控制工程基础第二章数学模型

n
1 X ( s) sn
⒊延迟定理
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t ) 函数 f (t ) 称为延迟函数，函数本身并 不发生改变，只是延迟 α 时 间才发生。 注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t ) F (s) 延迟函数的拉氏变,2, , n) b j ( j 0,1,2, , m) 是由系统结构和
参数决定的常数。齐次方程为
an y
( n)
(t ) an1 y
( n 1)
(t ) a1 y(t ) a0 y(t ) 0
.
n n1 特征方程为 an an1 a1 a0 0
斜坡函数——阶跃函数的积分！
A L[ At } A t e dt 2 0 s 1 t 2 s
st
f (t ) At, (t 0)
时域中的积分运算 加速度函数 （速度函数 的积分）
f (t )
复数域中为乘1/s，或说除以s
1 2 1 2 st A L[ At ] A t e dt 3 2 2 0 s
五 系统运动微分方程的一般形式
设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有
an y
(n)
(t ) an1 y
( m)
( n 1)
(t ) a1 y(t ) a0 y(t )
( m1)
.
bm r
(t ) bm1r
(t ) b1 r (t ) b0 r (t )
此式为二阶常系 数线性微分方程。
方块图描述了系统 中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输 出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的 电流i(t)为中间变量。 根据电压方程，可写出 Ri (t ) L d i(t ) ui (t ) uo (t )
三 拉氏变换性质定理⑴
⒈线性定理
Ax1 (t ) Bx2 (t ) AX1 ( s) BX 2 ( s)
⒉微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）
x(t ) sX ( s )
1 x ( t ) dt X (s) s
.
( n)
x (t ) s n X ( s)
x(t )dt
☆ 小结：⑶⑷
⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。 ⑷ 描述系统运动的微分方程的系数都是系统 的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性 是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。
f (t )
A 1(t ), t0
(0 t t 0 )
☆ 脉冲函数及其拉氏变换
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A f T (t ) lim t 0 0 t 0
d [ A(1 e t0 s )] dt A As L[ fT (t )] lim (1 e t0 s ) lim 0 A t 0 0 t s t 0 0 d s 0 (t0 s ) dt0
☆ 机械平移动力学系统的模型
根据牛顿第二定律，应有
d2 f i (t ) f c (t ) f k (t ) m xo (t ) dt
由阻尼器、弹簧的特性，可写出 f c (t ) c d xo (t ) f k (t ) kxo (t )
dt
消去中间变量，写成规范形式
d2 d m 2 xo (t ) c xo (t ) kxo (t ) f i (t ) dt dt 系统的数学模型可用方块图表示：
特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。 N 阶 系统有n个特征根。特征根只能是 0、实数、复数（必共扼成 对出现）。系统特征根决定了系统的性能! 注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。
六 建立动态方程时应注意的问题
⑴ 变量形式的选取问题 系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量 很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因 此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用 增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解 方程，便于非线性方程进行线性化处理。 ⑵ 负载效应问题 由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响， 有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响 称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影 响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。
⑶非线性模型的线性化问题
实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特 性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性 、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非 线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽 略它们的影响，将它们视为线性元件。 对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切 线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是 在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近 似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线 代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点 处取泰勒级数一次近似式。
2.2 拉普拉斯变换 (Laplace Transformation)
建立描述系统动态性能的运动微分方程之后， 给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道 系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下 的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程 理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路 就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换 是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化 为复数域中的代数运算。
1 2 1 t 3 2 s
1 2 At , (t 0) 2
☆ 欧拉公式和谐波函数的拉氏变换
sin t 1 j t (e e jt ) 2 2j s 2 1 s cost (e jt e jt ) 2 2 s 2
欧拉 公式
谐波函数 的 拉氏变换
数学模型的形式
微分方程 （组） L变换 L反变换 传递函数 （阵） s=jω 频率特性
时间响应 变量状态图 方框图， 信号流图
Nyquist图， Bode图等
现代控制理论
2.1系统运动微分方程的建立
一 依据：
反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论
二 步骤：
（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程； （2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各 变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应； （3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理； （4）消去中间变量，得到输出——输入关系式； （5）整理成规范形式。
单位脉冲（Dirac） 定义： (t )dt 1, (t 0, (t ) 0) 面积为1的脉冲函数 A (t ) A 显然 (t ) 1,
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
一 拉氏变换的定义
拉氏变换的定义
L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0

s j
拉氏变换的实质 时间函数 复变量s的复变函数
二 典型函数的拉氏变换
指数函数
et
指数函数的拉氏变换
L[ Ae ] A
t
0
工程中极其重要的函 数！有如下性质
dt
u o (t )
1 i (t )dt C
消去中间变量i(t)，稍加整理，即得
d2 d LC 2 u o (t ) RC u o (t ) u o (t ) u i (t ) dt dt
上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
四 小结
☆ 小结：⑴⑵
⑴ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。 这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于 相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相 同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的 系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。 这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。 这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。 ⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
⑴单位脉冲函数定义为： (t )dt 1 ⑵单位脉冲函数是面积函数，它的面积为1； ⑶ L[ (t )] 1 L[ A (t )] A 时域里的脉冲 复数域中的常数 ⑷单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是 一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函 数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是 单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！
七
线性系统的叠加原理
(Principle of Superposition)
线性系统的线性性质：均匀性、叠加性 用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如 果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为 线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠 加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性） 和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于 线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别 产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦 增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的 响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。
f (t ) e s F (s)
e s
原函数的拉氏变换乘以
例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换