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《数理方程》课程介绍
一、本课程的性质与任务：
《数理方程》是理科很多专业的必修课以及相关专业的选修课。
数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
它是一门发展相当迅速的学科，不仅有广泛的应用，同时又与数学的其它各个分支有密切的联系，是数学理论与实际问题之间的一个桥梁。
本课程重点讲授一些经典的知识，同时兼顾新近发展的有着广泛应用的有关知识。
使学生了解到数学物理方程的某些应用背景，扩大学生的数学知识面，初步具备了解决数理方程定解问题的能力。
对培养学生的逻辑推理能力起着很大的作用。
本课程主要讲述经典的弦振动、热传导、Laplace方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的D`Alembert解法、分离变量法，积分变换法及极坐标系下的分离变量法等。
二、课程内容、学时与教学方式：
内容： 1) 绪论；
2) 分离变量法；
3)行波法与积分变换法；
4) 变分法初步与Green函数。
学时：40
教学方式：课堂讲授
三、教材：
数理物理方程与特殊函数》（第二版），南京工学院数学教研组著，北京：高等教育出版社，1997年。
四、开课范围：
力学、物理、数学等理科专业本科生。
五、预备知识：
高等数学、常微分方程。
第五章 Bessel 函数5．2 基础训练5.2.1例题分析例1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量：2()0tt xx yy u a u u -+=（1）解 先把时间变量t 分离出来，令)(),(),,(t T U t u ϕρϕρ=，代入方程（1）22(,)''()(,)()0U T t a U T t ρϕρϕ-∇=两边同乘以21a UT并移项得 22''T Ua T U∇=上式左边仅是t 的函数；右边是ρ,t 的函数。
若要使等式成立，两边应为同一个常数，记为2k -，则有22''0T a k T +=(2)220U k U ∇+=(3)（3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为：22110U U U k U ρρρϕϕρρ+++=进一步分离变量，令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，代入上式得2211'''''0R R R k R ρρΦ+Φ+Φ+Φ=两边同乘以2R ρΦ，并整理得222'''''R R k RRρρρΦ=+=-Φ同上讨论，等式两边应为同一常数，记为2m ，则有2''0m Φ+Φ=(4)2222'''()0R R k m R ρρρ++-=(5)对（5）式作代数变换x k ρ=后变为贝塞尔方程222'''()0x R xR x m R ++-=(6)其通解是()()()m m R AJ k BY k ρρρ=+ 其中,,m m A B J Y 为任意常数和为第一类和第二类Bessel 函数。
由周期条件，方程（4）的解为()c o s s i n 0,1,2m m m A mB m mϕϕΦ=+= 由波动问题及解在0ρ→有限的条件，方程（2）的解为cos sin n n n n n T C k at D k at =+例2 用()J x ν的级数表达式证明：（1） x x x J cos 2)(21π=-； （2） x x d x J sin cos )cos (200=⎰πθθθ证明：（1） 因为20(1)()()!(1)2k k v v k xJ x k k v ∞+=-=Γ++∑， 所以12221002220(1)()())122!(1)2k k kk k k kk k x x J x k k ∞∞--==∞∞==-==Γ-+==∑2k k k x ∞∞=====（2）2212202000(1)(cos )cos ()cos (!)2k kk k x J x d d k ππθθθθθ∞+=-=∑⎰⎰222200(1)(2)!!(1)2!sin ()()(!)2(21)!!(!)2(21)!!k k k k k k k x k x k xk k k k x ∞∞==--===++∑∑ 例3 利用Bessel 函数的递推公式： (1) 将)(3x J 用)(0x J 及)(1x J 表出；(2) 证明 )]()(2)([41)(''2''''2''x J x J x J x J n n n n +-+-=.(3) 证明 )]()([2)]([21212x J x J v xx J dx d v v v +--=.(4) 证明 )]()([)]()([212010x J x J x x J x xJ dxd -=.(5) 证明 ⎰+-=C x x xJ x x xJ xdx x J cos )(sin )(sin )(100. (1) 解 由 )()(2)(11x J xx mJ x J m m m -+-=得 )()(2)(012x J xx J x J -=021********()4()4()84()()8()(1)()()J x J x J x J x J x J x J x J x x x x x x=-=--=-- (2) 证明：由'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得''''1122221()[()()]21111{[()()][()()]}[()2()()]2224m m m m m m m m m m J x J x J x J x J x J x J x J x J x J x -+-+-+=-=---=-+ (3) 证明： 由11()[()()2v v v x J x J x J x v +-=+,'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得 '22112()()[()()]2v v v v xJ x J x J x J x v-+=-即22211[()][()()]2v v v d xJ x J x J x d v-+=- (4) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：01011011002201()()[()()]()()()()()()[()()]dJ x dJ x dxJ x J x xJ x xJ x d dx dxJ x xJ x J x xJ x x J x J x =+=-+=-(5) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：001001001001()sin ()sin [()cos ()sin ]()sin ()cos ()cos ()sin ()cos [()cos ()cos ]()sin ()cos Jx xdx xJ x x x J x x J x x dxxJ x x xJ x xdx xJ x d xxJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x x C=--=--=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4 计算⎰dx ax J x )(03。
傅里叶级数的定义及应用傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数和正弦函数之和的数学工具。
它在信号处理、图像处理和电子通信等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数的定义及其在实际中的应用。
第一部分：傅里叶级数的定义傅里叶级数是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的。
它将周期函数表示为无穷级数的形式，其中每一项为三角函数或正弦函数的乘积。
一个周期为T的函数f(t)可以表示为以下无穷级数的形式：f(t) = a₀ + Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))在公式中，a₀是常数项，aₙ和bₙ是系数，n是正整数，ω₀是基波角频率。
根据傅里叶级数的定义，周期函数f(t)可以通过确定其系数来表示。
系数的计算可以通过将函数f(t)与三角函数进行内积运算来实现。
这种数学上的运算使得我们能够将任意周期函数表示为一系列简单的三角函数的和，从而更好地理解和分析函数的特性。
第二部分：傅里叶级数在信号处理中的应用傅里叶级数在信号处理中有着广泛的应用。
信号处理是指对信号进行分析、合成、编码和解码的过程，傅里叶级数为信号处理提供了有效的工具。
首先，傅里叶级数可以将时域信号转换为频域信号。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以将信号的频谱表示出来，了解信号在不同频率下的成分情况。
这对于音频信号的合成、滤波、去噪等处理非常有用。
其次，傅里叶级数在通信系统中起着重要的作用。
在数字通信中，信号需要经过调制、解调等处理。
傅里叶级数可以帮助我们理解信道传输中的信号畸变情况，从而对传输信号进行补偿和恢复。
此外，傅里叶级数还广泛应用于图像处理领域。
图像可以看作是由像素点组成的二维数组，每个像素点的灰度值可以用一个周期为1的函数表示。
通过对图像进行傅里叶级数分析，我们可以提取图像中的频域特征，如边缘、纹理等。
这对于图像压缩、增强和恢复等处理具有重要意义。
第三部分：傅里叶级数在其他领域的应用除了信号处理领域，傅里叶级数还在许多其他领域有着广泛的应用。
傅里叶级数理论与应用傅里叶级数是数学中重要的理论之一，它是数学分析领域中的一种拓展和广义化的方法。
通过傅里叶级数理论，我们可以将任意周期函数分解成谐波的叠加，这为信号处理、物理学、工程学等领域提供了强大的工具。
本文将介绍傅里叶级数的基本概念、理论原理以及在应用中的具体情况。
傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是20世纪初法国数学家傅里叶提出的一种数学方法，用来描述一个周期函数在一定时间内的周期性。
在傅里叶级数中，一个任意周期函数可以表示为无穷级数的形式，即：$$ f(t) = a_0 + \\sum_{n=1}^{\\infty} [a_n \\cos(n \\omega t) + b_n \\sin(n\\omega t)] $$其中，a0,a n,b n是系数，$\\omega$是基本频率，t表示时间。
这个公式说明了一个周期函数f(t)可以由一组谐波的叠加来表示。
傅里叶级数的理论原理傅里叶级数的理论原理是基于正弦、余弦函数的基础上，通过系数的确定来描述一个周期函数的振动情况。
在傅里叶级数中，系数a0,a n,b n的求解是傅里叶分析的核心问题。
通常情况下，可以通过傅里叶变换或者傅里叶级数展开公式来求解这些系数。
傅里叶级数的主要思想是利用频域分析来研究一个周期函数的频谱结构，即将时域信号转化为频域信号，这对信号处理、通信等领域有着重要的应用。
通过对傅里叶级数的分析，我们可以了解一个信号中包含的各种频率成分，为信号处理和分析提供了一种有效的工具。
傅里叶级数的应用傅里叶级数在各个领域都有着广泛的应用。
在信号处理领域，我们可以利用傅里叶级数来分析和处理信号，实现信号的滤波、解调等功能。
在通信领域，傅里叶级数可以帮助我们理解和设计各种调制解调技术，提高通信系统的性能。
此外，傅里叶级数还在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
在物理学中，傅里叶级数可以帮助我们分析和描述物体的振动情况，研究声波、光波等现象。
在工程学中，傅里叶级数可以应用于电路分析、控制系统设计等方面，提高系统的稳定性和性能。
傅里叶级数与数学物理方程的求解傅里叶级数是一种将周期函数展开为正弦和余弦函数的无限级数，被广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
其基本思想是：任何周期函数均可由一组基函数(即正弦和余弦函数)线性组合而成。
这里的“基函数”可以理解为构成周期函数的最基本的组成部分。
傅里叶级数展开的周期函数是有限的，因为周期函数的值只在一个区间内有定义，而在其他区间则是重复的。
举例来说，若函数f(x)的周期为2π，则在区间[0,2π]内的函数值可以表示整个周期内的函数。
傅里叶级数的公式是：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$其中，$a_0$为常数项，$a_n$和$b_n$是对应于n次正弦和余弦函数的系数。
$a_0$可以通过函数的平均值得到：$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$而系数$a_n$和$b_n$则可以通过计算傅里叶系数得到：$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx$傅里叶级数可以在许多物理问题中被应用。
例如，在传输信号的过程中，信号可以被表示为傅里叶级数，以便容易进行信号处理。
在波动方程和热传导方程中，可以使用傅里叶级数求解方程。
具体来说，可以将解函数表示为傅里叶级数，然后将该级数代入偏微分方程中，以得到包含傅里叶系数的代数方程组，进而求解傅里叶系数，最终得到解函数。
以下是一个简单的例子，应用傅里叶级数求解波动方程。
考虑一维波动方程：$u_{tt}=c^2u_{xx}$其中，c是传播速度。
该方程描述了沿x轴传播的一维波的演化。
设周期为L的初值条件为：$u(x,0)=f(x),u_t(x,0)=g(x)$我们的目标是求解u(x,t)。
§9.4. 傅 里 叶 级 数自然界中周期现象的数学描述就是周期函数.最简单的周期现象,如单摆的摆动、音叉的震动等，都可用正弦函数wt a y sin =或余弦函数wt a y sin =表示。
但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能用仅用一个正弦函数或余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示。
本节就是讨论将周期函数表示为无限多个正弦函数与余弦函数之和，即傅里叶级数。
一、傅里叶级数1.三角函数系函数列 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x ， （1） 称为三角函数系.π2是三角函数系（1）中每个函数的周期. 以此，讨论三角函数系（1）只需在长是π2的一个区间上即可。
通常选取区间[]ππ,-。
由习题8.4第6题知，三角函数系具有下列性质：m 与n 是任意非负整数，有⎩⎨⎧≠=≠=⎰-,0,,,0sin sin n m n m nxdx mx πππ,0cos sin =⎰-ππnxdxmx⎩⎨⎧≠=≠=⎰-,0,,,0cos cos n m n m nxdx mx πππ即三角函数系（1）中任意两个不同函数之积在[]ππ,-的定积分是0，而每个函数的平方在[]ππ,-的定积分不是0.因为函数之积的积分可以视为有限维空间中内积概念的推广，所以三角函数系（1）的这个性质称为正交性。
三角函数系（1）的正交性是三角函数系优越性的源泉。
以三角函数系（1）为基础所作成的函数项级数2.三角级数以三角函数系（1）为基础所作成的函数级数,sin cos 2sin 2cos sin cos 222110++++++++nx b nx a x b x a x b x a a n n简写为()∑∞=++10sin cos 2n n nnx b nx aa ， （2）称为三角级数，其中),2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数.问题1：如果函数)(x f 在区间[]ππ,-能展成三角级数（2），或三角级数（2）在区间[]ππ,-收敛于函数)(x f ，即或∑⎰⎰⎰⎰∞=----⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10cos sin cos cos cos 2cos )(n n n kxdx nx b kxdx nx a dxkx a kxdx x f πππππππππππk k a kxdx a ==⎰-2cos ，或 ⎰-=πππkxdx x f a k cos )(1.再次，求k b .将（3）式等号左右两端乘以kx sin ，左右两端在区间[]ππ,-积分，并将右端逐项积分.由三角函数系（1）的正交性，有a ππ或数0a 4）5）以函数)(x f 的傅里叶系数为系数的三角级数()∑∞=++10sin cos 2n n nnx b nx aa ，称为函数)(x f 的傅里叶级数，表为()∑∞=++10sin cos 2~)(n n nnx b nx aa x f . （6）问题2：函数)(x f 的傅里叶级数（6）在区间[]ππ,-是否收敛？问题3：如果函数)(x f 的傅里叶级数（6）在区间[]ππ,-收敛，那么它的和函数是否就是函数)(x f ？]π,(f7）)(x f 和)(x S n 收敛于函数)(x f ，即需要证明)(0)()(∞→→-n x S x f n 。
