线段和最小问题的思考课件

中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短一、课题分析最短路径问题是中考热点问题之一，也是学生的一大难点。

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的探讨，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，构建模型，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路.使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣.二、教学目标（一）知识与技能：1.以将军饮马为情境问题，引出两种最短线路的模型，理解并会利用“两点之间线段最短”和“三角形任意两边之和大于第三边”原理解决问题；2.通过三角形、四边形、圆、立体图形及函数题的训练，让学生能利用转化思想，将问题抽象出两点一线，并利用模型解决问题.（二）过程与方法：培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力.（三）情感与态度：进一步培养探究心理，体会数学知识在生活中的应用.三、教学重难点教学重点:利用“两点一线”模型解决数学中的实际问题.教学难点：模型中，两点在线异侧，利用“三角形任意两边之和大于第三边”这一原理作图；具体问题中，判断是否为两点一线问题，并利用模型作图，根据实际条件解决问题.四、教学关键运用数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，形成模型，以便准确理解本节课的内容，实现多题通解.五、教学策略利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展.六、学法指导：自主学习，小组合作、交流探究七、教学过程：环节师生活动设计意图创设情景相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能用所学的知识解决这个问题吗？BAl【学生活动】学生思考教师展示问题，并观察图片获得感性认识.以故事的方式，引出问题，激发学生的学习兴趣及探索欲望.知识回顾1. 两点之间线段最短; 2.轴对称的性质,如何作轴对称;3.勾股定理;4.三角形任意两边之和大于第三边.【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识.为本节课的学习扫清知识障碍.合作交流1.如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？活动(1)：观察思考，如何抽象为数学问题？【师生活动】学生思考，教师引导学生将A，B 两地抽象为两个点 ,将河抽象为一条直线l ，从而总结得到：两点之间线段最短。

如图假定任选位置造桥MN， A 连接AM和BN，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么折线AMNB在 什么情况下最短呢？
M
a
b
N
B
由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
分析： A
A’
N
M
a b
B
如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′， 使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当 点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
E A P d
Hale Waihona Puke B Fc2、如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在 边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ=5， PM＋MN＋NQ最小值是___________。 P’ +3
2 、如图1，抱物线y＝ ー x2＋bx＋c与x轴相于点A， C．与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0）， tan∠BAO＝2,以段BC为直径作⊙M的交AB于点D,过点B作直线 l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F。 （1）求该抛物线的函数表达式 （2）求点C的坐标和线段EF的长 （3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N,点P，O为射线 NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合）段PQ与 EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPO的周长是否有最小 值？若有，求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长 的最小值；若没有，请说明理由
A
C
B
l
B′
在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此， 线段AB′与直线 l 的交点C的位置，使A 、B′ 、C 三点共线，点C即为所求.
证明：如图. 在直线 l 上任取另一点C′ ， 连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． A ∵直线 l 是点B、B′的对称轴， C′ 点C、C′在对称轴上， ∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′， ∴AC+BC < AC′+B′C′， 即AC+BC最小．

课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从基础训练中选取。
小华、小丽和阳阳参加60米游泳比赛，小华比阳阳多用1秒， 小丽比阳阳少用1秒。谁游得最快？谁游得最慢？
可以画线段图比较。
阳阳： 小华： 小丽：
从线段图中可பைடு நூலகம்看出小华用的时间最长，小丽用的时间最 短，因此小丽最快，小华最慢。
婴儿有305块骨头，儿童的骨头比婴儿少88块，成 人的骨头比儿童少11块。成人的骨头有多少块？
我是这样想的。
根据题意，画出线段图。梨树有多少棵？
30棵
30－18＝12（棵）
桃树： 梨树：
比桃树少18棵 苹果树有多少棵？
梨树的2倍
12×2＝ 24（棵）
苹果树：
答：苹果树有24棵。
？棵
停车场有12辆卡车，大客车的辆数是卡车的2倍，小汽 车开走7辆就与大客车同样多。小汽车有多少辆？
我是这样想的。
？朵
12×2＝ 24（朵） 24+7＝ 31（朵）
答：红花有31朵。
再算红花 的朵数
绿花有12朵
黄花的朵数是 绿花的2倍。
红花比黄 花多少7朵。
红花有多少朵？
如果把条件改一改， 你还能正确解答吗？
可以这样画线段图。 12朵
绿花 黄花 红花
？朵
12×2＝ 24（朵） 24-7＝ 17（朵）
答：红花有17朵。
大客车有多少辆？
根据题意，画出线段图。 12×2＝24（辆）
12辆
卡车：
小汽车有多少辆？
卡车的2倍
大客车：
24＋7＝31（辆）
开走7辆 答：小汽车有31辆。
小汽车：
？辆
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？

人教版七年级数学上册：4.1.2 《点、线、面、体——两点之间线段最短》教学设计一. 教材分析《点、线、面、体——两点之间线段最短》是人教版七年级数学上册第四单元第一节的内容。

本节课主要让学生理解两点之间线段最短的性质，掌握线段的性质及其应用。

通过本节课的学习，为学生进一步学习几何图形和其他数学知识打下基础。

二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经学习了平面几何的基本概念，对点、线、面有一定的认识。

但是，对于两点之间线段最短的性质及其证明可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生直观地理解线段的性质，并通过举例、操作等活动，帮助学生巩固知识点。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解两点之间线段最短的性质，学会运用线段的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、证明等环节，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：两点之间线段最短的性质。

2.难点：如何证明两点之间线段最短。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生直观地理解线段的性质。

2.动手操作法：让学生通过实际操作，体验线段的性质。

3.小组合作法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

4.讲解法：教师针对关键知识点进行讲解，引导学生深入理解。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔、线段模型等。

2.学具：学生用书、练习册、铅笔、橡皮等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的实例，如两个人在地图上寻找两地之间的最短路线。

引导学生思考：如何确定这两点之间的最短路线？从而引出本节课的主题——两点之间线段最短。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示线段模型，让学生直观地理解两点之间线段最短的性质。

同时，引导学生尝试用语言描述这一性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，每组选择一个实例，运用线段的性质找出两点之间的最短路线。