高中数学 3.2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表课件 新人教B版选修1-1

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基本初等函数的导数公式:
序号
y=f(x)
y'=f'(x)
1
y=C
y'=0
2
y=xn
y'=nxn-1,n 为自然数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
y=xμ(x>0,μ≠0)
y'=μxμ-1,μ 为有理数
4
y=ax(a>0,a≠1)
y'=axln a
5
y=ex
y'=ex
6
y=logax(a>0,a≠1,x>0)
y'=x a
7
直线 l 的方程.
【解析】由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切
点为(a,b),则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出
切线方程.
解:设切点为(a,b).
因为 y'=3x2,
所以 kl=y'|x=a=3a2.
又因为直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,
所以 3a2=3,所以 a=±1.
式求导,应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式
的形式.
解:(1)y'=7x6;
3
3 1
2,所以 y'= 2
3
= 2 ;
(2)因为 y=x =
2
1
(3)y'=
;
ln3


(4)因为 y=2sin2·cos2=sin x,所以 y'=cos x;
1 -2
2
-3
(5)因为 y= 2=x ,所以 y'=-2x =- 3.

x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.
[解] (1)y′＝0. (2)∵y＝x15＝x－5， ∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－x56. (3)∵y＝ x2x＝x32. ∵y′＝(x32)′＝32x12＝32 x.
第三章 导数及其应用
3.2 导数的运算 3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.2 导数公式表
学习目标
核心素养
1.能根据定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，通过利用基本初等函数
y＝1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公
的导数公式求简单函数 的导数的学习，提升学
式求简单函数的导数．(重点、难点) 生的数学运算素养.
1
f′(x)＝_x_
1．下列结论：

2
①(sin x)′＝cos x；②(x3)′＝x3；
③(log3x)′＝3l1n x；④(ln x)′＝1x.
其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个
C．2 个
D．3 个
C [∵②(x53)′＝53x23；③(log3x)＝xln1 3；∴②③错误，故选 C.]
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45.
(3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x35－1
＝35x－25＝ 5
3 5
. x2
(4)∵y＝2sin2xcos2x＝sin x，∴y′＝cos x. (5)y′＝(log12x)′＝ 1 1＝－xln1 2.
xln2
用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根 据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导 公式.
合作探究 提素养

y＝f(x) y＝logax (a>0，a≠1，x>0)
y＝ln x
y＝sin x y＝cos x
y′＝f′(x) _y_′___＝___x_l_n1__a__
_____y_′__＝___1x_____ _y_′__＝__c_o_s_x__ _y_′__＝__－__s_in__x_
基本初等函数的导数公式的特点 (1)常数函数的导数为零． (2)有理数幂函数 f(x)＝xα 的导数依然为幂函数，且系数为 原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去 1. (3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函 数的相反数． (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数 的自然对数．
3.2
第 三
导 数 的
章运
算
3.2. 1 &
3.2. 2
常数 与幂 函数 的导 数导 数公 式表
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
3.2
导数的运算
3．2.1&3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
利用导数的定义可得 x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2.
问题 1：当 n∈N＋时，y＝xn 的导数公式是什么？
所以曲线在点 P(－1，－1)处的切线斜率为 k＝－3，
(3 分)
则切线方程为 y＋1＝－3(x＋1)，即 3x＋y＋4＝0.
设直线 m 的方程为 3x＋y＋b＝0(b≠4)， 所以 |b3－2＋41| 2＝ 10，所以|b－4|＝10， 所以 b＝14 或 b＝－6，
(6 分) (8 分)
所以直线 m 的方程为 3x＋y＋14＝0 或 3x＋y－6＝0.
(12 分)

第三章 §3.2 导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)

互垂直的直线(斜率均存在)斜率乘积等于－1是解题的关键.
跟踪演练 3
已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.
∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 4－1 则 y′| x＝x0 ＝2x0，又∵PQ 的斜率为 k＝ ＝1， 2＋1 1 而切线平行于 PQ，∴k＝2x0＝1，即 x0＝2， 1 1 ， 所以切点为 M 2 4. 1 1 ∴所求的切线方程为 y－4＝x－2，即 4x－4y－1＝0. 解
要点二 利用导数公式求函数的导数
例2 求下列函数的导数：
π 1 x (1)y＝sin3；(2)y＝5 ；(3)y＝x3； (4)y＝ x3；(5)y＝log3x. 4
解
(1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；
3 1 3 (4)y′＝( x )′＝(x )′＝4x－4＝ 4 ； 4 x 1 (5)y′＝(log3x)′＝xln 3.
应用.
跟踪演练1
导数.
解
用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的
x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b y′＝ lim Δx Δx→0
x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b ＝ lim Δx Δx→0 2x·Δx＋a·Δx＋Δx2 ＝ lim ＝ lim (2x＋a＋Δx)＝2x＋a. Δx Δx→0 Δx→0
1 2 3 4
3. f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则a的值等于( D )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
19 A. 3 解析
16 B. 3

变式训练 3.求曲线y＝lnx在x＝e2处的切线方程.
方法技巧 1.应用导数的定义求导,是求导数的基本方法,但运算较繁琐,而 利用导数公式求导数,可以简化求导过程,降低运算难度,是常用 的求导方法.
2.利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公 式.有时还要先对函数解析式进题型二 求函数在某点处的导数 (1)求函数y＝ax在点P(3,f(3))处的导数;
(2)求函数y＝lnx在点P(5,ln5)处的导数.
【名师点评】 求函数f(x) 在x＝x0处的导数的方法与步骤: ①由已知函数解析式先求f′(x); ②求f′(x0)的值.
变式训练
【名师点评】 利用导数来求曲线在某点处的切线的斜率 是一种非常有效的方法.它适合于任何可导函数,应用这种 方法求切线方程,既简捷,又方便.
第三章 导数及其应用
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
基本初等函数的导数公式表
y＝f(x) y＝C y＝xn y＝xμ(x>0,μ≠0) y＝ax(a>0,a≠1) y＝ex
y′＝f′(x) y′＝__0__ y′＝__n_x_n－_,1n为自然数 y′＝__μ_x_μ_－_1,μ为有理数 y′＝__a_xl_n_a______ y′＝_e_x___
失误防范
再见
y＝logax(a>0,a≠1,x>0) y′＝______
y＝lnx
y＝sinx y＝cosx
y′＝ y′＝__co_s_x______ y′＝__－__si_n_x____
想一想
做一做 2.函数y＝x2在x＝6处的导数为________. 【答案】12
【名师点评】 对于基本初等函数的求导,直 接利用导数公式求导.但要注意把所给函数的 关系式转化成能够直接应用公式的基本函数 的形式,以免在求导时发生不必要的错误.

重难聚焦
1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1. 若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时 速度为1的匀速运动.
重难聚焦
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
3.2 导数的运算
-1-
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表-2-来自目标导航知识梳理
1.常数函数的导数 设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0. 名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0. 若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态.
再见
2019/11/23
知识梳理
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
些简单函数的导数了.
【做一做2】 函数y=x2在x=6处的导数为
.
答案:12
知识梳理
知识梳理
知识梳理
名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.

3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一 利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x 2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝3212x ＝32x ； (3)y ′＝1x ln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x 2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二 导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】 若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a . 解：y ′＝－1232x -(x ＞0)，故在点(a ，12a -)处的切线的斜率k ＝－1232a -， 所以切线方程为y －12a -＝－1232a - (x －a )，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3212a -， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×3212a -＝9412a ＝18. 所以a ＝64.。

【思路探究】 对于简单函数的求导， 关键是合理转化函数的 关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式， 然后直接利用公式 求导．
【自主解答】
(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5 4 ＝－ 5. x 3 3 3 (3)y′＝( x )′＝(x )′＝ x －1 5 5 5 5
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
3.2 导数的运算 3．2.1 常数与幂函数的导数 导数公式表
3．2.2
课 后 知 能 检 测
教 师 备 课 资 源
●三维目标 1.知识与技能 能够用导数的定义求几个常用函数的导数， 会利用它们解决简 单的问题． 2．过程与方法 使学生掌握由定义求导数的三个步骤， 推导四种常见函数的导 数公式．
【思路探究】 解答本题可先求出函数的导函数， 再求导函数 在相应点的函数值．
【自主解答】
(1)∵y＝ax，∴y′＝(ax)′＝ax· ln a，
则 y′|x＝3＝a3· ln a. 1 1 (2)∵y＝ln x，∴y′＝(ln x)′＝ ，则 y′|x＝5＝ . x 5
求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数； (2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
本例中(2)的 P 点处的切线方程如何求解？ 1 【解】 ∵y′|x＝5＝ ， 5
1 ∴切线方程为：y－ln 5＝ (x－5)， 5 即 x－5y－5＋5ln 5＝0.
导数的应用
1 1 若曲线 y＝x－ 在点(a，a－ )处的切线与两坐标轴围 2 2 成的三角形的面积为 18，求 a 的值．

∴y′|x＝π4 ＝Biblioteka sinπ4 ＝－2 2 .(4
分)
名师微博 一定要记准公式，千万别丢掉“－”啊！
∴曲线
π y＝cosx 在( 4 ,
22)处的切线方程为
y－
2＝－ 2
22(x－π4 ),
π 即 x＋ 2y－1－ 4 ＝0.(6 分)
【名师点评】 利用导数来求曲线在某点处的切线的斜率 是一种非常有效的方法.它适合于任何可导函数,应用这种 方法求切线方程,既简捷,又方便.
f(x)＝sinx,则
π f′( 4 )＝
2 2.
做一做 2.函数y＝x2在x＝6处的导数为________. 【答案】12
3.若函数 f(x)＝ 3 x,则 f′(1)等于( )
A.0
B.－13
C.3
D.13
【解析】∵f(x)＝3
1
x＝x3,
∴f′(x)＝13x－23,
∴f′(1)＝13.
【答案】D
2.利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公
式.有时还要先对函数解析式进行化简整理,这样能够简化运算
过程.
失误防范 在应用求导公式时应注意的问题 (1)对于正余弦函数的导数,一是注意函数的 变化,二是注意符号的变化. (2)对于公式(lnx)′＝1x和(ex)′＝ex 很好记,但对
∴函数 f(x)在 x＝1 处的导数为－12.
题型三 求切线方程
例3 (本题满分 6 分 )求曲线 y＝cosx 在
π (4,
22)处的切线方程.
【思路点拨】 解答本题可先应用导数公式求
π 出函数在 x＝ 4 处的导数,即切线的斜率,然后
根据直线方程的点斜式公式,写出切线方程.

3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
知能目标解读
1．知识与技能 能利用导数的定义推导函数 y＝c，y＝x，y＝x2，
y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数，能根据基本初等函数的求导 公式，求简单函数的导数．
2．过程与方法
通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，
掌握利用导数公式求函数导数的方法．
例 3：求过曲线 y＝sinx 上的点 Pπ4， 22且与在这点处的 切线垂直的直线方程．
解：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
∴y′|x＝π4＝cosπ4＝
2 2.
∴经过这点的切线的斜率为 22，
从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2.
∴由点斜式得适合题意的直线方程为
y－ 22＝－ 2(x－4π)，即 2x＋y－ 22－ 42π＝0.
变式应用 1： 求曲线 y＝4 x3在点 A(16,8)处的切线方程．
解：y′＝(4
x3)′＝(
3
x4
)′＝34·x
1 4
＝
3 4
，
4x
∴经过点 A(16,8)的切线的斜率
k＝y′|x＝16＝ 3 4
＝38，
4 16
∴曲线的切线方程为 y－8＝38(x－16)
即 3x－8y＋16＝0.
命题方向3：导数公式的应用
说明：在确定与切线垂直的直线方程时，应注意 考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时， 切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率 不存在．
变式应用 2： 求曲线 y＝cosx 在点 A(6π， 23)处的切线方程． 解：∵y＝cosx，∴y′＝－sinx. y′|x＝π6＝－sin6π＝－12，∴k＝－12. ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12(x－6π)． 即 6x＋12y－6 3－π＝0.