第5章-静定平面桁架概论

桁架在动力荷载作用下的响应
瞬态响应
当桁架受到突然施加的动荷载 时，它会表现出瞬态响应。这 种响应通常包括一个短暂的过 渡过程，随后达到一个稳定的 振动状态。
频域响应
在周期性动荷载作用下，桁架 会表现出频域响应。通过频域 分析，可以研究桁架在不同频 率下的振动行为，并确定其振 幅和相位响应。
阻尼效应
高效的经济性
平面桁架能以较少的材料 用量承受较大的荷载，具 有较高的经济性。
平面桁架的应用场景
桥梁工程
在桥梁工程中，平面桁架常被用 作桥面板的支撑结构，能提供稳
定的支撑和承载能力。
建筑工程
在建筑工程中，平面桁架常被用于 楼层和屋盖的承重结构，以及建筑 物的支撑体系。
机械工程
平面桁架也被广泛应用于机械工程 领域，如起重机的梁架、设备的支 架等，其优良的受力性能使其在这 些场景中发挥重要作用。
桁架内力计算：轴力、剪力与弯矩
轴力计算
轴力是杆件沿轴线方向的拉力或压力。通过截面法可以得到杆件的轴力分布情况。根据杆 件的轴力和截面积，可以进一步计算杆件的应力状态，以评估其承载能力。
剪力计算
剪力是杆件横截面上的切向力。通过截面法可以得到杆件的剪力分布情况。剪力的大小和 方向决定了杆件的剪切变形和剪切应力，对于桁架的剪切稳定性分析至关重要。
05 平面桁架的数值模拟与实验验证
基于有限元的数值模拟方法
有限元法基本原理
有限元法将连续体离散为一系列小单元，通过节点连接，利用变分 原理建立节点力与位移的关系，进而求解整个结构的响应。
线性弹性有限元法
对于线弹性材料，采用线性弹性有限元法，通过刚度矩阵和载荷向 量的组装，求解节点位移。
非线性有限元法
02 平面桁架的静力学分析

三角形：内力分布不均
精品课件
5.6 组合结构 是指只承受轴力的二力杆和承受弯矩、剪力、轴 力的梁式杆组合而成的结构。如屋架等
钢筋混凝土
钢筋混凝土
型钢
Ｅ Ｄ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ Ｅ
精品课件
型钢
例 计算图示组合结构的内力。
8kN
解：1)求支反力
AD
C
FAy F
E
B
MB 0 得
FBy G
2m
FAy=5kN
FBy=3kN
2.5 1.125 0.75
1.125
剪力与轴力
FS FYcosFHsin
M图( kN.m)
FN FYsinFHcos
精品s 课件 in 0 .083c5 o s0 .99
FS FY
FN
15 A
FH
2.5 1.74
剪力与轴力
FS FYcosFHsin FN FYsinFHcos
sin 0 .083c5 o s0 .99
FN
l
ly
FN

=
FX lx
= FY ly
3）、结点上两杆均为斜杆的杆件内力计算：
F1x B b
F1
F 如图，若仍用水平和竖向投影来求F1 F2， A 则需解联立方程，要避免解联立方程可用
h
F2
力矩平衡方程求解。
a
如以C为矩心，F1沿1杆在B点处分解为F1x，
C
F2x
d
则由
MC 0得： F1x=Fhd
由图(c)所示截面左侧隔离体求出截面截断的三根杆的轴 力后，即可依次按结点法求出所有杆的轴力。
精品课件
取截面II—II下为隔离体，见图(d)

平面桁架的应用场景
01
桥梁工程
作为桥梁的主要受力结构，承载车辆和人群的重量。
02
建筑工程
用于大型工业厂房、仓库、展览馆等建筑的屋面结构。
03
景观工程
作为景观桥梁、廊道等结构，起到连接和支撑的作用。
平面桁架的基本组成
弦杆
主要承受轴向拉力或压 力，是平面桁架的主要 承载杆件。
腹杆
连接弦杆，主要承受剪 力和扭矩，分为斜腹杆 和竖腹杆两种。
静定平面桁架的研究成果总结
静定平面桁架是一种结构形式简 单、受力性能良好的结构体系， 在桥梁、建筑等领域得到了广泛
应用。
在过去的研究中，静定平面桁架 的静力性能、稳定性、优化设计 等方面得到了深入探讨，取得了
丰硕的成果。
静定平面桁架的承载能力、刚度 和稳定性等方面得到了充分验证 ，为实际工程应用提供了可靠的
静定平面桁架
目录
• 平面桁架概述 • 静定平面桁架的分类 • 静定平面桁架的力学特性 • 静定平面桁架的设计与优化 • 静定平面桁架的实例分析 • 总结与展望
01 平面桁架概述
定义与特点
定义
平面桁架是一种由杆件组成的结 构，其所有杆件都位于同一平面 内。
特点
具有结构简单、受力明确、计算 简便等优点，广泛应用于桥梁、 建筑等领域。
D
静定平面桁架的材料选择
钢材
高强度、轻质、耐腐蚀，广泛用于大型结构 和重载静定平面桁架。
复合材料
铝合金
质轻、耐腐蚀、美观，适用于对视觉要求较 高的场合。
如玻璃纤维和碳纤维，高强度、轻质，适用 于对重量要求极高的场合。
02
01
木质
自然、美观，适用于小型、低负载的静定平 面桁架或装饰性结构。

a 为 截 面 单 杆
截 面 单 杆
FP
FP
平行情况
b为截面单杆
所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆b外， 其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆b 轴力。
联合桁架举例一
K
K
用结点法计算出1、2、3结点后，无论向结点 4或结点5均无法继续运算。 作K-K截面：M8=0，求FN5-13；进而可求其它杆内力。
15kN
FB=120kN
B
+60
D
+60 30 40
E G
15kN
20
FAH=120kN 60 A -120 C -20 FAV=45kN 15kN
4m 4m
45
F
-20
15kN 4m
到结点B时，只有一个未知力FNBA， 最后到结点A时，轴力均已求出， 故以此二结点的平衡条件进行校核。
FyDG FxDG
FA
几点结论
(1) 用截面法求内力时，一般截断的 杆件一次不能多于三个(特殊情况例外)。 (2) 对于简单桁架，求全部杆件内力 时， 应用结点法；若只求个别杆件内力， 用截面法。 (3) 对于联合桁架，先用截面法将联 合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架 进行分析。
截面法中的特殊情况：
注意
对两未知力交点取矩(称为力矩法) 或沿与两个平行未知力垂直的方向 投影（称为投影法）列平衡方程， 可使一个方程中只含一个未知力。
（1）力矩法 设支座反力已求出。
Ⅰ
FA
Ⅰ
FB
求EF、ED、CD三杆 的内力。 取左部分 作截面Ⅰ-Ⅰ， 为隔离体。
FNCD
0 ME （拉） h
FNEF
FYEF FXEF

C
FBy 4 2 2 FNEG 2 0 FNEG 6kN
在简单桁架中，求指定杆的轴力用截面法也比较方便。
隔离体上的力系是平面一般力系，可以建立三个平衡
方程∑Fx＝0、 ∑Fy＝0、 ∑M＝0。所以作一个截面隔
离体最多可以求出三个未知轴力。
【例题】用截面法求桁架中EG，CF杆的内力
MG 0
FBy 2 FNCF 2 0 FNCF 4kN
MC 0
1）简单桁架
2）联合桁架
➢ 桁架分类 ❖按几何组成分为
3）复杂桁架
➢ 桁架分类 ❖ 按外形分
1）平行弦桁架—— 上下 弦杆互相平行的桁架。
2）折弦桁架—— 下弦杆在 一条直线上，上弦杆在一条 折线上桁架。
3）三角形桁架—— 上下弦 杆在外形上构成一个三角形 的桁架。
➢ 桁架分类 ❖ 按有无水平推力来分
3）X型结点 四杆结点、且结点ห้องสมุดไป่ตู้无外力
FN4
FN1
FN2
FN3
Fy 0 Fx 0
FN 3 FN 4 FN1 FN 2
4）K型结点 四杆结点、且结点上无外力
FN2
y
FN1
FN3
α
α
A
∑Fy＝0 FN1＝ -FN2
FN4
★ 截面法
截面法: 截取的隔离体，包含两个或两个以上节点。
对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用节点法不能求出 全部杆件的轴力，因为总会遇到有三个未知轴力的节点 而无法求解，此时要用截面法求解。
10kN
A
FN1
FN2
15kN
B
FN1
5kN
★ 结点法
若所取隔离体只包含一个结点，则称为结点法。 结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。

1、桁架是一种重要的结构形式（厂房屋顶、桥梁等）。 2、在结点荷载作用下，桁架各杆以承受轴力为主。 3、取桁架计算简图时采用的假定： （1）各杆两端用理想铰联结； （2）各杆轴线绝对平直，在同一平面内且通过铰的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。 通常把理想情况下计算出的应力称为“初应力”或“基本应力”； 因理想情况不能完全实现的而出现的应力称为“次应力”。
第五章 静定平面桁架
5．平面汇交力系 ——解二斜杆问题 选适当投影轴： 力矩方程： 平衡——对平面内任意一点，主矩 = 0 力——沿作用线可任意平移 力矩方程——力可分解为投影计算
第五章 静定平面桁架
3．零杆判定
（1）L型结点：无荷载，FN1=FN2=0 （2）T型结点：无荷载 其中二杆共线，FN1=FN2，FN3=0, （3）X型结点：无荷载 两两共线，FN1=FN2 ，FN3=FN4 （4）K型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同侧，且 夹角相等。FN3=－FN4
斜杆FN=0 竖杆FN=P
第五章 静定平面桁架
③三角形 r = 竖杆长度
——直线变化递增 弦杆内力： 下弦杆S —由两端的中间递减 腹杆—由两端向中间递增 结论： （1）平行弦：内力分布不均匀 构造简单 （2）抛物线形 内力分布均匀 构造复杂——适于大跨度桥梁 （3）三角形：内力分布不均匀 构造较复杂，但有斜面——适用于屋架
A A A
②结点平衡X=H （梁式杆N=0） ③Ⅰ—Ⅰ（左）
' " mc 0, H z H ( f '2) (VA VA ) l1 P e 0 1 1
' " Hf ' P1c1 (V A VA )l
M c0 H f'

FAy
ɑ
F
F
F FN2 FN3 FN1
FN4
FN2 = －0.417F= －4.17KN FN3= 0.417F=4.17KN
4、四杆结点无荷载。
1 4 3 2 N1=N2 N3=N4
1
F2 F1
2
N1=F1 N2=F2 3 F1 2 N3= –F1 N1≠N2
5、四杆结点无荷载。
3 1 4 2
1
N3= –N4 N1≠N2
判别结构中的零杆
F F F
P
由力矩平衡方程得 N1= N2= N3=0 N1
Ⅰ
P
Ⅰ
N3
N2
▲ 利用结构的对称性 由于结构对称，荷载对称， 由于结构对称，荷载对称，其内力和反力一定对 结构反对称，荷载反对称， 称。结构反对称，荷载反对称，其内力和反力一定 也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。 也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。
有些情况下, 结点法求解不方便, 有些情况下,用结点法求解不方便,如: 求解不方便
开始没法用结点法
用结点法计算量大
A.定义： A.定义： 定义 截面法是截取桁架一部分作为研究对 截面法是截取桁架一部分作为研究对 象计算桁架内力的方法。 象计算桁架内力的方法。 B.要求 要求： B.要求： 截面法将桁架截成二部分， 截面法将桁架截成二部分，每一部分至少有 一根完整的杆件（否则为结点法 结点法）。 一根完整的杆件（否则为结点法）。 C.要点 要点： C.要点： 一个截面将桁架截成二部分， 一个截面将桁架截成二部分，取一部分作为研 究对象时。隔离体上的力是一个平面任意力系, 究对象时。隔离体上的力是一个平面任意力系, 可列出三个独立的平衡方程。取隔离体时一般 可列出三个独立的平衡方程。取隔离体时一般 切断的未知轴力的杆件不多余三根。 切断的未知轴力的杆件不多余三根。

内力均保持不变。
静力等效荷载：具有同一合力的各种荷载。
荷载等效变换：将一种荷载变换为另一种与其静力等效的荷载过程 ，称为荷载等效变换。
2Fp
Fp
Fp
Fp
Fp
(4)结构的构件截面尺寸材料性质及应变规律的影响 静定结构的反力 和内力不随构件的截面尺寸、材料的性质及应变规律的变化而改变。 因为静定结构的反力和内力是由静力平衡方程求出来的，而静力平衡 方程中不包含上述因素的参数。
结束语 多提意见与建议
谢谢！
作业：
FNC H C cos 14.95kN FNGC H C cos q 3sin 15.20kN
FNGB FNGC 3.5sin 14.91kN
FNBG VB sin FNBE cos 15.15kN
轴力如图(f)所示
FQC H C sin 1.25kN FQGC H C sin q 3cos 1.740 kN
FQGB FQGC 3.5cos 1.741kN
FQBG VB cos FNBE sin 1.25kN
剪力如图(g)所示
HC
FNDE
C VC G E

B
图(b)
VB
0.75
0.75 图
(e图)
(e)
0.75 0.75 0.750.75
M图M(图kN(.kmN) .m)
(4)显然，图(i)种情况最合理，上弦杆的最大负弯矩与最大正弯矩近 似相等。
§5.7静定结构的静力特性
通过前面的讨论分析，对于静定结构，可知具有如下两个基本特征 在几何组成方面：它是无多余约束的几何不变体系； 在静力方面： 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡方程求 得，且得到的解答是唯一的，有限的。这一静力特 性称为静定结构解答的唯一性定理。 根据静定结构解答的唯一性定理，可以推出静定结构在静力分析

1.24kN
NA 2.5 0.083515 0.996 15.15kN
§5-7 用零载法分析体系的几何构造
工程中有一些结构用基本组成规则是无法分析的，如一 些复杂结构，这时可以采用其他方法分析，如其中较方便的 一种是零载法。
零载法是以静定结构静力解答的唯一性为根据建立的。 只适用于计算自由度等于零(W=0)的体系。
当荷载为零时，显然所有反力和内力均为零才能够满足 平衡条件，而对于静定结构这就是唯一的解答，此外再无其 他任何非零的解答存在。
反之，若W=0的体系是几何常变的或瞬变的，则必有多余 联系存在，因而其内力是超静定的，在零荷载下内力将为不 定值，也就是除了零内力外，还有其他非零的任意解答也能 满足平衡条件。
Y34 40 3
N35 X 34 40 4 30
X34
N34
40
5 4
50
N12 X13 0
80 40 Y34
N35 30 60 0
N12 60
N35 90
3 -90
5 -90
7
4m
60
30
75
_
80
40
+ 40 0
20 80 +
_ 100
15
H=0
60
60
75
75
2 40kN
2N2 M C 0
N 2
C
D
B
特殊截面
P
A RA
B
RB
P
k。
RB
。 k
P
P
简单桁架——一般采用结点法计算； 联合桁架——一般采用截面法计算。
§5-4 结点法与截面法的联合应用
为了使计算简捷应注意：

N = 5 2 KN (拉力） 67
（ 2）作 2-2 截面，研究其左半部（图 3）：
å Y =0
30 - 5 - 10 + N = 0
56
N = - 15KN （压力） 56
例2、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。
1‘ 2‘ 3‘ 4‘ e
a
cd
b
A
1
2 3
4
5
P
PP
6d
4d d3
B
(1) N a Nb
通常把理想情况下计算出的应力称为“初应力”或“基本应力”；因 理想情况不能完全实现的而出现的应力称为“次应力”。
第5章
二、桁架各部分的名称及分类
1、名称：
上弦杆
斜杆 竖杆
桁高H
下弦杆
节间d 跨度 l
腹杆
斜杆 竖杆
2、分类：
（1）按外形分： 平行弦、折弦、三角形、梯形等。
（2）按竖向荷载作用下支座是否产生水平推力分：
（3）四杆结点无外荷载作用时，如其中两杆在一条直线上，另外两杆 在另一条直线上，则同一直线上的两杆内力性质相同。
N1
N2
N1=N2=0
N1
N3
N1=N
2
N3=0
N2
N1
N4 N2
N3
N1=N2 N3=N4
（3）对称桁架受对称外力时，如对称轴上K形结点无荷载作 用， 则两根斜腹杆的轴力为零。
（4）对称桁架受反对称外力时，处在对称轴上的杆件为零杆。
2. 结点法适用范围
简单桁架、 结点有单杆的桁架。
在桁架中三根杆件的结点上，如有两根杆在一条直线上，另一根在 独立方向上的杆称为“单杆”。
3. 结点法计算时，通常假定未知轴力为拉力 。若 所的结果为负，则为压力。