西南交通大学振动力学_第 章(I)多自由度系统的振动 PPT

振动对系统的影响
振动可能导致系统性能下降，如机械 零件磨损、设备失效等。
振动可能引发安全问题，如桥梁垮塌 、建筑物倒塌等。
多自由度系统振动的研究意义
多自由度系统振动是研究复杂振动现象的重要手段，有助于 深入了解振动本质。
研究多自由度系统振动有助于解决实际工程中的振动问题， 提高系统稳定性和可靠性。
传递矩阵法
总结词
传递矩阵法是一种通过建立系统的传递矩阵来描述系统的动态特性的方法。
详细描述
传递矩阵法的基本思想是通过建立系统的传递矩阵来描述系统的动态特性，其 中传递矩阵包含了系统各元素之间的相互作用关系。这种方法适用于线性时不 变系统，能够方便地处理多自由度系统的振动问题。
模态叠加法
总结词
模态叠加法是一种通过将系统的振动表示为若干个模态的线性组合，然后对每个 模态分别进行分析的方法。
多自由度系统振动(a)
• 引言 • 多自由度系统振动的基本理论 • 多自由度系统振动的分析方法 • 多自由度系统振动的控制策略 • 多自由度系统振动的应用实例 • 结论与展望
01
引言
振动现象的普遍性
01
振动是自然界和工程领域中普遍 存在的现象，如机械运转、地震 、建筑结构等。
02
振动可以由多种因素引起，如外 部激励、内部干扰等。
03
多自由度系统振动的分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种将连续的弹性体离散为有限个小的单元体的组合，通过求解每个单元的力学特性，进而得到整个 弹性体的振动特性的方法。
详细描述
有限元法的基本思想是将复杂的振动问题分解为若干个简单的子问题，通过求解这些子问题，再将这些解组合起 来得到原问题的解。这种方法能够处理复杂的边界条件和材料属性，适用于各种形状和大小的物体，具有很高的 灵活性和通用性。

−μk (1+ μ)k
⎤ ⎥ ⎦
⎧⎩⎨uu12
⎫ ⎬ ⎭
=
⎧0⎫ ⎩⎨0⎭⎬
k1 m1
k2
k3
m2
Mu&& + Ku = 0
(K −ω2M)ϕ = 0
有非零ϕ
ϕ1
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
,
ϕ2
=
⎡−1⎤
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
det(K −ω2M) = 0
ω1 =
k, m
ω2 =
(1+ 2μ)k
m
u1
u2
k1
k2
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡1⎤
ϕr* = ⎢⎢−1／2⎥⎥
⎢⎣ 3／2 ⎥⎦
理解固有振型
② 按自由度中最大幅值归一化：
⎡2⎤
ϕr = ⎢⎢−1⎥⎥
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡ 0.66 ⎤
ϕr* = ⎢⎢−0.33⎥⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位
③ 按模态质量归一化
ϕr
ϕ
* r
=
ϕr
=
ϕ
T r
船体振动基础
1
第2章 多自由度系统的振动
一、引言 二、两自由度系统的振动
2
第三章：多自由度系统的振动分析
第6周 (2)：
1.理解固有振型
2.固有振型的正交性
3. 多自由度系统的自由振动 (P45) ¾ 多自由度系统的固有频率和振型
1、多自由度系统无阻尼自由振动方程式的一般形式： Mq&& + Kq = 0
M
21
A( i ) 1
+

2 M K )u 0 ( n
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )

x1 A1(1) sin p1t 1
(1) x2 A2 sin p1t 1 (1) xn An sin p1t 1
每个坐标均以同一圆频率p1及同一相位角 1作简谐振动，称为 系统第一阶主振动。
1 类似的，当系统在某些特殊的初始条件下，还可以产生系统的 第二阶、第三阶、…一直到第n阶主振动，具有与第一阶主振动 完全类似的性质。




2 2 2 m p A k m p A k m p 21 21 j 1 22 22 j 2 2 n 1 2 n 1 j An 1




k1n m1n p 2 j An k 2 n m2 n p 2 j An






y1 11 P 1 m1 y1 12 P 2 m2 y 2 1n P n mn y n y2 21 P 1 m1 y1 22 P 2 m2 y 2 2 n P n mn yn yn n1 P 1 m1 y1 n 2 P 2 m2 y2 nn P n mn y n
化简后得
1 K1 K 2 x1 K 2 x2 P m1 x 1 2 K 2 x1 K 2 K 3 x2 K 3 x3 P2 m2 x 3 K 3 x2 K 3 x3 P3 m3 x
此式可用矩阵形式表达式
K x P M x
11 12 1n 2n 21 22 , n1 n 2 nn
m1 0 0 m 2 M 0 0
0 0 mn