第二篇数学物理方程第七章 数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。
一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。
这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。
偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。
在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类 ——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。
当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。
因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。
这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。
这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。
——P135⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动 ——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
(2)、轻弦：弦拉紧时张力大到可忽略重力的影响。
(3)、柔软：弦中的张力只能是沿着弦线的切线方向。
(4)、微小振动：1<<∂∂xu。
(5)、横振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向。
拿区间),(dx x x +上的小段B 为代表加以研究。
下面分析一下小段B 的长度为ds ，则ds m ρ=dx ρ≈，a：弦的横向加速度记作tt uF ：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2()(sin sin )1(0cos cos 11221122ttu dx T T T T ραααα因为弦作微小横振动，所以21,αα很小。
1cos cos 21≈≈∴αα，11sin (,)x tg u x t αα≈=， 22sin (,)x tg u x dx t αα≈=+由(1)得：T T T ==21，即均匀柔软的弦作微小振动时，弦上任一横截面上所受的张力都相等，(2)为tt x x u dx t x u t dx x u T )()],(),([ρ=-+(3)dx x u x u xu x dxx 22∂∂+∂∂≈∂∂+ (4) 将(4)代入(3)得，tt u dx dx xuT )(22ρ=∂∂ 02222=∂∂-∂∂dx x uT t u ρ 令ρTa =（可证明a 就是振动在弦上传播的速度——波速，↑T ，↓ρ↑→a ），则B 段的运动方程就成为02=-xx tt u a u (5)——齐次的波动方程 （P137）其实，作为代表的B 段是任选的，所以方程(4)适用于弦上各处，是弦作微小的自由横振动时位移),(t x u 所满足的二阶偏微分方程，称为弦的自由横振动方程。
2、均匀弦的受迫横振动如果弦在振动过程中还受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力为),(t x F ，则应将(2)式修改为tt u dx dx t x F T T )(),(sin sin 1122ραα=+- ρρ),(2222t x F dx x u T tu =∂∂-∂∂ 写成),(2t x f u a u xx tt =-(6)——非齐次波动方程 其中 ρ),(),(t x F t x f =——单位质量的弦所受的横向外力，称为力密度。
(6)式称为弦的受迫振动方程。
（二）杆的纵振动方程 1、杆的自由纵振动在以下几个条件下推导杆的自由纵振动方程：(1)、均匀细杆：杆的密度ρ为常数；横截面积S 为常数；由于是细杆，所以作为一维空间的问题来处理。
(2)、水平放置：杆不受纵向外力的作用。
(3)、微小振动：1<<∂∂xu， (4)、纵振动：杆上各点的振动方向平行于振动的传播方向。
设均匀细杆沿杆长的方向x 作微小的自由振动，纵向位移u 是杆上点的位置x 和时间t 的函数，即),(t x u u =，这是我们所要研究的物理量。
设t 时刻，杆处于如图所示的位置，B 两端的位移分别记作),(t x u 和),(t dx x u +。
m ：Sdx m ρ=，其中S 为杆的横截面积。
a：杆的纵向振动加速度记作tt u 。
F ：胡克定律, 法向力n uf YS n∂=∂Y ——杨氏模量（由杆的材料决定） 根据胡克定律，x x u YS f =1，dxx xu YS f +=2即由于伸长形变，作用在),(dx x x +小段x 端的张就力是1f ，dx x +端的张就力是2ftt u Sdx f f )(12ρ=- （7）0=-xx tt u Y u ρ令ρYa =2（a 就是纵振动在杆中传播的速度——波速，↑T ，↓ρ↑→a ），则02=-xx tt u a u （8）(8)式就是均匀细杆作微小自由纵振动时位移所满足的方程式，称为杆的自由纵振动方程。
它是二阶偏微分方程。
从物理学知，纵振动在杆中传播的过程形成纵波，故（8）式是描写杆中纵波的一维波动方程。
2、杆的受迫纵振动若杆受到纵向外力的作用，单位体积的杆所受的纵向外力),(t x F ，则(7)式改写为tt u Sdx t x SdxF f f )(),(12ρ=+-),(),(2t x f t x F u a u xx tt ==-ρ其中ρ),(),(t x F t x f =——单位质量的杆所受的纵向外力。
从以上讨论可知：描写弦上横波的振动方程与描写杆上纵波的波动方程完全相同。
可见，任何无源的一维波动方程都可用方程022222=∂∂-∂∂xu a t u xx dx x +udu u + AA B BC C来描写，这个方程是一维齐次波动方程的标准形式，与二维比较，对于一维波动方程有04422>=-a AC B ，所以一维波动方程是双曲型方程。
一维空间的波动方程推广到二维、三维空间：0222=∆-∂∂u a tu 其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆三维二维一维222222222222z y xy xx 。
它描写无源的波动过程，若是有源的，则方程中多了一项非齐次项。
二、输运方程（一）热传导方程（以一维的为例）由热学知，由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫热传导（P146）。
热传导的起源是温度的不均匀。
温度不均匀的程度可用温度梯度),(t r u∇表示。
热传导的强弱可用热流强度),(t r q，即单位时间通过单位横截面积的热量表示。
（P146）由实验知，热流强度),(t r q 与温度梯度),(t r u∇成正比),(),(t r u k t r q ∇-=其中比例系数k 称为热传导系数，负号代表热流是流向温度低处，这是热传导现象的基本定律，称为热传导定律。
以能量守恒定律和热传导定律为基础，导出温度),(t r u所满足的方程。
1、无热源情况为简单起见，我们讨论一根均匀细杆的热传导。
设细杆内无热源，细杆的横截面积为常数S ，它的侧面绝热。
由于杆很细，任何时刻同一横截面上各点的温度都可看成是相同的。
假设杆左端的温度高，右端的温度低，x 轴与杆轴重合，则热量只能沿x 轴正向传导，这是一维的热传导问题。
在t ∆时间内净流到小段),(dx x x +中的热量Q ∆等于在t ∆时间内小段),(dx x x +由于温度升高所吸收的热量Q '∆。
t S t dx x q t S t x q Q ∆+-∆=∆),(),(t S xt dx x u k x t x u k∆⋅∂+∂+∂∂-=]),(),([ t S dx xuk ∆⋅∂∂=22一般来说，小段),(dx x x +中不同点的温度升高是不同的，但是由于dx 很小，小段中各点的温度升高可近似地用小段质心处的温度升高来代替。
设在t 到t t ∆+内，小段温度上升了u ∆，有t u u t ∆=∆设细杆的比热为c ，质量密度为ρ，由热学得tdx Su c u Sdx c Q t ∆=∆⋅⋅='∆ρρ)(因为Q Q '∆=∆tdx Su c t S dx xuk t ∆=∆⋅∂∂∴ρ22022=∂∂-∂∂xu c k t u ρ 令0→dx ，2a c k=ρ，则 0),(),(222=∂∂-∂∂xt x u a t t x u 或02=-xx t u a u ——P147这就是一维无源热传导中温度所满足的方程，它是二阶齐次偏微分方程，称为一维无源热传导方程。
2、有热源的情况若细杆内存在热源，如细杆中通以电流或杆中有放射性物质。
设t 时刻x 处热源在单位时间单位体积中产生的热量为),(t x F ，),(t x F 称为热源强度。
可以证明，t Sdx t x F t S t dx x q t S t x q Q ∆⋅+∆+-∆=∆),(),(),(t Sdx t x F t S dx xuk ∆+∆⋅∂∂=),(22t dx Su c Q t ∆⋅⋅='∆ρ有源的一维热传导方程为),(),(12t x f t x F c u a u xx t ==-ρ它是二阶非齐次偏微分方程。
非齐次项),(1t x F c ρ是热源在方程中的反映。
因042=-AC B ，所以一维热传导方程是抛物型方程。
（二）扩散方程 ——143由于浓度（单位体积中的分子数或质量）的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，这种现象称为扩散。
扩散运动的起源是浓度的不均匀。
浓度不均匀的程度可用浓度梯度),(t r u∇表示。
扩散运动的强弱可用扩散流强度),(t r q，即单位时间里通过单位横截面积的原子或分子数或质量表示。
由实验知，扩散流强度),(t r q 与浓度梯度),(t r u∇成正比),(),(t r u D t r q ∇-=其中比例系数D 称为扩散系数，“负”号表示扩散是向浓度低处进行，这是扩散现象的基本定律，称为扩散定律。
