数理方程典型方程与定解条件
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第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
温 度 分 布 满 足2u F f k
特 别 ， 如 果 f0,则2u 0
位 势 (Poisson)方 程 Laplace 方程
☆ 三种典型的数学物理方程
方程类型 方程形式
典型例子
弦振动方程
2u t 2
a2
2u x2
波动方程
2u t 2
a22u
膜的横振动方程
2u t 2
a2
(
2u x2
2u y2
我 们 就 称 其 为 齐 次 边 界 条 件 ， 反 之 ， 称 非 齐 次 的 。
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。
(1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
其中： u (x x d x ,t) u (x x ,t) x u (x x ,t) d x 2 u ( x x 2 ,t)d x
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu2(x,t)
2u(x,t)
g
x2
t2
令： a 2 T
运动时，弦上各点的运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀的，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；
(3)热交换状态
(或u f) ns
第二类边界条件
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
第一章 典型方程与定解条件
初始条件 边界条件
第一章 典型方程和定解条件的推导
如果薄膜上有横向外力作用，设外力面密度为 F ( x, y, t ) ，则得 2u 2 a 2 u f ( x, y , t ) 2 t 其中 f ( x, y , t ) F ( x, y , t ) ， 2 2 为二维拉普拉斯算子。 2 2 2 x y
第一章 典型方程和定解条件的推导
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量 为 x , y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考 察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同 一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导 方程 2 u u 2 a t x 2 类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
例5 静电场的势方程
x
y
z
静电学基本定律：穿过闭合曲面向外的电通量等于区
故 4E 倍，即 域内所含电量的 dV 4 dV div
即
E n dS 4 ( x , y , z ) dV divE 4 ( x, y, z )
第一章 典型方程和定解条件的推导
例 4. 热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。
考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表 示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过 对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建 立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体 的热传导系数为常数，即是各向同性 的，物体的密度以及比热是常数。
第一章 典型方程和定解条件的推导
第3章经典方程的建立和定解条件
t
的已知函数，H 为常系数．
9.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件
1 初始条件 热传导方程的初始条件一般为
u( x, y, z,0) ( x, y, z)
2 边界条件
（9.2.6）
第一类: 已知任意时刻 t (t 0) 边界面 上的温度分布
u ( x, y, z, t ) | f (, t )
x l ,在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
h
u
，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有
h
l x
ut ( x, t ) |t 0 ut ( x, 0) 0
初始位移如图所示
h x (0 x l ) b u ( x, 0) h (l x) (b x L) l b
(9.2.7)
直接给出函数u 在边界上的数值,所以是第一类边界条件.
2. 第二类
已知任意时刻 t (t 0) 从外部通过边界流入物体内的热量。
设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为 (, t ) 考虑物体内以边界上面积元 dS 为底的一个小圆柱体，
.
如图9.10所示. 物体内部通过 dS 流入小柱体的热量为
从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象， 但可以用同一类方程来描述.
9.3 数学建模——稳定场方程类型的建立 9.3.1 数学建模——稳定场方程类型的建立 1 静电场的电势方程
直角坐标系中泊松方程为
2U 2U 2U x 2 y 2 z 2 0
(9.3.1)
9.4.1 定解条件和定解问题的提法 边界条件的类型 除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边界条件之 外，还有其它边界条件，如自然边界条件，衔接条件, 周期性条件和无边界条件．
定解条件
衔接条件：
在研究区域中出现跳变点，两边不同，两边各写
方程再加上衔接条件。
小结：
(1)边界条件是给出系统与外界“环境”的关系 问题，把握边界的含义，区分边界条件与泛定 方程中的条件； (2)边界条件的多样性与确定性，以及分类问题。 (3)无边界条件与衔接条件的问题。
定解问题的整体性与适定性
1、整体性：必须同时考虑偏微分方程和定解条 件加以联合求解(有特例)；一般不能先求通解再 由定解条件求特解； 2、适定性：表现在三个方面：
u(x，t) x0 N0
u(x，t) xl
N0
第二类(Neumann边界条件)：
u n
边界x0，y0，z0
f
(x0，y0，z0，t)
给出未知函数在边界外法线方向上的方向导数。 例：1、杆作纵振动，x=0或x=l端受沿法线方向的 外力f(t)
(Eun ) x0 S (Eux ) x0 S f (t)
ES
u x
x0
F0
ES u n
xl
ES u x
xl
F0
2、热传导：已知x=l端的热流f(t)
(流出为正，流入为负，这里自身取正值)
kun
xl
f
(t)
un
xl
1 k
f
(t)
若为绝热
ux (x，t) xl 0
3、扩散问题： “限定源”(即只是表层已有的杂
质向硅片深部扩散)
ux (x，t) x0 0 ux (x，t) xl 0 第三类(Robin边界条件)：
(Eun ) xl S
(Eux )
S
xl
f
(t)
对于自由端 f (t) 0，则 ux(x，t) xl 0 注：杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的物理
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•通过合理的数学近似对方程进行化简
数学物理方程定解问题的提法
泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）
定解问题：
定解条件（初始条件，边界条件）
6
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。 不受外力影响。
10
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
11
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
波的传播的相关模拟
12
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
13
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
2u( x, t ) t 2
令：a 2
T
忽略重力作用：
2u t 2
a2
2u x2
--齐次方程
2u t 2
a2
2u x2
g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
15
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
7
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
8
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
9
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
弦振动的相关模拟
第1章 典型方程和定解条件的推导
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H
v Jc
v
v D t
v E
B
v t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0, v 0
D E
B H
H
E
E
t
H
t
E 0
H 0
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上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t
H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
gds
sin tan u(x,t)
x
T
x
x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
m ds
T
T T'
u(x dx,t) x
x
u ( x, t ) x
gds
其中：
ma
a
2u( x, t ) t 2
ds dx
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上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
2
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
贝塞尔函数 勒让德函数
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
微积分知识回顾
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
5
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
常见数学物理方程的导出
•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度
•根据物理规律建立微分方程
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有
热量从高温处流向低温处。
所要研究的物理量： 温度 u(x, y, z,t)
S nv
根据热学中的傅立叶试验定律
M V
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S
热场
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
iˆ ˆj kˆ x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
拉普拉斯算子 2 2 2 2
x2 y2 z 2
平面上的拉普拉斯算子 2u 2u 2u
x2 y 2
常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、 二阶线性方程
第1章 典型方程和定解条件的推导
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
(2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
y
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma
M'
ds
T'
'
M
其中：cos 1 cos ' 1
☆拉普拉斯方程： 2u 0 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
两种特殊函数
贝塞尔方程 x2 y xy (x2 n2 ) y 0 的解：贝塞尔函数 Jn (x)
勒让德方程 (1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0的解：勒让德函数 Pn (x)
4
上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、 余弦级数
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上午6时38分
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
三类偏微分方程
☆波动方程： 2u a 2 2u
t 2
琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等
☆热传导方程：u a22u
t
热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
H
( E)
t
根据矢量运算：
r
r
r
H ( H ) 2H
H 0
r
r 由此得： 2 H
(
H )
即：
t t
2
H
2
H
t 2
2H t 2
1
(
2H x 2
2H y 2
2H z 2
)
——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t 2
1
2E
——电场的三维波动方程
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数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
汤燕斌 华中科技大学数学与统计学院 tangyb@
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数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
n
从时刻t1到t2通过S流入V的热量为
T
u(x dx, x
t
)
u ( x, t ) x
gds
ma
T
u(x dx, x
t)
u( x, t ) x
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2