数理方程定解问题

当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。

此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。

2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。

例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。

数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。

下篇 数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数Chapter 9 数学物理方程的定解问题Abstracts: 1. 根据物理问题导出多变量数理方程—偏微分方程；2. 给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)和周期条件等，从而与数理方程一起构成定解问题；3. 数理方程的线性性导致解的叠加原理;4. 非齐次方程的齐次化方案。

一、 数理方程的来源（状态描述、变化规律）1. 翻译I ．Classical Newton Mechanics [质点力学(,)mr F r t =](Newton)，连续体力学2222()()(,)(,)0(31D (,)[(,)(,)]0;v(,)(,)[(,)](,)(,)(Euler eq.).(,)u r t a u r t t r t r t v r t t r t p r t v r t v r t f r t t r t ρρρ⎧⎧∂⎪⎪-∇=+⎨⎪∂⎪⎪⎩⎪∂⎪+∇⋅=⎨∂⎪∂+⋅∇==∂⎩弹性定律基本方程弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量（流）守恒律：热力学物态方程：⎪⎪⎪⎪II.Electrodynamic Mechanics (Maxwell equations) ;;00;().,,(,)D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ⎧⋅=⇒∇⋅=⋅=⋅⇒∇⨯=⎪⎪⎪⋅=⇒∇⋅=⋅=+⋅⇒∇⨯=+⎨⎪=-∇=∇⨯⎪⇒⇒⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d 满足波动方程。

Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。

III. Statistic Mechanics (Boltzmann-Gibbs statistics):220;0.T k T t D t ρρ∂⎧-∇=⎪⎪∂⎨∂⎪-∇=⎪∂⎩热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ∂=∂）:20ρ∇= (Laplace equation). IV . Quantum Mechanics: Schr dinger ’s equation (Schr dinger, Heisenberg, Dirac, Fermi, Einstein)22.2u i u Vu t m∂=-∇+∂二、 数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：(1) 定变量：找出能够表征物理过程的物理量作为未知数（特征量,科学思维上设为已知），并确定影响未知函数的自变量。