高二人教B版数学选修1-1同步练习3-2-1~3-2-2《常数与幂函数的导数 导数公式表》

导数的运算
．常数与幂函数的导数
．导数公式表
[学习目标].理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法.掌握常见函数的导数公式.灵活运用公式求某些函数的导数．
[知识链接]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数＝()的导数？
答：()计算，并化简；
()观察当Δ趋近于时，趋近于哪个定值；
()趋近于的定值就是函数＝()的导数．
[预习导引]
．常数与幂函数的导数
原函数导函数
()＝′()＝
()＝′()＝
()＝′()＝
()＝′()＝－
．基本初等函数的导数公式表
原函数导函数
＝′＝
＝′＝－(为自然数)
＝μ(>，μ≠)′＝μμ－(μ为有理数)
＝′＝
＝′＝－
＝(>，且≠)′＝
＝′＝
＝ (>，且≠，>)′＝
＝(>)′＝
要点一利用导数定义求函数的导数
例用导数的定义求函数()＝的导数．
解′()＝
＝
＝
＝(＋Δ)
＝.。

§3.2.（1、2）常数与幂函数的导数
学习目标
1、能够利用导数的定义，求出常函数以及简单的幂函数的导数；
2、通过定义所求出的导数拓展幂函数的导数公式，并识记；
学习过程
【任务一】阅读教材完成探究任务
y=的导数
探究问题：求函数3x
y=的导数
根据教材与探究问题的结果，写出函数n x
【任务三】课堂练习：
1、求下列函数的导数
5x y = 12x y = 3-=x y 3.0x y = 108x y =
2、求下列函数的导数
x y cos = x y sin = x y 2= x y ln = x e y =
3、求下列函数给定点的导数
（1）1641
==x x y （2）2,sin π
==x x y
（3）π2,cos ==x x y
【任务四】课堂达标练习：
1、求函数1-=x y 在2=x 处的导数。

2、求函数π=)(x f 的导数。

3、求曲线6x y =在点)1,1(处的切线方程。

4、求余弦函数x y cos =在点2π
=x 处的切线方程。

5、求曲线x y =在点3=x 处的切线方程。

3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课时过关·能力提升1.下列结论正确的是()A.若y=sin x,则y'=cos xB.若y=cos x,则y'=sin xC.若y y'D.若y y'答案:A2.下列命题正确的是()A.(log a x)'.(log a x)'C.(3x)'=3xD.(3x)'=3x ln 3答案:D3.已知f(x)=x a,若f'(-1)=-4,则a的值等于()A.4B.-4C.5D.-5解析:f'(x)=ax a-1,f'(-1)=a(-1)a-1=-4.当a=4时,a-1=3,则f'(-1)=-4成立.当a=-4时,f'(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.答案:A4.已知f(x)=x4,则f'(2)=()A.16B.24C.32D.8答案:C★5.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x.由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f (x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:观察可知偶函数的导函数是奇函数,由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,故g(x)为奇函数,从而g(-x)=-g(x).答案:D6.常数的导数为0的几何意义是.答案:函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为07.曲线y=cos x在点x.解析:co y=cos x上,y'=-sin x,当x,y'=-1.所以切线方程为y=-1·x+y.答案:x+y★8.函数y=x2(x>0)的图象在点(a k x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.解析:∵函数y=x2,y'=2x,∴函数y=x2(x>0)在点(a k y a k(x-a k),令y=0得a k+又∵a1=16,∴a=4,a=1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:219.当常数k为何值时,直线y=x才能与曲线y=x2+k相切?并求出切点.分析:利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标,进一步可求k.解:设切点A(x0.因为y'=2x,所所故当k,直线y=x与函数y=x,切点坐标★10.已知y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.(1)求a的值;(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.分析:(1)点P在曲线上,将其坐标代入曲线方程即可求得a;(2)利用导数先求直线l的斜率,即可得到所求直线斜率,然后用点斜式写出所求直线方程.解:(1)y=cos x上,∴a=co(2)∵y'=-sin x,∴k l=y又∵所求直线与直线l垂直, ∴所求直线的斜率∴所求直线方程为y即y。

常数函数与幂函数的导数一、选择题1.函数错误！超链接引用无效。

的导数错误！超链接引用无效.（）A。

错误!超链接引用无效。

B.错误！超链接引用无效. C.错误！超链接引用无效。

D.错误！超链接引用无效.答案：D2。

已知函数错误!超链接引用无效。

在错误！超链接引用无效.处有极值,则该函数的一个递增区间是（）A.错误！超链接引用无效。

B。

错误!超链接引用无效。

C.错误！超链接引用无效。

D。

错误！超链接引用无效。

答案：B3.曲线错误！超链接引用无效。

在点错误！超链接引用无效。

处的切线与错误！超链接引用无效。

轴、直线错误!超链接引用无效.所围成的三角形的面积为( )A。

错误!超链接引用无效。

B.错误!超链接引用无效。

C。

错误！超链接引用无效。

D。

错误！超链接引用无效。

答案:C4。

设错误！超链接引用无效。

,则错误!超链接引用无效.的值等于( ）A.错误!超链接引用无效。

B。

错误！超链接引用无效。

C。

错误！超链接引用无效。

D。

错误!超链接引用无效。

答案：D5.若函数错误！超链接引用无效.在错误!超链接引用无效。

处的导数值与函数值互为相反数,则错误！超链接引用无效.的值（错误！超链接引用无效。

）A.等于0B.错误!超链接引用无效。

等于1 C。

等于错误！超链接引用无效。

D.不存在答案：C6。

定积分错误!超链接引用无效.的值等于( )A。

错误！超链接引用无效。

B.错误！超链接引用无效。

C。

错误！超链接引用无效。

D.错误！超链接引用无效。

答案:A7.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测，存款量与存款利率的平方错误!超链接引用无效。

成正比，比例系数为错误！超链接引用无效.，货款的利率为错误!超链接引用无效。

，假设银行吸收的存款能全部放贷出去。

若存款利率为错误！超链接引用无效。

,为使银行获得最大收益，则存款利率为（)A.0、032 B。

错误！超链接引用无效. C.0、04 D。

0、036答案：A8.若函数错误！超链接引用无效.的极值点为错误！超链接引用无效。

一、选择题1．下列结论中不正确的是() A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32B．若y＝1x，则y′|x＝2＝－22C．若y＝1x2·x，则y′|x＝1＝－52D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5【解析】由幂函数的求导公式易知B不对，【答案】 B2．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为() A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．(－12，－18)【解析】y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．【答案】 B3．曲线y＝cos x在点(4π3，－12)处的切线斜率是()A.12B．－12C.32D．－32【解析】∵y′＝(cos x)′＝－sin x，则k ＝－sin 4π3＝32. 【答案】 C4．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B.110523C.25523D.110523【解析】∴v ＝s ′|t ＝4＝15·4－45＝110523.【答案】 B5．设曲线y ＝ax 2在(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，∴在点(1，a )处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 由题意可得2a ＝2，∴a ＝1.故选A. 【答案】 A 二、填空题6．曲线y ＝x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________． 【解析】 设所求切线的切点为P (x 0，y 0)， 则切线的斜率为f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14. ∴切线方程为x －y －14＝0.【答案】x－y－14＝07．曲线y＝x2上过点(2,4)的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．【解析】∵y′＝2x，∴y′|x＝2＝4，∴过点(2,4)的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.令y＝0得切线在x轴上的截距为1，故所求面积为S＝12×(2－1)×4＝2.【答案】 28．(2013·重庆高二检测)设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．【解析】∵f′(1)＝n＋1，∴y＝x n＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x －1)＋1.令y＝0，得x n＝nn＋1，∴a n＝lg n－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2.【答案】－2三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝(1e)x；(2)y＝(110)x；(3)y＝lg 5；(4)y＝3lg 3 x；(5)y＝2cos2x2－1.【解】(1)y′＝[(1e)x]′＝(1e)x ln1e＝－1e x＝－e－x.(2)y′＝[(110)x]′＝(110)x ln110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y＝lg 5是常数函数，∴y′＝(lg 5)′＝0.(4)∵y＝3lg 3x＝lg x，∴y′＝(lg x)′＝1x ln 10.(5)∵y＝2cos2x2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.10．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程．(字母e是一个无理数，是自然对数的底数)【解】∵f′(x)＝1x，∴k l＝f′(e)＝1e.由题意知所求直线斜率为－e.∵点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，∴a＝ln e＝1.故所求直线方程为y－1＝－e(x－e)，即e x＋y－e2－1＝0.11．已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解】由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.。

§3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2A ．0B ．1C ．2D ．32．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2 B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4B ．－4C ．5D ．－54．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.6．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4. 二、能力提升8．若曲线y＝12x-在点(a，12a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A．64 B．32 C．16D．89．已知直线y＝kx是曲线y＝e x的切线，则实数k的值为()A.1e B．－1e C．－eD．e10．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.11．求与曲线y＝3x2在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 012(x)．答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．10ln 106．－347．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′ ＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝35x ⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝31535x -＝2535x -＝355x2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . 8．A 9．D 10．ln 2－111．解 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝23x -⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝1323x -，∴y ′|x ＝8＝23×138-＝13.即在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合题意的切线的斜率为－3. 从而适合题意的直线方程为 y －4＝－3(x －8)， 即3x ＋y －28＝0.12．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 02)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x .。