变换、矩阵的相等(优秀经典公开课比赛课件)

1
0
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
22
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
23
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v2
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
X’，根据矩阵变换的性质有
15
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
16
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01

• 特征多项式：
f()= c a d b， 其A 中 =c a d b．
• 学会从几何变换的角度进行解释。
1 0 1 0 0 1 1 1 1 2
0
2
0
1
1
0
0
0
0
1
伸压、反射、旋转、投影、切变
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
（1）A() Βιβλιοθήκη A；（2） A( + ) = A + A。
A( + ) = A + A。
2．3 变换的复合与矩阵乘法
• 连续施行两次变换——矩阵的乘法 ； • 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律：
1 0
01210
0110
0110
0
1 2
交 换 律 验 证
先旋转再压缩
先压缩再旋转
2．4 逆变换与逆矩阵（一）
与ax = b类比引入单位矩阵和逆矩阵→特殊矩阵 (变换)的逆矩阵(变换) 。
• 反射矩阵(变换)的逆矩阵(变换)是其自身；
1 0 1 0 1 0
0
1
0
1
0
1
• 伸压矩阵的逆矩阵是伸压矩阵；
1 0
0
1
2
互逆 1
0
0
2
2．4 逆变换与逆矩阵（二）
• 旋转矩阵的逆矩阵是旋转矩阵；
★
2．2 几种常见的平面变换；
★
2．3 变换的复合与矩阵的乘法； ★ ★
2．4 逆变换与逆矩阵；
★★★

种初等变换 定理：任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵.
00 01 3
线性代数第四讲矩阵的初等变换
同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
第5页，共10页。
下页
v2.矩阵的初等变换
定定义义55..11 矩矩阵阵的的初初等等行(列)变变换换 (i)对调调两两行行((列列))——换法变换 (ii)以以非非零零数数kk乘乘某某一一行行(列(列)中)中的的所所有有元元素素——倍法变换 (3)把把某某一一行行((列列))的的kk倍倍加到到另另一一行行(列(列)上)上去去 ——消法变换
线性代数第四讲矩阵的初等变换
第1页，共10页。
v1.引例 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解
的方程 这种变换过程称为同解变换 同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零
数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
第7页，共10页。
下页
v矩阵初等变换举例
~ 21
1 1
1 2
1 2 r1r2 1 4 r3x1/2
1 2
1
1
2 1
1 1
4 2
43
6 6
2 9
2 7
94
2 3 1 1 2 3 6 9 7 9
~ ~ r3+
2r1+
r2 r3
1
0
1 2 1 4 2 2 2 0
r2x1/2 5r2 r3
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6

程 学
其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是
院 最简单的 而且是最容易求解的.
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
7
x4 x4 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B 4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
1 1 2 1 4
B2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1 7
922
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2.
矩阵A与B行等价 记作 A ~r B.
生 物
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称
医 学
矩阵A与B列等价 记作 A ~c B.
工
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩
程
学 阵A与B等价 记作 A ~ B.
院 ❖等价关系的性质
(i)反身性 A~A
(ii)对称性 若A~B 则B~A
(iii)传递性 若A~B B~C 则A~C .
一个元素为非零元，即非零行的第一个非零
元．
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列
生
物 医
•当有零行时，零行在矩阵的最下端
学
工 程 学 院
3 2
2 0
5 1
131
1 4 9
0 5
0 0
3 1 2 5
0 1 6 7
0 0
5 0
3 2
4 1
0 2 6 0 0 3
物

M
2
1 1
=
2

12
1 0

22

1 1
=
2 4
.
回顾反思
（1）思维策略： 挖掘题设隐藏信息.
（2）基本思路：（求Mn ，n∈N﹡ ）. ， 是矩阵 M 的两个特征值．， 是矩阵
M 的分别属于特征值 , 的特征向量，
m n M n M n (m n ) m（ n） n（n）．

2

2
.
求
M
2

1 1
．
思路分析
例
5
已知二阶矩阵
M
满足
M
1 0

10，M
1 1

2 2
.
求
M
2

1 1
．
思路 1：先用待定系数法求矩阵 M，再求出 M2．最
后再求
M
2
1 1
．
思路 2：利用特征值和特征向量的性质．
求解过程
解
设M
a


c
b d

.由
M
1 0

10，得
a c


10，所以
a

1，c

0
.
由
M
1 1

2 2
，得
a c

b
d


22，于是
b

1，d

2
.
1 M 0
1 2 .
作用下变换为点
P'(
x'，y'

变换、矩阵的相等
【教学目标】
一、知识与技能：会用矩阵表示一些简单的实际问题，掌握矩阵的行、列、元素的概念，知 道矩阵的相等相关知识 二、过程与方法：自学——汇总——练习 三、情感态度与价值观：体会矩阵的实际背景
【教学重难点】
矩阵的理解
【教学过程】
一、看书：教材内容
二、汇总
1．矩阵的背景：
（1）数学背景：
③日常生活——矩阵
某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：
初复 赛赛
[ ] 80 90
86 88
1/3
甲 80 90 乙 86 88 2. 矩阵的相关概念 矩阵表示：记号：A，B，C，…或（aij）(其中 i,j 分别元素 aij 所在的行和列) 要素：行——列——元素 矩阵相等行列数目相等并且对应元素相等。 特别：（1）2×1 矩阵，2×2 矩阵（二阶矩阵），2×3 矩阵 （2）零矩阵 （3）行矩阵：[a11,a12] （4）行向量与列向量 例 1(1)用矩阵表示三角形 ABC，A（－1，0），B（0，2），C（2，0） (2)用矩阵表示下列关系图
2/3
a 例 2 已知 d
3 2b
c

5 4
bc a 2d ，求 a,b,c,d
解答：a=5.b=10,c=-7,d=4 1 2 a
例 3 已知 2 3 b 是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求 a,b
a 解答： b

sin


1 2
2
1 ，则α=_____，β=______
0 a 0 b 3．平面上一个正方形的四个顶点用矩阵表示为 0 c 2 d ，则正方形的面积是____
4．矩阵 A 为二阶矩阵，其元素满足 aij=-aij,i,j=1,2,且 a12-a21=1,求 A [补充习题答案]

r2 4 r3 r3 0 2r1 B2 r4 6 3r1 3
r2 2 r3 5r2
r4 3r2
1 0 0 0
4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
1 2 1
1 r3 r4 0 B3 r4 2r3 0 0
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
1 2 2 1 1 1 2 1 4 1 B 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9
r1 r2
2 3 1 1 3 6 9 7
4 2 B1 2 9
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
1 0 例如， B 5 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 3 3 F 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0
思考题解答
解
将 II 的通解代入 I 得
k2 k1 2k2 0 k k . 1 2 k1 2k2 k2 0
故 II 与 I 的公共解为
k1 0,1,1,0 k2 1,2,2,1 k2 1,1,1,1
T T T
r4 r3
三、小结
1ri rj ci c j ; 1.初等行(列)变换 2ri k ci k ; 3ri krj ci kc j .