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向量组的极大线性无关组

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《极大线性无关组》课件

《极大线性无关组》课件

线性无关与线性相关的性质
线性无关的性质
如果向量组$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$是线性无关的，那么这组 向量中的任何一个向量都不能由其余向量线性表示。
线性相关的性质
如果向量组$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$是线性相关的，那么至少 存在一个向量可以由其余向量线性表示。
秩的性质法
总结词
利用秩的性质，通过计算矩阵的秩和子矩阵 的秩，确定极大线性无关组。
详细描述
秩的性质法也是一种有效的求极大线性无关 组的方法。首先，计算矩阵的秩。然后，通 过去掉矩阵中的某些行和列，得到子矩阵， 并计算子矩阵的秩。如果子矩阵的秩等于其 行数或列数，则对应的行或列向量是极大线 性无关组的一个元素。重复此过程，直到找 到所有极大线性无关组的元素。
向量组与极大线性无关组的关系
向量组的秩与极大线性无关组
一个向量组的秩等于其极大线性无关组的秩，即向量组的秩等于其最大线性无关向量的个数。
向量组的线性相关性与极大线性无关组
如果一个向量组中的向量可以由其他向量线性表示，则该向量组是线性相关的，否则是线性无关的。极大线性无 关组是线性无关的，且不能被其他向量线性表示。
THANKS
感谢观看
01
定义与性质
极大线性无关组是在向量空间中选取的一组线性无关的向量，其数量最
多，且无法再添加其他线性无关的向量。它具有一些重要的性质，如唯
一性、基底性质等。
02
计算方法
极大线性无关组的计算方法有多种，如高斯消元法、施密特正交化方法
等。这些方法可以有效地求解极大线性无关组，为向量空间的分解和矩

3.43.5向量组的极大无关组与向量空间

3.43.5向量组的极大无关组与向量空间

看 1,2 ,3 的线性相关性：
令1 a11,a12,a13 , 2 0,a22 ,a23 , 3 0,0,a33
1 2 01,2 ,3 线性无关， 3
维数增加后得到的 1,2 ,3 依然线性无关， 而 1,2 ,3 ,4 与 1,2 ,3 ,5 都线性无关，
所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数
i li11 li2 2 lim m i 1,2,, s 2
等价向量组的基本性质:
定理：设 1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果: (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
一、等价向量组
定义1： 如果向量组 A :1,2 , ,m 中的每一个向量 i (i 1, 2, , t ) 都可以由向量组 B : 1, 2 , , s 线性
表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。
若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称向量 组A与向量组B等价。
即
i ki1 1 ki2 2 kis s i 1,2,, m 1
证：设矩阵A经过初等行变换变为B，即存在有限个初等矩阵
P1 , P2 , , PS 使得 P1P2 PS A B.
令 P P1P2 PS 则 PA B. 把 Amn 按列分块,设
Amn (1,2 , ,n ). 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1,2 , ,r ,
（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）.
? 问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩
引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列）
（列）
1

第四节 向量组的极大线性无关组

第四节 向量组的极大线性无关组

故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组 证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
13
1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
20
当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
15

r A r. 则有 推论 设A为 m n 矩阵，

4[1].3向量组的秩和极大线性无关组

4[1].3向量组的秩和极大线性无关组
第二节 向量组的极大无关组与秩
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3

向量组的极大无关组与秩的定义

向量组的极大无关组与秩的定义

复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组 定义1：设 向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。 则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个 数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的 个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表

向量组的极大线性无关组

向量组的极大线性无关组
05
关组都是等价的.
第二章 n维列向量
第二章 n维列向量
2.4 向量组的极大线性无关组
计算 理论依据:
(1) 命题2.1
例2.8. 已知向量组1, 2, 3线性无关, 求 1 2, 2 3, 3 1 的一个极大无关组.
(2) 定理1.11 (2.4 向量组的极大线性无关组 线性无关。
1.求向量组的秩：初等行变换化为行阶梯形，
第二章 n维列向量 行阶梯形的非零行数等于矩阵的秩，等于行 （列）向量组的秩。 初等行变换不改变列向量组之间的线性关系。
2.判断向量组的线性关系：初等行变换化为行
阶梯形，判断秩与向量个数的大小，秩小于 个数，向量组线性相关，秩等于个数，向量组
r个向量构成的极大无关组.
命题2.1. 秩为r的向量组中任何r个线性无关的
向量都构成它的一个极大无关组.
2.4 向量组的极大线性无关组
02
定理2.6. 一个向量组的任何两个极大无关组
都是等价的, 因而任意两个极大无关 组所含向量的个数都相同, 且等于这 个向量组的秩.
命题2.2. 一个向量组与它的任何一个极大无
个向量线性相关。又因为a, b互异，故
从而 线性无关。因此这个向量组的
秩为2，且 是所要求的极大无关组。
(2) 1, 2, …, s中任一向量都可由
§2.4 向量组的极大线性无关组
第二章 n维列向量
§2.4 向量组的极大线性无关组
一. 定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组
满足以下条件:
, …,
i1
,
i2
ir
线性无关;
, …,

3[1].4向量组的极大无关组


1 0 1 0 4
例如：
0
1
1
0
3
B
0 0 0 1 3
0
0
00
0
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
例1 ：对矩阵
A
0
1
1
0
0
1
0 2 2 0 0 1
0
1
1 2 2 2
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1
1
i
i
A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组 可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
0
0
0
1
1
1
r3r2 0 0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
例2：求上三角矩阵的秩
a11 a12 a13 a14 a15
0
a22
a23
a24
a25
A 0
0 0
0 a33 a34 a35 aii 0 i 1, 2, 3
0
0
0
0
0 0 0 0
解：看行秩 1 a11,a12 ,a13 ,a14 ,a15 2 0,a22 ,a23 ,a24 ,a25

1-3 向量组的极大无关组及向量组的秩


11
α1 = (1, 2,0, 1) α2 = (3,1, 5, 7) 例4 求向量组 α3 = (5, 3,7,9) α = (2,1, 3, 3) 4 α5 = (1, 4, 2, 7)
的秩及向量组的一极大无关组, 的秩及向量组的一极大无关组,并求其余向量由这极大无关 组的线性表达式. 组的线性表达式. 极大无关组为: 极大无关组为: α1 ,α2 ,α4 或者 α1 ,α3 ,α4
4 7 α3 = 5α1 5 α2 为极大无关组为例: 以α1 ,α2 ,α4 为极大无关组为例: α = 9α + 8α 2α 4 5 5 1 5 2 12
或者 α1 ,α2 ,α5 或者 α1 ,α3 ,α5
小结
1.介绍基本概念:极大无关组,秩. 介绍基本概念:极大无关组, 介绍基本概念 2. 向量组的初等变换,行阶梯形矩阵. 向量组的初等变换,行阶梯形矩阵. 3. 重点:定理1.3.3. 重点:定理1 4 .必须会求向量组的秩,极大无关组. 必须会求向量组的秩, 必须会求向量组的秩 极大无关组.
§1.3 向量组的极大无关组及向量组的秩 一,极大无关组,秩 极大无关组, 二,向量组的初等变换
1
一,极大无关组,秩 极大无关组, 定义1.3.1 定义1.3.1
α1 ,α2 ,,αr 是向量组 的一部分向量组,如果满足 是向量组T 的一部分向量组,
线性无关; (1)α1 ,α2 ,,αr 线性无关; (2)α ∈T, 总有 α1 ,α2 ,,αr,α 线性相关. 线性相关. 则称 α1 ,α2 ,,αr 是向量组 的一个极大线性无关组, 是向量组T 简称极大无关组.
若写成矩阵形式 ,可以看到有阶梯出现
α1 1 α2 = 0 α3 0 α 0 4

向量组的极大线性无关组

线性无关
例1 考虑R4中的向量组
1 (1,2,1,2)T,2 (2,4,1,1)T,3 (2,4,2,4)T, 4 (1,2,2,1)T其中线性无关的 最部 多分 可组 以
包含多少个向量？
定义2.11 如 果 一 个 向 量 组 的 部 分 组 1 ,2 ,3 ,..., r
r(1,2,...,s)
注：
1 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 无 关 r 1 ， 2 ， ， s ＝ s . 2 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 相 关 r 1 ， 2 ， ， s s .
例
定理2.10 如 { 1 ,2 果 ,3 ,.s . } .{ ,1 ,2 ,.t} .则 .,,
例4 设矩阵
1 0 0 0
A 0 2 0 0
0 0 0 3
求A的行秩和A的列秩、A的秩。 定理2.11 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
定理2.12 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中
1 2 1 4
A


1
1 1 2
r (1 ,2 ,3 ,..s ). r ,(1 ,2 ,.. t).,
例3 Rn中的任n意 1个向量一定线性. 相关
例：P113：21
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义2.14 矩 阵 A(aij)m n的 行 向 量 组 1,2,3,...,m
的 秩 称 为 矩 阵 A 的 行 秩 ;A 的 列 向 量 组 的 秩 称 为 矩 阵 A 的 列 秩 .
满 足 以 下 两 个 条 件
( 1 ) 1 ,2 ,3 ,...,r 线 性 无 关 ；

向量组的极大无关组(2)

（1）初等行变换不改变 A 的行秩； （2）初等行变换不改变 A 的列秩； （3）初等列变换不改变 A 的列秩； （4）初等列变换不改变 A 的行秩。
只需证明经过一次初等变换结论成立即可。
对于（1）：将 A 按行分块，对 A 作一次初等行变换 后的矩阵记为 B ，则显然无论用哪一种初等行变换， A 的行向量组与 B 的行向量组都可以互为线性表示。
(r 1) , 试证： r 1,2, r r 1, 2, r 。
证明：由已知有：
0 1 1
1
1
01
1
1, 2,
r 1,2,
r
1
10
1
1 1 1
0
0 11
1
1 11
1
1 01
1
1 01
1
因为： 1 1 0
1 (r 1) 1 1 0
1
1 11
0
11 1
0 1 1 (r 1) 0 0 1
【注 3】当且仅当向量组1,2 , ,m 线性无关时， 有 r(1,2 , ,m ) m 。
【定理 2】若向量组1,2 , ,m 可由 1, 2 , , s 线性表出，则有：
r(1,2 , ,m ) r(1, 2 , , s ) 。 证 设1,2, ,m 为 (a) ，它的极大无关组为 (a) ， 设 1, 2 , , s 为 (b) ，它的极大无关组为 (b) 。
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
例例1如,
设1
1
0
,
2
0
1
,
3
1 1
,
4
2 2
，
则： 1,2 构成1,2 ,3,4 的极大无关组，
2,3 也构成1,2 ,3,4 的极大无关组；
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大无关组.
注：1、极大无关组一般来说不唯一。
2、极大无关组所含向量的个数相同。
3、只由一个零向量构成的向量组不存在极
大无关组，一个线性无关向量组的极大
无关组就是该向量组本身。
例：
二维向量组1＝

0 1
，

2＝
1 0
，

3＝11，
4＝
0 2
，
则1，2；2，3等均是极大无关组。
推论2 两个等价的,并且都线性无关的向量组所含的向量 个数相同。
推论3 一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量个 数相同
注：两个向量组等价，所含向量个数未必相 等。（线性无关条件不能省略）
例
定义2.13
向量组1
,

2
,

3
Байду номын сангаас
,
...,

的极大无关组所含
s
向量的个数，称为该向量组的秩，记作
注：
r( 1 ,2,...,s )
{1,2 ,3,..., s} {1, 2 ,..., t }
例:
向量组1
1＝

1 0
，

2＝
0 1
；与向量组
2
1＝

1 2
，2＝11，3＝
2 2

等价。
等价具有如下性质 (1) 反身性:任一向量组与其自身等价
并将其余向量表为该极大无关组的线性组合.
注： 1、矩阵的初等行（列）变换不改变 其列（行）
向量组的线性关系。 2、求列向量组的极大无关组的方法： （1）以向量组中各向量作为矩阵的列； （2）对所构成的矩阵施行行初等变换，将矩阵
化为阶梯型矩阵； （3）阶梯型矩阵中，每一台阶取一列，则对应
的向量所构成的向量组即为极大无关组。
{1,2 ,3,...,s} {1,2,3,...,s}
(2)对称性：如果{1,2 ,3,...,s} {1, 2 ,..., t}
则 {1, 2,..., t} {1,2,..., s};
(3)传递性：如果{1,2 ,...,s} {1, 2,..., t}，
定义2.12 设有两个Rn中的向量组
（1） 1,2 ,3,..., s , 与 （2）1，2，..., t
如果向量组(1)的每一个向量都可以由向量组(2)线性 表出,则称向量组(1)可由向量组(2)线性表出;如果向 量组(1)和向量组(2)可以互相线性表出,则称向量组 (1)和(2)等价.记作
满足以下两个条件
(1) 1,2 ,3,...,r线性无关；
(2) 向量组中的每个向量都可以表示为1,2,
3
,
...,

的线性组合，也就是说，将向量组中
r
任意一个向量添加到部分组1， 2，..., r中, 得
到的向量组都线性相关, 则称1 , 2 ,3 , ..., r
为该向量组的一个极大线性无关组，简称为极
且 {1, 2 ,..., t } {1, 2 ,..., p};
则 {1,2 ,...,s} {1, 2,..., p}
定理2.8 向量组和它的极大无关组等价.
推论 向量组的任意两个极大无关组之间等价
定理2.9
如果向量组
1
,
2
,
...,
可由向量组
s
1，2，..., t线性表出,并且s t,则向量组 1, 2 , ..., s线性相关.
0 0 0 3
求A的行秩和A的列秩、A的秩。 定理2.11 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
定理2.12 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中
1 2 1 4
A


1
1 1 2
1 0 1 0
例6 求向量组1 (2,1, 3, 1)T ,2 (3, 1, 2, 0)T , 3 (1, 3, 4, 2)T ,4 (4, 3,1,1)T 的一个极大无关组，
1、向量组1，2，L ，s线性无关 r 1，2，L ，s ＝s. 2、向量组1，2，L ，s线性相关 r 1，2，L ，s s.
例
定理2.10 如果{1,2 ,3,..., s} {1, 2 ,..., t}, 则
r(1,2 ,3,..., s ) r(1, 2 ,..., t )
例3 Rn中的任意 n 1个向量一定线性相关 .
例：P113：21
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义2.14 矩阵A (aij )mn的行向量组1,2 ,3,...,m
的秩称为矩阵A的行秩; A的列向量组的秩称为矩 阵A的列秩.
例4 设矩阵
1 0 0 0
A 0 2 0 0
2.4 向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
线性无关
例1 考虑R4中的向量组
1 (1,2,1,2)T ,2 (2,4,1,1)T ,3 (2,4,2,4)T , 4 (1,2,2,1)T 其中线性无关的部分组最多可以
包含多少个向量？
定义2.11 如果一个向量组的部分组1,2 ,3,...,r
例2 设1,2 ,3与1, 2是Rn中的两个向量组，
且已知1

1

2
2， 2

21

3
，
2
3

1

4
2我们可以推出1，
2，
一定线
3
性相关，即存在不全为零的实数k1, k2, k3,使
k11 k22 k33 0
推论1 如果向量组1,2 ,3,...,s线性无关,并且 可由向量组1，2，..., t 线性表出,则s t.