清华、北大、复旦、人大、上交大、同济等10大高校自招试题汇总

清华大学历年自主招生试题汇总以下是2014年清华“领军计划”部分面试题：1、怎么看待单独二孩政策？2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议？3、怎么看待社会公平？以下是2014年清华“自强计划”部分面试题：结构性参考题目：提问：在你的同龄人中，当有些同学在为上学、吃饭、治病乃至整个家庭的生计发愁时，另外一些同学则在享受美味的食品、穿着流行的服装、接受各种优质的教育培训。

你如何看待这一现象?你是否认为这是一种社会不公?追问：你心目中的社会公平是怎样的?是否能够实现?若能实现，简要阐述实现的方法;若不能实现，请说说为什么?自由提问参考题目：请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。

你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业?你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因是有哪些?应该如何解决?你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的?考察点：主要考察学生的个人理想与社会理想，是否能够独立思考并勇于创新，是否能够采取积极的方式克服困难与挫折;是否能够保持积极向上的心态等。

以下是清华大学2013年自主招生复试考题：1.近期上海、南京、杭州等地连续出现“H7N9禽流感”感染病例引起关注，公众非常想知道这方面的相关信息。

假如你是一位新闻发言人，你认为公众需要什么样的信息?追问:假如你发布信息后，社会出现恐慌，那该怎么办?2.“人类一思考，上帝就发笑”。

请就人类社会发展与大自然的关系发表评论。

追问:基于你的评价，你打算在当下和未来做些什么?3.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2分钟的演讲，可准备1分钟。

4.除了当选的10位人物外，举出你认为应该入围“2013‘感动中国’的一位人物”，并阐述理由。

2008年清华大学自主招生考试题目选语文（此文与原考试选用的文章稍有出入）（语文试题应该算是完整版了）：关于文学和它的寄主的故事朱大可关于文学死亡的话题，已经成为众人激烈争论的焦点。

这场遍及全球的争论，映射了文学所面临的生存危机。

2010年北大清华浙大复旦等8所名校自主招生试题（word版）2010年清华大学自主招生试题语文：语文题量很大，包括两篇现代文阅读、古诗词鉴赏、古文翻译、古文断句等。

两篇现代文阅读，一篇为“科学与人文”摘自杨叔子《融则利而育全人》一书，所选段落涉及DNA知识、《红楼梦》、《老子》、《大学》等诸多内容。

另一篇是俄国作家蒲宁的文章《山口》。

此外有一篇古代诗文阅读《寻陆鸿渐不遇》。

两篇文言文阅读，断句，以及将《论语·泰伯》、《世说新语·汰侈》部分段落译为现代汉语。

作文是材料作文，有五十分，题目为“网瘾”。

卫生部日前发出通知称：“电击治疗网瘾”技术的安全性尚不确切，暂不宜应用于临床。

《中国青年报》：在过去三年里，已有近3000名网瘾少年在某网瘾戒治中心接受过电击治疗。

《亚太经济时报》：从电击疗法寿终正寝推及其他对青少年的教育方法，问题的根本在于教育已到了革故鼎新的时刻。

《东方早报》：当孩子网络成瘾后，学校除了把孩子当作“差生”、“问题生”推给家长之外，并没有针对这些孩子开展相应的教育。

《新民晚报》：治疗网瘾已成为迫切需要解决的时代课题，有效的治疗手段，一定会带来巨大的利润。

新浪网：一旦网瘾确实能被电击治愈，那么如烟瘾、酒瘾等好多棘手问题都将成为科学实验室的目标。

请联系社会实际，选择一个角度进行探讨，发表你的见解。

写一篇不少于800字的论述文。

文科综合特色测试有关国庆阅兵的军事知识，还考了经济学、心理学知识、蝴蝶效应、东盟自由贸易区、有关澳门回归的《七子之歌》等，此外，还有《哈姆雷特》、《双城记》等英文原著的经典语句以及国际组织的英文缩写等。

其中写作题还出自一位境外学者之手，要求考生以梁漱溟的一段话，结合自己的实际生活，撰写短文阐述中国人是权利本位还是责任本位。

另外考察了“猪肉价格下降的原因”、“三农问题含义”等与农村考生联系密切的知识点。

选择出维吾尔族的特征：题干部分涉及藏族建筑(碉房)，维吾尔族的地方舞蹈(十二木卡姆)，维吾尔族的日常饮食(馕)和维吾尔族的历史(回鹘)等。

1. 中国历史最早的一部历史文献总集是（）A.《尚书》B.《春秋》C.《战国策》D.《夏小正》2. 《楚辞》一书，收有屈原、宋玉写的赋，因具楚地方声，故称《楚辞》，对后代文学创作有深远影响。

其作者是（）A. 东方朔B. 班固C. 董仲舒D.刘向3. 汉、唐一千多年间有十部著名的数学著作，这些数学著作曾经作为隋唐时代国子监算学科的教科书，称着“算经十书”。

这些数学著作包括（）①《周髀算经》②《张丘建算经》③《夏侯阳算经》④《五曹算经》⑤《海岛算经》A.①②③④B.①②④⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤4. 下列明清时期的戏曲作品，作者与作品对应正确的是（）A. 汤显祖——《琵琶记》B. 洪升《长生殿》C. 高则诚《桃花扇》D. 孔尚任《牡丹亭》5. 我国第一部新诗集是新文化运动期间第一篇以白话写成在《新青年》杂志上发表的诗集，1920年出版，共三编。

它是（）A.郭沫若《女神》B.汪国真《热爱生命》C.胡适《尝试集》D.徐志摩《人间四月天》6. 先秦散文是指秦代以前的散文，分为历史散文和诸子散文两类。

下列作品中，属于历史散文的是（）A.《左传》《战国策》B.《论语》《孟子》C.《墨子》《韩非子》D.《庄子》《老子》7.它是东汉末年一组无名氏的短诗，它是对乐府民歌的发展。

它标志着五言诗技巧达到了成熟的阶段。

这部短诗是（）A.《见志诗二首》B.《费凤别碑诗》C.《大风歌》D. 《古诗十九首》8. 著名的朝鲜民谣《阿里郎》，韩国电视连续剧《大长今》的古风片头曲《呼唤》，都是汉诗在朝鲜流行的一种新的诗歌形式。

后人称之为（）A.新诗体B.别曲体C.旧曲体D.汉几体歌9. 作为汉文文化的一种重要形式，汉诗在越南也得到发展。

越南汉诗达巅峰状态，是在（）A.黎圣宗时期B.丁朝时期C.李朝时期D.胡朝时期10. “老骥伏枥，志在千里，烈士暮年，壮心不已”出自曹操的（）A.《观沧海》B.《短歌行》C.《龟虽寿》D. 《步出夏门行土不同》11. 《搜神记》是一部记录古代民间传说中神奇怪异故事的小说集，它的作者是（）A.西晋的史学家陈寿B. 东晋的史学家干宝C.西晋的文学家陆机D.东晋文学家陶渊明12. 永和九年三月三日，王羲之和孙统等41人，宴集山阴兰亭，写下了千古流芳的《兰亭集序》。

清华、北大2018-2019学年自主招生面试真题汇总2016年自主招生即将来临，考生和家长需要着手准备了。

除了报名申请材料之外，自主招生最重要的环节就是笔试和面试部分。

下面中国自主招生网小编汇总了清华大学、北京大学2011-2015年部分面试题，供报考2016自主招生的考生们参考。

清华大学清华大学2015年自主招生面试部分真题1.假设给你一次穿越的机会，你最希望穿越到什么时候?做什么人?干什么?2.清华大学的校训是什么?你是如何理解的?如果你被清华大学录取，你如何去践行这一校训?3.如果你是班长，如何组织一次关于雷锋精神的班级活动?活动内容，请向班里同学发表一段两分钟的“学雷锋”活动动员演讲。

4.“是休学创业，还是毕业后创业。

”5.要不要休学当老板?清华大学2014年自主招生面试部分真题一、领军计划：1、怎么看待单独二孩政策?2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议?3、怎么看待社会公平?二、自强计划：1、请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。

2、你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业?3、你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因有哪些?应该如何解决?4、你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的?5、谈谈“如何看待春运一票难求的现象，怎么解决这个问题?6、如何看待社会公平?7、结合考生的申请材料，提出一些与考生自身经历有关的问题，如问考生家乡的特产是什么。

清华大学2013年自主招生面试部分真题【综合面试】分上午与下午两场进行：每场考生都有三道相同的必答题目，面试时间为10分钟左右，三位考官对一位考生。

另根据面试时间的剩余情况，考官也会根据考生的特点增加其他题目。

据考生回忆，必答题有：1.“人类一思考，上帝就发笑。

请在90秒内作答?基于你的评价，你打算在当下、在未来做些什么?”2.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2 分钟的演讲，可准备1 分钟。

3.近期上海、南京、杭州等地接连出现H7N9型禽流感的感染病例，并且造成数名感染者死亡，世界卫生组织和中国政府都高度关注这一病情，并且采取了积极的救治措施，但是公众依然非常想要知道和这个事件相关的各种信息。

1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。

判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。

2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。

求证：3a b c x y z ++≥。

4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。

5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。

求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。

6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。

9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。

10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。

自主招生面试题库：20所高校自主招生笔试与面试题目大总结2016年自主招生即将开始，考生们需要重点准备的就是自主招生面试和笔试部分。

小编整理了20PP年20所大学自主招生面试和笔试部分试题，供考生参考。

北京大学今年北大自招太过亲民，遇到这样的自招题你敢想?一句周杰伦《青花瓷》里的歌词，问描述的是什么?答案有“青花瓷”、“青花盆”和“青花瓶”，你觉得选什么呢……北大语文试题只有一道题目，要求根据孟子《生于忧患死于安乐》和庄子《人间世》这两个材料，写一篇文章。

英语有阅读材料涉及美国白人警察枪杀黑人、贵州省一教育基金会受“郭美美事件”影响遭遇零捐助等时事热点。

面试部分考题：1.用一条长度一定的的绳子围成一个n边形，怎样围才能使围出的的n边形面积最大?2.后轮驱动的车辆，起动和刹车时，分别是车头翘起还是车尾翘起?判断并说明理由。

3.如何看待微信在人际交往中的作用?4.如何看待欧洲历史上的分与合?5.北京和张家口联合申办冬奥会面临哪些机遇和挑战?6.请用三个词概括中国传统文化，并谈谈中国文化如何真正“走出去”。

7.怎么看待追求财富导致雾霾的说法8.请谈一下动物迁徙的意义?9.谈谈你对嘀嘀打车与专车经营的看法。

10.你认为的文学阅读的最高境界是什么?11.请谈有教无类与因材施教的关系。

12.请谈你对国企高管限薪令的看法。

13.有人提议将网络战归为武力冲突，谈谈你的看法。

14.谈谈你对亚投行的看法。

15.有人提议在基础教育阶段实施男女分开管理，即开办男校和女校，谈谈你的看法。

16.谈一谈信仰、义务、责任的关系。

17.爱因斯坦说：“简单是科学追求的伟大目标。

”谈谈你的看法。

18.请你设计一下中国的养老体系?19.你如何看待就医不要钱这种理想设计?20.谈一谈你对批判性思维和惯性思维的关系的理解。

21.谈一谈你所认识的经济全球化下中国的粮食问题。

22.谈一谈自我意识?23.有人说在全球化背景下我国粮食安全已经不是一个问题，你怎么看?24.你对“绿水金山就是真金白银”有何看法?25.你对“贫富分化是经济发展必然现象”有何看法?26.谈一谈你对自主招生的看法。

.一、选择题2 2 1 11.设复数 z=cos +isin ,则+ =〔〕3 3 1-z 1一z21 3<A>0 <B>1 <C> <D>2 22.设数列{a } 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则"p+q>k+l〞是"a + a > a + a 〞的< >条件n p q k l<A>充分不必要 <B>必要不充分<C>充要<D>既不充分也不必要3.设 A、B 是抛物线 y=x2 上两点,O 是坐标原点,若OA⊥OB,则< ><A>|OA| · |OB| ≥2 <B>|OA|+|OB|≥2 2<C>直线 AB 过抛物线 y=x2 的焦点 <D>O 到直线 AB 的距离小于等于 14.设函数f (x) 的定义域为<-1,1>,且满足：① f (x) >0,x∈<-1,0>；② f (x) + f (y) = f ( x + y) ,x、y∈1+ xy <-1,1>,则f (x) 为<A>奇函数 <B>偶函数 <C>减函数 <D>有界函数5.如图,已知直线 y=kx+m 与曲线 y=f<x>相切于两点,则 F<x>=f<x>−kx 有〔〕<A>2 个极大值点 <B>3 个极大值点 <C>2 个极小值点 <D>3 个极小值点6.△ABC 的三边分别为a 、b、c．若c=2, ∠C= ,且 sinC+sin<B−A>−2sin2A=0,则有〔〕3<A>b=2a2 3 2 3<B>△ABC 的周长为 2+2 3 <C>△ABC 的面积为 <D>△ABC 的外接圆半径为3 37.设函数f (x) = (x2 一3)e x ,则〔<A> f (x) 有极小值,但无最小值〕<B>f (x) 有极大值,但无最大值<C>若方程f (x) =b 恰有一个实根,则 b> <D>若方程f (x) =b 恰有三个不同实根,则 0<b<e3 e36 68.已知 A={<x,y > ∣ x 2 + y 2 = r 2 },B={<x,y> ∣ (x 一 a)2 + (y 一 b)2 = r 2 ,已知 A∩B={<x , y >,<x , y >},则1 12 2〔 〕<A>0<a 2 + b 2 <2r 2<C>x + x =a , y + y =b1 2 1 2<B>a(x 一 x ) + b(y 一 y ) = 01 2 1 2<D>a 2 + b 2 =2ax + 2by1 19.已知非负实数 x,y,z 满足4x 2 + 4y 2 + z 2 +2z=3,则 5x+4y+3z 的最小值为〔 〕<A>1 <B>2 <C>3 <D>410.设数列{a }的前 n 项和为S ,若对任意正整数 n,总存在正整数 m,使得S =a ,则〔 〕n n n m〔A 〕 {a }可能为等差数列 〔B 〕 {a }可能为等比数列n n〔C 〕 {a }的任意一项均可写成{a }的两项之差<D>对任意正整数 n,总存在正整数 m,使得a = Sn n n m11.运动会上,有 6 名选手参加 100 米比赛,观众甲猜测： 4 道或者 5 道的选手得第一位；观众乙猜测： 3 道的 选手不可能得第一位；观众丙猜测： 1,2,6 道选手中的一位获得第一位；观众丁猜测： 4,5,6 道的选手都 不可能获得第一位．比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中惟独 1 人猜对照赛结果,这人是〔〕<A>甲 <B>乙 <C>丙 <D>丁12.长方体 ABCD −A B C D 中,AB=2,AD=A A =1,则 A 到平面A BD 的距离为〔〕1 1 1 1 1 11 <A> 32 2 <B> <C>3 2 <D>3(| x | + | y | 213.设不等式组〈 所表示的区域为 D,其面积为 S,则〔1<A>若 S=4,则 k 的值惟一 <B>若 S= ,则 k 的值有 2 个 22<C>若 D 为三角形,则 0<k≤ <D>若 D 为五边形,则 k>4314.△ABC 的三边长是 2,3,4,其外心为 O,则OA . AB + OB . BC + OC . CA =〔18.已知存在实数 r,使得圆周x 2 + y 2 = r 2 上恰好有 n 个整点,则 n 可以等于〔〕〕〕〕6 15.设随机事件 A 与 B 互相独立,且 P<B>=0.5,P<A −B>=0.2,则〔 〕 <A>P<A>=0.4 <B>P<B −A>=0.3 <C>P<AB>=0.2 <D>P<A+B>=0.9 16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部份,则这两部份的面积之比的〔 3 4 4 5<A>最小值为 <B>最小值为 <C>最大值为 <D 最大值为 4 5 3 417.从正 15 边形的顶点中选出3 个构成钝角三角形,则不同的选法有〔 <A>105 种 <B>225 种 <C>315 种 <D>420 种 〕y + 2 k(x +1)21 <B>−15 <C> − 2 29 <D> − 2 <A>0<A>4 <B>6 <C>8 <D>1219.设复数 z 满足 2|z|≤|z −1|,则〔 〕1 2 1<A>|z|的最大值为 1 <B>|z|的最小值为 <C>z 的虚部的最大值为 <D>z 的实部的最大值为3 3 320.设 m,n 是大于零的实数,a =<mcosα,msinα>,b =<ncosβ,nsinβ>,其中 α,β∈[0,2π>α,β∈am cos 2 ,〔 〕mn sin 29<D>| a 21+ b 21 |2> 4 4 n + 321.设数列{a }满足： a =6, a = a ,则〔 〕n 1 n +1n n<A>∀n ∈N ∗,a <(n +1)3n<B>∀n ∈N ∗,a ≠2022n<C>∃n ∈N ∗,a 为彻底平方数n<D>∃n ∈N ∗,a 为彻底立方数n22.在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有〔 〕1 1 1 1cos 9 + sin 9 2 + sin 9 2 一 cos 9 1+ 2sin 923.设函数 f (x) = sin 几 x,则〔 〕x 2 一 x +1〔A 〕 f (x) ≤ <B>| f (x) |≤5|x| <C>曲线 y= f (x) 存在对称轴 <D>曲线 y= f (x) 存在对称中心324.△ABC 的三边分别为a ,b,c,若△ABC 为锐角三角形,则〔 〕 <A>sinA>cosB <B>tanA>cotB <C>a 2 + b 2 > c 2 <D>a 3 + b 3 > c 325.设函数f (x) 的定义域是<−1,1>,若 f (0) = f p (0) =1,则存在实数 δ∈<0,1>,使得〔 〕<A> f (x) >0,x∈<−δ,δ> <B>f (x) 在<−δ,δ>上单调递增<C> f (x) >1,x ∈<0,δ> <D>f (x) >1,x ∈<−δ,0>26.在直角坐标系中,已知 A<−1,0>,B<1,0>．若对于 y 轴上的任意 n 个不同的点P <k=1,2,…,n>,总存在两k1个不同的点P , P ,使得|sin ∠A P B −sin ∠A P B |≤ ,则 n 的最小值为〔〕i j i j3<A>3 <B>4 <C>5 <D>627.设非负实数 x,y 满足 2x+y=1,则 x+ x 2 + y 2 的〔 〕4<A>最小值为52<B>最小值为5<C>最大值为 1 1+ 2<D>最大值为3mn cos 9<C>| a 21 一 b 21 |2>41 1 1 1<A>a 2 · a 2 =a <B>a 2 . b 2 = n sin b>,记 θ=α −β,则1[0,2π>．定义向量a 2 =< m sin a>,b21=<n cos b mn cos 22 , 442 229〔A 〕ρ= 〔B 〕ρ= 〔C 〕ρ= 〔D 〕ρ=28.对于 50 个黑球和 49 个白球的任意罗列〔从左到右排成一行〕 ,则〔 〕 <A>存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 <B>存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多 <C>存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 <D>存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个29.从 1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数,其中有两个数字各用两次,例如 12231,则能得到的不同 的五位数有〔 〕<A>300 个 <B>450 个 <C>900 个 <D>1800 个30.设曲线 L 的方程为 y 4 + (2x 2 + 2) y 2 + (x 4 2x 2 ) =0,则〔 〕<A>L 是轴对称图形 <C>L ⊂{<x,y> ∣ x 2 + y 2 ≤1} <B>L 是中心对称图形1 1<D>L ⊂{<x,y> ∣ ≤y≤ }2 2##Answer##1 1 1 zz 1 z 1. [解析] + = + = + = 1-z 1 z2 1-z zz z 2 1-z z z12 2+2 2c o s 几s n 几322s n 几32 2= -2sin 2几 i . 2sin 几 cos 几 3(cos 几 + i sin 几 )3 3 3 2 2 = cos 0 + i sin 0 - 1 [cos( 7 几 ) + i sin( 7几 )]2sin 几 [cos( 几 ) + i sin( 几)] 3 6 63 6 61 几 几 3 1 3 6 62 22.[简解]a + a (a + a ) =[<p+q>-<k+l>]d,与公差 d 的符号有关,选 Dp q k l3. [解析]设 A< x , x 2 >,B< x , x 2 >, OA .OB = x x (1+ x x ) =0 x =1 12 2 1 2 1 2 2x1答案 <A>, | OA | . | OB | = x 2 (1+ x 2 ) (1+ ) = 1+ x 2 + +1 ≥ 2 + 2 | x | . =2,正确；答案<B>, |OA|+|OB|≥2 | OA | . | OB | ≥2 2 ,正确；答案<C>,直线 AB 的斜率为x 2 x 221= x + x = x 1方程 x x 2 1 1 x2 1 11 1 1为 y- x 2 =< x><x- x >,焦点<0, >不满足方程,错误； 答案<D>,原点到直线AB ：< x >x-y+1=0 的1 1 x 1 4 1 x1 11距离 d= ≤1,正确.选 ABD11 x11 1 1 11 1 x2 x 2 1 x 2 1 | x | 1 1 1 11= (cos + i sin + i) =1,选 B1-cos 几 i sin 几 3 3 (x )2 +1 14.[解析 ]x=y=0f (0) =0,y=-x f (x) f (x) , f (x) 为奇函数 ,<A>正确； f (x) 0,<B>错误；x x , f (x ) - f (x ) = f (x ) + f (x ) = f 1 2 >0 f (x ) > f (x ) f (x) ↓ ,<C>正确； 1 25.[简解]将直线平移知：斜率为k 的直线,与曲线 y= f (x) 至多有五个公共点,其中在此直线先下方后上方 的两个区间,先上方后下方的三个区间,故F(x) 有三个极大值点,两个极小值点.选 BC6.[解析]2R= = R=7. [简解] f (x) =<x+3><x -1>ex ,f (x) f (3) 6, f (x) f (1) -2e ,作出其大致图象,如图 极大 e 3 极小选 BD8.[解析 ] 已知 即半径相等 的两 圆⊙ O: x 2 y 2 r 2 与 ⊙ C: (x a)2 (y b)2 r 2 交于相异 的两 点P (x , y ) 、P (x , y ) .0<|OC|<2|r|0<a 2 b 2 <4r 2,<A>错；四边形 O P C P 是菱形对角线 OC 与P P1 1 12 2 2 1 2 1 2垂直且平分 ,<B><C>正确； a 2 b 2 =2ax 2by (a x )2 (b y )2 x 2 y 2| CP | | OP | ,<D>1 1 1 1 1 1 1 1正确.总之,选 BCD9. [解析]关于 z 的方程z22z 4x24y23 0 有非负实数解,z=-1+2 1 x2 y 2 ≥0x2 y23,4d=5x+4y+3z=5x+4y+6 1 x 2 y 2 -3,设 x=rcos θ,y=rsin θ, θ∈ [0, ],r ∈[0, 3]2 2d=r<5cos θ+4sin θ>+6 1 r 2 -3=r 29 sin< θ+arctan 5>+6 1 r 2 -34≥4r+6 1 r 2 -3=2<2r+3 1 r 2 >-3,设a =〔2,3〕,b =<r, 1 r 2 >2 3 3 3时,c 2 =a2 b 2 2ab cos C a = 23 ,B= ,同样有周长为 2+ 3 ,面积为 23.选 BCD 2 4 2b=2 a ;A= 时 ,b= 3 , a = 3 , 周 长 为 2+ 3 , 面 积 为 3 ； b=2 a 又 sinC+sin<B-A>=sin<B+A>+sin<B-A>=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA cosA=0 或者 sinB=2sinA A= f (x) =-tan x 满足已知条件,但无界,<D>错误.选 A,Cc 4 2sin C 3 3 3 2 3x x3 ,D 正确；221 2 1 2 1 2 1 x x 1 21 1 (1一 入)x = 3d≥2a . b -3=2| a || b | cos<a , b >-3=2 13 cos<a , b >-3,作图知3<a , b >最大值是b 与OY 夹角,此时 d ≥2 13 人 -3=3.选 C1310.[解析 ]答案 <A>,常数列 0,0,0,...满足要求；答案 <B>,公比 q=1 时因 n a ≠ a ,结论假 ,q ≠11 1时,a (1一 q n )1 = a q m 一1 一 1一 q n= 1一 q 常数,也不可能；答案<C>,a = S 一 S =a 一 a ,满足要求；答1一 q 1 q m 一1 n n n 一1 m t案<D>,a = S = a ,并非对所有数列成立.选 AC n m t11.[简解]答案甲乙丙不能保证惟独一个正确,故选 D 12.等体积法,选 B13.[解析]如图：不等式组表示过点 P<-1,-2>的直线的下方与正方形 ABCD 围成的面积图形28 4k>0 时,S 单调增,梯形P ABC 面积为 >4,故 S=4 惟独一解,<A>正确； △P AB 、△P P D 的面积分别为 、25 1 3 4 51 11,都比 大,故再两个三角形内各存在一个围成面积为 的直线,<B>正确； k<0 时,围成的仍然是三角2 2形,<C>错误；围成五边形,斜率大于直线 PC 的斜率 4,<D>正确.选 ABD114. [简解]取 AB 的中点 D,则 OA . AB =OA ×AB ×cos < π- ∠OAB>=-AB ×<OA ×cos ∠OAB>=- AB 2 ,同理2OB . BC = 一 1 BC 2 , OC . CA = 一 1 CA 2 ,原式=一 1 (AB 2 + BC 2 + CA 2 ) = 一 29.选 D2 2 2 215.[简解]设 P<AB>=x,则 P<A>=0.2+x,根据 P<AB>=P<A>P<B>有 x=<0.2+x>×0.5亭 x=0.2;P<A>=0.4,<A>正 确； P<B-A>=0.5-0.2=0.3,<B>正确； P<AB>=0.2,<C>正确； P<A+B>=P<A>+P<B>-P<AB>=0.7,<D>错误.选 ABC 16.[解析]设△ABC 的重心为 G,面积为 1,过点G 的直线与三角形边 AB 、AC 分别相交于 D 、E,AD=xAB,AE=yAC,1则有 AB ×ACsinA=1,如图2特殊的 x,y ∈{0,1}时,DE 为三角形的中线,此时分成两部份面积比值为 11 1当 x,y ∈<0,1>时,△ADE 面积 S= AD×AEsinA= xAB×yACsinA=xy,D、G 、E 三点共线亭 存在实数λ,使得2 2DG = 入 DE 亭 AG 一 AD = λ < AE 一 AD > 亭 AG =<1- λ > AD + λ AE =<1- λ >x AB + λ y AC ,又 ( 1 AG = AB + AC 亭〈 ,消去λ得到 3 3 入y = 314 2 4,等号成立当且仅当 x=y= 一 DE∥BC,故 S 最小值为 ,1-S 的最大值为 9 3 95最大值 .选 BD45 4 ；故两面积比值有最小值 ,9 5+ =3,因 + ≥2 x y x y 2 S ≥ 一 S ≥3 1 1 1 1 1 1 x . y 一 S 217.[解析 ]先看一个顶点处构成钝角的三角形个数 ,加设此点为 A,从 A 逆时针方向的点挨次记为A <k =1,2,3,…,7>,顺时针方向的顶点挨次记为A <k =1,2,3,…,7>,△ A AA 要构成以A 为钝角的钝角k 一k n 一m三角形,则 n+m ≤7,有 1+2+3+…+6=21个.于是共可构成 15×21=315 个钝角三角形.选 C 18.[简解]正数点关于 x 轴、 y 轴对称,故一定是 4 的倍数.选 ACD19. [简解]设 x=x+yi<x,y ∈R>,代入化简得到(x +)2 + y 2 共,表示以<- ,0>为圆心,以 为半径的圆与3 9 3 3其内部,根据图形,选 ACD1 120.[解析]a 2 · a 2 是一个数值,不是向量,<A>错；cos a cos b + mn sin a sin b = mn cosa 一 b= mn cos 9,<B>正确；2 2 2 2 2 2m cos a 一 n cos b )2 +( m sin a 一 n sin b )2 =m+n-2 mn cosa 一 b=m+n-2 mn cos2 2 2 2 29≥2 2同理<D>正确 选 BCD21.[简解] an +1 = n + 3 ,迭乘得到 a =<n+2><n+1>n ； a 想 (n +1)3 一 n<n+2><(n +1)2 ,<A>正确； 2022=5a n n nn×13×31,不可能是三个连续整数之积,<B>正确；三个连续整数积不可能为彻底平方数和立方数,<C><D>错 误.选 AB122.[简解]<A>去分母,化成直角坐标方程为 x+y=1,表示直线； <B>为ρ=表示椭圆； <C>为1ρ=211一cos 92表示椭圆； <D>为ρ= 表示双曲线.选 BC23. [ 解 析 ]f (x) ≤一 g<x>= 4x 2 一 4x + 4 一 3sin 冗 x ≥ 0,g (x)=g( )=0,<A> 正 确 ； f| (x) | ≤3 极小值 215|x| 一 |sin π x| ≤ | x 3 一 x 2 + x |. 作 图 象 知 成 立 ,<B> 正 确 ； x= 是 其 一 条 对 称 轴 ,<C> 正 确 ；2f (a 一 x) + f (a + x) 不可能为常数,故<D>错误.选 ABC冗 冗 冗 冗24. [简解]A+B>亭 A>-B 亭sinA>sin<-B>=cosB,tanA>tan<-B>=cotB,<A><B>正确；锐角三角形,2 2 2 2一 定 有 a 2 + b 2 > c 2 ,<C> 正 确 ； 三 角 形 三 边 长 为 0.5,0.9,1 时 , 满 足 锐 角 三 角 形 条 件 , 但0.53 + 0.93 = 0.854 <1,<D>错误.总之,选 ABC4 1 9mn <1-cos >=4 1 4 1 2 mn sin 2,<C>正确；| a 21 一 b 21|2 =(94225.[ 解 析 ] 根 据 导 数 定 义 , 对 任 意 ε >0, 存 在 δ >0, 当 |x|< δ 时 , |f (x) f (0)x-1|< ε 一 x<1- ε>+1< f (x) <x<1+ ε>+1,对ε取值可知<A><C>正确； f (0) =1>0,知在 0 附近存在区间, f (x) >0,<B>正确；对于函数 y=x+1,<D>不正确.总之,选 ABC126. [解析]将所有的|sin ∠A P B sin ∠A P B|,按从小到大排序,共有C 2 个,其中最小者不大于 ,最大为 2,i j n31于是 C 2 ≥2,n 的最小值为 4.选 B3 n几 127. [ 解 析 ] 设 x=rcos θ ,y=rsin θ , θ ∈ [0, ].2x+y=1 一 r=,x+ x 2 + y 2 =rcos θ+r=, 记 作 T ； 去 分 母 得 到 Tsin θ +<2T -1>cos θ =1, T 2 + (2T 1)2 sin< θ2T 1 4 2T 1+arctan>=1 ≤ T 2 + (2T 1)2 , 解 得 T ≥, 等 号 成 立 当 且 仅 当 θ +arctan = θT 5 T3 几 几+arctan =,<A>正确；当θ=0 时 T =2, θ=时 T=1,最大值为 2,<C>正确.选 AC4 2 228.[简解]黑球先放好,放白球,选 A29.[解析]先从五个数字中,将这三个数字中选出来,有C 3 种方法,如选了 123；在确定不重复用的数字,有5C 1 种方法,如选 3；对数字 3 安排有A 1 种方法,余下的对数字 1 安排有C 2 种方法,剩下的两位安排 2；有3 5 4C 3 C 1 A 1 C 2 =900.选 C5 3 5 430.[简解]解方 程得到 y 2 = x 2 1+ 4x 2 +1 , 易知它关于两坐 标轴与原 点都对称 ,<A><B>正确；3 3x 2 + y 2 = 4x 2 +11≤ 1 有- ≤x ≤ 条件,但已知中无此条件 ,故<C>错误；设 2x=tan θ , θ∈2 2 几 几 13 1 1 1 2 24 4 max 4 2 2<- , >, y 2 =-sec 2 9 +sec θ- ,当 sec θ=2 时,y 2 = ,- ≤y≤ ,<D>正确.选 ABD2 2cos 9 + sin 9。

高校自主招生面试辅导一、自主招生面试考试内容自主招生面试考题灵活、涉及领域广泛，考生要多注意平常的积累，积累申报专业相关知识储备、实践经验。

考生准备：1、积累申报专业领域话题人物以及重大新闻。

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除了积累申报专业相关知识储备、实践经验外还要有意识的锻炼自己的逻辑思维能力与口语表达能力，肚里有货，清晰的表达出来也是至关重要的。

二、自主招生面试考试主要形式1.无领导小组2.群面3.单面考生准备：掌握各类形式答辩技巧1.无领导小组用无领导小组讨论的形式，4-6人一组，三个考官，着重考察学生的综合素质，包括组织协调能力、口头表达能力、辩论的说服能力、处理人际关系的技巧等各方面的能力和素质，以及自信程度、进取心、情绪稳定性、创新能力、反应灵活性、团队合作意识等个性特点。

2.群面、单面（一）常规面试题1 请作自我介绍（一分钟或一句话）。

2 你的综合能力体现在哪些方面？3 请谈一下你的特长或兴趣爱好。

4 举例说明你的潜力。

5 列举你获得过的奖项（或：你为什么没有得过奖）。

6 请谈谈你对高考制度的看法，对自主招生政策的看法。

7 为什么选择报考我校？如果被录取呢？8 你可以向我提一个问题（关于我校或自主招生或个人）。

9 你希望在你所报考的专业有怎样的发展？你的兴趣与性格与你所选专业相匹配吗？10 你自己对人生的规划是怎样的？包括想要从事的行业和你追求的目标。

（二）生活常识题1 说出全国政协常委委员的名字。

（复旦大学）2 植树节是什么时候？（上海交通大学）3 江苏省省长是谁？（上海交通大学）4 河南省会在哪里？（上海交通大学）5 你属什么？比你大三岁的人属什么？（上海交通大学）（三）主要考查考生对高校或专业的了解认知的试题1清华校训“自强不息，厚德载物”出自何处？（清华大学）3 请说出清华四大国学名师及你对他们的了解。

⽆忧考为⼤家整理的历年上海复旦⼤学⾃主招⽣试题汇总，供⼤家参考。

2012年复旦⼤学⾃主招⽣千分考试题 据复旦招办预计，2012年通过千分考进⼊⾃主招⽣⾯试的学⽣⽐例将与2011年基本持平，成绩和⾯试⽅案将于⼀周内公布。

以下是中国教育在线为您整理的2012年复旦“千分考”部分考题。

选摘考题如下： 1.冷战以后，我国规模的⼀次撤侨是从哪个国家撤离的？ 2.中国的13个船员是在哪条河遇难的？ 3.在欧债危机中，有哪些国家的政权发⽣了更迭？ 4.请从东到西排出“iPhone4S”第⼀批上市的⼏个国家。

5.“《社戏》、《藤野先⽣》、《从百草园到三味书屋》等是否都出⾃《朝花⼣拾》？ 6.按照时间顺序排列鲁迅的四⼤名著《药》、《狂⼈⽇记》、《阿Q正传》、《祝福》。

7."五⽉渡泸，深⼊不⽑"出⾃哪⾥？” 8.清朝哪位⽂⼈将⽂体分为阴柔派和阳刚派？ 9.以下哪个地⽅对柑橘的⽣长危险因素？ 10.中国的四个卫星发射中⼼哪个耗能？ 11.上海出租车在3公⾥以内收费14元，超过3公⾥10公⾥以内，是每公⾥2.4元，请计算要付的钱和公⾥数的函数关系。

12.伊丽莎⽩⼥王的权⼒受限是因为哪个法案？ 13.根据⽔稻育种、播种的时间，请判断这是什么地区？ 14.根据某地茶叶上市的时节来判断当地⽓候。

15.⼀个磁铁矿完全变成氯化铁矿，会有多少四氧化三铁的含量？ 16.1M字节等于多少K字节？ 17.如果⾦属钠失⽕，要⽤什么来扑灭？ 18.中国有4个卫星发射中⼼，哪个发射中⼼的能耗？ 19.把⼗元钱换成1元、5⾓、1⾓零钱，有⼏种不同的组合⽅法？ 20.⼆进制1101011转化成⼗进制是多少？ 21. 1M字节等于多少K字节？2011年复旦⼤学千分考试题选摘： 辨别莎⼠⽐亚作品台词； ⼼绞痛可以⽤何种药物治疗； 列举陀思妥耶夫斯基的代表作； 朝韩炮击事件是在哪⾥发⽣的； 去年联合国⽓候⼤会在哪⾥举⾏； 世界杯半决赛对阵的是哪四⽀球队； 《达·芬奇密码》是什么类型的⼩说； 《六书》中哪些是造字⽅法、哪些是⽤字⽅法； 辨别“⼲涸、征伐、蜡烛、多余”等繁体字正误； 说是⼀辆辆车⼦进站出站，考汽车进出站的顺序； 给出了⾜球世界杯中对阵的⼏组国家的名字，问哪组国家⽂化背景相似； 世博园中⼀位游客的⼿表显⽰6点，当时北京时间是7点，这位游客来⾃哪个时区2010年复旦⼤学⾃主招⽣试题 复旦⼤学⾃主招⽣笔试全是选择题，考查内容囊括语⽂、数学、外语、物理、化学、⽣物、政治、历史、地理和计算机⼗门学科。

清华自主招生试题整理(2006--2012)2012年清华等五校自主招生试题--通用基础测试一、选择题1.若P 为ABC ∆内部任一点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-=,则ABC ∆必为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形 2.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( ) A.7 B.72C.3D.323.若以体积为54的正四面体的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为( ) A.1B.2C.3D.44.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n - 中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.71105.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++=( )A.0B.1C.1-D.2 6.设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++,则1()()f x f x +=( ) A.1 B.2 C.3 D.47.已知1cos 45θ=,则44sin cos θθ+=( )A.45B.35C.1D.45-8.若正四棱柱ABCD A B C D ''''-内接于一球,且1,'2AB AA ==,则点,A C 间的球面距离为( ) A.π4B.π2C.24π D.22π 9.若将满足,||3,||3x y x y <<<,且使得关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为M ,则由点集M 所确定的区域的面积为( ) A.814 B.834 C.815D.83510.已知椭圆22143x y +=的左,右焦点分别为12,F F ,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点,P Q ,则1F PQ∆的内切圆面积的最大值是( ) A.2516π B.925π C.1625π D.916π 二、解答题11.设2()(,)f x x bx c b c =++∈R .若||2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值.12.已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),其离心率为45,两准线之间的距离为252.(1)求,a b 之值；(2)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角ABP ∆(字母,,A B P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.13.已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k x k x k -++⋅=的两个根. (1)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .(2)记1|sin |()(3)2sin n f n n =+,(2)(3)(4)()123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a -----=++++ ,求证:15624n T ≤≤. 14.已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,0)A ,且焦点在x 轴上,椭圆与曲线y x =的交点为,B C .现有以A 为焦点,过,B C 且开口向左的抛物线,其顶点坐标为(,0)M m ,当椭圆离心率满足2213e <<时,求实数m 的取值范围.15.已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 (1)求随机变量ξ的数学期望E ξ；(2)记“关于x 的不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ”为事件A ,求事件A 发生的概率()P A .2012年清华大学保送生考试试题一、填空题1.若复数z 为虚数,且||1z =,Re ((12))1z i ⋅-=,则z =____________.2.在数列{}n a 中,11a =,12n n a a +=+.若数列11{}n n a a +的前n 项和为1837,则n =____________.3.现有6人会英语,4人会日语,2人都会(共12人),从其中选出3人做翻译,要求两种语言都有人做翻译,则符合条件的选法种数为____________.4.有一人进行投篮训练,投篮5次,失误一次扣1分,进一次得1分,连进2次得3分,连进3次得5分.若投篮的命中率为25,则投篮3次恰好得2分的概率为____________. 5.不定方程1111x y z++=()x y z ≤≤的解(,,)x y z 的组数为____________. 6.某几何体的三视图如右图所示,用,,αβγ分别表示主视图、左视图、俯视图,设,,S S S αβγ是实际几何体中能看到的面积,则,,S S S αβγ从小到大的顺序为____________.二、解答题 7.抛物线212y x =与直线l :4y x =+所围成区域中有一个矩形ABCD ,且点,A B 在抛物线上,点D 在直线l 上,其中点B 在y 轴右侧,且||2AB t =(0)t >.(1)当AB 与x 轴平行时,求矩形ABCD 面积()S t 的函数关系式； (2)当边CD 在直线l 上时,求矩形ABCD 面积的最大值. 8.已知函数3()2cos (sin 2)sin 32f x x x x =⋅+-,且[0,2]x π∈. (1)求函数()f x 的最大值和最小值； (2)求方程()3f x =的解.9.已知函数1()ln x e f x x-=,且数列{}n a 满足:11a =,1()n n a f a +=.(1)求证:10xxx e e ⋅-+≥恒成立； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)求证:数列{}n a 单调递减,且0n a >恒成立.10.在OAB ∆内(含边界),其中O 为坐标原点,点A ,B 分别在在x 轴,y 轴的正半轴上,且2OA OB ==. (1)用方程或不等式表示OAB ∆围成的区域；(2)求证:在OAB ∆内的任意11个点,总可以分成两组,一组中各点的横坐标之和不大于6,另一组中各点的纵坐标之和不大于6.443俯视图左视图主视图γβα2011年清华等五校自主招生试题1.设*n N ∈,15n ≥.集合A ,B 都是{1,2,,}I n =⋅⋅⋅的真子集,A B =∅ ,A B I = .证明：集合A 或B 中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数.2.设函数2()(0)f x ax bx x a =++>,且方程()f x x =的两实数根是1x 和2x ,且10x >,211x x a->,又10t x <<.试比较()f t 与1x 的大小.3.求函数2(){|1|,|5|}f x max x x =+-的最小值,并求出相应的x 的值.4.已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数,且对于任意的,a b R ∈,有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅. (1)求(0),(1)f f 的值；(2)判定函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论； (3)若(2)2f =,(2)n n f u n-=,求数列{}n u 的前n 项和n S .5.已知关于x 的方程222(1)(1)ax a x +=-,1a >.证明方程的正跟比1小,负根比1-大.6.设a ,b 是两个正数,且a b <.当[,]x a b ∈时,246y x x =-+的最小值为a ,最大值为b ,求a ,b 值.7.某生产队想筑一面积为1442m 的长方形围栏,围栏一边靠墙.现有铁丝网50m ,筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？8.在正方形ABCD 中,过顶点D 作对角线CA 的平行线DE ,若CE CA =,且直线CE 交边DA 于点F .求证:AE AF =.9.设边长为,,a b c 的ABC ∆的重心为G ,外心为O ,外接圆半径为r ,||OG d =,求证:222229a b c r d ++=-. 10.设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧,其弧长比为3:1,在满足上述条件的圆中,求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程.11.以A 为圆心,以2cos (0)2πθθ<<为半径的圆外有一点B . 已知2sin AB θ=,设过B 且与圆A 外切于点C 的圆的圆心为M .(1)当θ取某个值时,说明点M 的轨迹P 是什么曲线？(2)点M 是轨迹P 上的动点,点N 是圆A 上的动点,记MN 的最小值为()f θ.求()f θ的取值范围. 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点*(,)()nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=⋅,n T 数列{}n b 的前n 项和,求最小正整数m ,使得20n mT <对所有*n N ∈都成立.13.已知函数()24f x x =-+,12()()()n nS f f f n n n=++⋅⋅⋅+.若不等式11n n n n a a S S ++<恒成立,求实数a 的取值范围.2010年清华等五校自主招生试题--通用基础测试一、选择题 1.设复数2()1a i w i+=+,其中a 为实数,若w 的实部为2,则w 的虚部为( ) (A)32- (B)12- (C)12 (D)322.设向量,a b 满足||||1a b == ,a b m ⋅= ,则||a tb + ()t R ∈的最小值为( )(A)2 (B)21m + (C)1 (D)21m - 3.无试题 4.无试题5.在ABC ∆中,若三边长,,a b c 满足3a c b +=,则tantan 22A C=( ) (A)15 (B)14 (C)12 (D)236.如图,ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ,其外接圆圆心为O ,过O 作OF 垂直BC 于F ,OH 与AF 相交于点G ,则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )（A ）1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:27.设()e (0)ax f x a =>.过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ,曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ,则PQR ∆的面积的最小值是( )(A)1 (B)2e2(C)e 2 (D)2e 48.设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>,椭圆2222:14x y C a+=.若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率,则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A)22k + (B)2 (C)44k + (D)49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何三个顶点作为顶点的三角形有三种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的三色组合,则n 的最小值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)910.设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点,用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转,用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射,设l 为过AB 中点与CD 中点的直线,用ω表示空间以l 为轴的180°旋转.设στ 表示变换的复合,先作τ,再作σ.则ω可以表示为( )(A)στστσ (B)στστστ (C)τστστ (D)στσστσ 二、解答题11.在ABC ∆中,已知22sin cos212A BC ++=,外接圆半径2R =. (1)求角C 的大小； (2)求ABC ∆面积的最大值.12.设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点,,A D 关于该抛物线的对称轴对称,BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设D 到直线AB ,直线AC 的距离分别为12,d d ,已知122d d AD +=.(1)判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由； (2)若ABC ∆的面积为240,求点A 的坐标及直线BC 的方程. 13.(1)正四棱锥的体积23V =,求正四棱锥的表面积的最小值； (2)一般地,设正n 棱锥的体积V 为定值,试给出不依赖于n 的一个充分必要条件,使得正n 棱锥的表面积取得最小值.14.假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个. (1)求子一代中,三种基因型式的比例；(2)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由. 15.设函数()1x m f x x +=+,且存在函数()s t at b ϕ==+1(,0)2t a >≠满足2121()t s f t s-+=. (1)证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t+-=； (2)设113,(),1,2,.n n x x f x n +=== 证明:1123n n x --≤. 2009年清华大学保送生暨自主招生北京冬令营1.有限条抛物线(线和线的内部)能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.2.请找出一个含有323+的整系数多项式.3.求0.4 1.2|22|i i e e ++的模.4.现有一数字游戏:有1到100的数,两个人轮流写.设已经写下的数为123,,,,n a a a a .若一个数x 能表示 成112233n n x x a x a x a x a =++++ (123,,,,n x x x x 为非负整数),则这个数不能够再被写.(如若3,5已被写,则83151=⨯+⨯不能再写,133152=⨯+⨯,93350=⨯+⨯也不能再被写).现在甲和乙玩这个游戏,已知5,6已经被写,现在轮到甲写,问:谁有必胜策略？5.一条跑马比赛最多只能有八匹马参加,假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的.问：可以有不多 于50场比赛,完全将64匹马的实力顺序排序吗？6.现有100个集装箱,每个集装箱装2个物品.现在将集装箱的物品全部拆卸,并且所有物品被打乱顺序.问:最坏情况下,需要多少个集装箱再次把所有物品装好？7.现有一游戏：图上有若干个点和若干条线,甲提供若干个硬币,乙可以任意将这些硬币全部摆放在点上, 并且指定一个目标定点P .现定义操作:从一个至少有两个硬币的点取走2个硬币,在它一个相邻的点上放 回一个硬币.在指定的图下,甲最少提供多少个硬币,可以保证经过若干次操作,一定能使目标顶点P 至少 有一枚硬币？(1)图是一个包含5个点的线段；(2)图是一个包含7个点的圈.2009年清华大学自主招生数学试题(理科)1.设5151+-的整数部分为a ,小数部分为b .(1)求,a b ； (2)求222ab a b ++； (3)求2lim()n n b b b →∞+++ .2.(1)已知,x y 为实数,且1x y +=,求证:对于任意正整数n 都有222112n n n x y -+≥.(2)已知,,a b c 为正实数,求证:3a b cxy z++≥,其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列. 3.请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.4.已知椭圆22221x y a b+=,过椭圆左顶点(,0)A a -的直线L 与椭圆交于Q ,与y 轴交于R ,过原点与L 平行的直线与椭圆交于P ,求证:AQ ,2OP ,AR 成等比数列.5.已知sin cos 1t t +=,设cos sin s t i t =+,求2()1n f s s s s =+++ .6.随机挑选一个三位数m , (1)求m 含有因子5的概率； (2)求m 中恰有两个数码相等的概率.7.四面体ABCD 中,AB CD =,AC BD =,AD BC =, (1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形；(2)设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ,求证:cos cos cos 1αβγ++=. 8.证明:当,p q 均为奇数时,曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数.9.设1221,,,n a a a + 均为整数,性质P 为:对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数,存在一种分法可将其分为两组,每组n 个数,使得两组所有元素的和相等,求证:1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P .2009年清华大学自主招生数学试题(文科)1.已知数列{}n a 满足(1)n S na n n =+-, (1)求证:{}n a 是等差数列； (2)求(,)nn S a n所在的直线方程. 2.把12名职员(其中三名为男性)被平均分配到三个部门, (1)求此三名男性被分别分到不同部门的概率； (2)求此三名男性被分到同一部门的概率；(3)若有一男性被分到指定部门,求其他两人被分到其他不同部门的概率. 3.一元三次函数()f x 的三次项数为3a,()90f x x +<的解集为(1,2). (1)若()70f x a +=,求()f x 的解析式； (2)若()f x 在R 上单调增,求a 的范围. 4.已知22PM PN -=,(2,0)M -,(2,0)N ,(1)求点P 的轨迹W ； (2)直线(2)y k x =-与W 交于点A ,B ,求OAB S ∆. 5.设12nx x x a n++=, 12231()()()()()()n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--++-- .(1)求证:30S ≤. (2)求4S 的最值,并给出此时1x ,2x ,3x ,4x 满足的条件. (3)若50S <,求1x ,2x ,3x ,4x ,5x 不符合时的条件.2008年清华大学自主招生试题1.已知,,a b c 都是有理数,a b c ++也是有理数,证明:,,a b c 都是有理数.2.(1)一个四面体,证明:至少存在一个顶点,从其出发的三条棱组成一个三角形； (2)四面体一个顶点处的三个角分别是,,arctan 223ππ,求3π的面和arctan2的面所成的二面角.3.求正整数区间[],()m n m n <中,不能被3整除的整数之和.4.已知sin cos 1sin 2ααα+=+,求α的取值范围.5.若20lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=,求()f x .6.证明:以原点为中心的面积大于4的矩形中,至少还有两个格点.2007年清华大学自主招生试题1.求函数()xe f x x=的单调区间及极值.2.设正三角形1T 的边长为a ,1n T +是n T 的中点三角形,n A 为n T 除去1n T +后剩下的三个三角形内切圆面积之和.求1lim nk n k A →∞=∑.3.已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和E 右声道,其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音,当且仅当A 与B 中有一工作,C 工作,D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求:(1)能听到立体声效果的概率； (2)听不到声音的概率. 4.(1)求三直线60x y +=,12y x =,0y =所围成三角形内的整点个数； (2)求满足21260y x y x x y <⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.5.已知正三角形ABC ∆的顶点,B C 在双曲线1(0)xy x =>的一支上,且点A 的坐标为(1,1)A --. (1)求证:点,B C 关于直线y x =对称； (2)求ABC ∆的周长.6.对于集合2M R ⊆,称M 为开集,当且仅当0P M ∀∈,0r ∃>,使得20{}P R PP r M ∈<⊆.判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集,并证明你的结论. 2006年清华大学自主招生试题1.求最小正整数n ,使得11()223nI i =+为纯虚数,并求出I .2.已知a b 、为非负数,44,1M a b a b =++=,求M 的最值.3.已知sin sin cos θαθ、、为等差数列,sin sin cos θβθ、、为等比数列,求1cos2cos22αβ-的值. 4.求由正整数组成的集合S ,使S 中的元素之和等于元素之积.5.随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.6.抛物线2y x =上点P (非原点)的切线分别交,x y 轴于,Q R ,求PQ PR.7.已知函数()f x 满足:对任意的实数,a b 都有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅,且|()|1f x ≤,求证:()f x 恒为零.(可用以下结论:若lim ()0,()x g x f x M →∞=≤,M 为一常数,那么lim(()())0x f x g x →∞⋅=.)。