求圆x 2＋y 2＝1绕原点逆时针旋转π8后得到的曲线方程.【导学号：30650021】【解】 (1)旋转变换矩阵为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，设x ＝y 2上任意一点(x 0，y 0)旋转变换后为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y 0 x 0， 所以⎩⎨⎧x ′0＝－y 0y ′0＝x 0，故y ′0＝(－x ′0)2，即旋转所成的曲线方程为y ＝x 2.(2)设x 2＋y 2＝1上的动点P (x ，y )经过变换后得新曲线上的点为P ′(x ′，y ′). 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π8 －sin π8sin π8 cos π8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x cos π8－y sinπ8x sin π8＋y cos π8，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos π8－y sin π8，y ′＝x sin π8＋y cos π8.从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′cos π8＋y ′sin π8，y ＝－x ′sin π8＋y ′cos π8.代入x 2＋y 2＝1得(x ′cos π8＋y ′sin π8)2＋(－x ′sin π8＋y ′cos π8)2＝1，即x ′2＋y ′2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋y 2＝1.。

人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

《切变变换》讲义一、什么是切变变换在数学的几何领域中，切变变换是一种十分有趣且重要的线性变换。

简单来说，切变变换就是一种能够让图形沿着某个方向“滑动”而形状不变的变换。

想象一下，我们有一张平铺在桌子上的纸，现在我们固定住纸的一边，然后沿着平行于这条边的方向推动纸张，使得纸张上的每个点都沿着这个方向移动一定的距离，这就是一种切变变换的直观表现。

切变变换与常见的旋转、缩放等变换有所不同。

旋转是围绕一个中心点让图形转动一定的角度，缩放则是改变图形的大小。

而切变变换更侧重于让图形在某个方向上发生平行的位移。

二、切变变换的数学表达为了更精确地描述切变变换，我们需要借助数学中的矩阵来表达。

对于在平面直角坐标系中的点（x, y) ，水平切变变换可以表示为：＼＼begin{pmatrix}1 ＆ k ＼＼0 ＆ 1＼begin{pmatrix}x ＼＼y＼end{pmatrix}＝＼begin{pmatrix}x ＋ ky ＼＼y＼end{pmatrix}＼其中，k 为切变系数。

当 k ＞ 0 时，图形向右切变；当 k ＜ 0 时，图形向左切变。

垂直切变变换可以表示为：＼＼begin{pmatrix}1 ＆ 0 ＼＼k ＆ 1＼begin{pmatrix}x ＼＼y＼end{pmatrix}＝＼begin{pmatrix}x ＼＼kx ＋ y＼end{pmatrix}＼这里，当 k ＞ 0 时，图形向上切变；当 k ＜ 0 时，图形向下切变。

通过这些矩阵，我们可以方便地计算出经过切变变换后图形上点的新位置。

三、切变变换的性质1、保形性切变变换不会改变图形的形状，只是改变了图形的位置。

比如一个正方形经过切变变换后，仍然是一个四边形，只是它的顶点位置发生了变化。

2、线性性切变变换满足线性运算，即对于任意两个向量 u 和 v ，以及任意两个实数 a 和 b ，切变变换 T 有：T(au ＋ bv) ＝ aT(u) ＋ bT(v) 。