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1.2.1常数函数与幂函数的导数预习案一、自学教材，思考下列问题1.导数的概念2.导数的几何意义二、一试身手利用导数的定义求下列函数的导数：（1）f（x）=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2导学案一、学习目标（1）知识与技能能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数（2）过程与方法在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力（3）情感态度价值观提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神二、学习过程（1）课内探究问题1：常数函数的导数是什么？问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x=（5）y问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？问题4：幂函数a y x =的导数是什么？（2） 典型例题例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．（3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（）Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y2 1 (2)y (3)yxx=+==213632')1(xxy=⨯=-解：33122222)(2)'()'1(':)2(xxxxxy-=-=-===----解xxxxxy2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(xxxxy====-解：（4）课堂小结本节课学习了常数函数与幂函数的导数.拓展案一、选择题1．()f x与()g x是定义在R上的两个可导函数，若()()f xg x，满足()()f xg x''=，则()f x与()g x满足（）Ａ．()()f xg x=Ｂ．()()f xg x-为常数Ｃ．()()0f xg x==Ｄ．()()f xg x+为常数二、填空题2．设32()391f x x x x=--+，则不等式()0f x'<的解集是．3．曲线1yx=和2y x=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题4．求过曲线cosy x=上点π132P⎛⎫⎪⎝⎭，且与过这点的切线垂直的直线方程．答案：典型例题例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) xx x x x 212121)()(2112121==='='-- 例2解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是645-． 当堂检测1.答案：Ｂ2.答案：Ｃ3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x=+===213632')1(x x y =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解xx x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：拓展案1.答案：Ｂ2.答案：(13)-，3.答案：344.解： sin y x '=- ，曲线在点π132P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率是πsin 32-=-． ∴过点P． ∴所求的直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π2032x -+=．。
1.2.1常数函数与幂函数的导数学习目标：（1）能根据导数定义,求几个常用函数的导数，并归纳出幂函数的求导公式.（2）会利用导数的几何意义求曲线的切线方程.学习过程：提出问题已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x . 问题1：函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？问题3：若(1)(2)中的函数表示路程关于时间的函数，则其导数的意义是什么？问题4：函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α为正数)的形式，其导数有何规律？例题探究：例1：求曲线y ＝x 3过点Q (1，12)的切线方程．例2：若质点P的运动方程是s＝3t2(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度．例3：设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．课堂检测：1．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定2．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4－13．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．4．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．5．若曲线y＝x在点P(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．6.已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．参考答案学习过程：提出问题问题1：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx＝0， ∴y ′＝0lim x ∆→Δy Δx＝0. 问题2：由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x. 问题3：y ′＝0说明某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态；y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．问题4：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1， (5)(x )′＝(x 12)′＝12x 112－＝12x， ∴(x α)′＝αx α－1.例题探究：例1：解：∵点(1，12)不在曲线y ＝x 3上， ∴设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30，k PQ ＝y 0－12x 0－1＝x 30－12x 0－1. 又y ′＝3x 2，则k PQ ＝f ′(x 0)＝3x 20， 则有3x 20＝x 30－12x 0－1，化简得2x 30－3x 20＋12＝0， 解得x 0＝12或x 0＝1＋32或x 0＝1－32. ①x 0＝12时，k PQ ＝34，切线为y －12＝34(x －1)， 即3x －4y －1＝0.②x 0＝1＋32时，k PQ ＝6＋332， 切线为y －12＝6＋332(x －1)， 即(6＋33)x －2y －5－33＝0.③x 0＝1－32时，k PQ ＝6－332，切线为y －12＝6－332(x －1)， 即(6－33)x －2y －5＋33＝0.综上，所求切线的方程为3x －4y －1＝0或(6＋33)x －2y －5－33＝0或(6－33)x －2y －5＋33＝0. 例2：解：∵s ′＝(3t 2)′＝(23t )′＝2313t -， ∴v ＝23×138-＝23×2－1＝13， ∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s. 例3：解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32. 则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52. 又f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52 ＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.课堂检测：1．【答案】B【解析】设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2， ∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1， ∴x 0＝±33， 即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B. 2．【答案】B【解析】由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.3．【答案】(4＋23)x －y －7－43＝0或(4－23)x －y －7＋43＝0【解析】y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20. 切线斜率为2x 0＝x 20－1x 0－2， ∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3， ∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．4．【答案】4x －4y －1＝0【解析】y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)， 则0x x y ='＝2x 0. ∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ， ∴k ＝0x x y ='＝2x 0＝1.∴x 0＝12. ∴切点M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 5．【答案】4【解析】y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0得，y ＝a 2， 令y ＝0得，x ＝－a ，由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 6.解：(1)因为y ′＝2x .P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1， 切线的斜率k ＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.。
1.2.1 常数函数与幂函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 2．y ＝13x 2的导数为( )A ．23x －13B ．23x C ．23x-D ．－2353x -3．y ＝2x 在点A (1,2)处的切线方程为( )A ．2x ＋y －4＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋4＝0D ．2x －y －2＝04．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D ．5π45．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为( )A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝06．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为( ) A ．5x －y ＋4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝07．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B ．110523C.25523 D ．1105238．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2二、填空题9．曲线y ＝1x上一点P 处的切线的斜率为－4，则P 的坐标为________．10．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．三、解答题11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．参考答案1．【答案】B【解析】本题主要考查几个常用函数的导数，解决此题的关键是熟练掌握几个常用函数的导数，A 正确；对于B ，y ′＝(1x )′＝(12x -)′＝－1232x -＝－12x 3，不正确．对于C ，y ′＝(x )′＝1212x -＝12x，正确．对于D ，正确． 2．【答案】D 【解析】y ′＝(23x -)′＝－23·53x -.∴选D. 3．【答案】A【解析】∵f ′(x )＝－2x 2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0. 4．【答案】C【解析】∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.5．【答案】A【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， ∵f ′(x )是偶函数，∴3(－x )2＋2a (－x )＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 解得a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，k ＝f ′(2)＝9， 即切点为(2,2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0. 故选A. 6．【答案】D【解析】∵0x x y ='＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D. 7．【答案】B【解析】∵s ′|t ＝4＝1545t -|t ＝4＝110523.故选B.8．【答案】A【解析】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.9．【答案】(12，2)或(－12，－2)【解析】设P (x 0，y 0)，则k ＝0x x y ='＝－1x 20＝－4，∴x 20＝14，∴x 0＝12或－12， 当x 0＝12时，y 0＝2，当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴P 点坐标为(12，2)或(－12，－2)．10．【答案】(2,1)【解析】∵y ＝4x －2，∴y ′＝－8x －3， ∴－8x －3＝－1， ∴x 3＝8， ∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)．11．解：(1)设y ＝f (x )＝13x 3＋43，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． 又切线过点P (2,4)， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x30－3x20＋4＝0，∴x0＝－1或x0＝2，∴切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.。
1.2.1常数函数与幂函数的导数（预习案)编者：周敏(一）学习目标:1。
能用导数定义求常数函数与幂函数的导数2.掌握基本初等函数公式,会求简单函数的导数（二)知识链接：1.导数的概念2。
导数的几何意义3.利用定义求函数)(xfy 的导数的步骤是：(三)一试身手:利用导数的定义求下列函数的导数：（1)f（x)=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 (4）f（x）=x21.2。
1常数函数与幂函数的导数(学案）（一)学习目标：1。
能用导数定义求常数函数与幂函数的导数2。
掌握基本初等函数公式，会求简单函数的导数（二)重点和难点：能用所给基本初等函数的导数公式求简单的函数的导数（三)学习探究:探究问题1：常数函数的导数是什么？探究问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数(1）y=x（2)y=x2（3）y=x3(4）1yx（5）y x12探究问题3:通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？探究问题4：幂函数a y x 的导数是什么？（四）典例示范：例1 求 (1)y=x 12 （2)41y x=(3)y =4）y=1变式训练：求下列函数的导数:（1）y ＝x 8； (2）y ＝x 错误!。
例2质点运动方程是51t s =， 求质点在2=t 时的速度．(五）当堂检测:1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ )Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（ ) Ａ．90° Ｂ．0°Ｃ．锐角 Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y 2 1 (2)y (3)y x x =+==213632')1(x xy =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解31.2。
1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用一、选择题1．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(1x)′＝－12x －32； ④(5x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32 3．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32) C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)(k ∈Z ) 4．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－55．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x6．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( )A ．4B ．－4C ．28D ．－287．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π4]二、填空题8．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________. 9．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．10．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．11．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y 1＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 三、解答题12．求下列函数的导数．(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin(x ＋π2)；(5)y ＝e 2.13．过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．参考答案1．【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8．【答案】－49．【答案】(1,1)【解析】y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)． 因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．10.【答案】12e 2 11.【答案】ln 2－112．解 (1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝[sin(x ＋π2)]′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.13．解 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，可设切点坐标为(x 0，0e x)，则过该切点的曲线y ＝e x 的切线的斜率为0e x ，∴所求切线方程为y －0e x ＝0e x (x －x 0)． ∵切线过原点，∴－0e x ＝－x 0·0e x ， ∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)，斜率为e.。
