高中数学学业分层测评含解析北师大版选修

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m ，n ，则mnm ＋n等于( ) A.12aB ．14aC ．2aD ．a4【解析】 抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程x 2＝1ay∴2p ＝1a ，p ＝12a ，∴1m ＋1n ＝2p ＝4a∴mn m ＋n ＝11m ＋1n＝14a. 【答案】 B2．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C ．32D ．2【解析】 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)． 将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.故选D. 【答案】 D3．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214p B ．212p C.136p D ．1336p【解析】 如图所示，设A (x 0，y 0)，|FB |＝m ，∵∠AFB ＝60°，∴|AF |＝2m ，|AB |＝3m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋p 2y 0＝3m由抛物线的定义|AF |＝x 0＋p2＝m ＋p∴2m ＝m ＋p ，∴m ＝p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32p ，3p ，∴|OA |＝x 20＋y 20＝94p 2＋3p 2＝212p . 【答案】 B4．过点P (4,4)与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条D ．3条【解析】 当直线斜率不存在时，直线与抛物线有两个不同交点，不符合题意，故设直线方程为y －4＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k x －，y 2＝2x ，得：ky 2－2y ＋8－8k ＝0.当k ＝0时，解得：y ＝4，故直线与抛物线交于点(8,4)， 当k ≠0时，由Δ＝4－4k (8－8k )＝0得：k ＝2±24，故有两条直线与抛物线相切，故符合条件的直线有3条． 【答案】 D5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3【解析】 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )， 由FA →＋FB →＋FC →＝0，得x A ＋x B ＋x C ＝3.∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋32p ＝3＋32×2＝6.【答案】 B 二、填空题6．已知抛物线的离心率为e ，焦点为(0，e )，则抛物线的标准方程为________． 【解析】 由e ＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . 【答案】 x 2＝4y7．已知A (2,0)，点B 为抛物线y 2＝x 上的一点，求|AB |的最小值为________． 【解析】 设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0，所以 |AB |＝x －2＋y 2＝x －2＋x ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74，所以当x ＝32时，|AB |取得最小值，且|AB |的最小值为72.【答案】728．已知定点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 在抛物线y 2＝2x 上移动，则PA →·PB →的最小值等于________．【导学号：32550080】【解析】 设P (x 0，y 0)则y 20＝2x 0，x 0≥0， ∴PA →·PB →＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0) ＝x 20＋y 20－9 ＝x 20＋2x 0－9，当x 0＝0时，PA →·PB →min ＝－9. 【答案】 －9 三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．【解】 ∵椭圆x 24＋y 29＝1的短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的标准方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)， ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. ∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.10．若抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M 的横坐标．【解】 ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x ，±6)．∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋p 2＝10，2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，p ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.，即点M 的横坐标为1或9.[能力提升]1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ． 2 C.322D ．2 2【解析】 设∠AFx ＝θ(0＜θ＜π)及|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，则cos θ＝13.又m ＝2＋m cos (π－θ)，则m ＝21＋cos θ＝32，所以△AOB 的面积为S △AOB ＝12|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝322.【答案】 C2．如图3­2­2，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )图3­2­2A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x【解析】 如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过点F 作FF 1⊥AA 1于点F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于点K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 【答案】 C3．已知定点Q (2，－1)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ |＋|PF |取最小值时，P 的坐标为________．【解析】 设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |， ∴要使|PQ |＋|PF |取得最小值，即需D ，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF |最小．将Q (2，－1)的纵坐标代入y 2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .【证明】 如图，∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .。

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学业分层测评(十三)（建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点坐标为( )A．(5，０)，（－５，０) Ｂ.（1２,０)，(-1２,0)C．(０，12),（0,-1２) D.（1３,０)，(－1３,0)【解析】∵a2=169，b2＝25，∴c２＝169-２５=1４4，∴c＝12，又∵焦点在x轴上,∴焦点为(12，0)，(－12,0)．【答案】B2.对于常数m,n，“mn>0”是“方程mx2+nｙ2＝1的曲线是椭圆＂的( )A.充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件ﻩD．即不充分也不必要条件【解析】ｍｎ>０,若m=ｎ则ｍx2＋ny2=１不是椭圆．若方程mｘ2+ny2=1是椭圆则“mn＞0一定成立."【答案】B3．过点(3，－2）且与椭圆＼ｆ（ｘ2,9)+错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程是（）A.错误!＋错误!＝1 B．错误!+错误!＝1C.＼f(x2,１０)+错误!＝1 Ｄ．错误!+错误!＝１【解析】椭圆错误!+错误!＝1的焦点在x轴上，且ｃ２＝5.设所求的椭圆方程为错误!＋错误!=１，将（3，－２）代入方程得错误!＋错误!=１，解得ａ2＝1５,故所求椭圆方程为＼f(x2，15)＋错误!=1。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 ∵－2＜x ＜1x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1－2＜x ＜1，∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( )A ．a ＋b ＜0B ．a －b ＞0 C.a b ＞1D ．a b ＜－1【解析】 a ＋b ＜0a ＜0，b ＜0，而a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0. 【答案】 A3．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A ．a ≤0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1 【解析】 ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴x 1x 2＜0.即1a＜0⇔a ＜0，本题要求的是充分条件．由于{a |a ＜－1}⊆{a |a ＜0}，故答案应为C.【答案】 C5．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x ·sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立． 【答案】 B二、填空题6．满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可)． 【解析】 ∵α＝π6⇒sin α＝12， ∴sin α＝12的一个充分条件可以是α＝π6. 【答案】 π67．已知“x ＞k ”是“3x ＋1＜1”的充分条件，则k 的取值范围是________． 【导学号：32550004】【解析】 解不等式3x ＋1＜1得，x ＜－1或x ＞2， ∵x ＞k ⇒x ＞2或x ＜－1∴k ≥2.【答案】 [2，＋∞)8．已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，∴m ＞5或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞)三、解答题9．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：sin θ＝0，q ：θ＝0；(2)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0；(3)p ：a 是整数，q ：a 是自然数；(4)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．【解】 (1)由于p ：sin θ＝0⇐q ：θ＝0，p ：sin θ＝0 q ：θ＝0， 所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(2)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0，所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件．(3)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(4)由于p ：a 是素数⇔/ q ：a 不是偶数，所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件．10．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围．【解】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k 4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2.设A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－k 4，B ＝{x |－1＜x ＜2}，由p 是q 的必要条件，得A ⊇B .∴－k 4≥2，∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－1x ＞0成立的充分条件是( )A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．x ＜0或x ＞1【解析】 x ＞1⇒1－1x ＞0，故选A.【答案】 A2．设a ，b 为向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的() A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝|a||b|，∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0，∴a·b ＝|a||b|⇒a∥b .而∵a∥b 夹角可为π，∴a·b ＝－|a||b|，∴a·b ＝|a||b|⇐/ a∥b ，故选A.【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．【解析】 否命题为真，则逆命题为真．∴“若B ，则A ”为真，∴B ⇒A ，而原命题为假设A B ，∴A 是B 的必要条件．【答案】 必要4．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围．【解】 由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a (a ＞0)．依题意，得{x |－1＜x ＜x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a ＞4.解得a ＞2，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]．。

新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2_1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2­5­7，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 的夹角为( )图2­5­7A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设D 1C 1＝a ，C 1B 1＝b ，C 1C ＝c .则D 1(0,0,0)，A (0，b ，c )，D (0,0，c )，C (a,0，c )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，12c ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12b ，0. 则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12b ，－12c ，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ，12c .∵∠CMN ＝90°，∴MN →·MC →＝0. 即12b 2－14c 2＝0，即b 2＝12c 2. ∴AD 1→·DM →＝(0，－b ，－c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，－12c＝－b 2＋12c 2＝0.∴AD 1与DM 的夹角为90°. 【答案】 D2.如图2­5­8，在正四面体A ­BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )图2­5­8A.32B ．23 C.12D ．33【解析】 作AO ⊥平面BCD 于O ，则O 是△BCD 的中心，以O 为坐标原点，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则O (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，33，63， ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233，63，∴cos 〈OA →，CE →〉＝OA →·CE →|OA →||CE →|＝43263×3＝23.∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为23. 【答案】 B3．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，从而PD →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1,0,0)．设平面ABC 与平面PCD 的法向量分别为n 1，n 2，取n 1＝AP→＝(0,0,1)．设n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CD →，n 2⊥PD →，可得⎩⎨⎧n 2·CD →＝－x ＝0n 2·PD →＝y －z ＝0，可取n 2＝(0,1,1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝0＋0＋11×2＝22，所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°.【答案】 C4．如图2­5­9所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )图2­5­9A.36 B ．34C.33D ．233【解析】 设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量．由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277.∴tan 〈n ，OC →〉＝233.【答案】 D5．P 是二面角α­AB ­β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么α与β的夹角大小为( )【导学号：32550047】A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【解析】 设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，则因∠BPM ＝∠BPN ＝45°，故PE ＝a 2，PF ＝b2.于是EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ·b2cos 45°－a2·b cos 45°＋a2·b2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的与棱AB 垂直的两条直线，所以EM →与FN →的夹角就是α与β的夹角．【答案】 D 二、填空题6．若平面α的一个法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________．【解析】 ∵平面α的法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)．则cos 〈m ，b 〉＝m·b |m ||b |＝1×3＋1×3＋032×3＝63，sin 〈m ，b 〉＝33. ∴l 与α所成角的余弦值为33. 【答案】337．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．【导学号：32550048】【解析】 建立如图坐标系，设AB ＝1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，A (0,0,0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F (1,0,0)，B (0,1,0)，BF →＝(1，－1,0)．cos θ＝AD →·BF →|AD →|·|BF →|＝12＋0＋01·2＝24.【答案】248．如图2­5­10所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与AB 夹角的余弦值为________，A 1C 1与平面BB 1C 1C 夹角为________，平面A 1BCD 1与平面ABCD 的夹角为________．图2­5­10【解析】 ∠A 1CD 是A 1C 与AB 的夹角，cos ∠A 1CD ＝13＝33； ∠A 1C 1B 1是A 1C 1与面BC 1的夹角，∠A 1C 1B 1＝45°； ∠A 1BA 是面A 1BCD 1与面ABCD 的夹角，∠A 1BA ＝45°. 【答案】3345° 45° 三、解答题9.如图2­5­11，在三棱锥S ­ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29.图2­5­11(1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：如图，取A 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AS 分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)、S (0,0，23)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， ∴SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23， CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. ∵SC →·CB →＝0，∴SC ⊥BC . (2)设SC 与AB 所成的角为α AB →＝(0，17，0)，SC →·AB →＝4，|SC →||AB →|＝417， ∴cos α＝SC →·AB →|SC →||AB →|＝1717，即为所求．10．如图2­5­12，在三棱柱ABO ­A 1B 1O 1中，OA ⊥OB ，且OB ＝3，OA ＝4，BB 1＝4，D 为A 1B 1的中点．P 为BB 1上一点，且OP ⊥BD .图2­5­12求直线OP 与底面AOB 的夹角的正弦值．【解】 以O 点为原点，以OB ，OA ，OO 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，有O (0,0,0)，B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4，B 1(3,0,4)． 设P (3,0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )． ∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，解得z ＝98.∵BB 1⊥平面AOB ， ∴BB 1→是底面AOB 的一个法向量，且BB 1→＝(0,0,4)． ∴sin ∠POB ＝|cos ∠BPO |＝|OP →·BB 1→||OP →||BB 1→|＝923738×4＝37373.∴直线OP 与底面AOB 夹角的正弦值为37373.[能力提升]1．平面α的一个法向量为n 1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n 2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )A ．－925B ．925 C.725D ．以上都不对【解析】 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－925，∴平面α与平面β夹角的余弦值为925.【答案】 B2．已知四棱锥P ­ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12，AB ＝1，则AC 与PB 所成的角的余弦值为( )A.55B ．105C.155 D ．255【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，从而AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12， 所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105.【答案】 B3．正四棱锥S ­ABCD 中，O 为顶点在底面上的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．【解析】 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，设BC 与平面PAC 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈CB →，n 〉|＝12，∴θ＝30°.【答案】 30°4．如图2­5­13，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．【导学号：32550049】图2­5­13(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F ­AB ­P 的余弦值．【解】 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P(0,0,2)由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)． (1)证明：BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)， 故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量． 于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)． 由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010，易知，二面角F ­AB ­P 是锐角，所以其余弦值为31010.。

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学业分层测评(五)(建议用时：４5分钟）［学业达标]一、选择题1.已知原命题是“若r，则p或ｑ”,则这一命题的否命题是( )A.若綈ｒ，则p且qﻩB.若綈r,则綈p或綈qＣ．若綈r，则綈p且綈ｑＤ．若綈r,则綈p且q【解析】“ｐ或q”的否定为“綈p且綈q”.根据否命题的定义知:选项C正确．【答案】Ｃ2.命题p：点A在直线y＝２x－3上,q：点A在抛物线y＝-x2上，则使“p且q”为真命题的一个点A(x，y)是（）【导学号:３25500１4】Ａ.(0，-3) B.(１，２)C.(1，-1) D．(－１,1)【解析】若“ｐ且q”为真命题，则ｐ为真命题，q为真命题，则A点既在直线y＝2x-3上，又在抛物线y＝-x２上，所以通过验证只有Ｃ正确.【答案】C3.对于p:ｘ∈A∩B,则綈p（）Ａ.x∈A且x∉BﻩＢ．x∉A或x∈BC.x∉A或x∉ＢＤ.x∈A∪B【解析】ｐ等价于ｘ∈Ａ且x∈Ｂ,所以綈p为x∉Ａ或ｘ∉B.【答案】 C4．已知命题p:对任意a∈R，且ａ>0，a+＼f（1，a）≥２，命题q:存在x0∈R，sin x0＋coｓx０＝＼r(3)，则下列判断正确的是( )A．p是假命题ﻩ B.q是真命题C.p且(綈q)是真命题D.(綈p）且q是真命题【解析】由均值不等式知p为真命题;因为sin ｘ0＋cos x0＝错误!sｉn错误!≤错误!,所以q为假命题，则綈q为真命题,所以p且(綈ｑ)为真命题．故选Ｃ．【答案】 C５.命题p:函数ｙ＝log a(ax+2a）（a＞0且a≠1)的图像必过定点(-1,１)；命题q:如果函数y=ｆ(ｘ)的图像关于(3，0）对称,那么函数y=f(ｘ－3)的图像关于原点对称,则有( ）A．“p且q”为真ﻩB．“ｐ或ｑ”为假C．ｐ真q假ﻩＤ.p假q真【解析】将点(－1,１)代入y＝log a（ax+２a），成立，故p为真；由ｙ=f（x)的图像关于（３,0)对称,知y＝ｆ（x-３)的图像关于（6,0)对称,故q为假.【答案】C二、填空题6．命题p:“相似三角形的面积相等”则綈ｐ为__＿＿＿___，否命题为_____＿＿_.【解析】綈p只否定命题的结论,而否命题则是命题的条件、结论都否定.【答案】相似三角形的面积不相等若三角形不相似则它们的面积不相等7．已知命题p:若实数x,y满足x2＋ｙ２＝0，则x,y全为零.命题q:若a＞ｂ，则错误!<错误!.给出下列四个命题：①ｐ且ｑ；②p或q；③非p；④非q其中真命题是___＿__＿_.【解析】显然p为真命题；当a=1,ｂ=-2时,q不成立,所以q是假命题.从而“p且q”“非p”为假命题，“p或q”“非q"为真命题．【答案】②④8．已知命题p：函数f（x)＝lg(ｘ2－4ｘ+ａ2）的定义域为R;命题ｑ:当m∈[-1，1]时,不等式a2－5ａ-3≥错误!恒成立,如果命题“ｐ或q”为真命题，且“p且q"为假命题,则实数a 的取值范围是_＿______＿＿__．【解析】若命题p为真，则Δ＝16－4ａ2<０⇒a＞2或a<－2.若命题q为真，因为m∈[-1，1］,所以错误!∈［2错误!，3］．因为对于任意m∈［-1，1]，不等式a2-5a－３≥错误!恒成立,只需满足a２-5a－３≥３，解得a≥6或a≤-1.命题“p或q”为真命题，且“p且q＂为假命题,则ｐ,ｑ一真一假．①当p真q假时,可得错误!⇒2<a＜６；②当p假q真时，可得错误!⇒－２≤a≤-1.综合①②,可得a的取值范围是［－２,－1]∪（2，６）．【答案】[－2，－1］∪(2,６)三、解答题9.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“ｐ且q”“綈p”形式，并判断真假.(1)p：2n-1(ｎ∈Z）是奇数；q：2ｎ－1（n∈Z)是偶数.（2)p：a2+b2〈0，ｑ:a2＋ｂ2≥0。

——教学资料参考参考范本——高中数学学业分层测评14含解析北师大版选修2_1______年______月______日____________________部门(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a 的取值范围为( )【导学号：32550071】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B.∪⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43 【解析】 因为点P 在椭圆＋＝1的外部， 所以＋＞1，解得a ＞或a ＜－. 【答案】 B2．已知椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )A. B ．22C.D ．12【解析】 如图，由题意得OP∥FB，＝2，∴＝＝，即＝.∴＝e＝.【答案】D3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )A.＋＝1 B．＋＝1C.＋＝1 D．＋＝1【解析】由题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以a＝6.由离心率为，得＝，解得c＝3.所以b2＝a2－c2＝36－27＝9，则椭圆G的方程为＋＝1.【答案】A4．椭圆(1－m)x2－my2＝1的长轴长为( )A. B．2m－1m－1C．－D．－2－－m1－m【解析】椭圆标准方程为＋＝1，∴∴m＜0.此时1－m＞－m＞0，∴＜－.∴a2＝－，b2＝，2a＝2＝－.【答案】C5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1【解析】 根据椭圆的对称性可求得a 的值，再根据短轴的端点到直线的距离求得b 的取值范围，代入离心率公式即可得答案．根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a ＝2.又d ＝≥，所以1≤b<2，所以e ＝＝＝.因为1≤b<2，所以0<e≤，故选A.【答案】 A 二、填空题6．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________________．【解析】 由已知得∴a2＝16，b2＝4. ∴标准方程为＋＝1. 【答案】 ＋＝17．椭圆＋＝1和＋＝k(k ＞0，a ＞0，b ＞0)具有________． ①相同的顶点；②相同的离心率；③相同的焦点；④相同的长轴和短轴．【解析】 不妨设a ＞b ，则椭圆＋＝k 的离心率e2＝＝.而椭圆＋＝1的离心率e1＝，故②正确．【答案】 ②8．焦点在x 轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M 到焦点F1的距离2，N 为MF1的中点，则|ON|(O 为坐标原点)的值为________．【导学号：32550072】【解析】∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.【答案】4三、解答题9．已知椭圆mx2＋(m＋3)y2＝m(m＋3)(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．【解】椭圆方程可化为＋＝1，则a2＝m＋3，b2＝m，c＝＝.所以e＝＝，解得m＝1，则a＝2，b＝1，c＝.所以椭圆的标准方程为＋y2＝1，椭圆的长轴长为4；短轴长为2；焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；顶点坐标分别为(－2,0)，(2,0)，(0,1)，(0，－1)．10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．【解】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意＝，且a＝2，得c＝，b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)设P(x ，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x ，－y)·(－x ，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋－3＝x2－2，∵x∈[－2,2]，∴当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF1→·有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，·有最大值1.[能力提升]1．若直线ax ＋by ＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a ，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．需根据a ，b 的取值来确定【解析】 直线ax ＋by ＋4＝0与圆x2＋y2＝4没有公共点，即相离，∴＞2，∴a2＋b2＜4， ∴＋＜1， ∴＋＜＋＜1，∴(a ，b)在椭圆＋＝1的内部故有2个公共点． 【答案】 C2．设F1，F2分别是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF1的中点在y 轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )A. B ．13C.D ．33【解析】 设PF1的中点为M ，连接PF2，由于O 为F1F2的中点，则OM 为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.由于∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2PF2， 由勾股定理得F1F2＝＝PF2，由椭圆定义得2a ＝PF1＋PF2＝3PF2⇒a ＝，2c ＝F1F2＝PF2⇒c ＝，所以椭圆的离心率为e ＝＝·＝.故选D.【答案】 D3．如图3­1­2，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为 F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P 点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为________．图3­1­2【解析】 设椭圆方程为＋＝1， 建立如图所示的坐标系．则A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F2(c,0)，(－c ，－b)，(a ，－b)，F2B1→·＝(－c ，－b)·(a，－b)＝－ac ＋b2<0，又∵a2＝b2＋c2，∴－ac ＋a2－c2<0，∴e2＋e －1>0, 又∵0<e<1， ∴<e<1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，14．如图3­1­3，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ⊥PF1.图3­1­3(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.【解】 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF1⊥PF2， 因此2c ＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝＝2.即c ＝，从而b ＝＝1，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)法一：连接F1Q ，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x20＋＝1，x＋y＝c2，a2求得x0＝±，y0＝±.由|PF1|＝|PQ|>|PF2|得x0>0，从而|PF1|2＝2＋b4c2＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|，又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，于是(2＋)(1＋)＝4，解得e＝＝－.法二：如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，则|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝＝|PF1|2＋|PF2|22a＝22＝＝－.。

——教学资料参考参考范本——高中数学学业分层测评4含解析北师大版选修2_1______年______月______日____________________部门(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．将“a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”改写成全称命题是( ) A．存在a0，b0∈R，使a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2B．存在a0＜0，b0＞0，使a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2C．存在a0＞0，b0＞0，有a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2D．对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2【解析】a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2是全称命题，隐藏了“对所有a，b∈R”．【答案】D2．下列命题中的真命题是( )A．存在x0∈N，使4x0<－3B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0C．对任意x∈R,2x＞x2D．对任意x∈R，x2＋2＞0【解析】当x∈R时，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0【答案】D3．已知命题p：∃x0∈R，sin x0＜x0，则綈p为( )A．∃x0∈R，sin x0＝x0 B．∀x∈R，sin x＜xC．∃x0∈R，sin x0≥x0 D．∀x∈R，sin x≥x【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x∈R，sin x≥x.【答案】D4．非空集合A、B满足，下面四个命题中正确的个数是( )①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0∉A，使x0∈B；③存在x0∉B，使x0∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.A．1 B．2C．3 D．4【解析】根据知，①②④正确，③错误．【答案】C5．下列命题中的假命题是( )A．对任意x∈R,2x－1＞0B．对任意x∈N*，(x－1)2＞0C．存在x∈R，lg x＜1D．存在x∈R，tan x＝2【解析】A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝时，lg＝－1＜1；显然D正确．【答案】B二、填空题6．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．【导学号：32550011】①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题．④是特称命题．【答案】①②③④7．“所有的自然数都大于零”的否定是________．【解析】改变量词并否定判断词．【答案】存在一个自然数小于或等于零8．若命题“存在x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．【解析】由题意可知，命题“对任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.【答案】[2,6]三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对任意的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；(2)存在实数x，使得＝.【解】(1)该命题是全称命题．当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴≤＜.故该命题是假命题．10．写出下列全称命题或特称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)有的三角形是等边三角形．【解】(1)该命题的否定是：至少存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)该命题的否定是：至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．[能力提升]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A．每一个锐角三角形的内角都是锐角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使＞2【解析】B，D是特称命题，D是假命题，B是真命题．【答案】B2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.【答案】A3．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．【解析】本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．【答案】有些偶函数的图像关于y轴不对称4．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．【导学号：32550012】【解】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]，∴a2－a＜.要使上式在t∈(0,2]上恒成立，只需求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可．∵f(t)＝＝2＋＝2－，且∈，∴f(t)min＝f(2)＝.∴a2－a＜.∴－＜a＜.所以a的取值范围是.。

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】 点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P 的轨迹是抛物线．【答案】 D2．已知双曲线方程为x 2－y24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．【答案】 B3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 【解析】 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2， 所以y 2－2py －p 2＝0，所以y1＋y22＝p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.【答案】 B4．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由2x 2－y 2＝2得x 2－y22＝1，∴a 2＝1，b 2＝2，当直线l 与两支相交时需|AB |≥2a ＝2.由|AB |＝4可得直线l 有两条；当直线l 只与右支相交时，需|AB |≥2b2a＝4，由|AB |＝4可得直线l 只有1条．综上，符合题意的直线l 共有3条．【答案】 C5．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54B ．5 C.52 D ． 5【解析】 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即b a＝2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝a2＋b2a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 【答案】 D二、填空题 6．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．【解析】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋4，x2－y2＝1，消去y 得x 2－(x ＋4)2＝1，则x ＝－178，代入y ＝x ＋4得y ＝158. 故直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158 7．已知直线l 过点P (0,2)且与椭圆x 2＋2y 2＝2只有一个公共点，则直线l 的方程为____________．【导学号：32550096】【解析】 当直线l 斜率不存在时，方程为x ＝0，与椭圆x 2＋2y 2＝2有两个公共点，舍去；。

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12k ＋2C ．增加了B 中的两项但减少了一项1k ＋1D ．以上均不正确【解析】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＝12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2.故选C. 【答案】 C2．利用数学归纳法证明不等式“n 2<2n 对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，n 0应取值为( )A ．1B ．3C ．5D ．7【解析】 12<21,22＝22,32>23,42＝24，利用数学归纳法验证n ≥5，故n 0的值为5.【答案】 C3．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解析】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．【答案】 D4．对于正整数n，下列说法不正确的是()A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1nC．0.9n<1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n【解析】由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A正确．当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．当x＝0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，因此D正确．【答案】 C5．若不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>m24对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12 B．13C．14 D．不存在【解析】令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，易知f(n)是单调递增的．∴f(n)的最小值为f(2)＝13＋14＝712.依题意712>m24，∴m<14.因此取m ＝13. 【答案】 B 二、填空题6．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步的验证为__________.【导学号：94910041】【解析】 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立． 【答案】 21＋1≥12＋1＋27．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出__________．【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2，n ∈N ＋)8．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式同乘__________．【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋12，两边同乘以a ＋b2，右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k+1. 【答案】a ＋b2三、解答题9．设a ，b 为正实数，证明：对任意n ∈N ＋，有(a ＋b )n ≥a n ＋n ·a n －1b . 【证明】 由(1＋x )n ≥1＋nx (x ≥－1，n ∈N ＋)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a n ≥1＋nb a ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b a >0， 即(a ＋b )n a n ≥1＋nb a ，∴(a ＋b )n≥a n＋n ·ba na ，故(a ＋b )n ≥a n ＋nb ·a n －1.10．设0<a <1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n＋a .求证：对一切正整数n ∈N ＋，有1<a n <11－a.【证明】 (1)当n ＝1时，a 1>1，又a 1＝1＋a <11－a ，∴当n ＝1时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题1<a k <11－a 成立．当n ＝k ＋1时，由递推公式，知a k ＋1＝1a k＋a >(1－a )＋a ＝1，同时，a k ＋1＝1a k ＋a <1＋a ＝1－a 21－a <11－a ，当n ＝k ＋1时，命题也成立， 即1<a k ＋1<11－a.综合(1)、(2)可知，对一切正整数n ，有1<a n <11－a.[能力提升]1．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是( )A.122＋132＋…＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3B.122＋132＋…＋1(k ＋1)2>12－1k ＋2C.122＋132＋…＋1k2>12－1k＋1D.122＋132＋…＋1(k－1)2>12－1k【解析】注意不等式两边含变量“n”的式子，因此当n＝k＋1时，应该是含“n”的式子发生变化，所以n＝k＋1时，应为122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1 (k＋2)2>12－1(k＋1)＋2.【答案】 A2．若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱对角面的个数为()A．2f(k) B．k－1＋f(k)C．f(k)＋k D．f(k)＋2【解析】由n＝k到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由n＝k到n ＝k＋1时增加的对角线一样，设n＝k时，底面为A1A2…A k，n＝k＋1时底面为A1A2A3…A k A k＋1，增加的对角线为A2A k＋1，A3A k＋1，A4A k＋1，…，A k－1A k＋1，A1A k，共有(k－1)条，因此对角面也增加了(k－1)个．【答案】 B3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线的交点的个数，则f(4)＝______；当n>4时，f(n)＝____________________(用n表示).【导学号：94910042】【解析】f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.累加，得f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)＝3＋(n－1)2(n－3)，∴f (n )＝12(n ＋1)(n －2)． 【答案】 5 12(n ＋1)(n －2)4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N＋)．(1)判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n . 【解】 (1)S 1＝a 1＝12， ∴1S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 即S n －S n －1＝－2S n S n －1. ∴1S n －1S n －1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． (2)证明：①当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1，成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时，不等式成立，即S 21＋S 22＋…＋S 2k ≤12－14k 成立，则当n ＝k ＋1时，S 21＋S 22＋…＋S 2k ＋S 2k ＋1≤12－14k ＋14(k ＋1)2＝12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k －1(k ＋1)2＝12－14·k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<12－14·k 2＋k k (k ＋1)2＝1 2－14(k＋1).即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知对任意n∈N＋不等式成立．。