数理方程第一讲 定解问题1-1

的值，即
u f , n
(1.3.10)
其中n表示 的外法线方向。式(1.3.10)称为第二类边界条 件，又称诺伊曼(Neumann)边界条件。
在边界 上给出未知函数u及其沿 的外法线方
向导数的某一线性组合的值，即
u n
u
f
(1.3.11)
式(1.3.11)称为第三类边界条件，又称罗宾(Robin)边
界条件或称混合边界条件。需要注意的是上述边界
条件右端项f 都是定义在 边界上的已知函数。
对于拉普拉斯方程及泊松方程，也有上述三种边界 条件，只是由于它与时间变量t无关，式(1.3.9)， (1.3.10)，(1.3.11)右端函数f 不含t。
边界条件举例
典型线性边界条件
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
为常数
c
u t
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
.
令 a2 k c
，则方程(1.2.6)化为
u t
a2
2u x2
2u y2
2u z 2
a2u.
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则
有热源的热传导方程为
ut a2u f (x, y, z, t). (1.2.8)
第一章 典型方程和定解条件的推导
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
uzz
)
0
(u u) f ( x, y, z, t )
恒→能量守恒，扩散定律→ 热传导定律
方程：ut = D uxx+ F 标准方程：ut = a2 uxx+ F
推广3 情况：三维情况
分析：温度u成为空间变量x,y,z和 时间t的函数
方程：
cut(x, y,z，t) k(uxx uyy uzz)
cut(rv,t) ku ut(rv,t) a2u
三、稳定场方程
x
x
tt
由微分中值定理得
Tu (x x,t)x F(x,t)x u x0, 1.
xx
tt
消去x, 并取x 0极限得
Tu (x,t) F(x,t) u ,
xx
tt
即
u tt
a2u xx
f
( x, t ),
0 x L,t
0,
推广: 三维情况--位移u成为空间变量x,y,z 和时间t的函数, 忽略外力作用, 此时方 程
（Gauss）公式得
由于时间间隔[t1,t2]及区域V是任意的，且被 积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内
任意一点都有
t2 t1
V
c
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u t
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
dvdt
0.
(1.2.6)
方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传
导方程，如果物体是均匀的，此时k, c及ρ均
故当 u 0 时，
n
向-n方向流去。
热量实际上是
根据热量守恒定律，有
Q2 Q1
即
V
c[u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )]dv
t2 t1
k udSdt S n
假设函数u(x, y, z, t)关于x, y, z具有二阶连续偏导 数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯
u |x0 0, 或：u(a,t) 0
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力
的 (3)作弹用性,支其承为端：：T在xux=ax端a 受0到，弹性ux系x数a 为0，k u的x(弹a,簧t) 的 0
支承, 其为:
T
u x
xa
k
u
xa
或
u x
u
xa
0
B、热传导方程的边界条件
(1) 给定温度在边界上的值
定解问题的分类
初值问题(Cauchy Problem)：无边界条件（环 境对问题的影响可以忽略不计）
边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可 以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem)
S
k1
k
第三类边界条件
概况起来，无论对弦振动问题，还是热传导问题，它 们所对应当边界条件从数学的角度看有如下三种类型：
(1)在边界上直接给出未知函数u的值，即
u f.
(1.3.9)
式(1.3.9)称为第一类边界条件，又称狄利克雷(Dirichlet) 边界条件。
(2)在边界上给出未知函数u沿边界的外法线方向
2u x2
2u y2
2u z2
0
,
二阶线性齐次偏微分方程
第三节 三类典型方程的导出
一、 波动方程 均匀弦的微小横振动方程 推广
二、热传导方程 热传导方程 推广
三、 稳定场方程
一、 波动方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软有弹性的细弦，受初始小扰动在平 衡位置附近做振幅极小的横振动。不受外力影响。 研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(
x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M,t)|t0(M) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件
描述稳恒状态的, 与时间无关, 所以不提初始条件 只含边界条件
混合问题：同时有边界条件和初始条件。
第一章 典型方程和定解条件的推导
➢包含初值条件的定解问题称为初边值问题 （Cauchy 问题）
utt u |t0
a2uxx
(x)
0
ut |t0 (x)
( x ,t 0) ( x )
弦振动的Cauchy问题
uut|t0a2ux(xx) 0
( x ,t 0) ( x )
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T T'
其中： m ds
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t)
gds
ma
2u( x, t ) a t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
u( x, t ) x
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
utt(x, y,z，t) T(uxx uyy uzz)
utt(rv,t) Tu utt(rv,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内 部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律, 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面 积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以及 物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导数
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma y
其中：cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
需的热量为
Q2
V
c[u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )]dv
t2 t1
V
c u dvdt
t
其中k=k(x, y, z)是物体在M(x, y, z)处
的热传导系数，取正值。我们规定
外法线方向n所指的那一侧为dS的正
侧。上式中负号的出现是由于热量
由温度高的地方流向温度低的地方。
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
T
u2(x,t) x2
g
dx
2u(x,t) t2
dx
T
u 2 ( x, t ) x2
g
2u(x,t) t 2
令：a 2
T
2u t 2
a2
按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一 阶、二阶和高阶微分方程。
微分方程的基本概念例题
ut 4uxx 5x , 二阶线性非齐次偏微分方程 y" pyqy0 , 二阶线性齐次常微分方程
y'a22y xln x , 一阶线性非齐次常微分方程
utt 4uxx 5 f (x,t) , 二阶线性非齐次偏微分方程 3yy" xy'2y2 x2 , 二阶非线性非齐次常微分方程
当研究物理中各种现象(如振动、 热传导、扩散)的稳定过程时,
由于表示该过程的物理量u不随 时间t而变化, 因此 ut=0.
无外界作用情况拉普拉斯方程：
Δu = utt + uyy + uzz = 0
有外界作用情况泊松方程：
Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式
分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分 方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分 方程和非线性微分方程；线性微分方程按未 知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程，按自由项是否为零分为 齐次方程和非齐次方程；
u |s f S——给定区域v 的边界 第一类边界条件
(2) 绝热状态 (3)热交换状态
u n
s
0
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流
到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。
dQ
k1(u
u1)dSdt
k
u n
dSdt
k1交换系数；u1周围介质的温度
u n
u
S
u1
2.边界条件
意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ：
按条件中未知函数及其导数的次数分为线性 边界条件和非线性边界条件；
线性边界条件中，按给出的是函数值或导数 值分为第一、二、三类边界条件；
按所给数值是否为零分为齐次边界条件和非 齐次边界条件。
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
第四节、定解条件与定解问题
定解条件
初始条件 边界条件 定解问题 初值问题 边值问题 混合问题
定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。
初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。
边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
u2 x2
g………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u t 2
a2
u2 x2
------齐次方程
t 设作用在该弧段上的外力密度函数为 F(x,t) ，那
末该弧段 M¼M 在时刻 t所受沿轴方向的外力近
似地等于 F(x,t)x. ，于是纵向方程为
T(u (x x,t) u (x,t)) F(x,t)x u x,
其中 f F . c
推广1
情况：当考虑的问题是一根均 匀细杆, 如果它的侧面绝热且 在同一截面上的温度分布相同,
那么温度u只与x,t有关
方程：c ρut = k uxx+ F ut = a2 uxx+ f，f=F/(cρ)
推广2 情况：扩散问题
分析：浓度→温度u，扩散系 数D→热传导系数k，质量守
三者成正比, 即
dQ k u dSdt, n
对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间
t 区域为V，那么从时刻t1到时刻 2经曲面S流出的热
量为
Q1
t2 t1
S
k udSdt n
设物体的比热为c(x, y, z)，密度为ρ(x, y, z)，则在
区域V内，温度由u(x, y, z, t1)变化到u(x, y, z, t2)所
数学物理方程
☆ 数学和物理的关系
数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程定义
用数学方程来描述一定的物理现象。
☆ 课程的内容
三个方程: 波动方程、热传导、拉普拉斯方程
四种方法: 分离变量法、行波法、积分变换法、
格林函数法
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
一维热传导
恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端 ux|x=0 = F/k
定解问题 定解问题的组成
定解条件：描述具体对象的特殊性。 泛定方程：反映同一类现象的普遍性；