第二章控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。
2.了解数学模型的基本概念。
能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。
3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。
4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。
6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。
7.了解相似原理的概念。
本章重点1.拉氏变换定理。
2.列写系统的微分方程。
3.传递函数的概念、特点及求法。
4.典型环节的传递函数。
5.系统的方框图及其化简。
本章难点1.列写系统微分方程。
2.系统的方框图及其化简。
∞ 2.1 拉普拉斯(L a p l a c e )变换2.1.1 拉氏变换概述1.拉氏变换的定义F (s ) = L [ f (t )] = ⎰0f (t )e -std tf (t )：原函数（实域、时间域） F (s )：象函数（s 域、复数域） s ：复变量，s=σ+j ωe - st: 拉氏算子j ω[s]σδ ( t )e -atsin ωtcos ωt2.基本函数的拉氏变换1tkttttu ( t ) r ( t )x i ( t ) k 序号原函数 f (t ) 象函数F (s )1 单位脉冲函数 δ (t ) 12单位阶跃函数 1(t ) 1 s 3 K常数k s4t 单位斜坡函数1 s2 5 tnn ! s n +16 e- at1 s + a7sin ωtω s 2 + ω 28cos ωts s 2 + ω 22.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.2 拉氏变换的主要性质1.线性性质设L [f 1(t )]=F 1(s )，L [f 2(t )]=F 2(s )，k 1，k 2为常数 ，则L [k 1 f 1 (t ) + k 2 f 2 (t )] = k 1L [ f 1 (t )] + k 2 L [ f 2 (t )]= k 1F 1 (s ) + k 2 F 2 (s )2.微分性质若L [f (t )]=F (s )，且f (0)=0，（初始条件为零）则L [ df (t )] =sF (s ) dt3.积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则L[⎰ f (t )dt ]= 1 F (s)s4.平移定理若L[[f(t)]=F(s)，]则L ⎰e-a t f (t)dt =F (s +a)5.初值定理若L[f(t)]=F(s)，则f (0+) = limt →0 f (t) = lim s ⋅F (s)s→∞∞6.终值定理若L [f (t )]=F (s )，则有f (∞) = lim t →∞f (t ) = lim s ⋅ F (s )s →07.延迟定理若L [f (t )]=F (s )，对任一正实数a ，则有L [ f (t - a )]= ⎰0f (t - a )e -st d t = e -as F (s )2.1.3拉氏反变换定义:f(t)=L-1[F(s)],将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s 域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。
