下载文档原格式
3.2.1瞬时变化率——导数(1)教学过程一、数学运用【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率. (见学生用书P47) 让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:①求差商f(x0+Δx)-f(x0);②当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;③曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.解==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.本题应注意分子有理化思想的应用,再用逼近思想处理.变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.【例2】物体自由落体的运动方程为S=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求该物体在t=3时的瞬时速度.(见学生用书P48)瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.解取一小段时间,位移改变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.如何求t=3时的瞬时加速度呢?变式设一物体在时间t(单位s)内所经过的路程为S(单位m),并且S=4t2+2t-3,试求物体在运动开始及第5s末的瞬时速度.解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻ts的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例3】如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P48)曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.解设切点坐标为(x,x3+x-10).==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1.由题意,3x2+1=4,得x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.变式已知曲线y=x2上过某一点的切线满足下列条件,求此点坐标.(1) 平行于直线y=4x-5;(2) 垂直于直线2x-6y+5=0;(3) 与x轴成135°倾斜角.利用导数的概念及两直线的位置关系.解设P(x0,y0) 是满足条件的点.==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.(1) 因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,得x0=2,y0=4,即P(2,4).(2) 因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1,得x0=-,y0=,即P.(3) 因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,则2x0=-1,得x0=-,y0=,即P-,.【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程求解.解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.变式4已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.利用导数的几何意义:函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率.解由题意,得.二、课堂练习1. 如图,直线l是过曲线上P, Q两点的直线,当点Q沿曲线向点P靠近时,直线l的斜率变大.(填“变大”或“变小”)(第1题)2. 已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为1.提示将点(2,8)代入切线方程可得a=1.3. 质点沿x轴运动,设距离为x(单位:m),时间为t(单位:s),运动方程为x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt m/s;当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0 m/s;当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10 m/s2;当t=t0时,质点的瞬时加速度为10 m/s2.提示当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt;当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0m/s;当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10 m/s2;当t=t0时,质点的瞬时加速度为10m/s2.三、课堂小结1. 求曲线上一点处的切线的方法.2. 运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3. 导数的定义及几何意义.。
第07课时 切变变换一、要点讲解1．切变变换的概念：二、知识梳理1．由矩阵M =101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或N = 101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦确定的变换称为_____________变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．2．矩阵101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把平面上的点(,)x y 沿_________方向平移________个单位，当ky > 0时，沿____________移动，当ky < 0时，沿____________移动，当ky = 0时，原地不动．此变换下，____________为不动点．3．矩阵101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把平面上的点(,)x y 沿_________方向平移________个单位，当kx > 0时，沿____________移动，当kx < 0时，沿____________移动，当kx = 0时原地不动．此变换下，____________为不动点．4．切变变换有如下性质：(1)某一个坐标轴上的点是___________；(2)保持______________，点间的距离和夹角大小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的．切变变换的实质是_______________________．三、例题讲解例1． 已知矩形ABCD 在变换T 的作用下变成平行四边形A ′B ′C ′D ′，其中A (0,0)，B (1,0)，C (1，2)，D (0，2)，A ′(0，0)，B ′(1，1)，C ′(1，3)，D ′(0，2)，试求变换T 对应的矩阵M ．例2． 求出直线x = 1在矩阵1101⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变成的图形．例3． 试问由△OAB 到△OA ′B ′的变换对应的矩阵是什么？四、巩固练习1. 研究矩阵M =1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦所确定的变换作用，并求点(－1,1)在M 作用下的点的坐标．x2. 写出将点(x ，y )变换成点(x - 3y ，y )的变换矩阵M ．3. 设直线y = 2x 在矩阵1301⎡⎤⎢⎥⎣⎦所确定的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的解析式．4. 设椭圆22124x y +=在(x ，y )→(x - y ，y )对应的切变变换下变成另一个图形F ，求图形F 的解析式．5. 若曲线x 2 + 4xy + 2y 2 = 1在矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换成曲线x 2 - 2y 2 = 1． (1)求a + b 的值；(2)矩阵M 所对应的变换是什么变换？。
1.1.2 瞬时变化率——导数学习目标 1.理解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数．知识点一 曲线上某一点处的切线如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4，…)，点P 的坐标为(x 0，y 0)．思考1 当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？答案 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，即曲线上点P 处的切线位置． 思考2 割线PP n 的斜率是什么？它与切线PT 的斜率有何关系． 答案 割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0；当P n 无限趋近于P 时，k n 无限趋近于点P 处切线的斜率k .梳理 (1)设Q 为曲线C 上的不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线． (2)若P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ，当Δx →0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率．知识点二 瞬时速度与瞬时加速度——瞬时变化率 1．平均速度在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． 3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 知识点三 导数 1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称为f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．类型一 求曲线上某一点处的切线例1 已知曲线y ＝x ＋1x 上的一点A (2，52)，用切线斜率定义求：(1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解 (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx (2＋Δx )＋ΔxΔx ＝－12(2＋Δx )＋1. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.反思与感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练1 (1)已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P 坐标为(x 0，y 0)， 则f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4， 因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即点P 坐标为(3,30)．(2)已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解 设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx ＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5， 所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 在1到1＋Δt 的时间内，物体的平均速度v ＝Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴当Δt 无限趋近于0时，v 无限趋近于3， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴当Δt →0时，1＋Δt →1，∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .∴当Δt →0时，ΔsΔt →2t 0＋1.则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2 s 处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2 s 附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴当Δt →0时，ΔsΔt →4a ＝8，即a ＝2.类型三 求函数在某点处的导数 例3 已知f (x )＝x 2－3. (1)求f (x )在x ＝2处的导数；(2)求f (x )在x ＝a 处的导数． 解 (1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．跟踪训练3 (1)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2.(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解 当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为 f (6＋Δx )－f (6)Δx＝(6＋Δx )2－7(6＋Δx )＋15－(62－7×6＋15)Δx＝5Δx ＋(Δx )2Δx＝5＋Δx .当Δx →0时，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5 ℃.1．一个做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________． 答案 －1解析 由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.2．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________． 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx＝8＋2Δx ，当Δx →0时，8＋2Δx 趋近于8.即k ＝8. 3．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．答案 0解析 ∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x ，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)的值为________． 答案 a解析 由导数定义，得f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a Δx ＋b (Δx )2Δx＝a ＋b Δx ，故当Δx →0时，其值趋近于a ，故f ′(x 0)＝a .5．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度． 解 当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2，则ΔS Δt ＝S (1＋Δt )－S (1)Δt ＝(1＋Δt )2＋2－3Δt ＝2＋Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56，∴ΔS Δt ＝3(4＋Δt )2－18(4＋Δt )＋56－3×42＋18×4－56Δt ＝3(Δt )2＋6Δt Δt＝3Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.1．平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在x ＝x 0处的瞬时变化率．即有：Δx 无限趋近于0是指自变量间隔Δx 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算Δy .(2)求Δy Δx .(3)当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪个常数．课时作业一、填空题1．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________． 答案 6解析 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ，当Δx →0时，得f ′(3)＝6.2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 Δy Δx ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝a ＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→a .∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1， ∴a ＝1.∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值无限趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 答案 1解析 Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－aΔx ＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2a ，∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在点P 处切线的斜率为________．答案4解析 由y ＝13x 3，得Δy Δx ＝13(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]， 当Δx →0时，其值无限趋近于x 2. 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在点P 处切线的斜率为4. 6．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点的坐标为________．答案 (12，14)解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，当Δx →0时，其值趋近于2x . ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值无限趋近于4＋4x 0. 令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.答案 2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 答案 4解析 设在点P 处切线的斜率为k ，∵Δy Δx ＝(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx ＝－5＋Δx ， ∴当Δx →0时，ΔyΔx →－5，∴k ＝－5，∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10， 将P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 二、解答题11．已知质点运动方程是s (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)． 解Δs Δt ＝s (4＋Δt )－s (4)Δt＝[12g (4＋Δt )2＋2(4＋Δt )－1]－(12g ·42＋2×4－1)Δt＝12g (Δt )2＋4g ·Δt ＋2Δt Δt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔsΔt→4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，∴质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.12．求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程．解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2.故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.13．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx＝Δx ＋3，当Δx →0时，Δy Δx→3， ∴直线l 1的斜率k 1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.三、探究与拓展14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，－12 解析 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝Δx ＋2x ＋2. 故当Δx →0时，其值无限趋近于2x ＋2.∴可设点P 横坐标为x 0，则曲线C 在点P 处的切线斜率为2x 0＋2.由已知，得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 15．已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，Δy Δx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，解得x 0＝14， ∴切点坐标为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，解得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．。
课题 2.2.6 切变变换总课时数第节教学目标1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。
2、掌握切变变换的几何意义及其矩阵表示。
教学重难点切变变换的几何意义及其矩阵表示教学参考教材、教学参考、学案授课方法启发点拨式教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、问题情境问题1：仔细观察，你发现了什么？问题2：你能将问题数学化吗？练习1、向量a→在矩阵1201A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变为与向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a→＝2、已知1012A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，a→＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b→＝1x⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若A a→与A b→的夹角为135o，求x.师生共同回顾、总结教学过教学二次备课程设计 二、例题精讲例1．已知矩形的顶点A(-2,1),B(-2,-1),C(1,-1),D(1,1) （1）求矩形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021作用下变换得到的几何图形。
（2）求矩形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201作用下变换得到的几何图形。
例2、对于一个平面图形来说，在切变变换前后，它的几何性质（如线段长度、角度、周长、面积）有变化吗？试以例1(1)为例加以说明。
三、课堂精练1. 考虑x+y=2在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011作用下变换得到的几何图形。
2. 求把△ABC 变换成 △A’B’C’的变换矩阵，其中A(-2,1)、B(0,1)、C(0,-1) 、A’(-2,-3)、B’(0,1)、C’(0,-1).四、回顾小结学生回顾掌握的知识、掌握的方法 五：布置作业学生思考、回答教师板演课堂训练，学生板演课外作业教 学 小 结。
2.2.4 旋转变换 2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点.2.了解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.[基础·初探]1.旋转变换(1)旋转变换的定义：将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换，其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角.(2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O 且逆时针旋转θ角时，旋转变换的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ，像⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵称为旋转变换矩阵.(3)旋转变换的特点：①旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状. ②旋转中心在旋转过程中保持不变.③图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定.④绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换. 2.投影变换(1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换. (2)投影变换矩阵：像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射. 3.切变变换(1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换.(2)切变变换矩阵一般地，在平面直角坐标系xOy 内，将任一点P (x ，y )沿着x 轴(或y 轴)方向平移|ky |(或 |kx |)个单位变成点P ′(x ′，y ′)，(其中k 是非零常数)，对应的变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1(k ∈R ，k ≠0)，称为切变变换矩阵. (3)切变变换的矩阵表示及其几何意义 ①矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01(k ∈R ，k ≠0)把平面上的点P (x ，y )沿x 轴方向平移|ky |个单位：当ky ＞0时，沿x 轴正方向移动；当ky ＜0时，沿x 轴负方向移动；当ky ＝0时，位置不变.在此变换作用下，x 轴上的点为不动点.②矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k1(k ∈R ，k ≠0)把平面上的点P (x ，y )沿y 轴方向平移|kx |个单位：当kx ＞0时，沿y 轴正方向移动；当kx ＜0时，沿y 轴负方向移动；当kx ＝0时，位置不变.在此变换作用下，y 轴上的点为不动点.[思考·探究]1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？【提示】 旋转变换所对应的矩阵表示为 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ，这里θ为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当θ＞0时，旋转的方向是逆时针；当θ＜0时，旋转的方向则是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向.2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？【提示】 (1)恒等变换，关于x 轴、y 轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化.(2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动，另一边平移了的平行四边形.(3)投影变换把正方形区域变成了线段.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：线？曲线方程是什么？【精彩点拨】 根据题设条件找到旋转角θ，求出旋转变换矩阵，从而求出曲线方程，判断曲线类型.【自主解答】 将曲线xy ＝1绕坐标原点顺时针旋转90°，相当于逆时针旋转270°，故旋转变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 270° －sin 270°sin 270° cos 270°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0， 设P (x 0，y 0)为曲线xy ＝1上任意一点，在矩阵M 作用下对应点为P ′(x 0′，y 0′)则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ y 0－x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0′＝y 0，y 0′＝－x 0，故x 0′y 0′＝－x 0y 0＝－1.因此曲线xy ＝1在矩阵M 的作用下变成曲线 xy ＝－1，如图所示.求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转变换矩阵，进而用代入法(相关点法)求出曲线方程.若将本例中“旋转90°”变成“旋转45°”情况如何？ 【解】 由题意得旋转变换矩阵为 M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （－45°） －sin （－45°）sin （－45°）cos （－45°）＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222. 在曲线xy ＝1上任取一点P (x ，y )，设其在此旋转变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22（x ＋y ），y ′＝－22（x －y ），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（x ′－y ′），y ＝22（x ′＋y ′）.将其代入xy ＝1中得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（x ′－y ′）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（x ′＋y ′）＝1. 即x ′22－y ′22＝1，因此曲线xy ＝1，在矩阵的作用下变成曲线x 22－y 22＝1.y ＝x的方向投影到x 轴上.试求：(1)点A (3，2)在这个投影变换作用下得到的点A ′的坐标； (2)这个投影变换对应的变换矩阵.【导学号：30650016】【精彩点拨】 根据题设条件画出图形，数形结合求解.【自主解答】 (1)如图所示，点A (3，2)在这个投影变换作用下得到的点A ′的坐标为(1，0).(2)设点(x ，y )是平面直角坐标系xOy 内的任意一点，则它在这个投影变换作用下得到的点为(x －y ，0)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y 0， 从而可知所求的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 0.1.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到x 轴上，即(x ，y )―→(x ，0)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直于x 轴方向投影到直线y ＝x 上，即(x ，y )―→(x ，x )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到y 轴上，即(x ，y )―→(0，y ).2.求解该类问题常用数形结合思想求解.(1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 100，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 001对应的变换的几何意义是什么？ (2)矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12对应的变换的几何意义是什么？ 【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x 轴的方向投影到x 轴上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线x ＋y ＝0的方向投影到x 轴上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x 轴的方向投影到直线y ＝x 上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于y 轴的方向投影到y 轴上.(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线x ＋y ＝0的方向投影到直线x ＋y ＝0上.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上.如图2-2-2所示，已知矩形ABCD ，试求在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤130 1对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD 在变换过程中的不变线段.【导学号：30650017】图2-2-2【精彩点拨】 由于本变换对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况，从而得解.【自主解答】 因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况即可，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5－1. 从而矩形ABCD 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1作用下变成了平行四边形A ′B ′C ′D ′.这里A ′(－2，－1)、B ′(4，1)、C ′(1，1)、D ′(－5，－1)，即原图形上任意一点(x ，y )沿x 轴方向平移|3y |个单位，而纵坐标不变.如图所示，线段EF 为该切变变换下的不变线段.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1(k ∈R ，k ≠0)确定的变换为沿x 轴方向平移|ky |个单位的切变变换；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1(k ∈R ，k ≠0).确定的变换为沿y 轴方向平移|kx |个单位的切变变换，不要将二者混淆.如图2-2-3(1)、(2)所示，已知正方形ABCD 在变换T 作用下变成平行四边形A ′B ′C ′D ′，试求变换T 对应的矩阵M.图2-2-3【解】 由图知，A (0，0)变换为A ′(0，0)，B (1，0)变换为B ′(1，1)，C (1，1)变换为C ′(1，2)，D (0，1)变换为D ′(0，1)，从而可知变换T 是沿y 轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y 轴上的点为不动点，故可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1. [真题链接赏析](教材第34页习题2.2第8题)已知曲线xy ＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？已知椭圆Γ：x 2＋y 214＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图.【命题意图】 本题主要考查旋转变换，同时考查了函数方程思想及运算求解能力.【解】 设椭圆与坐标轴的交点分别为A (－1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，C (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12(如图).因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为 M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 0. 点A ，B ，C ，D 在旋转变换M 的作用下分别变为点A ′(0，－1)、B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0、C ′(0，1)、D ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，从而椭圆曲线Γ：x 2＋y 214＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ′：x 214＋y 2＝1.1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转π4的旋转变换的变换矩阵为________.【导学号：30650018】【解析】矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π4 －sin π4sin π4cos π4 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22. 【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22 2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1对应的投影变换把椭圆变成________.【解析】 设椭圆上任意一点P (x ，y )在投影变换下对应点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝y .椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，－b ≤y ≤b ， ∴投影后的曲线方程为x ＝0(－b ≤y ≤b )，为一条线段. 【答案】 线段3.直线y ＝3x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下所得的几何图形的方程为________.【解析】 设直线y ＝3x 上任意一点为P (x ，y )，在线性变换下的像为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′，y ＝x ′.代入y ＝3x ，得x ′＝3y ′，即y ′＝13x ′， ∴变换后的图形为直线y ＝13x .【答案】 y ＝13x4.在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201对应的变换作用下，点(2，1)将会变为________，这是一种________变换.【导学号：30650019】【解析】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41可知点(2，1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1对应的变换作用下，变为点(4，1)，从而可知该变换为切变变换.【答案】 点(4，1) 切变我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.1.函数的变化率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一平均变化率的概念问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2.问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？问题4平均变化率也可以用式子ΔyΔx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ΔyΔx有什么几何意义？例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.跟踪1 (1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为 ①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？探究点二 函数在某点处的导数问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？问题3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.跟踪2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8).计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.跟踪3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.【达标检测】1.在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A.Δx <0B.Δx >0C.Δx ＝0D.Δx ≠0 2.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f x 0＋h－fx 0h( )A.与x 0、h 都有关B.仅与x 0有关，而与h 无关C.仅与h 有关，而与x 0无关D.与x 0、h 均无关3.已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx )24.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 【课堂小结】利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝fx 0＋Δx －fx 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx简记为一差，二比，三趋近.1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时速度与导数 练习题一、基础过关1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3) 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．48 5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．12B ．6C ．3D ．26. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定7．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________．8．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.9．函数f (x )＝1x 2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.二、能力提升10．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．。
第5课时瞬时变化率——导数(2)教学过程一、问题情境跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设t s后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?二、数学建构问题1高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示?解如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题2将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢?解如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.概念生成设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]巩固概念问题3导数f'(x0)的几何意义是什么?解导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.问题4通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤?解①求Δy;②求;③当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.问题5f'(x)是不是一个函数?解若函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.问题6运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么?运动物体的速度v(t)对于时间t的导数是什么?解瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.问题7如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)?解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.三、数学运用【例1】(教材第13页例3)已知f(x)=x2+2.(见学生用书P9)(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a处的导数.[处理建议]本题要求学生表述格式规范化.[规范板书]解(1)因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为===2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.[题后反思]巩固强化导数的内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.变式求函数y=在x=2处的导数.[规范板书]解因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.【例2】在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.[规范板书]解设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.由题可知,3x2=3⇒x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.[题后反思]本题应利用导数的几何意义解题.【例3】已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P10)[处理建议]学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.[规范板书]解因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.[题后反思]f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.变式已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).[规范板书]解==3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.[题后反思]c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.*【例4】已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).[处理建议]本题利用导数的概念进行推导.[规范板书]解=.当Δx→0时,上式无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.变式已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).[规范板书]解=2x+1,当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.四、课堂练习1.设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=1.提示f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.2.函数f(x)=2x2+3x的导数为f'(x)=4x+3.提示因为==4x+3+2Δx.当Δx→0时,4x+3+2Δx→4x+3,即f'(x)=4x+3.3.若函数y=f(x)在点x∈(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法正确的是④.(填序号)①在x=x0处的导数为f'(x0);②在x=1处的导数为f'(1);③在x=-1处的导数为f'(-1);④在x=0处的导数为f'(0).五、课堂小结1.导数的几何意义.2.导数的物理意义.3.由定义求导数的步骤.。
课题:投影变换与切变换【学习任务】掌握投影变换与切变变换对应的矩阵表示及其几何意义。
【课前预习】1.求出△A ＢC在矩阵1221 22⎡⎢⎥⎥⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图，其中A （0,0),B(（0,2）。
2.研究△ABC 在矩阵11 -2211 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得到的图形，其中Ａ(1，1）,B（2,3）,C （3,-1)。
3.研究直线2x y +=在矩阵1 10 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得到的几何图形。
【合作探究】例1：研究直线1()y mx m R =+∈在矩阵1 0-1 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的图形。
例２:如图所示，已知矩形ＡＢＣD 在变换T 的作用下变成平行四边形A B C D ''''，试求变换T 对应的矩阵M 。
【自我检测】1.已知变换T 是将平面内图形投影到直线2y x =上的变换，试求它所对应的矩阵Ｍ。
２．已知点A （1，1)B(2，３)，说明线段AB 在矩阵11 -2211- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦表示的变换作用下得到的图形。
3.试分别指出图形“W ”在下列矩阵表示的变换作用下变成了什么图形,选出几点计算一下，并画图验证你的结论。
(1）0 10 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1 10 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ﻩ４.考察矩阵1 10 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换把点Ａ(1,2）,Ｂ（2，3)，Ｃ（2，0）变成的像点的坐标，并回答以下问题:(1)该矩阵把直线AB 变成了什么图形?并画出图形(2)该矩阵把直线AC 变成了什么图形?并画出图形（3）该矩阵把直线ＢＣ变成了什么图形？并画出图形(4）矩阵1 10 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的是什么变换?ﻩ５.设圆22:1(,)(,)(2,)F x y x y x y x y y ''+=→=+在对应的切变变换下变换成另一图形F ',试求F '的解析表达式。
1.1.2瞬时变化率——导数(二)[学习目标] 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点一曲线的切线如图所示，当点P n沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.思考有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？答案不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导.题型一 求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程. 解 因为点(1,3)在曲线上，且f (x )在x ＝1处可导，因为Δy Δx ＝(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋2，当Δx →0时，(Δx )2＋3Δx ＋2→2，故f ′(1)＝2. 故所求切线方程为y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0.反思与感悟 若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 跟踪训练1 (1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为________.(2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为____________. 答案 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1)解析 (1)设切线的倾斜角为α， ∵Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－(13－1＋5)Δx＝13(Δx )3－Δx Δx＝13(Δx )2－1. 当Δx →0时，13(Δx )2－1→－1，由导数几何意义得tan α＝－1. ∵α∈[0，π)， ∴α＝34π.∴切线的倾斜角为34π.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)， ∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2.∵当Δx →0时，3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2→3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1). 2.求曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程.解 ∵Δy Δx ＝2(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx＝2－3x 2－3x Δx －(Δx )2， 当Δx →0时，其值趋近于2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38).当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.反思与感悟 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 跟踪训练2 求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.解 由题意知Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x2Δx.当Δx →0时，其值趋近于2x . 设所求切线的切点为A (x 0，y 0). ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20. 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率002.x x y'|x == ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点， ∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0. 题型二 求导函数例3 求函数f (x )＝x 2＋1的导函数. 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1＝2x Δx ＋(Δx )2(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx＝2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，当Δx →0时，2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1→xx 2＋1，故f ′(x )＝xx 2＋1.反思与感悟 求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ).然后，再求解ΔyΔx ，最后得到f ′(x ).跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1). 解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1) ＝2Δx ·x ＋(Δx )2，Δy Δx ＝2Δx ·x ＋(Δx )2Δx＝2x ＋Δx ， 故当Δx →0时，其值趋近于2x . 得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2. 题型三 导数几何意义的综合应用例4 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax－9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2， ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23.由题意知f ′(x )最小值是－12， ∴－9－a 23＝－12，a 2＝9，∵a ＜0，∴a ＝－3.反思与感悟 与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练4 (1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为______________.(请用“＞”连接)(2)曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是__________.答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1,1).曲线y ＝1x 在点(1,1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 2在点(1,1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0. 从而得S ＝12×⎪⎪⎪⎪2－12×1＝34. 例5 已知曲线y ＝f (x )＝x 3上一点Q (1,1)，求过点Q 的切线方程.错解 因y ′＝3x 2，f ′(1)＝3. 故切线方程为3x －y －2＝0.错因分析 上述求解过程中，忽略了当点Q 不是切点这一情形，导致漏解. 正解 当Q (1,1)为切点时，可求得切线方程为y ＝3x －2. 当Q (1,1)不是切点时，设切点为P (x 0，x 30)， 则由导数的定义，在x ＝x 0处，y ′＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 将点(1,1)代入，得1－x 30＝3x 20(1－x 0)， 即2x 30－3x 20＋1＝0，所以(x 0－1)2·(2x 0＋1)＝0， 所以x 0＝－12，或x 0＝1(舍)，故切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， 故切线方程为y ＝34x ＋14.综上，所求切线的方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.防范措施 解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q (1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.1.下列说法中正确的有________.①和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线； ②和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线； ③曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点； ④曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点. 答案 ④解析 y ＝sin x ，x ∈R 在点(π2，1)处的切线与y ＝sin x 有无数个公共点.2.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________. 答案 8解析 因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝2(2＋Δx )2－8Δx ＝8＋2Δx ，当Δx →0时，其值趋近于8.即k ＝8.3.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 1解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1.4.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________. 答案 45°解析 ∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx＝x ＋12Δx .故当Δx →0时，其值趋近于x ，∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 5.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________. 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝2Δx ＋4x 0＋4，当Δx →0时，其值趋近于4＋4x 0.令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。
选修4－2矩阵与变换 2.2.6 切变变换编写人： 编号：007学习目标1、 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。
2、 掌握切变变换的几何意义及其矩阵表示。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题1：仔细观察，你发现了什么？问题2：你能将问题数学化吗？练习1、向量a →在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变为与向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝ 2、已知1012A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，a →＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b →＝1x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若A a →与A b →的夹角为135o ，求x.例1．已知矩形的顶点A(-2,1),B(-2,-1),C(1,-1),D(1,1)（1）求矩形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021作用下变换得到的几何图形。
（2）求矩形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201作用下变换得到的几何图形。
例2、对于一个平面图形来说，在切变变换前后，它的几何性质（如线段长度、角度、周长、面积）有变化吗？试以例1(1)为例加以说明。
练习：1. 考虑直线x+y=2在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011作用下变换得到的几何图形。
2. 求把△ABC 变换成 △A’B’C’的变换矩阵，其中A(-2,1)、B(0,1)、C(0,-1) 、A’(-2,-3)、B’(0,1)、C’(0,-1).1. 关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是2. 在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是3、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是4、平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o ，得到点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是5、.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为6. 设121x A x y ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2242z x B x ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，且A=B.则x ＝7、在平面直角坐标系中，关于直线y=-x 的正投影变换对应的矩阵为8、在矩阵1221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 9、已知15234A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，a →＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，b →＝34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设a b α→→→=+，a b β→→→=-，①求A α→，A β→；10、在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
