高二人教B版数学选修1-1同步练习3-2-1~3-2-2《常数与幂函数的导数 导数公式表》

导数的运算
．常数与幂函数的导数
．导数公式表
[学习目标].理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法.掌握常见函数的导数公式.灵活运用公式求某些函数的导数．
[知识链接]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数＝()的导数？
答：()计算，并化简；
()观察当Δ趋近于时，趋近于哪个定值；
()趋近于的定值就是函数＝()的导数．
[预习导引]
．常数与幂函数的导数
原函数导函数
()＝′()＝
()＝′()＝
()＝′()＝
()＝′()＝－
．基本初等函数的导数公式表
原函数导函数
＝′＝
＝′＝－(为自然数)
＝μ(>，μ≠)′＝μμ－(μ为有理数)
＝′＝
＝′＝－
＝(>，且≠)′＝
＝′＝
＝ (>，且≠，>)′＝
＝(>)′＝
要点一利用导数定义求函数的导数
例用导数的定义求函数()＝的导数．
解′()＝
＝
＝
＝(＋Δ)
＝.。

§3.2.（1、2）常数与幂函数的导数
学习目标
1、能够利用导数的定义，求出常函数以及简单的幂函数的导数；
2、通过定义所求出的导数拓展幂函数的导数公式，并识记；
学习过程
【任务一】阅读教材完成探究任务
y=的导数
探究问题：求函数3x
y=的导数
根据教材与探究问题的结果，写出函数n x
【任务三】课堂练习：
1、求下列函数的导数
5x y = 12x y = 3-=x y 3.0x y = 108x y =
2、求下列函数的导数
x y cos = x y sin = x y 2= x y ln = x e y =
3、求下列函数给定点的导数
（1）1641
==x x y （2）2,sin π
==x x y
（3）π2,cos ==x x y
【任务四】课堂达标练习：
1、求函数1-=x y 在2=x 处的导数。

2、求函数π=)(x f 的导数。

3、求曲线6x y =在点)1,1(处的切线方程。

4、求余弦函数x y cos =在点2π
=x 处的切线方程。

5、求曲线x y =在点3=x 处的切线方程。

3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课时过关·能力提升1.下列结论正确的是()A.若y=sin x,则y'=cos xB.若y=cos x,则y'=sin xC.若y y'D.若y y'答案:A2.下列命题正确的是()A.(log a x)'.(log a x)'C.(3x)'=3xD.(3x)'=3x ln 3答案:D3.已知f(x)=x a,若f'(-1)=-4,则a的值等于()A.4B.-4C.5D.-5解析:f'(x)=ax a-1,f'(-1)=a(-1)a-1=-4.当a=4时,a-1=3,则f'(-1)=-4成立.当a=-4时,f'(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.答案:A4.已知f(x)=x4,则f'(2)=()A.16B.24C.32D.8答案:C★5.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x.由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f (x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:观察可知偶函数的导函数是奇函数,由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,故g(x)为奇函数,从而g(-x)=-g(x).答案:D6.常数的导数为0的几何意义是.答案:函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为07.曲线y=cos x在点x.解析:co y=cos x上,y'=-sin x,当x,y'=-1.所以切线方程为y=-1·x+y.答案:x+y★8.函数y=x2(x>0)的图象在点(a k x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.解析:∵函数y=x2,y'=2x,∴函数y=x2(x>0)在点(a k y a k(x-a k),令y=0得a k+又∵a1=16,∴a=4,a=1,∴a1+a3+a5=16+4+1=21.答案:219.当常数k为何值时,直线y=x才能与曲线y=x2+k相切?并求出切点.分析:利用切点处的导数等于切线的斜率可求切点的横坐标,进一步可求k.解:设切点A(x0.因为y'=2x,所所故当k,直线y=x与函数y=x,切点坐标★10.已知y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.(1)求a的值;(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.分析:(1)点P在曲线上,将其坐标代入曲线方程即可求得a;(2)利用导数先求直线l的斜率,即可得到所求直线斜率,然后用点斜式写出所求直线方程.解:(1)y=cos x上,∴a=co(2)∵y'=-sin x,∴k l=y又∵所求直线与直线l垂直, ∴所求直线的斜率∴所求直线方程为y即y。

变式训练 3.求曲线y＝lnx在x＝e2处的切线方程.
方法技巧 1.应用导数的定义求导,是求导数的基本方法,但运算较繁琐,而 利用导数公式求导数,可以简化求导过程,降低运算难度,是常用 的求导方法.
2.利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公 式.有时还要先对函数解析式进题型二 求函数在某点处的导数 (1)求函数y＝ax在点P(3,f(3))处的导数;
(2)求函数y＝lnx在点P(5,ln5)处的导数.
【名师点评】 求函数f(x) 在x＝x0处的导数的方法与步骤: ①由已知函数解析式先求f′(x); ②求f′(x0)的值.
变式训练
【名师点评】 利用导数来求曲线在某点处的切线的斜率 是一种非常有效的方法.它适合于任何可导函数,应用这种 方法求切线方程,既简捷,又方便.
第三章 导数及其应用
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
基本初等函数的导数公式表
y＝f(x) y＝C y＝xn y＝xμ(x>0,μ≠0) y＝ax(a>0,a≠1) y＝ex
y′＝f′(x) y′＝__0__ y′＝__n_x_n－_,1n为自然数 y′＝__μ_x_μ_－_1,μ为有理数 y′＝__a_xl_n_a______ y′＝_e_x___
失误防范
再见
y＝logax(a>0,a≠1,x>0) y′＝______
y＝lnx
y＝sinx y＝cosx
y′＝ y′＝__co_s_x______ y′＝__－__si_n_x____
想一想
做一做 2.函数y＝x2在x＝6处的导数为________. 【答案】12
【名师点评】 对于基本初等函数的求导,直 接利用导数公式求导.但要注意把所给函数的 关系式转化成能够直接应用公式的基本函数 的形式,以免在求导时发生不必要的错误.

重难聚焦
1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1. 若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时 速度为1的匀速运动.
重难聚焦
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
3.2 导数的运算
-1-
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表-2-来自目标导航知识梳理
1.常数函数的导数 设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0. 名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0. 若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态.
再见
2019/11/23
知识梳理
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
些简单函数的导数了.
【做一做2】 函数y=x2在x=6处的导数为
.
答案:12
知识梳理
知识梳理
知识梳理
名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.

常数函数与幂函数的导数一、选择题1.函数错误！超链接引用无效。

的导数错误！超链接引用无效.（）A。

错误!超链接引用无效。

B.错误！超链接引用无效. C.错误！超链接引用无效。

D.错误！超链接引用无效.答案：D2。

已知函数错误!超链接引用无效。

在错误！超链接引用无效.处有极值,则该函数的一个递增区间是（）A.错误！超链接引用无效。

B。

错误!超链接引用无效。

C.错误！超链接引用无效。

D。

错误！超链接引用无效。

答案：B3.曲线错误！超链接引用无效。

在点错误！超链接引用无效。

处的切线与错误！超链接引用无效。

轴、直线错误!超链接引用无效.所围成的三角形的面积为( )A。

错误!超链接引用无效。

B.错误!超链接引用无效。

C。

错误！超链接引用无效。

D。

错误！超链接引用无效。

答案:C4。

设错误！超链接引用无效。

,则错误!超链接引用无效.的值等于( ）A.错误!超链接引用无效。

B。

错误！超链接引用无效。

C。

错误！超链接引用无效。

D。

错误!超链接引用无效。

答案：D5.若函数错误！超链接引用无效.在错误!超链接引用无效。

处的导数值与函数值互为相反数,则错误！超链接引用无效.的值（错误！超链接引用无效。

）A.等于0B.错误!超链接引用无效。

等于1 C。

等于错误！超链接引用无效。

D.不存在答案：C6。

定积分错误!超链接引用无效.的值等于( )A。

错误！超链接引用无效。

B.错误！超链接引用无效。

C。

错误！超链接引用无效。

D.错误！超链接引用无效。

答案:A7.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测，存款量与存款利率的平方错误!超链接引用无效。

成正比，比例系数为错误！超链接引用无效.，货款的利率为错误!超链接引用无效。

，假设银行吸收的存款能全部放贷出去。

若存款利率为错误！超链接引用无效。

,为使银行获得最大收益，则存款利率为（)A.0、032 B。

错误！超链接引用无效. C.0、04 D。

0、036答案：A8.若函数错误！超链接引用无效.的极值点为错误！超链接引用无效。

一、选择题1．下列结论中不正确的是() A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32B．若y＝1x，则y′|x＝2＝－22C．若y＝1x2·x，则y′|x＝1＝－52D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5【解析】由幂函数的求导公式易知B不对，【答案】 B2．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为() A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．(－12，－18)【解析】y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．【答案】 B3．曲线y＝cos x在点(4π3，－12)处的切线斜率是()A.12B．－12C.32D．－32【解析】∵y′＝(cos x)′＝－sin x，则k ＝－sin 4π3＝32. 【答案】 C4．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B.110523C.25523D.110523【解析】∴v ＝s ′|t ＝4＝15·4－45＝110523.【答案】 B5．设曲线y ＝ax 2在(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，∴在点(1，a )处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 由题意可得2a ＝2，∴a ＝1.故选A. 【答案】 A 二、填空题6．曲线y ＝x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________． 【解析】 设所求切线的切点为P (x 0，y 0)， 则切线的斜率为f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14. ∴切线方程为x －y －14＝0.【答案】x－y－14＝07．曲线y＝x2上过点(2,4)的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．【解析】∵y′＝2x，∴y′|x＝2＝4，∴过点(2,4)的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.令y＝0得切线在x轴上的截距为1，故所求面积为S＝12×(2－1)×4＝2.【答案】 28．(2013·重庆高二检测)设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．【解析】∵f′(1)＝n＋1，∴y＝x n＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x －1)＋1.令y＝0，得x n＝nn＋1，∴a n＝lg n－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2.【答案】－2三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝(1e)x；(2)y＝(110)x；(3)y＝lg 5；(4)y＝3lg 3 x；(5)y＝2cos2x2－1.【解】(1)y′＝[(1e)x]′＝(1e)x ln1e＝－1e x＝－e－x.(2)y′＝[(110)x]′＝(110)x ln110＝－ln 1010x＝－10－x ln 10.(3)∵y＝lg 5是常数函数，∴y′＝(lg 5)′＝0.(4)∵y＝3lg 3x＝lg x，∴y′＝(lg x)′＝1x ln 10.(5)∵y＝2cos2x2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.10．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程．(字母e是一个无理数，是自然对数的底数)【解】∵f′(x)＝1x，∴k l＝f′(e)＝1e.由题意知所求直线斜率为－e.∵点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，∴a＝ln e＝1.故所求直线方程为y－1＝－e(x－e)，即e x＋y－e2－1＝0.11．已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解】由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.。

k＝y′|x＝16＝ 3 4
＝38，
4 16
∴曲线的切线方程为 y－8＝38(x－16)
即 3x－8y＋16＝0.
第十九页，编辑于星期一：点 四十八分。
第二十页，编辑于星期一：点 四十八分。
[例 3] 求过曲线 y＝sinx 上的点 P4π， 22且与在这点 处的切线垂直的直线方程．
[解析] ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
第十六页，编辑于星期一：点 四十八分。
[例 2] [解析]
求双曲线 y＝1x在点(2，12)处的切线方程． ∵y′＝(1x)′＝－x12，点(2，12)在双曲线 y＝1x上，
∴双曲线 y＝1x在点(2，12)处的切线斜率为 y′|x＝2＝－212＝－
14，
由直线方程的点斜式，得切线方程为 y－12＝－14(x－2)，即 y
第二十三页，编辑于星期一：点 四十八分。
第二十四页，编辑于星期一：点 四十八分。
[例 4]
函数
y＝f(x)＝
1 的导数 x
f′(x)等于
(
)
1 A. x3
B．－21 x
1 C.2x [误解] B
D．－2
1 x3
[辨析] 对于(xa)′＝axa－1 公式记忆不清，( 1x)′＝(x －12)′＝－12x－12，没有在指数上减去 1.
第二十五页，编辑于星期一：点 四十八分。
[正解] ( 1x)′＝(x－21)′＝－12x－23＝－2 1x3，故选 D.
第二十六页，编辑于星期一：点 四十八分。
第二十七页，编辑于星期一：点 四十八分。
一、选择题 1．函数f(x)＝0的导数是 A．0 B．1 C．不存在 D．不确定 [答案] A [解析] 常数函数的导数为0.

§3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2A ．0B ．1C ．2D ．32．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2 B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4B ．－4C ．5D ．－54．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.6．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4. 二、能力提升8．若曲线y＝12x-在点(a，12a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A．64 B．32 C．16D．89．已知直线y＝kx是曲线y＝e x的切线，则实数k的值为()A.1e B．－1e C．－eD．e10．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.11．求与曲线y＝3x2在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 012(x)．答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．10ln 106．－347．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′ ＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝35x ⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝31535x -＝2535x -＝355x2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . 8．A 9．D 10．ln 2－111．解 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝23x -⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝1323x -，∴y ′|x ＝8＝23×138-＝13.即在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合题意的切线的斜率为－3. 从而适合题意的直线方程为 y －4＝－3(x －8)， 即3x ＋y －28＝0.12．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 02)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x .。

1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速 度为1的匀速运动.
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运 动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
题型一
题型二
题型一
题型二
反思基本初等函数求导的关键:①熟记导数公式表;②根式、分式 求导时,先将其转化为指数式的形式.
题型一
题型二
题型一
题型二
题型一
题型二
反思求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤: ①求切点处的导数即为切线的斜率; ②由直线方程的点斜式写出切线方程.
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一 些简单函数的导数了. 【做一做2】 函数y=x2在x=6处的导数为 . 答案:12
名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.
3.2
导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
1.常数函数的导数 设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0. 名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0. 若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态.

3．2.1 常数与幂函数的导数3．2.2 导数公式表1．会用导数的定义求函数的导数．(难点) 2．会利用导数公式表解决一些简单的问题．(重点)[基础·初探]教材整理 基本初等函数的导数公式阅读教材P 86～P 88例以上部分，完成下列问题． 基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝α·x α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(log 3π)′＝1πln 3.( )(2)若f (x )＝1x，则f ′(x )＝ln x ．( )(3)因为(sin x )′＝cos x ，所以(sin π)′＝cos π＝－1.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型]利用导数公式求函数的导数(1)已知函数f (x )＝x 2在点(x 0，y 0)处的导数为1，则x 0＋y 0＝________. (2)求下列函数的导数． ①y ＝x 20； ②y ＝1x4；③y ＝log 6x .【自主解答】 (1)由题意可知，f ′(x 0)＝1， 又f ′(x )＝2x ，所以2x 0＝1， 所以x 0＝12，y 0＝14，x 0＋y 0＝34.【答案】 34(2)①y ′＝(x 20)′＝20x 20－1＝20x 19.②y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5.③y ′＝(log 6x )′＝1x ln 6.用公式求函数导数的方法1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝1x4可以写成y ＝x －4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．[再练一题]1．求下列函数的导数． (1)y ＝e x；(2)y ＝10x；(3)y ＝lg x ；(4)y ＝x; 【导学号：25650109】(5)y ＝4x 3；(6)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.【解】 (1)y ′＝(e x )′＝e x. (2)y ′＝(10x)′＝10xln 10. (3)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (4)y ′＝(x )′＝1x ln12＝－1x ln 2.(5)y ′＝(4x 3)′＝(x)′＝34x＝344x.(6)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .求函数在某点处的导数(2)求函数y ＝ln x 在点P (5，ln 5)处的导数．【思路探究】 解答本题可先求出函数的导函数，再求导函数在相应点的函数值． 【解】 (1)∵y ＝a x ，∴y ′＝(a x )′＝a x·ln a ， 则y ′|x ＝3＝a 3·ln a .(2)∵y ＝ln x ，∴y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)若f (x )＝cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D.32【解析】 ∵f (x )＝cos x ， ∴f ′(x )＝－sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝－1. 【答案】 C(2)若f (x )＝x ，且f ′(a )＝14，则a ＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝12x ，∴12a ＝14，则a ＝4. 【答案】 4[探究共研型]导数公式的应用探究 n ＋1＋x n ，如何求x n 的值？【提示】 y ′＝(n ＋1)x n，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．【精彩点拨】 先求切线方程→求切线的横纵截距→利用面积公式列方程求a 【自主解答】 y ′＝－12x(x >0)，故在点(a ，a )处的切线的斜率k ＝－12a ，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，32a，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为∴a ＝64.切线方程、截距、面积的计算是对导数的几何意义、运算的综合运用，看清切点位置的同时构造方程是解题的关键．[再练一题]3．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程. 【导学号：25650110】【解】 由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，令x ＝2－x ，得f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8，即2f (x )－f (2－x )＝x 2＋4x －4，联立f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，得f (x )＝x 2， ∴f ′(x )＝2x ，f ′(2)＝4，即所求切线斜率为4， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.[构建·体系]1．给出下列命题： ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2x·ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意知①不对，y ′＝0.其余都正确． 【答案】 C 2．y ＝13x 2的导数为( )【解析】【答案】 D3．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)等于( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14【解析】 ∵f ′(x )＝－1x2，∴f ′(－2)＝－14.【答案】 D4．曲线y ＝－sin x 在点⎝⎛⎭⎪⎫π3，－32处的切线方程为________.【导学号：25650111】【解析】切线方程为y ＋32＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即x ＋2y ＋3－π3＝0.【答案】 x ＋2y ＋3－π3＝05．已知曲线y ＝1x3在点P (－1，－1)处的切线与直线m 平行且距离等于10，求直线m的方程．【解】 因为y ′＝－3x4，所以曲线在点P (－1，－1)处的切线斜率为k ＝－3， 则切线方程为y ＋1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋4＝0.设直线m 的方程为3x ＋y ＋b ＝0(b ≠4)， 所以|b －4|32＋12＝10，所以|b －4|＝10，所以b ＝14或b ＝－6，所以直线m 的方程为3x ＋y ＋14＝0或3x ＋y －6＝0.。

|xn | ⩽ M ．
函数极限 函数极限可以分成 x → x0 , x → +∞, x → −∞ 三种．
x → x0 : 设函数 f (x) 在点 x 0 的某一去心邻域，即 (x 0 − δ, x 0 ) ∪ (x 0 , x 0 + δ)(δ > 0) 内有定义，如果存在常数 A ，对于任意给 δ 0 < |x − | < δ f (x)
n→+∞
1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( − ) + ( − ) + ( − )+⋯+ ( − )] 4 1 5 5 9 9 13 4n − 7 4n − 3 1 1 = lim (1 − ) n→+∞ 4 4n − 3 1 = . 4
（3）由
S n = 2n2 − n ，得 S1 +
Sn = 2n − 1 ．所以 n S2 S S + 3 + ⋯ + n = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2 . 2 3 n
Δx→0 Δx→0
设函数 f (x) 在 x = x0 处可导，且 f ′ (x 0 ) = 2，求下列各极限的值.
f (x0 − Δx) − f (x0 ) ； Δx f ( x 0 + 2k ) − f ( x 0 ) （2） lim ． k→0 k
（1） lim
Δx→0
解：（1）
原式 = lim
Δx→0 Δx→0
Δx 2 + 3Δx Δx→0 Δx = lim (Δx + 3) = 3.
Δx→0
因此，抛物线在点 (1, 0) 的切线方程为 y − 0 = 3(x − 1)，即 y = 3x − 3．

第三章 3.2 第1课时一、选择题1．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0[答案] A[解析] ∵y ′＝12x ，y ′|x ＝2＝12×2＝1，∴抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线斜率为1，方程为x －y －1＝0.2．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．12[答案] D[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.3．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32[答案] A[解析] y ′＝cos x ，y ′|x ＝π3＝cos π3＝12.4．下列说法正确的是( )A ．若函数f ′(x )＝1，则f (x )表达式一定为f (x )＝xB ．函数f (x )＝x 2图象上任意一点的切线的斜率均大于零C ．函数f (x )＝1x图象上存在切线斜率为零的点D ．函数f (x )定义域为R ，且f ′(x )＝0，则函数f (x )为偶函数 [答案] D[解析] 若f ′(x )＝1，则f (x )＝x ＋C (C 是常数)，故A 错．因为f (x )＝x 2的导数f ′(x )＝2x ，故B 错．函数f (x )＝1x 的导数f ′(x )＝－1x 2，故切线斜率不可能为0，故C 错．因为函数f (x )的导数f ′(x )＝0，故f (x )＝C (C 为常数)，且定义域是R ，故f (x )＝C 是偶函数，D 正确．5．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0 D.12[答案] C[解析] 常数函数的导数为0.6．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．(12，2)B ．(12，2)或(－12，－2)C ．(－12，－2)D ．(12，－2)[答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵y ′＝－1x 2，∴－1x 20＝4，∴x 20＝14，∴x 0＝±12. ∴点P 的坐标为(12，2)或(－12，－2)．二、填空题7．(2015·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.[答案] 8[解析] 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x －1，与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，显然a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8.8．函数f (x )＝5x 3，则f ′(x )＝________. [答案] 35x －25[解析] ∵f (x )＝5x 3＝x 35，∴f ′(x )＝35x －25 .三、解答题9．求曲线y ＝ln x 在x ＝e 2处的切线方程． [解析] ∵y ＝ln x ，y ′＝1x，∴y ′|x ＝e2＝1e 2，∴在(e 2,2)处的切线方程为y －2＝1e2(x －e 2)，即x －e 2y ＋e 2＝0.一、选择题1．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不能确定[答案] B[解析] 设切点为(x 0，x 30)，由(x 3)′＝3x 2得在(x 0，x 30)处的切线斜率为3x 20，由3x 20＝1得x 0＝±33，故切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，所以有2条．2．正弦函数y ＝sin x 上切线斜率等于12的点为( )A ．(π3，32)B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z )D ．(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z )[答案] D[解析] 由(sin x )′＝cos x ＝12得x ＝2k π－π3或x ＝2k π＋π3(k ∈Z )．所以切点坐标为(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z )．3．给出下列函数(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′； (2)y ＝(sin x )′＋cos x ； (3)y ＝sin x ＋(cos x )′； (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′. 其中值域不是[－2，2]的函数有多少个( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] (1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′ ＝cos x －sin x ∈[－2，2]．(2)y ＝(sin x )′＋cos x ＝2cos x ∈[－2,2]． (3)y ＝sin x ＋(cos x )′＝sin x －sin x ＝0. (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′＝cos x ·(－sin x ) ＝－12sin2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 4．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A.12 B ．－12C.1e D ．－1e[答案] C[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e .二、填空题5．已知f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0＝________. [答案] ±2[解析] ∵f (x )＝x 3，∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(x 0)＝3x 20＝6， ∴x 20＝2，∴x 0＝±2.6．已知P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P 、Q 的横坐标分别为4、－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．[答案] －4[解析] 因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，易知P (4,8)，Q (－2,2)，所以在P 、Q 两点处切线的斜率的值分别为4和－2.所以这两条切线的方程为l 1：4x －y －8＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0. 将这两个方程联立成方程组求得y ＝－4. 三、解答题7．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)的切线方程．[解析] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，∴k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)，化简得63x －12y ＋6－3π＝0.8．求抛物线y ＝14x 2过点(4，74)的切线方程．[解析] ∵点⎝⎛⎭⎫4，74不在抛物线y ＝14x 2上， ∴设切点为(x 0，y 0)，由题意，得切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，切线方程为y －74＝12x 0(x －4)，又点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0－74＝12x 0(x 0－4)，又点(x 0，y 0)又在抛物线y ＝14x 2上，∴y 0＝14x 20，∴14x 20－74＝12x 20－2x 0，解得x 0＝1或7， ∴切点为⎝⎛⎭⎫1，14或⎝⎛⎭⎫7，494， 所求的切线方程为：2x －4y －1＝0或14x －4y －49＝0.9．设点P 是y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最短距离．[解析] 根据题意得，平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切的切点为P ，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线y ＝e x 上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(e x)′＝e x，∴由题意得e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22.。

3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表自我小测1．下列命题正确的是( )A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x )′＝3xD ．(3x )′＝3xln 3 2．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2 D.123．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32 4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )5．函数f (x )＝5x 3，则f ′(x )＝__________.6．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________．7．设点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最短距离． 8．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，a 在曲线y ＝cos x 上，直线l 是以点P 为切点的切线． (1)求a 的值；(2)求过点P 与直线l 垂直的直线方程．参考答案1. 答案：D2. 解析：因为y ′＝1x ，所以y ′|x ＝2＝12， 故图象在x ＝2处的切线斜率为12. 答案：D3. 解析：y ′＝cos x ，y ′|x ＝π3＝cos π3＝12. 答案：A4. 解析：观察可知偶函数的导函数是奇函数，由f (－x )＝f (x )知f (x )为偶函数，故g (x )为奇函数，从而g (－x )＝－g (x )．答案：D5. 解析：因为f (x )＝5x 3＝35x ，所以f ′(x )＝3525x -. 答案：3525x - 6. 解析：因为曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0)，所以y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1，所求切线方程为y ＝x －1.答案：y ＝x －17. 解：根据题意，设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切的切点为P ，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线y ＝e x 上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P (x 0，y 0)，因为y ′＝(e x )′＝e x，所以由题意得e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22. 8. 分析：(1)点P 在曲线上，将其坐标代入曲线方程即可求得a ；(2)利用导数先求直线l 的斜率，即可得到所求直线的斜率，然后用点斜式写出所求直线方程．解：(1)因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，a 在曲线y ＝cos x 上， 所以a ＝cos π3＝12. (2)因为y ′＝－sin x ，所以k l ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 又因为所求直线与直线l 垂直，所以所求直线的斜率为－1k l ＝233， 所以所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝233x －23π9＋12.。

y′＝
7
y＝lnx
y′＝
8
y＝sinx
y′＝cos_x
9
y＝cosx
y′＝－sin_x
思考1常数函数y＝C的导数的几何意义和物理意义是什么？
提示：y′＝0表示函数y＝C图象上每一点的切线的斜率都为0；若y＝C表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
思考2函数y＝x的导数的几何意义和物理意义分别是指什么？
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能根据导数的定义，求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝ 的导数．
2．掌握基本初等函数的导数公式．
3．能应用基本初等函数的导数解决有关问题.
基本初等函数的导数
(1)几个常用函数的导数：
函数
导数
函数Байду номын сангаас
导数
y＝f(x)＝C
C′＝0
y＝f(x)＝x
x′＝1
y＝f(x)＝x2
(x2)′＝2x
提示：y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线斜率都为1，任一点处的切线都是函数图象本身；若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
y＝f(x)＝ (x≠0)
′＝－
(2)基本初等函数的导数公式：
序号
y＝f(x)
y′＝f′(x)
1
y＝C
y′＝0
2
y＝xn
y′＝nxn－1，n为自然数
3
y＝xμ(x＞0，μ≠0)
y′＝μxμ－1，μ为有理数
4
y＝ax(a＞0，a≠1)
y′＝axln_a
5
y＝ex
y′＝ex

(5)y′＝(4 x3)′＝(x34)′＝34x－14＝
3 4
.
4x
(6)∵y＝(sin2x＋cos2x)2－1
＝sin22x＋2sin2xcos2x＋cos22x－1＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
求函数在某点处的导数
(1)求函数 y＝ax 在点 P(3，f(3))处的导数； (2)求函数 y＝ln x 在点 P(5，ln 5)处的导数． 【思路探究】 解答本题可先求出函数的导函数，再求 导函数在相应点的函数值． 【自主解答】 (1)∵y＝ax，∴y′＝(ax)′＝ax·ln a， 则 y′|x＝3＝a3·ln a. (2)∵y＝ln x，∴y′＝(ln x)′＝1x， 则 y′|x＝5＝15.
即 4x－y－4＝0.
因求导公式不熟而出错 给出下列结论： ①(cos x)′＝sin x；②(sin π4)′＝cos π4； ③若 y＝x12，则 y′＝－1x；④(－ 1x)′＝2x1 x. 其中正确的有________． 【错解】 通过导数的基本公式与计算，只有①④正确． 【答案】 ①④
【错因分析】 对于教材中出现的八个基本初等函数的 导数公式，要在解题过程中应用自如，必须做到以下两点： 一是理解，如 sin π4＝ 22′＝cos π4这样的错误结果；二是准确记忆．
(－
1x)′＝(－x－12)′＝12＝2x1
，所以④正确． x
【答案】 ④
1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导．
2．导数公式表中(ax)′＝axln a 与(logax)′＝
1 xln
a较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们
之间的差异去记忆．
3．直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的