[精品]2019版高中数学第二章函数2.3函数的应用(Ⅰ)学业分层测评新人教B版必修68

2018版高中数学第二章函数2.3 函数的应用(Ⅰ)学案新人教B版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章函数2.3 函数的应用(Ⅰ)学案新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2．3 函数的应用（Ⅰ)1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．（重点、难点)[基础·初探]教材整理几类函数模型阅读教材P65～P68“探索与研究”以上部分，完成下列问题．常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x）＝ax＋b（a,b为常数，a≠0)二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数,a≠0)分段函数模型f（x)＝错误!1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图2。

3。

1所示，判断下列说法的对错．图2­3­1（1）甲比乙先出发．（)(2）乙比甲跑的路程多．（)（3）甲、乙两人的速度相同．( )(4)甲先到达终点．（)【答案】（1）×(2）×(3）×（4）√2．某生产厂家的生产总成本y（万元)与产量x（件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( )A．52 B．52。

5C．53 D．52或53【解析】因为利润＝收入－成本,当产量为x件时（x∈N),利润f（x)＝25x－(x2－80x），所以f（x）＝105x－x2＝－错误!2＋错误!，所以x＝52或x＝53时,f（x）有最大值．【答案】D［小组合作型]一次函数模型的应用(1)y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( ）A．2 000套B．3 000套C．4 000套D．5 000套（2）如图2。

函数的应用教学目标根据课程标准要求，本课的教育教学目标可分为三个维度加以说明：1.知识目标：能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题．(1) 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义．(2) 能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题．(3) 能处理有民生、经济、物理等方面的实际问题．2.能力目标：通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．3.情感目标：通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．【设疑导思，引入新课】引例：西湖旅游景区附近的某旅馆有客房50间，每间日房租90元，每天都客满，旅馆欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租增加10元，客房出租数就会减少2间，若不考虑其他因素，旅馆老板将房价租金提高到多少元时，每天客房的租金收入最高？【概念形成】1.函数应用的内涵应用函数解决实际问题，即把抽象为.2.处理好函数的应用，通常需要做到如下几步：（1）读题：仔细读题目，弄清楚题目中的数字代表的及其数学含义.（2）建模：建立相应的函数模型。

常见的函数模型有，，，等. （3）求解：用相应的和，去求解函数.（4）检验：把解出的数学问题放回到，得出符合条件的结论.【学以致用，小试牛刀】例题1 东方职业学校营销专业的创业小组学生购进一批服装，每批的进价是60元.在销售过程中他们发现：当每件售价为75元时，日销售量为85件；当每件售价为90元是，日销售量为70件.假设日销售量p(件)与每件售价x(元)之间的函数关系为：p=kx+b(每件售价不低于进价，且货源充足).•(1)求出p与x之间的函数关系式；•(2)设每天的利润为y(元)，若不考虑其他费用，则每件售价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？反思提炼：通常我们做销售问题时，要认真读题，要理解其中的销售术语的含义及关系，如“单价”、“销售量”、“成本”、“销售收入”、“利润”等.通过构造二次函数求出最值，通过构造二次不等式求出使收入增加的商品定价范围.例2 某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式．居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分，按0.8元/度收费；超过150度的部分按1.2元/度收费．该市居民当月用电量x（度）与应付电费y（元）的函数图像如图所示．•(1) 求该市居民用电的基础电价是多少元/度？•(2) 某居民8月份的用电量为210度，求应付电费多少元？•(3) 当时，求x与y的函数关系式(x为自变量)．第2题图反思提炼：分段函数是高考热点问题.现实生活中很多问题都是用分段函数来表示的，如出租车计费、个人所得税、水电费、天然气价格改革等热点问题，都与人们的生活息息相关，体现了数学的大众性和重要性，要求同学们灵活掌握。

课时分层作业(二十一) 幂函数(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )【导学号：37102314】A.12 B ．1 C.32D ．2A [∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.] 2．如图2­3­3所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )图2­3­3A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1B [因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．]3．幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( )【导学号：37102315】A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)B [设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]4．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3A [当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.]5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 【导学号：37102316】A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B.] 二、填空题6．已知幂函数f (x )＝x m的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，13，则f (6)＝________.136 [依题意13＝(3)m＝3m 2，所以m2＝－1，m ＝－2， 所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.]7．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.【导学号：37102317】－1 [∵f (x )＝(m 2－m －1)x2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意． 综上可知，m ＝－1.]8．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，116，则f (x )的值域为________． (0，＋∞) [由题意设f (x )＝x m ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，116在函数图象上得4m＝116，解得m ＝－2，所以f (x )＝x －2＝1x2，故其值域为(0，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数.【导学号：37102318】[解] (1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[解] (1)由题意，得f (2)＝2a ＝18，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)∵f (x )＝x －3＝1x3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， ∴该幂函数为奇函数．当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[冲A 挑战练]1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )【导学号：37102319】A ．0.76＜60.7＜log 0.76 B ．0.76＜log 0.76＜60.7C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.7D [由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1,0＜0.76＜1，log 0.76＜0，∴log 0.76＜0.76＜60.7，故选D.] 2．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3； ④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x .其中满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>fx 1＋f x 22(x 1>x 2>0)的函数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A [①函数f (x )＝x 的图象是一条直线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22；②函数f (x )＝x 2的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22；③在第一象限，函数f (x )＝x 3的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22；④函数f (x )＝x 的图象是凸形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22；⑤在第一象限，函数f (x )＝1x的图象是一条凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.故仅有函数f (x )＝x 满足， 当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22.故选A.] 3．已知函数f (x )＝x1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.【导学号：37102320】3 [取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝x －13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝x －23满足题意．]4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．3<a ≤5 [因为f (x )＝x 12＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，a >3，所以3<a ≤5.]5．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，函数g (x )＝(x －2)f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，求函数g (x )的最大值与最小值.【导学号：37102321】[解] 因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以12＝2α，所以α＝－1，所以f (x )＝x －1， 所以g (x )＝(x －2)·x －1＝x －2x ＝1－2x.又g (x )＝1－2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3， g (x )max ＝g (1)＝－1.。

课时分层作业(二十一) 幂函数(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )【导学号：37102314】A.12 B ．1 C.32D ．2A [∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.] 2．如图2­3­3所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )图2­3­3A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1B [因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．]3．幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( )【导学号：37102315】A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)B [设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.] 4．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3A [当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.]5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 【导学号：37102316】A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B.] 二、填空题6．已知幂函数f (x )＝x m的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，13，则f (6)＝________.136 [依题意13＝(3)m＝3m 2，所以m2＝－1，m ＝－2， 所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.]7．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.【导学号：37102317】－1 [∵f (x )＝(m 2－m －1)x2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意．综上可知，m ＝－1.]8．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，116，则f (x )的值域为________． (0，＋∞) [由题意设f (x )＝x m ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，116在函数图象上得4m＝116，解得m ＝－2，所以f (x )＝x －2＝1x2，故其值域为(0，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数.【导学号：37102318】[解] (1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[解] (1)由题意，得f (2)＝2a ＝18，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)∵f (x )＝x －3＝1x3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， ∴该幂函数为奇函数．当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[冲A 挑战练]1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )【导学号：37102319】A ．0.76＜60.7＜log 0.76 B ．0.76＜log 0.76＜60.7C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.7D [由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1,0＜0.76＜1，log 0.76＜0，∴log 0.76＜0.76＜60.7，故选D.]2．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3； ④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x.其中满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>fx 1＋f x 22(x 1>x 2>0)的函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个A [①函数f (x )＝x 的图象是一条直线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22；②函数f (x )＝x 2的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22； ③在第一象限，函数f (x )＝x 3的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22；④函数f (x )＝x 的图象是凸形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22；⑤在第一象限，函数f (x )＝1x的图象是一条凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.故仅有函数f (x )＝x 满足， 当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22.故选A.] 3．已知函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.【导学号：37102320】3 [取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝x －13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝x －23满足题意．]4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．3<a ≤5 [因为f (x )＝x 12＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，a >3，所以3<a ≤5.]5．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，函数g (x )＝(x －2)f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，求函数g (x )的最大值与最小值.【导学号：37102321】[解] 因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以12＝2α，所以α＝－1，所以f (x )＝x －1， 所以g (x )＝(x －2)·x －1＝x －2x ＝1－2x. 又g (x )＝1－2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3， g (x )max ＝g (1)＝－1.。

2．2．3 待定系数法1．了解待定系数法的概念．2．知道待定系数法的适用范围．3．会用待定系数法求函数解析式．1．待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法，叫做待定系数法．2．二次函数的三种表示形式(1）一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0),其中a决定开口方向与大小，c是y轴上的截距，而x＝－错误!是对称轴．(2）顶点式y＝a(x－h）2＋k（a≠0）,其中(h,k）是抛物线的顶点坐标，x＝h是对称轴．（3)两根式y＝a（x－x1）（x－x2)（a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．1．若函数y＝kx＋b的图象经过点P（3，－2)和Q(－1，2）,则这个函数的解析式为（）A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1解析:选D．把点P（3，－2)和Q(－1，2）的坐标分别代入y ＝kx＋b，得错误!解得错误!所以y＝－x＋1，故选D．2．已知抛物线经过点（－3，2），顶点是（－2,3），则抛物线的解析式为（）A．y＝－x2－4x－1B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1D．y＝－x2－4x＋1解析:选A．设所求解析式为y＝a(x＋2)2＋3(a≠0），因为抛物线过点(－3，2)，所以2＝a＋3．所以a＝－1，所以y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1．3．应用待定系数法求函数解析式的前提条件是什么？解：前提条件是已知所求函数的类型，即已知其一般形式．求一次函数的解析式已知函数f(x)是一次函数,且有f［f（x)］＝9x＋8,求此一次函数的解析式．【解】设所求一次函数为f(x）＝kx＋b(k≠0），由题意得f ［f(x)］＝k（kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b．所以k2x＋kb＋b＝9x＋8,得错误!,解得错误!或错误!，所以所求的一次函数为：f（x）＝3x＋2或f(x)＝－3x－4．错误!用待定系数法首先要明确所求解析式的类型，若f(x）＝ax＋b，则f［f(x)］表示的意思是f［f(x)]＝af（x)＋b＝a（ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，这是解决本题的关键．若一次函数f(x)满足f(x＋1）＋f(x)＝2x，则f（x)＝________．解析:设f（x）＝ax＋b(a≠0）,则f（x＋1）＋f(x）＝a(x＋1）＋b＋ax＋b＝2x,所以错误!，解得错误!,所以f(x）＝x－错误!．答案:x－错误!求二次函数的解析式已知二次函数的图象过点(1，4）,且与x轴的交点为（－1，0）和（3，0）,求函数的解析式．【解】法一：设函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），将三个点的坐标代入，得错误!，解得错误!．所以f(x)＝－x2＋2x＋3．法二：设函数的解析式为f（x）＝a（x＋1）(x－3），将点(1，4)的坐标代入，得－4a＝4,所以a＝－1．所以f（x）＝－(x＋1)(x－3）＝－x2＋2x＋3．若将本例中的已知条件改为函数f(x)的顶点为(1，4)，且与x轴的一个交点为(－1,0），求此二次函数的解析式．解：因为已知函数f（x)的顶点为(1，4）,故设二次函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2＋4(a≠0)，又经过（－1，0），所以0＝a(－1－1）2＋4,所以a＝－1，所以f（x）＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3，所以f(x）＝－x2＋2x＋3．错误!二次函数常见的表达式有三种：一般式、顶点式、两根式，选择合适的表达式能起到事半功倍的效果．（1）一般地，若已知函数经过三点,常设函数的一般式；（2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时，我们可考虑函数的顶点式；(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根,可设函数的两根式．已知二次函数f（x）图象的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1，13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式．解：设f（x）＝a（x＋1)2＋k（a≠0）．由题意,得f（1）＝13，f(2)＝28，解得a＝3,k＝1,所以f(x）＝3（x＋1)2＋1．已知函数图象求解析式已知函数y＝f(x）的图象由如图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．【解】根据图象,设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b （x<1)，因为点(1，1）、（0,2）在射线上，所以错误!解得错误!所以左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2（x<1）．同理，x>3时，函数的解析式为y＝x－2（x〉3）．再设抛物线对应的二次函数解析式为y＝a(x－2）2＋2(1≤x≤3，a〈0)．因为点(1，1)在抛物线上，所以a＋2＝1，a＝－1．所以1≤x≤3时,函数的解析式为y＝－x2＋4x－2（1≤x≤3）．综上,可知函数的解析式为错误!由函数图象求函数的解析式，关键在于分析图象由哪几种函数组成，然后就每一类函数利用待定系数法求相应解析式．在体育测试时，高一的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示．如果这个男同学出手处A点的坐标是(0，2）,铅球路线的最高处B点的坐标是(6，5)．(1）求这个二次函数的解析式;(2）该同学把铅球推出去约多远？(精确到0．01米，错误!≈3．873）解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x－6）2＋5（a<0）,(1)由于点A(0，2)在抛物线上，所以2＝36a＋5，所以a＝－错误!．所以y＝－112（x－6）2＋5＝－错误!x2＋x＋2．(2）令y＝0，得－错误!x2＋x＋2＝0，即x2－12x－24＝0．解得x＝6＋2错误!≈6＋2×3．873＝13．75(米）或x＝6－2错误!（舍）．所以该同学把铅球推出去约13．75米．待定系数法的综合应用如果函数f(x）＝错误!(b,c∈N＋)满足f(0）＝0，f（2）＝2,且f(－2）<－错误!，求f（x)的解析式．【解】由f(0）＝0，f(2)＝2，可得错误!,所以错误!，所以f(x）＝错误!．又由f(－2)〈－错误!，所以错误!〈－错误!，解不等式得错误!〈b<错误!．又因为b∈N＋，所以b＝1或b＝2．又2b－c＝2，故当b＝1时，c＝0，不符合题意．当b＝2时c＝2．所以f(x)＝错误!（x≠1）．错误!函数f（x）中含有a,b，c三个参数，要求a,b，c的值，必须有三个独立的条件，而题目恰有三个独立条件，但由条件三得到的结果为不等式,所以还应特别注意b,c∈N＋这一条件．二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c（a,b，c∈R)满足f（－1)＝0，f(1）＝1，且对任意实数x都有f（x)－x≥0．求f(x）的解析式．解:由错误!得，b＝错误!,a＋c＝错误!．①因为对x∈R，f(x)－x＝ax2－错误!x＋c≥0，所以错误!，即错误!．②由①②可得，a错误!≥错误!，即a2－错误!a＋错误!≤0,可得错误!错误!≤0，所以a＝错误!，所以c＝错误!，所以f（x)＝错误!x2＋错误!x＋错误!．1．待定系数法的理论依据是多项式恒等,即等式左右两边对应项系数相等．2．利用待定系数法解决问题的步骤（1）根据已知条件写出含待定系数的函数的一般式；(2)由x、y的几对值，或图象上的几个点的坐标或其他条件，建立以待定系数为未知数的方程或方程组；(3)解方程(组)得到待定系数的值；（4)将求出的系数代回所设函数解析式中求得函数解析式．用待定系数法求函数解析式步骤简缩成：第一步：设；第二步：代；第三步:求；第四步：写．即“设、代、求、写”．利用待定系数法求二次函数解析式要根据条件选取适当的形式，灵活采用不同的方法求解．1．函数f（x)为一次函数,且f(1）＝－2，f（－1）＝0，则f（x）的解析式为（）A．f(x)＝x－1 B．f（x）＝－x－1C．f(x）＝－x＋1 D．f(x)＝x＋1答案：B2．已知二次函数的图象顶点为（2,－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为( )A．y＝2（x－2)2－1 B．y＝2(x＋2）2－1C．y＝2（x＋2）2＋1 D．y＝2（x－2）2＋1解析：选A．设y＝a（x－2)2－1,由1＝a（3－2）2－1，所以a＝2．所以y＝2(x－2)2－1．3．已知抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝kx＋1(k≠0）交于两点，其中一交点为（1，4)，则另一交点为________．解析:将(1,4）的坐标分别代入y＝ax2与y＝kx＋1，得错误!解得错误!再联立错误!解得错误!或错误!答案:错误!4．试写出一个开口向上，对称轴为x＝2，且与y轴交点为(0，3）的抛物线的解析式为________．解析：设y＝a(x－2）2＋k，当x＝0时，y＝3，所以4a＋k＝3．所以a＝1时，k＝－1，y＝(x－2）2－1＝x2－4x＋3．答案:y＝x2－4x＋3（答案不唯一)[A 基础达标］1．已知ax2＋2x－15＝(x－3）(x＋b），则a＋b的值为( ）A．5 B．6C ．7D ．8解析：选B ．原式可化为ax 2＋2x －15＝x 2＋（b －3）x －3b ,所以a ＝1，b ＝5．所以a ＋b ＝6．2．如果函数y ＝ax ＋2与y ＝bx ＋3的图象相交于x 轴上一点，那么a ，b 的关系是（ )A ．a ＝bB ．a ∶b ＝2∶3C ．a ＋2＝b ＋3D ．ab ＝1解析：选B ．设两函数图象交于x 轴上的点为（t ，0），代入解析式有a ＝－错误!，b ＝－错误!，所以a ∶b ＝（－错误!）∶（－错误!）＝2∶3．3．已知二次函数过（－1，0），（2，7）,（1,4）三点，则其解析式为( )A ．y ＝13x 2－2x ＋错误! B ．y ＝错误!x 2＋2x ＋错误! C ．y ＝错误!x 2＋2x －错误! D ．y ＝错误!x 2－2x －错误!解析：选B ．设所求解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）．把点（－1，0),(2，7），(1,4）代入解析式，解得a ＝错误!,b ＝2，c ＝错误!．则函数解析式为y ＝13x 2＋2x ＋错误!． 4．已知函数f (x ）＝x 2＋px ＋q 满足f (1）＝f (2)＝0，则f （－1）的值是( ）A ．5B ．－5C ．6D ．－6解析：选C ．由f (1)＝f （2)＝0．知x 2＋px ＋q ＝0的两根为1、2,则f (x ）＝x 2＋px ＋q ＝(x －1)（x －2）,得p ＝－3，q ＝2．所以f (－1）＝6．5．已知a 、b 为常数，若f (x ）＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________．解析:f （ax ＋b )＝（ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋(2ab ＋4a ）x ＋b 2＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24，所以错误!，解得错误!或错误!,所以5a －b ＝2．答案：26．反比例函数y＝12x的图象和一次函数y＝kx－7的图象都经过点P（m，2)，则一次函数的解析式为________．解析：点P(m，2）在函数y＝错误!的图象上,所以2＝错误!，m＝6，P点坐标为（6，2)．因为一次函数y＝kx－7的图象经过点P(6，2），所以6k－7＝2，k＝32．所求的一次函数解析式是y＝错误!x－7．答案：y＝错误!x－77．已知y＝f(x）是一次函数，且有2f(2）－3f（1)＝5，2f（0）－f(－1）＝1．求这个函数的解析式．解：设f(x）＝kx＋b(k≠0）,则错误!，解得：k＝3，b＝－2，即函数的解析式为f（x）＝3x－2．8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a〉0)，一次函数g（x)＝2ax ＋b，若｜f（0）|＝1，g（0）＝0，f(1）＝0，求f(x)、g(x）的解析式．解：由｜f（0）|＝1，g（0)＝0，f(1）＝0得：错误!，即错误!，又因为a>0，所以错误!,所以f（x)＝x2－1，g（x）＝2x．［B 能力提升]9．如图,抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A、B两点，且OA＝3OB，则m＝( ）A．－错误!B．0C．－错误!或0 D．1解析：选B．设A(x1，0）,B(x2，0),则x1＝－3x2．由错误!, 得3m2＋5m＝0，所以m＝0或m＝－错误!．由题意知对称轴x＝m＋1>0，即m〉－1，所以m＝－错误!不合题意，所以m＝0．10．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f（x)的解析式为__________________；该函数的值域为__________．解析：当0≤x≤2时，直线过（0，2)与(1,0）点．所以设直线为y＝kx＋b，得错误!,即y＝－2x＋2．当2〈x〈3时,y＝－2．当3≤x≤5时，一次函数过（3，－2）与（5，0）点，设为y′＝k′x＋b′，得：y＝x－5．由图象可得值域为［－2,2］．答案：f(x)＝错误!［－2，2]11．在10米跳台跳水比赛中，正常情况下完成某个规定动作，运动员需在空中最高处距水面10错误!米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面高度为5米或高于5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．如果把人的身体看成一点，在空中的路线模拟从原点O出发的抛物线一部分（如图，图中标出的数据均为已知条件)．求出这条抛物线的解析式．解：由题意和图示知:O、B两点的坐标依次为(0，0)、(2，－10)，顶点A的纵坐标为错误!，故可设这条抛物线的解析式为y＝ax2＋bx(a≠0)，由错误!，解得a＝－错误!，b＝错误!，所以抛物线的解析式y＝－错误!x2＋错误!x．12．(选做题）已知：函数f（x）＝ax＋错误!＋c(a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝错误!，f(2)＝错误!．(1）求a、b、c的值；(2）试判断函数f（x）在区间（0，错误!）上的单调性并证明．解：（1)因为f(x）为奇函数，所以f(－x)＝－f（x），所以－ax－错误!＋c＝－ax－错误!－c，所以c＝0,所以f(x）＝ax＋错误!，又f（1）＝错误!，f（2)＝错误!,所以错误!，所以a＝2,b＝错误!．（2）f（x)在区间（0,错误!）上为减函数．证明如下：由（1）可知f(x)＝2x＋错误!，任取0<x1〈x2〈错误!，则f（x1)－f(x2)＝2x1＋错误!－2x2－错误!＝（x1－x2)(2－错误!）＝(x1－x2）错误!，因为0<x1〈x2<错误!，所以x1－x2〈0，2x1x2>0,4x1x2－1<0,所以f（x1）－f（x2)>0，所以f(x）在(0，错误!)上为减函数．。

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2x 2＋2C ．y ＝4x 2D ．y ＝2x 2－2【解析】　将二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y ＝4x 2.【答案】　C2．将二次函数y ＝－x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析12式为( )A ．y ＝－(x －1)2－1B ．y ＝－(x －1)2＋11212C ．y ＝－(x ＋1)2＋1D ．y ＝－(x ＋1)2－11212【解析】　将二次函数y ＝－x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像12的解析式为y ＝－(x ＋1)2－1.12【答案】　D3．若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )【解析】　因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－＜0，只有选b2a 项C 适合．【答案】　C4．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2【解析】　二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4.【答案】　A5．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7B ．f (x )＝4x 2－4x －7C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】　∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1，∴对称轴为x ＝＝，2－1212∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a 2＋8，(x －12)∴f (2)＝a 2＋8，(2－12)＝a ＋8＝－1，94∴a ＝－4，∴f (x )＝－42＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(x －12)【答案】　D 二、填空题6．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】　设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】　f (x )＝－2(x －2)2＋37．(2016·株洲高一检测)若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________．【解析】　∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15，∴Error!∴Error!【答案】　－28．(2016·菏泽高一检测)若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】　法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝2－，g (x )＝x 2－3x ＋2＝2－，则－a ＝－(x ＋12)14(x －32)1412，a ＝2.32【答案】　2三、解答题9．将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】　∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】　法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：Error!解得Error!∴所求二次函数解析式为y ＝x 2－x ＋.138373法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)·(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝，13∴二次函数解析式为y ＝(x －1)(x －7)，13即y ＝x 2－x ＋.138373法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)，∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3.将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3，解得a ＝，13∴二次函数的解析式为y ＝(x －4)2－3，13即y ＝x 2－x ＋.138373[能力提升]1．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )【解析】　∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0.【答案】　D2．已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x 的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】　∵f (4)＝f (－2)＝0，∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)，∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1，∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8，∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ，由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2.【答案】　C3．设函数f (x )＝Error!若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】　∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2，∴－＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，b2又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2，∴c ＝2，∴f (x )＝Error!当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2，∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3.【答案】　f (x )＝Error!　34．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x ＋x ＝，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单212269位得到的？【解】　由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝，3－k3∴x ＋x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝，212269即4－＝，2(3－k )3269解得k ＝.43∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式43为y ＝－3(x －1)2＋，即y ＝－3x 2＋6x －.4353。

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝1 x－1C．f(x)＝x2－2x－1 D．f(x)＝－|x|【解析】A中f(x)为减函数，B中f(x)在(－∞，1)上是减函数，C中f(x)在(－∞，1]上是减函数，D中由f(x)图像可知，在(－∞，0)上是增函数．【答案】 D2．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[4，＋∞)上是增加的，那么实数a的取值范围是()A．a≤3 B．a≥－3C．a≤5 D．a≥5【解析】函数f(x)的对称轴为x＝－2(a－1)2＝1－a，则1－a≤4，即a≥－3.【答案】 B3．下列说法中正确的是()①若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由函数单调性的定义知①正确，②中y＝x2在R上不具有单调性，③中y ＝－1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，④中y ＝1x 的单调性区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，故正确的只有①.【答案】 B4．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0【解析】 由题意a <0，b <0，故f (x )是减少的，f (0)＝a <0. 【答案】 A5．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2＋1)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2)<f (a )【解析】 ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a .∵函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )，故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2，x ≥0，x ＋1，x <0，则f (x )的单调增区间是________．【解析】 画出分段函数f (x )的图像，如图所示：由图像知，f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上是增加的． 【答案】 (－∞，0]和[1，＋∞)7．函数y ＝kx ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则k ＝________.【解析】 当k >0时，由3k ＋1＝4，k ＝1； 当k <0时，由k ＋1＝4，k ＝3(舍去)． 【答案】 18．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的减函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是________．【解析】由题意⎩⎨⎧－1≤x ≤1，x >12，所以12<x ≤1.【答案】 12<x ≤1 三、解答题9．求函数f (x )＝x ＋4x ，x ∈(0,1]的最小值． 【解】 ∵f (x )＝x ＋4x ，x ∈(0,1]，设0＜x 1＜x 2≤1， ∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2. ∵0＜x 1＜x 2≤1，∴x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1,1－4x 1x 2＜0.∴(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )＝x ＋4x 在(0,1]上是减函数．∴f (x )的最小值是f (1)＝1＋41＝5.10．作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图像，并根据函数的图像指出函数的单调区间．【解】 y ＝|x －2|(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥2，－x 2＋x ＋2，x <2，作图：故函数f (x )的增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12，[2，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.[能力提升]1．已知定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝4，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)【解析】 ∵f (x )在(4，＋∞)上是减函数，对称轴为x ＝4，∴f (x )在(－∞，4)上是增函数，又f (3)＝f (5)，f (5)>f (6)，∴f (3)>f (6)． 【答案】 D2．已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5(x ≤1)，2ax (x >1)，是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >0，a ≤2，所以0<a ≤2. 【答案】 D3．(2016·内蒙古高一月考)已知y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，则a 的取值范围是________．【解析】 因为y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜2a －1＜1，1－a ＞2a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜2，0＜a ＜1，a ＜23，解得0＜a ＜23，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，234．讨论函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎪⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性.【导学号：04100026】【解】 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2， ∴f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝ax 1x 2＋2ax 1＋x 2＋2(x 1＋2)(x 2＋2)－ax 1x 2＋2ax 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵x 1，x 2∈(－2，＋∞)，x 1<x 2，∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 1－x 2<0.∵a≠12，∴当a<12时，2a－1<0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(－2，＋∞)上是减少的；当a>12时，2a－1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，即f(x)在(－2，＋∞)上是增加的．综上所述，当a<12时，函数f(x)在区间(－2，＋∞)上为减函数，当a>12时，函数f(x)在区间(－2，＋∞)上为增函数．。

课时分层作业(二十一) 幂函数(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )【导学号：37102314】A.12 B ．1 C.32D ．2A [∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.]2．如图2­3­3所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )图2­3­3A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1B [因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．]3．幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( )【导学号：37102315】A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)B [设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]4．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3A [当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R且为奇函数．故选A.]5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 【导学号：37102316】A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B.] 二、填空题6．已知幂函数f (x )＝x m的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，13，则f (6)＝________.136 [依题意13＝(3)m＝3m 2，所以m2＝－1，m ＝－2， 所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.]7．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.【导学号：37102317】－1 [∵f (x )＝(m 2－m －1)x2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意． 综上可知，m ＝－1.]8．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，116，则f (x )的值域为________． (0，＋∞) [由题意设f (x )＝x m ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，116在函数图象上得4m＝116，解得m ＝－2，所以f (x )＝x －2＝1x2，故其值域为(0，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数.【导学号：37102318】[解] (1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[解] (1)由题意，得f (2)＝2a ＝18，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)∵f (x )＝x －3＝1x3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， ∴该幂函数为奇函数．当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[冲A 挑战练]1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )【导学号：37102319】A ．0.76＜60.7＜log 0.76 B ．0.76＜log 0.76＜60.7C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.7D [由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1,0＜0.76＜1，log 0.76＜0，∴log 0.76＜0.76＜60.7，故选D.] 2．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x .其中满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22(x 1>x 2>0)的函数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A [①函数f (x )＝x 的图象是一条直线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22；②函数f (x )＝x 2的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22；③在第一象限，函数f (x )＝x 3的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22；④函数f (x )＝x 的图象是凸形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22；⑤在第一象限，函数f (x )＝1x的图象是一条凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.故仅有函数f (x )＝x 满足， 当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22.故选A.] 3．已知函数f (x )＝x1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.【导学号：37102320】3 [取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝x －13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝x －23满足题意．]4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．3<a ≤5 [因为f (x )＝x 12＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，a >3，所以3<a ≤5.]5．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，函数g (x )＝(x －2)f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，求函数g (x )的最大值与最小值.【导学号：37102321】[解] 因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以12＝2α，所以α＝－1，所以f (x )＝x －1， 所以g (x )＝(x －2)·x －1＝x －2x ＝1－2x.又g (x )＝1－2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3， g (x )max ＝g (1)＝－1.。

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝1x －1C ．f (x )＝x 2－2x －1D ．f (x )＝－|x |【解析】　A 中f (x )为减函数，B 中f (x )在(－∞，1)上是减函数，C 中f (x )在(－∞，1]上是减函数，D 中由f (x )图像可知，在(－∞，0)上是增函数．【答案】　D2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在[4，＋∞)上是增加的，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥5【解析】　函数f (x )的对称轴为x ＝－＝1－a ，则1－a ≤4，即2(a －1)2a ≥－3.【答案】　B3．下列说法中正确的是( )①若对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－在定义域上是增函数；1x ④y ＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．1x A ．0个B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】　由函数单调性的定义知①正确，②中y ＝x 2在R 上不具有单调性，③中y ＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，④中y ＝的单调性区间1x 1x 为(－∞，0)，(0，＋∞)，故正确的只有①.【答案】　B4．已知函数y ＝ax 和y ＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )bx ＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0【解析】　由题意a <0，b <0，故f (x )是减少的，f (0)＝a <0.【答案】　A5．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2＋1)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2)<f (a )【解析】　∵a 2＋1－a ＝2＋>0，∴a 2＋1>a .(a －12)34∵函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )，故选B.【答案】　B 二、填空题6．已知f (x )＝Error!则f (x )的单调增区间是________．【解析】　画出分段函数f (x )的图像，如图所示：由图像知，f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上是增加的．【答案】　(－∞，0]和[1，＋∞)7．函数y ＝kx ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则k ＝________.【解析】　当k >0时，由3k ＋1＝4，k ＝1；当k <0时，由k ＋1＝4，k ＝3(舍去)．【答案】　18．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的减函数，则满足f (x )<f 的实数x 的取(12)值范围是________．【解析】　由题意Error!所以<x ≤1.12【答案】　<x ≤112三、解答题9．求函数f (x )＝x ＋，x ∈(0,1]的最小值．4x 【解】　∵f (x )＝x ＋，x ∈(0,1]，设0＜x 1＜x 2≤1，4x ∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋＝(x 1－x 2).(4x 1－4x 2)(1－4x 1x 2)∵0＜x 1＜x 2≤1，∴x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1,1－＜0.4x 1x 2∴(x 1－x 2)＞0，(1－4x 1x 2)∴f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )＝x ＋在(0,1]上是减函数．4x ∴f (x )的最小值是f (1)＝1＋＝5.4110．作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图像，并根据函数的图像指出函数的单调区间．【解】　y ＝|x －2|(x ＋1)＝Error!作图：故函数f (x )的增区间为，[2，＋∞)，减区间为.(－∞，12](12，2)[能力提升]1．已知定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝4，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)【解析】　∵f (x )在(4，＋∞)上是减函数，对称轴为x ＝4，∴f (x )在(－∞，4)上是增函数，又f (3)＝f (5)，f (5)>f (6)，∴f (3)>f (6)．【答案】　D2．已知函数f (x )＝ Error!是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]【解析】　由题意Error!解得Error!所以0<a ≤2.【答案】　D3．(2016·内蒙古高一月考)已知y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，则a 的取值范围是________．【解析】　因为y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，所以Error!即Error!解得0＜a ＜，即a 的取值范围是.23(0，23)【答案】　(0，23)4．讨论函数f (x )＝在(－2，＋∞)上的单调性.ax ＋1x ＋2(a ≠12)【导学号：04100026】【解】　任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)＝－ax 1＋1x 1＋2ax 2＋1x 2＋2＝－ax 1x 2＋2ax 1＋x 2＋2(x 1＋2)(x 2＋2)ax 1x 2＋2ax 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝.(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)∵x 1，x 2∈(－2，＋∞)，x 1<x 2，∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 1－x 2<0.∵a ≠，∴当a <时，2a －1<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．1212∴f (x )在(－2，＋∞)上是减少的；当a >时，2a －1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，12即f (x )在(－2，＋∞)上是增加的．综上所述，当a <时，函数f (x )在区间(－2，＋∞)上为减函数，当a >时，1212函数f(x)在区间(－2，＋∞)上为增函数．。

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝1x －1C ．f (x )＝x 2－2x －1D ．f (x )＝－|x |【解析】　A 中f (x )为减函数，B 中f (x )在(－∞，1)上是减函数，C 中f (x )在(－∞，1]上是减函数，D 中由f (x )图像可知，在(－∞，0)上是增函数．【答案】　D2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在[4，＋∞)上是增加的，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥5【解析】　函数f (x )的对称轴为x ＝－＝1－a ，则1－a ≤4，即2(a －1)2a ≥－3.【答案】　B3．下列说法中正确的是( )①若对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－在定义域上是增函数；1x ④y ＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．1x A ．0个B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】　由函数单调性的定义知①正确，②中y ＝x 2在R 上不具有单调性，③中y ＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，④中y ＝的单调性区间1x 1x 为(－∞，0)，(0，＋∞)，故正确的只有①.【答案】　B4．已知函数y ＝ax 和y ＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )bx ＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0【解析】　由题意a <0，b <0，故f (x )是减少的，f (0)＝a <0.【答案】　A5．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2＋1)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2)<f (a )【解析】　∵a 2＋1－a ＝2＋>0，∴a 2＋1>a .(a －12)34∵函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )，故选B.【答案】　B 二、填空题6．已知f (x )＝Error!则f (x )的单调增区间是________．【解析】　画出分段函数f (x )的图像，如图所示：由图像知，f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上是增加的．【答案】　(－∞，0]和[1，＋∞)7．函数y ＝kx ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则k ＝________.【解析】　当k >0时，由3k ＋1＝4，k ＝1；当k <0时，由k ＋1＝4，k ＝3(舍去)．【答案】　18．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的减函数，则满足f (x )<f 的实数x 的取(12)值范围是________．【解析】　由题意Error!所以<x ≤1.12【答案】　<x ≤112三、解答题9．求函数f (x )＝x ＋，x ∈(0,1]的最小值．4x 【解】　∵f (x )＝x ＋，x ∈(0,1]，设0＜x 1＜x 2≤1，4x ∴f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋＝(x 1－x 2).(4x 1－4x 2)(1－4x 1x 2)∵0＜x 1＜x 2≤1，∴x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1,1－＜0.4x 1x 2∴(x 1－x 2)＞0，(1－4x 1x 2)∴f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )＝x ＋在(0,1]上是减函数．4x ∴f (x )的最小值是f (1)＝1＋＝5.4110．作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图像，并根据函数的图像指出函数的单调区间．【解】　y ＝|x －2|(x ＋1)＝Error!作图：故函数f (x )的增区间为，[2，＋∞)，减区间为.(－∞，12](12，2)[能力提升]1．已知定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝4，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)【解析】　∵f (x )在(4，＋∞)上是减函数，对称轴为x ＝4，∴f (x )在(－∞，4)上是增函数，又f (3)＝f (5)，f (5)>f (6)，∴f (3)>f (6)．【答案】　D2．已知函数f (x )＝ Error!是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]【解析】　由题意Error!解得Error!所以0<a ≤2.【答案】　D3．(2016·内蒙古高一月考)已知y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，则a 的取值范围是________．【解析】　因为y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (2a －1)，所以Error!即Error!解得0＜a ＜，即a 的取值范围是.23(0，23)【答案】　(0，23)4．讨论函数f (x )＝在(－2，＋∞)上的单调性.ax ＋1x ＋2(a ≠12)【导学号：04100026】【解】　任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)＝－ax 1＋1x 1＋2ax 2＋1x 2＋2＝－ax 1x 2＋2ax 1＋x 2＋2(x 1＋2)(x 2＋2)ax 1x 2＋2ax 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝.(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)∵x 1，x 2∈(－2，＋∞)，x 1<x 2，∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 1－x 2<0.∵a ≠，∴当a <时，2a －1<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．1212∴f (x )在(－2，＋∞)上是减少的；当a >时，2a －1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，12即f (x )在(－2，＋∞)上是增加的．综上所述，当a <时，函数f (x )在区间(－2，＋∞)上为减函数，当a >时，1212函数f(x)在区间(－2，＋∞)上为增函数．。