2016-2017学年高中数学北师大版必修1学业分层测评10 二次函数的性质

2-4-2 二次函数的性质基础巩固一、选择题1．函数y＝－x2＋1在下列哪个区间上是增加的()A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)[答案] B[解析]y＝－x2＋1中二次项系数小于0，图像开口向下，易知递增区间为(－∞，0]．2．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值[答案] C[解析]因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc＝( )A ．－6B ．11C ．－14 D.14 [答案] C[解析] ∵f (x )图像过点(0,2)，∴c ＝2. 又顶点为(4,0)，∴－b2a ＝4，8a －b 24a ＝0. 解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.4．若f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)[答案] A[解析] ∵对称轴x ＝1－a3，又开口向上，在(－∞，1]上是减函数．∴1－a3≥1，∴a ≤－2.5．二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且顶点为(－2,8)，则f (x )＝( )A ．－2x 2－8xB ．2x 2－8xC ．2x 2＋8xD ．－2x 2＋8x[答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图像过原点，∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .6．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，－0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)[答案] C[解析] 此函数图像的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确答案为C.二、填空题7．(2012·石家庄高一检测)已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[2,10]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．[答案] k ≤16或k ≥80[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k 8， ∴k 8≤2或k8≥10， ∴k ≤16或k ≥80.8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．[答案] (－14，14)[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1中得a ＝4，k ＝3.所以由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝14.三、解答题9．(2012·九江高一检测)已知二次函数y ＝－4x 2＋8x －3. (1)画出它的图像，并指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；(2)求函数的最大值；(3)写出函数的单调区间．(不必证明)[解析] (1)图像如图所示，该图像开口向下；对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1,1)．(2)y ＝－4(x －1)2＋1，故函数的最大值为1. (3)函数的单调增区间是(－∞，1]， 单调减区间是[1，＋∞).能 力 提 升一、选择题1．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[答案] A[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，即－2≥m8，∴m ≤－16. ∴f (1)＝9－m ≥25.2．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速自动注水(即t 分钟自动注水2t 2升)，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供________人洗浴．( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设，知y ＝200－34t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1722＋200－2892(t >0)，当t ＝172＝8.5分钟时，y 取最小值，此时共放浴用水34×8.5＝289升，而28965＝42965，故一次至多可供4人洗浴．二、填空题3．已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －9顶点为A ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点A ，且与x 轴交于B (0,0)、C (3,0)两点，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y ＝12x 2－32x[解析] ∵y ＝－2x 2＋8x －9＝－2(x －2)2－1，∴A (2，－1)．设所求二次函数的解析式为y ＝ax (x －3)，则由题意知－1＝a ×2(2－3)，即a ＝12.∴所求解析式为y ＝12x 2－32x.4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根为________．[答案] 3或－1[解析] 由图像知f (3)＝0， ∴m ＝3.由－x 2＋2x ＋3＝0得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝3或－1. 三、解答题5．根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图像过A (0,1)、B (1,2)、C (2，－1)三点； (2)图像顶点是(－2,3)，且过点(－1,5)；(3)图像与x 轴交于(－2,0)、(4,0)两点，且过点(1，－92)． [解析] (1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知函数的图像经过(0,1)、(1,2)、(2，－1)三点．得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a ＋b ＋c ＝24a ＋2b ＋c ＝－1，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3c ＝1，∴函数的解析式为y ＝－2x 2＋3x ＋1.(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，其顶点的坐标是(h ，k )，∵顶点的坐标是(－2,3)，∴y ＝a (x ＋2)2＋3. 又∵图像过点(－1,5)，∴5＝a (－1＋2)2＋3. ∴a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3， ∴y ＝2x 2＋8x ＋11.即函数的解析式为y ＝2x 2＋8x ＋11.(3)设二次函数的解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)， 因为二次函数的图像交x 轴于(－2,0)、(4,0)两点， 且过点(1，－92)，设y ＝a (x ＋2)(x －4)， 则有－92＝a (1＋2)(1－4)，∴a ＝12. ∴所求的函数解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)， 即y ＝12x 2－x －4.6．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图像与x 轴总有交点．(1)求m 的取值范围；(2)若函数图像与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．[解析] (1)当 m ＋6＝0即m ＝－6时， 函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点； 当m ＋6≠0即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即当m ≤－59且m ≠－6时，抛物线与x 轴有一个或两个交点， 综上可知，当m ≤－59时，此函数的图像与x 轴总有交点． (2)设x 1、x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根， 则x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3，当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意， ∴m 的值是－3.7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a24，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的充分条件是f (x )在x ∈[－2,2]上的最小值非负．(1)当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a >4矛盾，此时a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，3－a －a 24≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2. 结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.∵a<－4，∴－7≤a<－4.由(1)(2)(3)可知，a的取值范围是[－7,2]．。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．关于放射性的应用，下列说法正确的是()A．利用α射线使空气电离，把静电荷导走B．利用β射线照射植物的种子，使产量显著增加C．利用γ射线来治疗肺癌、食道癌等疾病D．利用放射性同位素跟它的非放射性同位素的化学性质相同，作为示踪原子E．利用β射线进行金属探伤【解析】α射线的电离作用很强，A对；γ射线对生物具有物理化学作用，照射种子可使基因变异，可用于放射性治疗，β射线不具有生物作用，B错，C 对；同位素的核外电子数相同，化学性质相同，放射性同位素带有“放射性标记”，可用探测器探测，D对；利用γ射线进行金属探伤，E错．【答案】ACD2．有关放射性同位素3015P的下列说法中正确的是()【导学号：11010043】A.3015P与3014X互为同位素B.3015P与其同位素具有相同的化学性质C．用3015P制成化合物后它的半衰期变短D．含有3015P的磷肥释放正电子，可用来作示踪原子，以便观察磷肥对植物的影响E．用3015P制成化合物后它的半衰期不发生变化【解析】同位素具有相同的质子数，化学性质相同，A错，B对；半衰期与化学状态无关，C错，E对；含有3015P的磷肥放出正电子，3015P可作为示踪原子，D对．【答案】BDE3．放射性同位素钴60能放出较强的γ射线，其强度容易控制，这使得γ射线得到广泛应用．下列选项中，属于γ射线的应用的是()A．医学上制成γ刀，无需开颅即可治疗脑肿瘤B．机器运转时常产生很多静电，用γ射线照射机器可将电荷导入大地C．铝加工厂将接收到的γ射线信号输入计算机，可对薄铝板的厚度进行自动控制D．用γ射线照射草莓、荔枝等水果，可延长保存期E．γ射线的穿透能力很强，可用于钢板探伤【解析】γ射线的电离作用很弱，不能使空气电离成为导体，B错误；γ射线的穿透能力很强，薄铝板的厚度变化时，接收到的信号强度变化很小，不能控制铝板厚度，但可用于金属钢板探伤，C错误，E正确；γ射线能量很大，可以杀菌，延长水果的保存期，对肿瘤细胞有很强的杀伤作用，故A、D正确．【答案】ADE4．下列哪些应用是把放射性同位素作为示踪原子的()A．利用含有放射性碘131的油，检测地下输油管的漏油情况B．把含有放射性元素的肥料施给农作物，利用探测器的测量，找出合理的施肥规律C．利用射线探伤法检查金属中的砂眼和裂纹D．给怀疑患有甲状腺病的病人注射碘131，以判断甲状腺的器质性和功能性疾病E．医学上利用“放疗”治疗恶性肿瘤，使癌细胞活动受到抑制或使其死亡【解析】利用射线探伤法检查金属中的砂眼和裂纹是利用γ射线穿透能力强的特点，医学上利用“放疗”治疗恶性肿瘤，利用的是射线照射，而不是作为示踪原子．【答案】ABD5．下列说法正确的是()A．给农作物施肥时，在肥料里放一些放射性同位素，是因为农作物吸收放射性同位素后生长更好B．输油管道漏油时，可以在输的油中放一些放射性同位素探测其射线，确定漏油位置C．天然放射元素也可以作为示踪原子加以利用，只是较少，经济上不划算D．放射性元素被植物吸收，其放射性不会发生改变E．人工放射性同位素可作为示踪原子，是因为它不改变元素的化学性质【解析】放射性元素与它的同位素的化学性质相同，但是利用放射性元素可以确定农作物在各季节吸收含有哪种元素的肥料．无论植物吸收含放射性元素的肥料，还是无放射性肥料，植物生长是相同的，A错误；放射性同位素，含量易控制，衰变周期短，不会对环境造成永久污染，而天然放射性元素，剂量不易控制、衰变周期长、会污染环境，所以不用天然放射元素，C错误；放射性是原子核的本身性质，与元素的状态、组成等无关，D正确；放射性同位素可作为示踪原子，是因为它不改变元素的化学性质，故B、E均正确．【答案】BDE6．关于放射性同位素的应用下列说法中正确的有()A．放射线改变了布料的性质使其不再因摩擦而生电，因此达到了消除有害静电的目的B．利用γ射线的贯穿性可以为金属探伤C．用放射线照射作物种子能使其DNA发生变异，其结果一定是成为更优秀的品种D．用γ射线治疗肿瘤时一定要严格控制剂量，以免对人体正常组织造成太大的伤害E．不能利用γ射进行人体透视【解析】利用放射线消除有害静电是利用α射线的电离性，使空气分子电离成导体，将静电泄出，A错误；γ射线对人体细胞伤害太大，因此不能用来人体透视，在用于治疗肿瘤时要严格控制剂量，B、D、E正确；DNA变异并不一定都是有益的，C错误．【答案】BDE7．医学界通过14C标记的C60发现一种C60的羧酸衍生物，在特定条件下可以通过断裂DNA抑制艾滋病病毒的繁殖，则14C的用途是________．【解析】用14C标记C60来查明元素的行踪，发现可以通过断裂DNA抑制艾滋病病毒的繁殖，因此14C的作用是做示踪原子．【答案】示踪原子8．放射性在技术上有很多应用，不同的放射源可用于不同目的．下表列出了一些放射性元素的半衰期和可供利用的射线.薄，利用适当的放射线来测定通过轧辊后的薄膜厚度是否均匀，可利用的元素是________．【解析】要测定聚乙烯薄膜的厚度，则要求射线可以穿透薄膜，因此α射线不合适；另外，射线穿透作用还要受薄膜厚度影响，γ射线穿透作用最强，薄膜厚度不会影响γ射线穿透，所以只能选用β射线，而氡222半衰期太小，铀238半衰期太长，所以只有锶90较合适．【答案】锶90[能力提升]9．某校学生在进行社会综合实践活动时，收集列出了一些放射性同位素的半衰期和可供利用的射线(见下表)，并总结出它们的几种用途.A．塑料公司生产聚乙烯薄膜，方法是让较厚的聚乙烯膜通过轧辊后变薄，利用α射线来测定通过轧辊后的薄膜厚度是否均匀B．钴60的半衰期为5年，若取4个钴60原子核，经10年后就一定剩下一个原子核C．把放射性元素钋210掺杂到其他稳定元素中，放射性元素的半衰期不变D．用锝99可以作示踪原子，用来诊断人体内的器官是否正常．方法是给被检查者注射或口服附有放射性同位素的元素的某些物质，当这些物质的一部分到达到检查的器官时，可根据放射性同位素的射线情况分析器官正常与否E．半衰期是一个统计概念，对大量的原子核的衰变才有意义【解析】因为α射线不能穿透薄膜，无法测量薄膜的厚度，所以A错误；钴60的半衰期为5年，是指大量钴60原子核因衰变而减少到它原来数目的一半所需要的时间，因此B错误，C、E正确；检查时，要在人体外探测到体内辐射出来的射线，而又不能让放射性物质长期留在体内，所以应选取锝99作为放射源，D正确．【答案】CDE10．正电子发射计算机断层显像(PET)的基本原理是：将放射性同位素15O 注入人体，参与人体的代谢过程.15O在人体内衰变放出正电子，与人体内负电子相遇而湮灭转化为一对光子，被探测器探测到，经计算机处理后产生清晰的图像．根据PET原理，回答下列问题：【导学号：11010044】(1)写出15O的衰变和正负电子湮灭的方程式．(2)将放射性同位素15O注入人体，15O的主要用途是()A．利用它的射线B．作为示踪原子C．参与人体的代谢过程D．有氧呼吸(3)PET中所选的放射性同位素的半衰期应______．(选填“长”“短”或“长短均可”)【解析】(1)由题意得158O→157N＋0＋1e，0＋1e＋0－1e→2γ.(2)将放射性同位素15O注入人体后，由于它能放出正电子，并能与人体内的负电子产生一对光子，从而被探测器探测到，所以它的用途为作为示踪原子．B 正确．(3)根据同位素的用途，为了减小对人体的伤害，半衰期应该很短．【答案】(1)158O→157N＋0＋1e，0＋1e＋0－1e→2γ(2)B(3)短11．为了临床测定病人血液的体积，可根据磷酸盐在血液中被红血球吸收这一事实，向病人体内输入适量含有3215P作示踪原子的血液，先将含有3215P的血液4 cm3分为两等份，其中一份留作标准样品，20 min后测量出其放射性强度为10 800 s－1；另一份则通过静脉注射进入病人体内，经20 min后，放射性血液分布于全身，再从病人体内抽出血液样品2 cm3，测出其放射性强度为5 s－1，则病人的血液体积大约为多少？【解析】由于标准样品与输入体内的3215P的总量是相等的，因此两者的放射性强度与3215P原子核的总数均是相等的．设病人血液总体积为V，应有52×V＝10 800，解得：V＝4 320 cm3.【答案】 4 320 cm312．1956年李政道和杨振宁提出在弱相互作用中宇称不守恒，并由吴健雄用6027Co的衰变来验证，其核反应方程是6027Co→A Z Ni＋0－1e＋νe.其中νe是反中微子，它的电荷量为零，静止质量可认为是零．(1)在上述衰变方程中，衰变产物A Z Ni的质量数A是________，核电荷数Z是________．(2)在衰变前6027Co核静止，根据云室照片可以看出，衰变产物Ni和0－1e的运动径迹不在一条直线上，如果认为衰变产物只有Ni和0－1e，那么衰变过程将违背________守恒定律．(3)6027Co是典型的γ放射源，可用于作物诱变育种．我国应用该方法培育出了许多农作物新品种，如棉花高产品种“鲁棉1号”，年种植面积曾达到3 000多万亩，在我国自己培育的棉花品种中栽培面积最大．γ射线处理作物后主要引起________，从而产生可遗传的变异．【解析】(1)根据质量数和电荷数守恒，核反应方程为：6027Co→6028Ni＋0－1e ＋νe，由此得出两空分别为60和28.(2)衰变过程遵循动量守恒定律．原来静止的核动量为零，分裂成两个粒子后，这两个粒子的动量和应还是零，则两粒子径迹必在同一直线上．现在发现Ni和0－1e的运动径迹不在同一直线上，如果认为衰变产物只有Ni和0－1e，就一定会违背动量守恒定律．(3)用γ射线照射种子，会使种子的遗传基因发生突变，从而培育出优良品种．【答案】(1)6028(2)动量(3)基因突变。

高一数学二次函数的图像与性质北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的图像与性质二次函数及图像 二次函数的性质 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系二. 学习目标1、进一步研究二次函数及其图像；2、理解在二次函数的图像中a ，b ，c ，h ，k 的作用，领会研究二次函数图像移动的方法，并能迁移到其他函数；3、能够熟练地对一般二次函数解析式配方，研究二次函数图像的上下左右移动，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值等性质及其图像的开口方向和顶点坐标；4、了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，善于利用三个“二次”的关系进行相关问题的处理；5、培养抓住一个典型例子及化归的意识，学到讨论参数的能力；三. 知识要点1、二次函数：形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R 。

2、二次函数的解析式：①一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）；②顶点式：22244(),,)2424b ac b b ac b y a x a a a a--=++其中顶点的坐标为(-；③零点式（两根式）：y ＝a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0），其中，x 1、x 2是函数y ＝ax 2＋bx＋c （a ≠0）的零点（或是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根）。

3、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线. 4、二次函数的图像的性质：①开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；②顶点坐标：24,)24b ac b a a-(-；③对称轴方程：2bx a=-；④开口大小：a 值越大，开口越小；a 值越小，开口越大；⑤单调性：若a>0，单调增区间为（2b a -，＋∞），单调减区间为（－∞，2b a-）；若a<0，单调增区间为（－∞，2b a -），单调减区间为（2ba-，＋∞）；5、三个“二次”的关系：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2是函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的两个零点，也是对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0（或<0）的解集的端点。

4.2 二次函数的性质问题导学一、二次函数的对称性和单调性活动与探究1已知函数f (x )＝－2x 2－4x ＋c . (1)求该函数图像的对称轴； (2)若f (－5)＝4，求f (3)的值．迁移与应用若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (－2)＝f (4)． (1)求f (x )图像的对称轴； (2)比较f (－1)与f (5)的大小．1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b2a .(2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小． (1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小； (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．二、二次函数在某区间上的最值(值域)活动与探究2已知函数f (x )＝－x 2＋kx ＋k 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围．迁移与应用已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求m 的取值范围．(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围．(2)函数在区间(a ，b )上单调与函数的单调区间是(a ，b )的含义不同，注意区分．前者只能说明(a ，b )是相应单调区间的一个子集；而后者说明a ，b 就是增减区间的分界点，即函数在a ，b 两侧具有相反的单调性．活动与探究3已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数f (x )在区间[－5,5]上的最值．迁移与应用1．函数y ＝3x 2－6x ＋1，x ∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________． 2．设f (x )＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )，求函数f (x )的最小值g (t )的解析式．求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．三、二次函数的实际应用问题活动与探究4某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？迁移与应用某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是__________平方米．解实际应用问题的方法步骤当堂检测1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则()．A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝12．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上是递增的，则()．A．b≥0 B．b≤0C．b＞0 D．b＜03．函数f(x)＝－2x2＋4x－1在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是()．A．1，－7 B．1，－17C．－7，－17 D．－7，－164．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )．A ．10件B ．15件C ．20件D ．30件 5．已知函数y ＝f (x )＝3x 2＋2x ＋1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)求函数的最小值；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫－23＝1，不计算函数值，求f (0)； (4)不直接计算函数值，试比较f ⎝⎛⎭⎫－34与f ⎝⎛⎭⎫154的大小．答案：课前预习导学 【预习导引】上 下 －b 2a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ 低 －b 2a 4ac －b 24a 高 －b 2a 4ac －b 24a 预习交流1 (1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a 有关)和对称轴(与－b2a有关)．(2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到．预习交流2 提示：直线x ＝a . 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f (－5)＝4求得c 的值，确定解析式后再计算f (3)的值，也可直接利用对称性计算．解：(1)由于f (x )＝－2x 2－4x ＋c ＝－2(x ＋1)2＋c ＋2. 所以其图像的对称轴为x ＝－1.(2)方法一：由f (－5)＝4可得－2×(－5)2－4×(－5)＋c ＝4， 于是c ＝34，因此f (x )＝－2x 2－4x ＋34. 所以f (3)＝－2×32－4×3＋34＝4.方法二：由于f (x )的图像关于x ＝－1对称， 又－5和3关于x ＝－1对称，所以f (－5)＝f (3)，而f (－5)＝4，故f (3)＝4.迁移与应用 解：(1)由于f (－2)＝f (4)，而－2和4关于x ＝1对称，所以f (x )图像的对称轴是x ＝1.(2)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图像的开口向上，对称轴为x ＝1，所以离对称轴越近，函数值越小．而|－1－1|＝2，|5－1|＝4， 所以f (－1)＜f (5)．活动与探究2 思路分析：首先求出f (x )的单调区间，要使f (x )在[2,4]上具有单调性，须使区间[2,4]为f (x )单调区间的子集．从而建立不等式求解k 的取值范围．解：f (x )＝－x 2＋kx ＋k ＝－⎝⎛⎭⎫x －k 22＋k 2＋4k 4， f (x )的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x ＝k 2.要使f (x )在区间[2,4]上具有单调性，须[2,4]⊆⎝⎛⎦⎤－∞，k 2或[2,4]⊆⎣⎡⎭⎫k2，＋∞. 即k 2≥4或k2≤2， 解得k ≥8或k ≤4.迁移与应用 解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴x ＝－2(m －2)2，函数在区间[2，＋∞)上是增加的，故－2(m －2)2≤2，解得m ≥0.活动与探究3 思路分析：(1)将a ＝－1代入→配方→写最值 (2)配方→写对称轴→分类讨论→结论 解：(1)当a ＝－1时， f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为1∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f (1)＝1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值， 且f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像开口向上，对称轴为直线x ＝－a . 当－a ≤－5，即a ≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－5)＝27－10a .当－5＜－a ≤0，即0≤a ＜5时，函数图像如图(1)所示．由图像可得f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2， f (x )max ＝f (5)＝27＋10a .当0＜－a ＜5，即－5＜a ＜0时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f (x )max ＝f (－5)＝27－10a ，f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2.当－a ≥5，即a ≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，f (x )max ＝f (－5)＝27－10a .迁移与应用 1．10 －2 解析：y ＝3(x －1)2－2，该函数的图像如图所示．从图像易知：f (x )max ＝f (3)＝10，f (x )min ＝f (1)＝－2.2．解：由f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，x ∈[t ，t ＋1]，知对称轴为直线x ＝2. 当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1＜2，即t ＜1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减少的，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 当t ＞2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增加的， g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4.综上，可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.活动与探究4 思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．解：(1)因为y ＝29－25－x ，所以y ＝－x ＋4(0≤x ≤4)． (2)z ＝⎝⎛⎭⎫8＋x0.5×4y ＝(8x ＋8)(－x ＋4)＝－8x 2＋24x ＋32(0≤x ≤4)． (3)由(2)知，z ＝－8x 2＋24x ＋32＝－8(x －1.5)2＋50(0≤x ≤4)，故当x ＝1.5时，z max ＝50. 所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元． 迁移与应用 5 75 解析：设长方形的宽为x 米，则每个长方形的长为30－3x 2米，其中0＜x ＜10.故所求居室面积S ＝x (30－3x )＝3(10x －x 2)＝－3(x －5)2＋75(0＜x ＜10)，所以当x ＝5时，S max ＝75(平方米)．即当宽为5米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75平方米． 【当堂检测】1．A 解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m2，且只有一条对称轴，所以－m2＝1，即m ＝－2.2．A 解析：函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2；要使该函数在x ∈[0，＋∞)上递增，须－b2≤0，所以b ≥0.3．B 解析：由于f (x )＝－2x 2＋4x －1＝－2(x －1)2＋1，图像的对称轴为x ＝1，开口向下，所以当x ＝1时，f (x )取最大值1，当x ＝4时，f (x )取最小值－17.4．B 解析：由二次函数解析式y ＝－3x 2＋90x ＝－3(x －15)2＋675可知，当x ＝15时，y 取最大值．5．解：y ＝f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋132＋23. (1)顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13. (2)当x ＝－13时，y min ＝23.(3)∵函数图像关于直线x ＝－13对称，∴f ⎝⎛⎭⎫－13－x ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋x . ∴f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋13＝f ⎝⎛⎭⎫－13－13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝1. (4)∵f ⎝⎛⎭⎫－34＝f ⎝⎛⎭⎫－13－512＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋512＝f ⎝⎛⎭⎫112， 而函数在⎣⎡⎭⎫－13，＋∞上是增加的，112＜154， ∴f ⎝⎛⎭⎫112＜f ⎝⎛⎭⎫154，即f ⎝⎛⎭⎫－34＜f ⎝⎛⎭⎫154. 或⎪⎪⎪⎪－34－⎝⎛⎭⎫－13＜⎪⎪⎪⎪154－⎝⎛⎭⎫－13. ∴f ⎝⎛⎭⎫－34＜f ⎝⎛⎭⎫154.。

二次函数的零点解读
同学们知道，函数的零点就是方程的实根，也就是函数的图象与轴交点的横坐标。

在函数的零点问题中，二次函数的零点是学习的基础和重点。

下面就二次函数零点的情况予以细解归纳，供同学们学习时参考。

一、二次函数的零点
1.二次函数的图象是一条抛物线，其零点就是方程
即
的实数根，也就是抛物线与轴的交点的横坐标。

2.对于二次函数
，其零点个数可根据一元二次方程根的判别式来确定。

基本情形如下表：
3.特别提示：
（1）并非所有的二次函数都有零点，比如就不存在零点；
（2）二次函数若有两个零点，则零点关于直线对称；
（3）若二次函数的图象在闭区间上连续，且，则函数在区间内必有一个零点。

二、二次函数的零点分布问题
以二次函数为例，设方程的两个根为、，即函数的零点为、有：
（1）若两零点在原点的同侧，则且；
（2）若两零点在原点的两侧，则且；
（3）若两零点一个大于，一个小于，则；
（4）若两零点都大于，则；
（5）若两零点都小于，则；
（6）若两零点都在区间内，则；
（7）若两零点一个在区间内，另一个在区间内，则。

三、应用例析
例1 函数的两个零点都小于，试求的取值范围。

解析：函数的图象开口向上，且对称轴在左侧，两个零点都小于，则，解得。

故的取值范围为。

例2 已知关于的方程的两根、满足，，求实数的取值范围。

解析：依题意，关于的方程的两根、满足，，即函数的两个零点、满足，，
则有，即，
解得。

故的取值范围为。

【关键字】高中2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数章末检测北师大版必修1班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数y＝的值域是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案：A解析：由题意得0<≤0＝1.2．已知函数f(x)＝ln |x－1|，则f(x)( )A．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是增函数B．在区间(－∞，1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数C．在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上都是减函数D．在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数答案：D解析：∵|x－1|在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，y＝ln x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数．3．若函数f(x)＝，则f[f(－3)]＝( )A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：f(－3)＝(－3)2－1＝8，所以f[f(－3)]＝f(8)＝log28＝3.4．不等式x>x－1的解集是( )A．(－1，＋∞) B.C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)答案：C解析：2x<x－1，x<－1.5．已知a＝log20.6，b＝20.2，c＝log2，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案：D解析：∵a＝log20.6<0，b＝20.2>1，c＝log2＝，∴a<c<b.6．函数f(x)＝的定义域是( )A. B.C. D.答案：A解析：log0.5(3－4x)≥0,0<3－4x≤1，≤x<.7．函数y＝是奇函数，则实数a＝( )A．1 B．0C．－1 D．任意实数答案：A解析：f(0)＝(1－a)＝0，∴a＝1.16.如右图，开始时，桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶2中水就是y 2＝a －a e －nt，假设过5 min 时，桶1和桶2的水相等，则再过________ min 桶1中的水只有a8L.答案：10解析：由题意，5 min 后，y 1＝a e －5n，y 2＝a －a e－5n，y 1＝y 2，∴n ＝15ln2.设再过t min桶1中的水只有a8L ，则y 1＝a e－n (5＋t )＝a8，解得t ＝10. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(1)计算：3－63＋41－34＋80.25×42＋125÷425.(2)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18.解：(1)原式＝－6＋(3－1)＋(23)14×214＋53224-＝－6＋3－1＋2＋5＝ 3.(2)解法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.解法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.18．(12分)现有命题P 和Q 如下． P ：函数y ＝c x 在R 上单调递减．Q ：函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c)的值域为R .如果P 和Q 中有且只有一个命题是真命题，求非负实数c 的取值范围．解：函数y ＝c x在R 上单调递减⇔0<c <1.函数f (x )＝ln(2x 2＋4x ＋1c )的值域为R ⇔Δ＝42－4×2·1c ≥0，所以1c≤2，又c >0，所以c ≥12.根据题设可知，命题P 和Q 有且仅有一个正确．(1)如果P 正确，Q 不正确，则0<c <12；(2)如果Q 正确，P 不正确，则c ≥1.所以，正数c 的取值范围为(0，12)∪[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x ，a ∈R . (1)求函数的定义域；(2)是否存在实数a ，使得f (x )为偶函数．解：(1)由2x－1≠0，得x ≠0，即函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)在定义域内任取x ，由f (x )－f (－x )＝0得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋a (－x )＝0. 所以2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，解得a ＝12.存在实数a ＝12，使得f (x )－f (－x )＝0成立，即使得f (x )为偶函数．20．(12分)已知函数f (x )＝log 2(1－x )，g (x )＝log 2(x ＋1)，设F (x )＝f (x )－g (x )． (1)判断函数F (x )的奇偶性； (2)证明函数F (x )是减函数．解：(1)F (x )＝f (x )－g (x )＝log 2(1－x )－log 2(x ＋1)＝log 21－x1＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．∴函数F (x )的定义域关于原点对称，又∵F (－x )＝log 21＋x 1－x ＝－log 21－x1＋x＝－F (x )．∴函数F (x )为奇函数．(2)由(1)知函数F (x )的定义域为(－1,1)，任取－1<x 1<x 2<1，则log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2＝log 21－x 11＋x 21＋x 11－x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2. 又(1－x 1＋x 2－x 1x 2)－(1＋x 1－x 2－x 1x 2)＝2(x 2－x 1)>0，所以1－x 1＋x 2－x 1x 21＋x 1－x 2－x 1x 2>1，所以log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2>0，即log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1>log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21＋x 2，所以函数F (x )是减函数．21．(12分)求函数y ＝(12)212x x ＋－的值域和单调区间．解：令t ＝1＋2x －x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，而t ＝－(x －1)2＋2≤2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.即所求的函数的值域是[14，＋∞)．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212x x ＋－在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．22．(12分)已知函数f (x )＝log a 1－m x －2x －3(a >0，a ≠1)，对定义域内的任意x 都有f (2－x )＋f (2＋x )＝0成立．(1)求实数m 的值；(2)若当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，求实数a ，b 的值．解：(1)由f (x )＝log a 1－m x －2x －3及f (2－x )＋f (2＋x )＝0对定义域内任意x 都成立，可得：log a 1－m [2－x －2]2－x －3＋log a 1－m [2＋x －2]2＋x －3＝0.解得m ＝±1.当m ＝1时，函数f (x )无意义，所以，只有m ＝－1.(2)m ＝－1时，f (x )＝log a 1－m x －2x －3＝log a x －1x －3(a >0，a ≠1)，其定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．所以，(b ，a )⊆(－∞，1)或(b ，a )⊆(3，＋∞)． ①若(b ，a )⊆(3，＋∞)，则3≤b <a . 为研究x ∈(b ，a )时f (x )的值域，可考虑f (x )＝log a x －1x －3在(3，＋∞)上的单调性．下证f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 任取x 1，x 2∈(3，＋∞)，且x 1<x 2，则 x 1－1x 1－3－x 2－1x 2－3＝2x 2－x 1x 1－3x 2－3>0. 又a >1，所以log a x 1－1x 1－3>log a x 2－1x 2－3，即f (x 1)>f (x 2)．所以当(b ，a )⊆(3，＋∞)时，f (x )在(3，＋∞)上单调递减．由题：当x ∈(b ，a )时，f (x )的取值范围恰为(1，＋∞)，所以，必有b ＝3且f (a )＝1，解得a ＝2＋3(因为a >3，所以舍去a ＝2－3)．②若(b ，a )⊆(－∞，1)，则b <a ≤1.又由于a >0，a ≠1，所以0<a <1. 此时，同上可证f (x )在(－∞，1)上单调递增(证明过程略)．所以，f (x )在(b ，a )上的取值范围为(f (b )，f (a ))，而f (a )为常数，故f (x )的取值范围不可能恰为(1，＋∞)．所以，在这种情况下，a ，b 无解．综上，符合题意的实数a ，b 的值为a ＝2＋3，b ＝3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

教学设计二次函数的图像性质教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的．本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3.解决配方问题．在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次．这部分教材，信息技术大有用武之地．可以充分利用信息技术的动态特点，画出各种曲线族，把变化极其形象地表现出来，以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响．三维目标理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生变换作图的能力．重点难点教学重点：二次函数图像的变换．教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．思路2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题①请回顾二次函数的定义.②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？讨论结果①一般地，函数y＝ax2＋bx＋c( a，b，c为常数且a≠0)叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；零点式：y＝a (x－x1)(x－x2)(a≠0)．注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式．当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图．如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”．提出问题①画出y＝x2的图像．并填写表1.表1在图像上表现的？③如何由y＝x2的图像得到y＝2x2的图像？④如何由函数y＝f(x)的图像得到函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图像？讨论结果：①如图1是y＝x2的图像，图1如表2为所填表格：表22所示，就是把AB伸长为原来的2倍，即AC的长度，得到当x＝1时y＝2x2对应的值．图2 图3③将y＝x2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y＝2x2的图像．④将y＝Af(x)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的A(A＞1)倍或缩短为原来的A(0＜A＜1)倍得到y＝Af(x)的图像．提出问题①在同一坐标系中画出y＝2x2，y＝＋2，y＝＋2＋3的图像，观察图像，如何由y＝2x2的图像得到y＝＋2＋3的图像？②如何由y＝ax2的图像得到y＝＋2＋，的图像？③如何由y＝的图像得到y＝＋＋，的图像？④由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像？讨论结果：①y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x＋1)2＋3的图像，如图4.图4观察图4，得把y＝2x2的图像向左平移一个单位长度得y＝2(x＋1)2的图像，再把y＝2(x ＋1)2的图像向上平移3个单位得y＝2(x＋1)2＋3的图像．②把y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝a(x＋h)2的图像，再把y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝a(x＋h)2＋k的图像．③把y＝f(x)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝f(x＋h)的图像，再把y＝f(x＋h)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝f(x＋h)＋k的图像．④一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而就可以知道由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像．提出问题①二次函数y＝＋2＋中，h，k对函数的图像有何影响？②二次函数y＝ax2＋bx＋中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？③写出一个开口向下，顶点为－3，的二次函数的解析式，并画出其图像.讨论结果：①h，k只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状．②确定函数图像开口大小及方向的参数是a，确定函数图像位置的参数是a，b，c.③例如y＝－(x＋3)2＋1.其图像如图5所示，图5应用示例例1 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式；(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．活动：学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数，以及二次函数解析式的顶点式．解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－h，k)，则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k，(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9；(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)＝－2(x ＋1)2又与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y＝－2x2的图像开口大小也相同，开口方向也相同．又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力．已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式．变式训练1．函数y＝2x2＋4x－1的对称轴和顶点分别是( )．A．x＝－2，(－2，－1) B．x＝2，(－2，－1)C．x＝－1，(－1，－3) D．x＝1，(－2,3)解析：由y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3得对称轴是x＝－1，顶点是(－1，－3)．答案：C2．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x ＋3|，x 2，x ，x ∈－6，－，x ∈[－1，1]，x ∈[1，6]，则f(2)等于( )．A ．2 2B ．2C ． 2D ．无法确定解析：∵2∈[1,6]，∴f(2)＝ 2. 答案：C3．将函数y ＝x 2－2x 的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )．A ．y ＝x 2＋6x ＋7 B ．y ＝x 2－6x ＋7 C ．y ＝x 2＋2x －1D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：所得解析式为y ＝(x －2)2－2(x －2)－1＝x 2－6x ＋7.答案：B例2 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴有两个不同的交点A(x 1,0)，B(x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开，得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k2， 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－－3＝269. 解得k ＝43.所以该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题．函数图像的平移会对解析式产生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化．我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论． 变式训练如果把函数y ＝ f(x)的图像平移，可以使图像上的点P(1,0)变成Q(2,2)，则函数y ＝ f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为( )．A ．y ＝f(x －1)＋2B ．y ＝f(x －1)－2C ．y ＝f(x ＋1)＋2D ．y ＝f(x ＋1)－2解析：点P(1,0)变成Q(2,2)可以看成将点P(1,0)向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到点Q(2,2)，则将函数y ＝ f(x)的图像向右平移一个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝ f(x －1)＋2的图像．答案：A知能训练1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )．A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝11D ． a ＝3，b ＝－12，c ＝11解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，4ac －b24a ＝－1，11＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.答案：D2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x 2＋bx ＋c ，x>0，x≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________，关于x 的方程f(x)＝ x 的解的个数为__________．解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－4b ＋c ＝c ，－2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2，画出函数y ＝f(x)，y ＝x 的图像，它们的图像有3个交点，故关于x 的方程f(x)＝ x 有3个解．答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x 2＋4x ＋2，x>0，x≤033．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f(x)＝__________. 解析：设f(x)＝a(x －1)2－2，因为过点(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a ＝6. 所以f(x)＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4. 答案：6x 2－12x ＋4拓展提升问题：两个二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 与g(x)＝bx 2＋ax ＋c 的图像只可能是图6中的( )．图6解析：这是一道考查二次函数解析式中a ，b ，c 的性质与函数图像特征的相关题目．由于f(x)，g(x)图像的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，且－b 2a 与－a2b 同号，即它们的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排除A ，B ；又由C ，D 中给出的图像可断定它们开口方向相反，故ab ＜0.于是－b 2a ＞0，－a2b＞0，即它们的对称轴都位于y 轴右侧，排除C.答案：D课堂小结本节学习了：(1)二次函数的解析式及其求法． (2)变换法画二次函数的图像．作业习题2—4A 组2、3、4.设计感想本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的数的认识．。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝3＋2x －x 2(0≤x ≤3)的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3D ．4【解析】 y ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4，∵0≤x ≤3， ∴当x ＝3时，y min ＝3＋6－9＝0. 【答案】 B2. 若抛物线y ＝x 2－(m －2)x ＋m ＋3的顶点在y 轴上，则m 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－2 D ．2【解析】 由题意知其对称轴为x ＝－－(m －2)2＝m －22＝0，即m ＝2.【答案】 D3. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]【解析】g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.【答案】 B4. 若f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，则( ) A ．f (4)＜f (1)＜f (2) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1)【解析】 f (x )的对称轴为x ＝2，所以f (2)最小．又x ＝4比x ＝1距对称轴远，故f (4)＞f (1)，即f (2)＜f (1)＜f (4)．【答案】 B5. 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0,1]C ．(0,2]D ．[1，＋∞)【解析】 f (x )＝(x －1)2＋3，f (x )的对称轴为x ＝1，f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． 当x ＝1时，f (x )取到最小值3， 当x ＝0或2时，f (x )取到最大值4， 所以m ∈[1,2]． 【答案】 A 二、填空题6. 函数y ＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图像与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合为________．【解析】 当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图像和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，当m ≠1时，依题意，有Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2. 4.2 二次函数的性质(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.若x 为实数，则函数y ＝x 2＋3x －5的最小值为…………………………………( )－294－5不存在【解析】 由于x 为实数，所以x ≥0.因为y ＝x 2＋3x －5在［0，＋∞)上为增函数，当x ＝0时，y min ＝－5.【答案】2.函数f(x)＝11－x(1－x)的最大值是…………………………………( ) 4554 34 43【解析】 f(x)＝11－x(1－x)＝1x 2－x ＋1，由复合函数的单调性知，函数在(－∞，12］上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减，x 2－x ＋1取最小值时，f(x)取最大值， 故f(x)max ＝f(12)＝43. 【答案】3.二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象的最高点是(－3,1)，则b 、c 的值是……………( )＝6，c＝＝6，c ＝－8 ＝－6，c ＝ ＝－6，c ＝－8【解析】 由题意232414b c b ⎧=-⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩- ∴b ＝－6 c ＝－8【答案】4.已知二次函数y ＝f(x)在区间(－∞，5］上单调递减，在区间［5，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是…………………………………( )－2)＜f(6)＜＜f(6)＜f(－2) ＜f(11)＜f(－＜f(－2)＜f(6)【解析】 由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为x ＝5，离对称轴越近函数值越小.故选【答案】二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈［1，a ］，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a 的取值范围是 .【解析】 由题意知f(x)在［1，a ］内是单调递减的.又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3］，∴1＜a ≤3.【答案】 (1,3］6. 已知二次函数y=-x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x 2+2x+m=0的根为 .【解析】 由图知拋物线的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标是(3,0)，所以拋物线与x 轴的另一个交点坐标是(-1,0)，所以关于x 的一元二次方程-x 2+2x+m=0的根为x 1=-1，x 2=3.【答案】 -1,3三、解答题(每小题10分，共20分)7.抛物线经过点(2，－3)，它与x 轴交点的横坐标为－1和3.(1)求抛物线的解析式；(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)画出草图；(4)观察图象，x 取何值时，函数值y 小于零？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？【解析】 (1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).由于抛物线经过点(2，-3)，∴-3=a(2+1)(2-3)，∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)，即y=x 2-2x-3.(2)∵y=x 2-2x-3=(x-1)2-4，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为(1，-4).(3)抛物线的图象如右图所示.(4)由图象可知，当-1＜x ＜3时，函数值y ＜0；当x ∈(-∞，1］时，y 随x 的增大而减小.8.已知二次函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间［－2,3］上的最大值为6，求a 的值.【解析】 当a ＝0时，f(x)＝1，不合题意，当a ≠0时，f(x)＝ax 2＋2ax ＋1＝a(x ＋1)2＋1－a ，对称轴x ＝－1，当a ＞0时，图象开口向上，在［－2,3］上的最大值为f(3)＝9a ＋6a ＋1＝6，所以a ＝13， 当a ＜0时，图象开口向下，在［－2,3］上的最大值为f(－1)＝a －2a ＋1＝6，所以a ＝－5.∴a 的值为13或－5. 【答案】 13或－59.(10分)已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋2，x ∈［－5,5］.(1)当a ＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在［－5,5］上是单调函数.【解析】 (1)当a ＝－1时，f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.∵x∈［－5,5］，∴当x＝1时，f(x)的最小值为1.当x＝－5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.∵f(x)在［－5,5］上是单调函数，∴－a≤－5，或－a≥5，故a的取值范围是a≤－5，或a≥5.。

课题：二次函数的性质☆学生版☆学习目标：、从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.、了解二次函数与二次方程的相互关系.、探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念. 学习重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.学习难点：二次函数的性质的基本应用.学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。

将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。

一、自主学习知识梳理.探索填空:抛物线的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即时随着的增大而增大；在侧，即时随着的增大而减小. 当时，函数最大值是. 当时<。

. 探索填空:抛物线的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即时随着的增大而减少；在侧，即时, 随着的增大而增大. 当时，函数最小值是.当时>。

.归纳:二次函数(≠)的图象和性质().顶点坐标与对称轴().位置与开口方向().增减性与最值.探索二次函数与一元二次方程二次函数的图象如图所示.().每个图象与轴有几个交点？♦().一元二次方程有几个根?验证一下一元二次方程有根吗?♦().二次函数的图象和轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系?♦归纳:.二次函数的图象和轴交点有三种情况:二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。

）三、合作探究★、将函数配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像。

★★、已知函数,()写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出函数图象的草图；()求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积。

四、课堂检测习题习题组（）（）.五、课堂小结。

师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章函数2.4.2 二次函数的性质高效测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章函数2.4.2 二次函数的性质高效测评北师大版必修1的全部内容。

评北师大版必修1（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）一、选择题（每小题5分，共20分)1．设二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c,如果f(x1)＝f(x2）(x1≠x2),则f（x1＋x2）＝( ）A．－错误!B．－错误!C．c D．错误!解析：由题意得：a≠0,x1，x2关于x＝－错误!对称，所以错误!＝－错误!,x1＋x2＝－错误!.得f(x1＋x2)＝f错误!＝a·错误!－错误!＋c＝c。

答案：C2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈［－2，＋∞）时,f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数,则m＝( ）A．－4 B．－8C．8 D．无法确定解析：二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,由题意得函数的对称轴为x＝－2，则错误!＝－2.∴m＝－8.答案: B3．已知函数f(x）＝x2＋bx＋c且f（1＋x)＝f(－x),则下列不等式中成立的是( ）A．f(－2）〈f（0）<f（2) B．f（0)〈f(－2)〈f（2）C．f（0）<f（2)〈f（－2）D．f(2)<f（0)<f（－2)解析：∵f（1＋x)＝f(－x)，∴(x＋1）2＋b（x＋1)＋c＝x2－bx＋c，∴x2＋(2＋b）x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c,∴2＋b＝－b，即b＝－1。