控制工程第四版作业-第2讲_数学模型-作业.pptx

R
dq dt
1 C
q
ur
模拟技术：当分析一个 机械系统或不易进行试 验的系统时，可以建造 一个与它相似的电模拟 系统，来代替对它的研 究。
令uc=q/C
LC
d 2uc dt 2
RC
duc dt
uc
ur
ppt
11
2.2.5 电枢控制的直流电动机
if=常数
ua ia
Ra Ea
M
La
直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。
系统处于平衡状态。
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K m y(t)
5
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即
d2y
F F (t) Fk (t) Ff (t) m dt 2
（4）写中间变量与输出量的关系式
F(t) K
Fk (t ) ky
dy Ff (t) fv f dt
（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中
t a
aX
(as)
8)卷积定理
X1 ( s)
X2(s)
L
t
p0pt x1(t
) x2 (
)d
22
4.举例
例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。
解：X (s) Lx(t) est dt 1 est 1
0
s 0s
例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。
解： X (s) Lx(t) testdt 0
2.1.3 数学模型的类型
1)微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐
2)传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果
3)频率特性：频域
分pp析t 方法不同，各有所长

y或f(：x0y)-ddy(f0xx)=xxy0(=xKx0x)，其中：
K df (x) dx x x0
第二章 系统数学模型
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用泰
勒级数展开获得线性化的增量方程。
第二章 系统数学模型
弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
K
C
弹簧-阻尼系统
fi(t)fC(t)fK(t)
Cd dxto(t)Kox(t)fi(t)
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
第二章 系统数学模型
机械旋转系统
i(t0)
o(t)0
TK(t)
K
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体
3)非线性函数线性化：
(1)确定系统预定:工 设作 为 (x0点 , p0,q0)
(2)展开 Ta 成 y级 lo数 r ,q 形 (x,p式 )q(x0,p0)
( 43q x ))代表 x p 入xp00方示 x 程，成 整p q理x 增 p x可p00 得量 p :：p化 K 1mc形 y(K(qcx式 Aq2))y AKq x
线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系
统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理。
第二章 系统数学模型
2、非线性数学模型的线性化
泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
yf(x)f(x0)ddf(xx)xx0(xx0)
21!d2df(x2x)xx0(xx0)231!d3df(x3x)xx0(xx0)3 略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：

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4
数学模型的定义：能够描述控制系统输出 量和输入量数量关系的表达形式。
实际物理系统 理想化 物理模型 数学化 数学模型 线性化 线性数学模型无量纲化 可用数学模型 标准化 标准数学模型
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5
➢ 数学模型的分类
按输入输出的表达形式 微分方程（时间域） 传递函数（复数域） 动态结构图（各元件传函的连接关系） 响应曲线（step、pulse） 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）
状态变量形式
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➢ 数学模型建立（建模）的方法
❖ 分析法:是根据组成系统各元件工作过程中 所遵循的物理定理来进行。例如：电路中 的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理， 热力学中的热力学定理等。对于系统结构 已知的常用此法。
❖ 试验法:对于复杂系统，需要通过实验，并 根据实验数据，拟合出比较接近实际系统 的数学模型。
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负载效应16
机械系统
弹簧—质量—阻尼器系统
图2-1表示一个弹簧—质量—阻尼器 系统。当外力f (t)作用时，系统产生 位移y(t)，要求写出系统在外力f (t) 作用下的运动方程式。
f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输 出。列出的步骤如下：
（1）运动部件质量用M表示.
（2）列出原始方程式。根据牛顿第
(3)标准化 RCdudot(t)uo(t)ui(t)
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例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
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解：对L1，由KVL得 u i(t) u R 1 (t) u C 1 (t) 0

递的关系，可写出
X 0 s G s E s E s X i s B s B s H (s )X 0 s
消去E（s）、B(s)得：
1 G s H (s )X 0 s G s X i s
因此，得闭环传递函数
U i s U A s I1 s R1 1 I1 s I 2 s U A s C1s U A s U 0 s I 2 s R2 1 U 0 s I 2 s C2 s
3．梅森公式
1 p
式中：P—系统总传递函数： pk—第k条前向通路的传函数 Δ—流图的特征式，面且
FB (s ) BsX (s ) X 0 (s )
1 FK1 (s) FB (s) FK 2 (s) X (s ) 2 m1s
FK 2 (s ) K 2 X 0 (s )
X (s )
各方程对应的方框单元 如图2．33所示
1 Fi (s ) FB (s ) FK 1 (s ) 2 m1s FK 1 (s ) K1 X (s ) X 0 (s )
(1)节点 表示变量或信号，其值等于所有进人该节点的 信号之和。 (2)输入节点 （3）输出节点 （4）混和节点 它是只有输出的节点，也称源点。 它是只有输入的节点，也称汇点。 它是既有输入又有输出的节点。
（5）支路 定向线段称为支路。其上的箭头表明信号 的流向，各支路上还表明了增益，即支路的传递函数。
d d 转动平衡方程 : J B T T dt dt
M b
N
d 电动机的反电动势正比 于速度 : e K dt 式中：K 反电动势常数 。
b b
0

第2章 系统的数学模型
二、建立系统微分方程的一般步骤
（1） 分析系统和组成系统的各元件（环节）的性质、
第2章 系统的数学模型
（2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，列写系统 各组成元件（环节）的微分方程。对于复杂的系统，不能直 接写出输入量和输出量之间的关系式时，可以引入中间变量， 依据支配系统工作的基本规律，如力学中的牛顿定律、电学 中的克希荷夫定律等，逐个列写出各元件（环节）的微分方 程。另外，在列写各元件（环节）微分方程时，应注意元件
第2章 系统的数学模型
但是，由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成 熟，因此对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进 行线性化处理，以简化分析。线性化是指将非线性微分方程 在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。一般的线性 化方法是在工作点附近用切线来代替，即将非线性函数在工 作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，可得近似 的线性差分方程。上述线性化是以变量偏离预定工作点很小 的假定条件为基础的，即偏差为微量，所以有时也把上述线 性化称之为小偏差线性化。小偏差线性化的几何意义是：在 预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
J
f
(2-18)
式中，J为等效转动惯量，f为摩擦系数。将式(2-17)、(2-18)
代入式(2-16)，得
Ua
La Ki
ddt(J
f )
Ra (J
Ki
f )
Kb
即
La J La f Ra(J f ) KbKi KiUa
(2-19)
测量环节：
第2章 系统的数学模型
U f Kn
(2-20)
第2章 系统的数学模型
线性系统满足叠加原理。叠加原理说明，两个不同的输 入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之 和。因此，线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个 一个地处理，然后对响应结果进行叠加。也就是说，当有几 个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输 出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。另外， 线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的 数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出 量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有 关，与输入量数值的大小是无关的。

R-L-C无源电路网络
ui(t)Ri(t)Lddti(t)C1 i(t)dt
uo(t)
C1 i(t)dt
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第二章 数学模型
Ld d C 2 2u to(t) Rd d C u o t(t) u o(t) u i(t)
一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微 分方程。
若L=0，则系统简化为：
1
第二章 数学模型
建立数学模型的方法 ➢ 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时
应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
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2
第二章 数学模型
数学模型的形式 ➢ 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差
分方程、状态方程 ➢ 复数域：传递函数、结构图 ➢ 频率域：频率特性
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3
第二章 数学模型 一、控制系统的运动微分方程
建立数学模型的一般步骤
➢ 分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量；
d RC du to(t)uo(t)ui(t)
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第二章 数学模型
有源电网络 i2(t)
ui(t) i1(t)
C
a
uo(t)
R
+
u i1
a (t (t)
)0 i2 (t
)
ui(t) Cduo(t)
R
dt
即：
RCduo(t) dt

自动控制理论主要研究的问题
分析：在系统的结构和参数已经确定的条件下， 对系统的性能（稳定性、稳态精度、动态性能、 鲁棒性）进行分析，并提出改善性能的途径。
综合：根据系统要实现的任务，给出稳态和动态 性能指标，要求组成一个系统，设计确定系统的 结构及适当的参数，使系统满足给定的性能指标 要求。
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2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
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系统数学模型建立实例
电工系统－ R,L,C串联电路
机械系统－机械平移系统
机电系统－恒定磁场他激直流电动机
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第二讲 控制系统的数学模型（1）
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机械平移系统示意图
由弹簧－质量－阻尼器组成的
机械平移系统，外力f（t）为 输入信号，位移y（t）为输出
信号，列写其运动方程式。
k－弹簧的弹性系数； m－运动部件的质量； －阻尼器的粘性摩擦系数。
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第二讲 控制系统的数学模型（1）
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机械平移系统的基本关系
假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件
的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：
f1
m
d2y dt 2
设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：
第二讲 控制系统的数学模型（1）
14
相似系统（2）
相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路系 统的动态特性研究机械系统的动态特性。
由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因 此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统，这种方法 称为电子模拟技术。
在建立系统的数学模型后，通过数字计算机求解系统的 微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性， 称为计算机仿真技术。

2

具有式（2-37）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如
2018/11/4
第二章 控制系统的数学模型
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自动控制理论 1）R-L-C电路的传递函数
U c s 1 U r s LCs 2 RCs 1
2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数 Y s 1 F s m s2 fs 1 3）直流他励电动机在变化时的传递函数 1 e N s C EG s m a s 2 m s 1 上述三个传递函数在化成式（2-37）所示的形式时，虽然它们的阻尼 比ζ和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足0＜ζ＜1，则它们都是 振荡环节。
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（2-17）
图 2-11 非线性特性的线性化
第二章 控制系统的数学模型 7
自动控制理论
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
df y f x f x0 dx 1 d2 f x x0 x x0 2! dx2
2 x x x x 0
0
2 由于增量Δx x x0 较小，故可略去式中的 （x x0） 项及
其后面的所有的高阶项 ，于是得线性化方程 y y 0 K x x0 或写为 式中 y f x 0 , y Kx K df dx
x x0
,
y y y 0， x x x 0
用解析法建立系统微分方程的一般步骤
根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的 微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入 的微分方程式 对所求的微分方程进行标准化处理
电气网络系统