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1.2.1常数函数与幂函数的导数（第2课时）（一）教学目标1.知识与技能熟练掌握常数函数与幂函数的求导公式，以及对公式的应用.2.过程与方法通过自主探究，合作交流，培养学生理解与解决问题的能力，提升学生的数学建模和数学运算素养.3.情感、态度与价值观通过学生主动参与，合作交流，提高学生的学习兴趣，激发求知欲望.（二）教学重点和难点教学重点：熟练掌握常数函数和幂函数的公式导数方法.教学难点：常数函数和幂函数的求导公式应用.（三）教学方法从学生的认知规律出发，启发和诱导学生进行探究与研讨，充分调动学生的学习积极性，发挥其主体作用.（四）教学过程复习巩固常数函数与幂函数的导数公式？设计意图：巩固常数函数与幂函数的导数公式.应用举例例1：求下列函数的导数：（1）sin4y π= ； （2）y =； （3）y =. 例2：质点运动方程是51S t=，求质点在2t =时的速度. 例3：设曲线32y x =在点3(,2)a a 的切线与直线,0x a y ==所围成的三角形面积为13，求a .设计意图：巩固所学知识，进一步激发学生学习激情，提升学生分析问题和解决问题的能力.课堂检测1. 若函数5()f x x =，则[](2)___f '-=2. 求曲线3y x =在点（1,1）处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积.3. 曲线4y x =上哪一点的切线与直线41y x =-平行？设计意图：检测和评价学生对本节课所学内容的掌握情况，在巩固新知的同时，进一步促进认知结构的内化. 归纳总结1. 解决的题型有哪几种？2. 解决问题时需要注意什么？设计意图：巩固本节课所学知识，培养学生运用所学知识和方法解决实际问题的能力. 布置作业。
高中常用函数导数表导数是微积分中非常重要的概念，通过求导可以求得函数在某一点的变化率。
在高中数学中，我们会接触到许多常用的函数，它们的导数有着特定的形式。
了解这些常用函数导数的形式，可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
下面是一份高中常用函数导数表，方便大家参考和记忆。
1. 常数函数：f(x) = C，其中C为常数导数：f'(x) = 0对于常数函数来说，其函数值始终保持不变，因此导数恒为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数导数：f'(x) = nx^(n-1)幂函数是指以x为底的n次幂的函数，它的导数是通过幂函数的指数降低1，并乘以原幂函数的系数。
3. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = a^x * ln(a)指数函数的导数是原函数的结果乘以底数a的自然对数值ln(a)。
4. 对数函数：f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))对数函数的导数是1除以x乘以底数a的自然对数值ln(a)。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，f(x) = cos(x)，f(x) = tan(x)导数：f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec²(x)三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系式求得，请注意tan(x)的导数是sec²(x)，其中sec(x)表示secant函数。
6. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，f(x) = arccos(x)，f(x) = arctan(x)导数：f'(x) = 1 / √(1 - x²)，f'(x) = -1 / √(1 - x²)，f'(x) = 1 / (1 + x²)反三角函数的导数也可以通过基本的反三角函数关系式求得，请注意arctan(x)的导数是1除以1 + x²。
2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)高效测评新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)高效测评新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)高效测评新人教A版选修2-2的全部内容。
第一章导数及其应用 1。
2.1 几个常用函数的导数 1.2。
2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一）高效测评新人教A版选修2—2一、选择题(每小题5分，共20分）1．下列结论不正确的是（)A．若y＝3，则y′＝0 B．若y＝错误!，则y′＝－错误!C．若y＝错误!，则y′＝错误!D．若y＝x，则y′＝1解析:对于A，常数的导数为零，故A正确；对于B，y′＝错误!′＝－错误!x－错误!＝－错误!，故B错误；对于C,y′＝错误!′＝错误!x－错误!＝错误!,故C正确;对于D，y′＝x′＝1，故D正确．答案：B2．过曲线y＝x上的点(4，2)的切线方程是（)A．x＋4y＋4＝0 B．x－4y－4＝0C．x－4y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0解析：∵y′＝（x）′＝错误!，∴y′|x＝4＝错误!＝错误!，∴切线的斜率k＝错误!，∴所求的切线方程为y－2＝错误!（x－4)，即x－4y＋4＝0.故选C。
1.2.1 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[目标] 1.会根据导数的定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数.2.能够记住基本初等函数的导数公式和导数运算法则.3.会运用基本初等函数的导数公式及运算法则，求简单函数的导数．[重点] 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则． [难点] 函数的求导法则及其应用．知识点一 基本初等函数的导数公式[填一填][答一答]1．函数y ＝e x的导数与函数y ＝a x的导数有何关系？ 提示：(e x)′＝e x是(a x)′＝a xln a ，当a ＝e 时的特殊情况． 2．若f ′(x )＝e x，则f (x )＝e x这种说法正确吗？提示：不正确．由导数定义可知f (x )＝e x＋C (其中C 为任意实数)，都有f ′(x )＝e x. 3．当α∈R 时，公式2成立吗？提示：成立．由于(x －1)′＝(1x )′＝－1x2，我们可以认为α∈R 时，公式2也是成立的，但不要求证明．4．以下两个求导结果正确吗？为什么？①(3x )′＝x ·3x －1；②(x 4)′＝x 4ln4.提示：这两个求导结果皆错．①中函数y ＝3x 是指数函数，其导数应为(3x )′＝3xln3；②中函数y ＝x 4是幂函数，其导数为(x 4)′＝4x 3.知识点二 导数的运算法则[填一填]1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．[答一答]5．如果f (x )的导数为f ′(x )，c 为常数，那么如何求函数f (x )＋c 与cf (x )的导数？ 提示：由于常函数的导数为0，即(c )′＝0，由导数的运算法则1、2，得[f (x )＋c ]′＝f ′(x )，[cf (x )]′＝cf ′(x )．6．两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？ 提示：能推广．容易证明：[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．7．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )和[f xg x ]′＝f ′xg ′x是否成立？提示：根据导数运算法则可知，这两个式子一般情况下是不成立的．分类记忆基本初等函数的导数公式 第一类为幂函数，即y ′＝(x α)′＝αxα－1(α≠0)(注意幂指数α可推广到不为零的全体实数)．对解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数；第二类为三角函数，可记正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号；第三类为指数函数，即y ′＝(a x)′＝a xln a (a >0且a ≠1)，当a ＝e 时，(e x)′＝e x；第四类为对数函数，即y ′＝(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1，x >0)，也可记为：(log a x )′＝1x log a e ，当a ＝e 时，(ln x )′＝1x.类型一 利用导数公式求导【例1】 (1)y ＝10x；(2)y ＝；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.【解】 (1)y ′＝(10x)′＝10xln10.(2)y ′＝()′＝1x ln12＝－1x ln2.(4)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求函数的导数，一般不再用定义，而主要应用导数公式，这就要求必须熟记常见的求导公式，应用公式时一般遵循“先化简，再求导”的基本原则.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.给出下列命题：①y ＝ln2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2x·ln2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2. 其中正确命题的数目为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：仅①不正确．类型二 利用导数的运算法则求函数的导数【例2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x； (2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ； (4)y ＝e x＋1e x －1.【解】 (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3. (4)y ′＝e x＋1′e x －1－e x＋1e x－1′e x －12＝exe x－1－e x＋1e xe x －12＝－2exe x －12.对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式.在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.求下列函数的导数： (1)y ＝x4x ＋ln2；(2)y ＝(x ＋2)(1x－2)；(3)y ＝x ln x 1＋x；(4)y ＝2x tan x .解：(1)y ′＝(x4x )′＋(ln2)′＝x ′4x －x 4x ′4x2＝1－x ln44x.(3)y ′＝(x ln x 1＋x )′＝x ln x ′1＋x －x ln x 1＋x ′1＋x2＝ln x ＋1＋x1＋x2.(4)y ′＝(2x )′tan x ＋2x (sin x cos x )′＝2tan x ＋2xcos 2x.类型三 导数几何意义的应用【例3】 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝f (x )＝12x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________．(2)已知两条曲线y ＝f (x )＝sin x ，y ＝g (x )＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解析】 (1)y ′＝x ，k PA ＝f ′(4)＝4，k QA ＝f ′(－2)＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8，QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4.∴A (1，－4)．(2)解：设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝f ′(x 0)＝cos x 0，k 2＝g ′(x 0)＝－sin x 0，要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin2x 0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 【答案】 (1)(1，－4) (2)见解析根据导数的几何意义，可直接得到曲线上某一点处的切线的斜率.当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标.已知函数y ＝kx 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的一条切线，则k ＝1e .解析：设切点(x 0，y 0)， 由题意得：f ′(x 0)＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，②而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得：x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e.导数运算法则的应用【例4】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．【思路分析】【解】 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 因为f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝012a ＋4b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－9c ＝12.故f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .【解后反思】 已知一个具体函数，我们可以用导数公式和运算法则求函数的导数；对于含有参数的函数，我们可以通过已知的某一个(或多个)点的导数值或函数值反过来确定参数或参数间的关系，此即逆向思维的体现．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝a x(a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )的导数为F ′(x )． (1)解不等式F ′(x )<0；(2)若函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])在任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)因为F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x(x >0)， 所以F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．因为a >0，由F ′(x )<0⇒0<x <a ， 所以不等式F ′(x )<0的解集为(0，a )． (2)F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立⇔a ≥(－12x 20＋x 0)max ， 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，所以a ≥12，所以a min ＝12.1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为( C )A ．－sin π4B ．sin π4C ．0D ．－cos π4解析：f (x )＝cos π4＝22，故f ′(x )＝0.2．若f (x )＝x ln x ，且f ′(x 0)＝2，则x 0＝( B ) A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由已知得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.3．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为2x －y ＋1＝0. 解析：由y ＝x 3－x ＋3得y ′＝3x 2－1， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝3×12－1＝2， ∴切线方程为y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0.4．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，且f ′(－1)＝4，则a ＝103.解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，则3a －6＝4，故a ＝103.5．求下列函数的导数： (1)f (x )＝2xx 2＋1； (2)f (x )＝x 2＋sin x 2cos x2.解：(1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1′＝2x ′x 2＋1－2x x 2＋1′x 2＋12＝2－2x2x 2＋12.(2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋sin x 2cos x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12sin x ′＝2x ＋12cos x .。
高中数学教案函数的导数与应用高中数学教案：函数的导数与应用导数是数学中一个重要的概念，它在函数研究和应用问题中起着关键的作用。
本教案将介绍函数的导数的概念、求导法则以及导数在各种实际应用中的具体运用。
一、函数的导数的概念及求导法则1.1 函数的导数概念函数的导数描述了函数在某一点的变化率，可用以下定义来表达：对于函数f(x)，当自变量x在某点a处有极小的增量Δx时，相应的函数增量为Δf(x)。
如果当Δx趋近于0时，函数增量Δf(x)与Δx之比的极限存在，那么这个极限就是函数f(x)在点a处的导数。
导数用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)表示。
1.2 常见函数的导数求法在实际应用中，我们常常需要对各种函数进行求导。
以下是一些常见函数的导数求法：1.2.1 常数函数的导数对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
1.2.2 幂函数的导数对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
1.2.3 指数函数的导数对于指数函数y = a^x，其中a为底数（a>0且a≠1），其导数为dy/dx = a^x·ln(a)。
1.2.4 对数函数的导数对于对数函数y = logₐ(x)，其中a为底数（a>0且a≠1），其导数为dy/dx = 1/（x·ln(a)）。
1.2.5 三角函数的导数对于三角函数，常见的导数求法如下：- 正弦函数的导数：dy/dx = cos(x)- 余弦函数的导数：dy/dx = -sin(x)- 正切函数的导数：dy/dx = sec^2(x)- 余切函数的导数：dy/dx = -csc^2(x)二、导数在函数研究中的应用2.1 函数的单调性与极值导数可以帮助我们研究函数的单调性与极值。
当函数的导数为正时，函数递增；当函数的导数为负时，函数递减。
函数的极值出现在导数为0的点或者导数不存在的点上。
2.2 函数的凹凸性与拐点导数还可以帮助我们研究函数的凹凸性与拐点。
高中数学第一章导数及其应用1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）学案（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）学案（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章导数及其应用1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）学案（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。
1。
2。
1 几个常用函数的导数1。
2。
2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）[学习目标］1．能根据定义求函数y＝c（c为常数)，y＝x，y＝x2,y＝错误!,y＝错误!的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．［知识链接］在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数,那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法,如何用定义求函数y＝f（x）的导数？答（1)计算ΔyΔx,并化简；(2）观察当Δx趋近于0时,错误!趋近于哪个定值；(3）ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．［预习导引]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c（c为常数)f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′（x）＝2xf(x）＝错误!f′（x)＝－错误!f（x）＝错误!f′(x)＝错误! 2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′（x）＝0f(x）＝xα(α∈Q*)f′(x）＝αxα－1 f(x）＝sin x f′(x）＝cos_xf（x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf（x）＝a x f′(x）＝a x ln_a（a>0，且a≠1)f（x）＝e x f′（x)＝e xf(x)＝log a x f′(x）＝错误!(a〉0，且a≠1)f(x）＝ln x f′（x)＝错误!要点一利用导数定义求函数的导数例1 用导数的定义求函数f（x）＝2 013x2的导数．解f′(x)＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!（4 026x＋2 013Δx）＝4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条:(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．（2）当Δx趋于0时,k·Δx(k∈R）、（Δx）n（n∈N*)等也趋于0.(3）注意通分、分母（或分子）有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1 用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b（a，b为常数)的导数．解y′＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!（2x＋a＋Δx）＝2x＋a。
选修2-2
第一章导数及其应用
1.1导数
1.1.1函数的均匀变化率
1.1.2刹时速度与导数
1.1.3导数的几何意义
1.2导数的运算
1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法例
1.3导数的应用
1.3.1利用导数判断函数的单一性1.3.2利用导数研究函数的极值
1.3.3导数的实质应用
1.4定积分与微积分的基本定理
1.4.1曲边梯形面积与定积分
1.4.2微积分基本定理
本章小结
阅读与赏识
微积分与极限思想
第二章推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
2.1.1合情推理
2.1.2演绎推理
2.2直接证明与间接证明
2.2.1综合法与剖析法
2.2.2反证法
2.3数学概括法
2.3.1数学概括法
2.3.2数学概括法应用举例
本章小结
阅读与赏识
《本来》与公义化思想
数学证明的机械化——机器证明
第三章数系的扩大与复数
3.1数系的扩大与复数的观点3.1.1实数系
3.1.2复数的观点
3.1.3复数的几何意义
3.2复数的运算
3.2.1复数的加法和减法
3.2.2复数的乘法
3.2.3复数的除法本章小结
阅读与赏识
复平面与高斯。
