人教A版高中数学必修五学业分层测评5

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

单元提分卷（6）等比数列1、等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于( ) A.-24 B.0C.12D.242、已知等比数列{}n a 中, 13a =,且1234,2,a a a 成等差数列,则345a a a ++=( ) A.33B. 72C. 84D. 1893、等比数列{}n a 的各项为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=( )A.12B.10C.8D.32log 5+4、若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为( )A.3B.4C.5D.65、在等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若51T =，则下列一定正确的是（ ） A. 11a = B. 31a = C. 41a = D. 51a =6、设数列{}n a ,( ).A.若2*4,,n n a n N =∈则{}n a 为等比数列. B.若2*21,n n n a a a n N ++⋅=∈,则{}n a 为等比数列. C.若*2,,m n m n a a m n N +⋅=∈,则{}n a 为等比数列. D.若*312,n n n n a a a a n N +++⋅=⋅∈,则{}n a 为等比数列.7、三个数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则,,a b c 间的关系为( ). A. b a c b -=-B. 2b ac =C. a b c ==D. 0a b c ==≠8、如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( )A. 3,9b ac ==B. 3,9b ac =-=C. 3,9b ac ==-D. 3,9b ac =-=-9、在等比数列{}n a 满足135a a +=,且公比2q =,则35a a +等于( ). A.10 B.13 C.20 D.25 10、在等比数列{}n a 中，首项10a <,要使数列{}n a 对任意正整数n 都有1n n a a +>,则公比q 应满足( ). A. 1q > B. 01q << C.112q << D. 10q -<<11、已知等比数列{}n a 中, 12451,8a a a a +=+=-则公比q 等于( ). A.-2 B.2 C. 23- D.3212、设等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=,则12n a a a 的最大值为__________13、若三个正数,,a b c 成等比数列,其中5a =+5c =-则b =__________. 14、已知数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q =__________15、三个互不相等的实数,1,a b 依次成等差数列,且22,1,a b 依次成等比数列,则11a b+=__________ 16、首项为3的等比数列的第n 项是48,第23n -项是192,则n =__________答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：由题意知()()23366x x x +=+,即2430x x ++=,解得3x =-或1x =- (舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.2答案及解析： 答案：C解析：由题意可设公比为q ，则21344a a a =+， 又13a =，∴2q =.∴223451134124()(84)a a a a q q q ++⨯⨯++++===.3答案及解析： 答案：B解析：564756189a a a a a a +=∴=,()313231031210log log log log a a a a a a +++=()53563log 5log 910a a ===.4答案及解析： 答案：B解析：111192,(),383n n n a a q --=∴=⋅则128()327n -=，13n ∴-=，即4n =.5答案及解析： 答案：B解析：由题意,可得123451a a a a a ⋅⋅⋅⋅=, 即15243()()1a a a a a ⋅⋅⋅⋅=,又215243()()a a a a a ⋅=⋅=,所以531a =,得31a =6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：D解析：一个数列既是等差数列又是等比数列，那它一定是常熟数列，但要注意的是等比数列中不能有0.8答案及解析： 答案：B 解析：9答案及解析： 答案：C 解析：10答案及解析： 答案：B解析：()11110n n n a a a q q -+-=->对任意正整数n 都成立,而10a <只能01q <<11答案及解析： 答案：A 解析：12答案及解析：答案：64 解析：13答案及解析： 答案：1解析：∵,,a b c 成等比数列,∴((25525241b ac ==+⋅-=-=. ∵ b 为正数,∴1b =.14答案及解析： 答案：1 解析：15答案及解析： 答案：2± 解析：16答案及解析： 答案：5 解析： 设公比为q ,则1212424348163192644n n n n q q qq q ----⎧⎧==⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎩⎩,得2q =±.由()1216n -±=,得5n =.。

【试题】2019年新课标人教A 版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( )A ．． C D 2.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里A. 65B. 35C. 25D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. mC. mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 39.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=︒=，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。

新人教A 版高一单元素养测评卷（五）[第十章](2464)1.同时抛掷2枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（ ）.A.“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B.“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C.“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D.“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”2. 一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是（ ）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.953.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的概率:先利用计算器产生0到9之间的取整数值的随机数，用1,2,3,4表示甲获胜，用5,6,7,8,9,0表示乙获胜，再以每3个随机数为1组，代表3局比赛的结果.经随机模拟产生了如下30组随机数: 102 231 146 027 590 763 245 207 310 386 350 481 337 286 139 579 684 487 370 175 772 235 246 487 569 047 008 341 287 114 据此估计，这两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的概率为（ ）A.13B.310C.25D.1130 4.已知集合A ={π5,4π5,6π5,9π5,11π5}，从A 中任意选两个角，其正弦值相等的概率是（） A.110 B.25 C.35 D.310 2019表所示：其中空气质量指数T ⩽50时，空气质量为优；50<T ⩽100时，空气质量为良；100<T ⩽150时，空气质量为轻度污染.该城市2019年空气质量达到良或优的概率为（ ）.A.35B.1180C.119D.59 6.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，他们将零件加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否被加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个被加工为一等品的概率为（ ）.A.12B.512C.14D.167.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,23,34，且它们正常工作与否是相互独立的.如图，将T2,T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（）.A.1124B.2324C.14D.17328.某市对创建全国文明城市工作进行验收时，有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查,6人得分分别为5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样的方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为（）A.35B.415C.715D.8159.从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（）.A.“至少有1个红球”与“都是红球”B.“至少有1个红球”与“至少有1个白球”C.“恰有1个红球”与“恰有2个红球”D.“至多有1个红球”与“恰有2个红球”10.下列各对事件中，一定是相互独立事件的有（）.A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中目标”与“乙未射中目标”11.一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是（）.A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点的总数为16C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点的总数为1612.在如图所示的电路中，A，B，C，D，E这5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被烧断的概率，下列结论正确的是（）.A.A，B所在线路畅通的概率为16B.A，B，C所在线路畅通的概率为56C.D，E所在线路畅通的概率为130D.当开关闭合时，整个电路畅通的概率为293613.若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是.14.一个样本的容量为70，将其分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为15，则该样本第四组的频率为. 15.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如若从该班随机选取1名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率为.16.近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为910，89，34，13，则该选手获得最终奖金的概率为.17.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000根，该公司对这些灯管的使h)所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计该种型号灯管的使用寿命不足1500h的概率. 18.如图是某行业网站统计的某一年1月到12月(共12个月)的山地自行车销售量(1k代表1000)折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：(1)在这一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k辆的概率；(2)在这一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月的销售量递增(如2月到3月的销售量是递增的)的概率；(3)根据折线图，估计这一年平均销售量在哪两条相邻水平线之间(只写出结果，不要过程).19.南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长为35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位：分钟)进行调查，按平均每日参加体育锻若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.(1)将频率视为概率，估计该校7 000名学生中“锻炼达人”有多少?(2)从这100名学生中的“锻炼达人”中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人参加某项体育活动.①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.20.某套数学试卷中有12道选择题，每道选择题有四个选项，评分标准规定：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分.某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜.试求该考生的选择题：(1)得60分的概率.(2)得多少分的概率最大？21.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，每钟预防措施最多可以使用一次，单独采用甲、乙、丙、丁预防措需费用如下表：预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.22.甲、乙两人玩卡片游戏:他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问这个规则公平吗?为什么?参考答案1.【答案】:C【解析】:在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当2枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件.故选 C.2.【答案】:B【解析】:解：根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件，故其概率P=1−0.3−0.2=0.5．故选：B．由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事件的概率公式即可求解本题主要考查了互斥事件的概率求解，属于基础试题．3.【答案】:B【解析】:由题意知，在30组随机数中表示两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的有102,146,245,310,481,337,139,235,246,共9组，故所求概率约为930=310.故选 B.4.【答案】:B【解析】:试验“从A中任意选两个角”的样本空间Ω={(π5,4π5)，(π5,6π5)，(π5,9π5)，(π5,11π5)，(4π5,6π5)，(4π5,9π5)，(4π5,11π5)，(6π5,9π5)，(6π5,11π5)，(9π5,11π5)}，则n(Ω)=10．记事件A=“两个角的正弦值相等”，则A={(π5,4π5),(π5,11π5),(4π5,11π5),(6π5,9π5)}，所以n(A)=4，则P(A)=n(A)n(Ω)=410=25，故选B．5.【答案】:A【解析】:由题意，得P(T ⩽50)=110，P(50<T ⩽100)=16+13=12，由互斥事件的概率公式，得该城市2019年空气质量达到良或优的概率P =110+12=35．故选A ．6.【答案】:B【解析】:记“两个零件中恰好有一个被加工为一等品”为事件A ，“甲将零件加工为一等品”为事件A 1，“乙将零件加工为一等品”为事件A 2，则P(A)=P(A 1A ¯2)+P(A ¯1A 2)=23×14+13×34=512，故选B ．7.【答案】:A【解析】:记“T 1正常工作”为事件A ，“T 2正常工作”为事件B ，“T 3正常工作”为事件C ，则P(A)=12，P(B)=23，P(C)=34．电路不发生故障，则须满足T 1正常工作，T 2，T 3中至少有一个正常工作，而T 2，T 3中至少有一个正常工作的概率P 1=1−P(B ¯C ¯)=1−(1−23)×(1−34)=1112，则电路不发生故障的概率P =12×1112=1124，故选A ．8.【答案】:C【解析】:总体平均数为16×(5+6+7+8+9+10)=7.5．“抽取2名学生”的样本空间Ω=｛(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)｝，则n(Ω)=15．记事件A =“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，则A =｛(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9)｝，所以n(A)=7，则P(A)=n(A)n(Ω)=715，故选C ．9.【答案】:CD【解析】:根据互斥事件与对立事件的定义判断．A 中两事件不是互斥事件,事件“都是红球”是两事件的交事件；B 中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”发生时，两事件均发生,故不是互斥事件；C 中两事件是互斥而不对立事件;“至多有1个红球”,即“有0个或1个红球”,与“恰有2个红球”互斥,除此之外事件“都是红球”也可能发生,因此它们不对立，D 符合题意．故选CD ．10.【答案】:B ；D【解析】:在A 中，甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”是互斥事件，不会同时发生，因此不是相互独立事件;在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”相互独立事件；在D中，甲、乙各射击一次，“甲射中目标”发生与否对“乙未射中目标”的概率没有影响，二者一定是相互独立事件.故选BD.11.【答案】:A；C；D【解析】:记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品. 对于A,样本空间Ω=｛(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)｝,“恰有一件次品”包含的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12，A正确；对于B,每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω=｛(1,2),(1,3)，(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1)(a,2),(a,3)｝, 因此n(Ω)= 12,B错误；对于C,“取出的2件中恰有1件次品”包含的样本点的个数为6,故其概率为12,C正确; 对于D,每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本空间Ω=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)｝,因此n(Ω)=16,D正确．故选ACD．12.【答案】:B；D【解析】:由题意知，A，B，C，D，E表示的保险闸中的保险丝被烧断的概率分别为12，13，14，15，16，所以A，B所在线路畅通的概率为12×23=13，故A错误；D，E并联后的电路畅通的概率为1−15×16=1−130=2930，故C错误；A，B，C所在线路畅通的概率为1−23×14=1−16=56，故B正确；根据上述分析可知，当开关闭合时，整个电路畅通的概率为2930×56=2936，故D正确.故选BD．13.【答案】:“2次都未中靶”【解析】:由对立事件的概念可得.14.【答案】:1135【解析】:根据题意可得第一组和第三组的频率分别为870=435,1270=635．根据各组的频率之和为1，即可求得第四组的频率为1−435−635−25=1135．15.【答案】:13【解析】:由题意得该班一共有45名学生，其中两个社团都未参加的有30人，∴从该班随机选取1名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率P=1−3045=13．16.【答案】:2571800【解析】:选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，其概率为9 10×89×34×13=15.结束第一轮答题后，选手通过第二轮答题的概率为15+110×89×34×13+910×19×34×13+9 10×89×14×13+910×89×34×23=15+145+140+115+25=257360，故该选手获得最终奖金的概率为1 5×257360=2571800．17(2)【答案】这1000根灯管中使用寿命不足1500ℎ的频数是48+121+208+223= 600，所以其频率是6001000=0.6，由此可估计该种型号灯管的使用寿命不足1500ℎ的概率约为0.6．18(1)【答案】“随机取一个月的销售量”的样本空间的样本点有12个，记事件A=“销售量不足200k辆”，则A=｛1月，2月，6月，11月｝，所以P(A)=412=13.(2)【答案】“取连续两个月的销售量”的样本空间Ω=｛1,2月；2,3月；3,4月；4,5月；5,6月；6,7月；7,8月；8,9月；9,10月；10,11月；11,12月｝，则n(Ω)=11．记事件B=“连续两个月的销售量递增”，则B=｛2,3月，3,4月；4,5月；6,7月；7,8月；8,9月；11,12月｝，所以n(B)=7，则P(B)=n(B)n(Ω)=711.(3)【答案】由折线图知，年平均销售量在150k200k这两条水平线之间.19(1)【答案】由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”约有7000×10100=700(名).(2)①【答案】由(1)知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．②【答案】“从5人中抽取2人”的样本空间Ω=｛男1男2，男1男3，男1男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女｝，则n(Ω)=10.记事件A=“抽取的2人中男生和女生各1人”，则A=｛男1女，男2女，男3女，男4女｝，则n(A)=4，所以P(A)=n(A)n(Ω)=410=25.20(1)【答案】要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余4道题中，有两道题答对的概率各为12，有一道题答对的概率为13，还有一道题答对的概率为14，所以该考生的选择题得60分的概率P=12×12×13×14=148．(2)【答案】依题意，该考生选择题得分的可能取值有40，45，50，55，60，共5种．得40分的概率P1=12×12×23×34=648=18；得45分的概率P2=2×12×12×23×34+12×12×13×34+12×12×23×14=1748;得50分的概率P3=12×12×23×34+2×12×12×13×34+2×12×12×23×14+12×12×13×14=1748；得55分的概率P4=12×12×13×34+12×12×23×14+2×12×12×13×14=748；得60分的概率P5=12×12×13×14=148.所以该考生选择题得45分或50分的概率最大．21.【答案】:方案1：单独采用甲、乙、丙、丁四种预防措施中的一种，所需费用均不超过120万元．由表可知，采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9．方案2：联合采用两种预防措施，总费用不超过120万元．由表可知，联合采用甲、丙两种预防措施，可使此突发事件不发生的概率为1−(1−0.9)×(1−0.7)=0.97．联合采用甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施，此突发事件不发生的概率分别为0.96，0.94，0.92，0.88，其概率均小于0.97，所以联合采用甲、丙两种预防措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.97.方案3：联合采用三种预防措施，由于总费用不能超过120万元，故只能联合采用乙、丙、丁三种预防措施．此时突发事件不发生的概率为1−(1−0.8)×(1−0.7)×(1−0.6)=0.976.综上所述，在总费用不超过120万元的前提下，联合采用乙、丙、丁三种预防措施，可使突发事件不发生的概率最大．22(1)【答案】分别用x,y表示甲、乙抽出的卡片上的数字，则样本点可用(x,y)表示“两人各自从自己的卡片中随机抽出1张”的样本空间Ω1=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,｝，则n(Ω1)=36．记事件A=“甲获胜”，则A=｛(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)｝，则n(A)=15，所以P(A)=n(A)n(Ω1)=1536=512．(2)【答案】“各自从手里剩下的卡片中随机抽出1张”的样本空间 Ω2=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,｝，则n(Ω2)=25．记事件B =“卡片上的数字之和为偶数”，则 B =｛(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)｝， 则n(B)=13，所以P(B)=n(B)n(Ω2)=1325,所以根据规则，甲获胜的概率为1325，乙获胜的概率为1225，所以这个规则不公平．。

第一章 解三角形章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 57．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°13．在△ABC 中，若sin A a＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，H 、G 、B 三点在同一条直线上，在G 、H 两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．第一章 解三角形 章末检测 答案 (B)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－122³2³3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||²|AC →|²sin A ＝12³4³1³sin A ＝ 3. ∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.²AC →＝|AB →|²|AC →|cos A＝4³1³cos A ＝±2.] 4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin C ＝c ²sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°. ∴a ＝c ＝ 2.]5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A ， 即72＝52＋AC 2－10AC ²cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.]6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧22＋42－x 2>022＋x 2－42>0解得：23<x <2 5.]7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B.∴sin B ＝10²sin 60°15＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.]8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解；D ：c >b >c sin B ，有两解．]9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴12＝(3)2＋BC 2－2³3³BC ³32.整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³1³12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³2³12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ²BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形， 其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2， 又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1， 故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1， 即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.] 12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝a 2＋b 2－c 22ab2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]13．45°解析 由正弦定理，sin A a ＝sin Bb.∴sin B b ＝cos Bb.∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析 设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos A ，∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)．∴S △ABC ＝12³5³8³sin 60°＝10 3.15．8 6解析 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64³32＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/小时)．16.33解析 由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )²b 2＋c 2－a 22bc＝a ²a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33.17．解 在△ACD 中，∠DAC ＝α－β， 由正弦定理，得AC sin β＝DCα－β，∴AC ＝a sin βα－β∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αα－β＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ²sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2³33³5³cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理， 得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ²OC ²cos θ ＝5－4cos θ， 所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12³1³2sin θ＋34³(5－4cos θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ³AN α1－β1. 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.又OC －θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ²OC sin 120°＝12²43sin θ²43sin(60°－θ)³32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θ²cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.。

姓名，年级：时间：综合质量测评(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式错误!〈错误!的解集是( )A．（－∞，2）B．（2，＋∞）C．（0，2）D．（－∞，0）∪(2，＋∞）答案D解析错误!<错误!⇔错误!－错误!<0⇔错误!<0⇔错误!〉0⇔x〈0或x〉2．2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( )A．钝角B．直角C．锐角D．60°答案C解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2，即a2＋b2－c2＝c2〉0，cos C>0．故角C为锐角．3．在△ABC中，a＝20,b＝10,B＝29°,则此三角形解的情况是（）A．无解B．有一解C．有两解D．有无数个解答案C解析a sin B＝a sin29°〈a sin30°＝20×错误!＝10＝b<a，所以有两解．故选C．4．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为（)A．－4 B．6 C．10 D．17答案B解析 由题意知，约束条件错误!所表示的三角形区域的顶点分别为A(0，2），B(3，0），C （1，3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6，17，故z 的最小值为6．5．已知△ABC 的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为错误!，则这个三角形的周长为( )A ．15B ．18C ．21D ．24答案 A解析 根据题意，设△ABC 的三边长为a,a ＋2，a ＋4，且a ＋4所对的角为最大角α，∵sin α＝错误!，∴cos α＝错误!或－错误!，当cos α＝错误!时,α＝60°，不符合题意，舍去； 当cos α＝－12时,α＝120°，由余弦定理得:cos α＝cos 120°＝错误!＝－错误!，解得a ＝3或a ＝－2(不符合题意，舍去），则这个三角形周长为a ＋a ＋2＋a ＋4＝3a ＋6＝9＋6＝15．故选A ．6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若内角A ，B,C 依次成等差数列,且不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜a ＜x ＜c}，则S △ABC ＝（ )A ． 3B ．2错误!C ．3错误!D ．4错误!答案 B解析 不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜2＜x ＜4｝，由此可知a ＝2,c ＝4．又由A ，B ，C 依次成等差数列，知2B ＝A ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝错误!．于是S △ABC ＝错误!ac sin B ＝错误!×2×4×错误!＝2错误!．故选B ．7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，则4a 5－2a 3的值为( )A ．80B ．60C ．40D ．20答案 A解析 ∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，∴5a7＝200，a7＝40．又4a5＝2(a3＋a7)＝2a3＋2a7，∴4a5－2a3＝2a7＝80．故选A．8．已知S n和T n分别为数列｛a n｝与数列{b n｝的前n项和，且a1＝e4，S n＝e S n＋1－e5，a n＝e b n，则当T n取得最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6答案C解析由S n＝e S n＋1－e5，得S n－1＝e S n－e5(n≥2），两式相减，得a n＝e a n＋1（n≥2），易知a2＝e3，错误!＝错误!＝错误!，所以｛a n｝是首项为e4，公比为错误!的等比数列，所以a n＝e5－n．因为a n＝e b n,所以b n＝5－n．由错误!即错误!解得4≤n≤5,所以当n＝4或n＝5时，T n取得最大值．故选C．9．已知△ABC的周长为2，角A，B，C的对边分别为a,b，c,且满足错误!＝3c,则c等于（)A．错误!B．1 C．1或错误!D．错误!答案D解析由正弦定理得:错误!＝错误!＝3c，即3c2＝b＋a，又∵a＋b＋c＝2，∴3c2＋c＝2．解得c＝错误!．故选D．10．某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费用为9千元,这种生产设备的维护费用：第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用________年报废最划算( )A．3 B．5 C．7 D．10答案D解析设使用x年，年平均费用为y万元，则y＝错误!＝错误!＝1＋x10＋错误!≥3，当且仅当x＝10时等号成立．故选D．11．设{a n｝是正数等差数列，｛b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则（）A．a n＋1〉b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1答案B解析a n＋1＝错误!≥错误!＝错误!＝b n＋1．12．如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C（)A．北偏东60°；10错误!B．北偏东40°；10错误!C．北偏东30°;10错误!D．北偏东20°;10错误!答案B解析由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°,AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°．所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝102＋102－2×10×10×－错误!＝300，所以AC＝10 3．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知a＝3，b＝4,c＝6，则bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝________．答案61 2解析由余弦定理得bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!．14．已知数列｛a n}是各项为正数，首项为1的等差数列，S n为其前n项和,若数列｛错误!｝也为等差数列，则错误!的最小值是________．答案错误!解析设数列{a n}的公差为d（d＞0），即有a n＝1＋（n－1)d，S n＝n＋错误!n(n－1)d，错误!＝错误!，由于数列{错误!｝也为等差数列,可得d＝2，即有a n＝2n－1，S n＝n2，则错误!＝错误!＝错误!错误!≥错误!·2错误!＝2错误!，当且仅当n＝2错误!取得等号，由于n为正整数,即有n＝2或3取得最小值．当n＝2时，取得3；n＝3时，取得错误!,故最小值为错误!．15．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下,最少要花费________元．答案500解析设购买35 kg的x袋，24 kg的y袋,则35x＋24y≥106，x∈N＊，y∈N*，共花费z＝140x＋120y．作出由35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N＊对应的平面区域，再作出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在点（1，3）处z最小,为500元．16．如果a〉b，给出下列不等式：①1a〈错误!；②a3>b3；③错误!〉错误!;④2ac2〉2bc2；⑤错误!>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b．其中一定成立的不等式的序号是________．答案②⑥解析①若a>0，b〈0，则错误!>错误!，故①不成立；②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a〉b．∴a3〉b3，故②成立；③取a＝0，b＝－1,知③不成立；④当c＝0时,ac2＝bc2＝0，2ac2＝2bc2，故④不成立；⑤取a＝1，b＝－1,知⑤不成立;⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b）＝错误!［（a－b)2＋（a－1）2＋(b－1）2］〉0，∴a2＋b2＋1〉ab＋a＋b，故⑥成立．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知b cos2错误!＋a cos2错误!＝错误!c．(1）求证：a，c，b成等差数列；(2)若C＝π3，△ABC的面积为2错误!,求c．解(1)证明:由正弦定理得：sin B cos2A2＋sin A cos2错误!＝错误!sin C，即sin B·错误!＋sin A·错误!＝错误!sin C,∴sin B＋sin A＋sin B cos A＋cos B sin A＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin(A＋B)＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin C＝3sin C，∴sin B＋sin A＝2sin C，∴a＋b＝2c，∴a，c，b成等差数列．(2）S＝错误!ab sin C＝错误!ab＝2错误!，∴ab＝8，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝4c2－24．∴c2＝8，得c＝2错误!．18．（本小题满分12分)已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，｛b n}是各项都是正数的等比数列．(1）若a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，求数列{a n}的通项公式；(2)若b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，求数列{b n｝的通项公式．解（1)由题意可设公差为d,则d≠0．由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列,得错误!＝错误!，解得d＝1或d＝0（舍去)．故数列｛a n｝的通项公式为a n＝1＋(n－1）×1＝n．(2）由题意可设公比为q，则q＞0．由b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，得b3＝b2＋2b1，∴q2＝2＋q，解得q＝2或q＝－1(舍去）．故数列｛b n｝的通项公式为b n＝1×2n－1＝2n－1．19．(本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2－bx＋1．(1)是否存在实数a,b使不等式f(x)〉0的解集是｛x|3<x<4},若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；(2)若a为整数,b＝a＋2，且函数f（x)在(－2,－1)上恰有一个零点,求a的值．解（1）∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是｛x｜3<x〈4}，∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，∴错误!解得a＝错误!，b＝错误!．而当a＝错误!>0时,不等式ax2－bx＋1〉0的解集不可能是{x｜3<x〈4｝，故不存在实数a，b使不等式f（x)〉0的解集是｛x|3<x<4}．（2）∵b＝a＋2，∴f(x）＝ax2－(a＋2）x＋1．∵Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x）＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个零点．又函数f(x）在(－2,－1）上恰有一个零点，∴f（－2)·f(－1）〈0，∴（6a＋5）(2a＋3）<0，解得－错误!<a〈－错误!．∵a∈Z，∴a＝－1．20．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知2c－a ＝2b cos A．（1)求角B的大小；（2)若b＝2错误!，求a＋c的最大值．解（1)∵2c－a＝2b cos A,∴根据正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，∵A＋B＝π－C,可得sin C＝sin（A＋B）＝sin B cos A＋cos B sin A，∴代入上式，得2sin B cos A＝2sin B cos A＋2cos B sin A－sin A，化简得(2cos B－1)sin A＝0，∵A是三角形的内角，可得sin A＞0,∴2cos B－1＝0，解得cos B＝错误!，∵B∈(0，π)，∴B＝错误!．(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得12＝a2＋c2－ac．∴(a＋c)2－3ac＝12，∴12≥（a＋c）2－3错误!2,即（a＋c）2≤48(当且仅当a＝c＝2错误!时等号成立），∵a＋c>0，∴a＋c≤43，∴a＋c的最大值为43．21．（本小题满分12分）因发生交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一池塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放a（1≤a≤4，a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x）,其中f(x)＝错误!若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升）时,它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．(精确到0．1，参考数据：错误!取1．4)解（1）因为a＝4，所以y＝错误!①当0≤x≤4时，由648－x－4≥4,解得x≥0，所以此时0≤x≤4．②当4＜x≤10时，由20－2x≥4,解得x≤8，所以此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达8天．（2）当6≤x≤10时，y＝2·错误!＋a错误!－1＝10－x＋错误!－a＝（14－x）＋错误!－a－4，由题意知,y≥4对于x∈[6，10］恒成立．因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4错误!∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4错误!时，y有最小值为8错误!－a－4，令8错误!－a－4≥4，解得24－162≤a≤4,所以a的最小值为24－16错误!．又24－16错误!≈1．6，所以a的最小值约为1．6．22．（本小题满分12分）已知f（x)＝错误!sin x·cos x＋cos2x，锐角△ABC的三个角A，B,C所对的边分别为a，b，c．(1）求函数f(x）的最小正周期和单调递增区间；(2）若f（C)＝1，求m＝a2＋b2＋c2ab的取值范围．解（1)f(x）＝错误!sin x·cos x＋cos2x＝错误!sin2x＋错误!cos2x＋错误!＝sin错误!＋错误!．∴函数f（x）的最小正周期T＝错误!＝π．由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，解得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!．∴函数f(x）的单调递增区间错误!,k∈Z，最小正周期为π．(2)由(1)可得,f(C)＝sin错误!＋错误!＝1，∴sin错误!＝错误!，2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评（一） Word版含解析∵△ABC是锐角三角形，∴错误!〈2C＋错误!<错误!,∴2C＋错误!＝错误!，即C＝错误!．由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得c2＝a2＋b2－ab,∴m＝错误!＝错误!－1＝2错误!－1．①∵△ABC为锐角三角形，∴错误!∴错误!＜A＜错误!．由正弦正理得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!∈错误!．②由②式设t＝错误!,则t∈错误!,那么①式化简为m＝2错误!－1．由y＝t＋错误!≥2,t＝1时取等号．∴m≥3．根据对勾函数的性质可得错误!是单调递减，（1，2)是单调递增,∴m＜4，故得m＝错误!∈［3，4）．。

2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《等比数列的前n 项和公式》一、选择题1.等比数列{a n }中，a n =2n ，则它的前n 项和S n =( )A ．2n -1B ．2n -2C ．2n ＋1-1D ．2n ＋1-22.在等比数列{a n }中，若a 1=1，a 4=，则该数列的前10项和S 10=( )18A ．2-B ．2-C ．2-D ．2-128129121012113.等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( )A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．2或-14.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为，54则S 5=( )A ．35B ．33C ．31D ．295.等比数列{a n }中，a 3=3S 2＋2，a 4=3S 3＋2，则公比q 等于( )A ．2 B. C ．4 D.12146.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1，则a ＋a ＋…＋a 等于( )2122n A ．(2n-1)2 B.(2n -1) C ．4n -1 D.(4n -1)13137.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若=3，则=( )S4S2S6S4A ．2 B. C. D ．1或273310二、填空题8.若数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=2a n ，n=1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n =________.9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．10.等比数列的前n 项和S n =m·3n ＋2，则m=________.11.已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于________．12.设数列{a n}(n=1,2,3，…)的前n项和S n满足S n＋a1=2a n，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5=________.三、解答题13.在等差数列{a n}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20.14.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-n2，a n=log5b n，其中b n>0，求数列{b n}的前n项和T n.15.已知数列{a n }的前n 项和S n =1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5=，求λ.313216.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =ln a 3n ＋1，n=1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .答案解析1.答案为：D ；解析：a 1=2，q=2，∴S n ==2n ＋1-2.2× 1－2n1－22.答案为：B ；解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 4=，得q 3=，解得q=，181812于是S 10===2-.a1 1－q10 1－q 1－ 12 101－121293.答案为：C ；解析：S 4==1，①S 8==17，②；②÷①得1＋q 4=17，a1· 1－q41－qa1· 1－q81－qq 4=16.q=±2.4.答案为：C ；解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3=a ·q 3=a 1·a 4=2a 1，∴a 4=2.21又∵a 4＋2a 7=a 4＋2a 4q 3=2＋4q 3=2×，∴q=.∴a 1==16.S 5==31.5412a4q3a1· 1－q51－q5.答案为：C ；解析：a 3=3S 2＋2，a 4=3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4-a 3=3a 3，即a 4=4a 3，∴q=4.6.答案为：D ；解析：根据前n 项和S n =2n -1，可求出a n =2n-1，由等比数列的性质可得{a }仍为等比数2n 列，且首项为a ，公比为q 2，∴a ＋a ＋…＋a =1＋22＋24＋…＋22n-2=(4n -1)．212122n 137.答案为：B ；解析：设S 2=k ，则S 4=3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q≠-1)，得S 2，S 4-S 2，S 6-S 4为等比数列，又S 2=k ，S 4-S 2=2k ，∴S 6-S 4=4k ，∴S 6=7k ，∴==，S6S47k 3k 73故选B.8.答案为：2n -1；解析：由=2，∴{a n }是以a 1=1，q=2的等比数列，故S n ==2n -1.an ＋1an 1× 1－2n1－29.答案为：；13解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2=S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q)=a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，∴4(1＋q)=1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q=.1310.答案为：-2；解析：设等比数列为{a n }，则a 1=S 1=3m ＋2，S 2=a 1＋a 2=9m ＋2⇒a 2=6m ，S 3=a 1＋a 2＋a 3=27m ＋2⇒a 3=18m ，又a =a 1·a 3⇒(6m) 2=(3m ＋2)·18m ⇒m=-2或m=0(舍去)．∴m=-2.211.答案为：2n -1；解析：由题意，Error!，解得a 1=1，a 4=8或者a 1=8，a 4=1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1=1，a 4=8，即q 3==8，所以q=2，a4a1因而数列{a n }的前n 项和S n ===2n -1.a1 1－qn 1－q 1－2n1－212.答案为：34；解析：由S n ＋a 1=2a n ，得a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n≥2)，即a n =2a n-1(n≥2)．从而a 2=2a 1，a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3=2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1=2(2a 1＋1)，解得a 1=2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n =2n ，所以a 1＋a 5=2＋25=34.13.解：设数列{a n }的公差为d ，则a 3=a 4-d=10-d ，a 6=a 4＋2d=10＋2d ，a 10=a 4＋6d=10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10=a ，26即(10-d)(10＋6d)=(10＋2d)2.整理，得10d 2-10d=0.解得d=0或d=1.当d=0时，S 20=20a 4=200；当d=1时，a 1=a 4-3d=10-3×1=7，于是S 20=20a 1＋d=20×7＋190=330.20×19214.解：当n≥2时，a n =S n -S n-1=(2n-n 2)-[2(n-1)-(n-1)2]=-2n ＋3，当n=1时，a 1=S 1=2×1-12=1也适合上式，∴{a n }的通项公式a n =-2n ＋3(n ∈N *)．又a n =log 5b n ，∴log 5b n =-2n ＋3，于是b n =5-2n ＋3，b n ＋1=5-2n ＋1，∴==5-2=.bn ＋1bn 5－2n ＋15－2n ＋3125因此{b n }是公比为的等比数列，且b 1=5-2＋3=5，125于是{b n }的前n 项和T n ==.5[1－(125)n ]1－12512524[1－(125)n ]15.解：(1)证明：由题意得a 1=S 1=1＋λa 1，故λ≠1，a 1=，a 1≠0.11－λ由S n =1＋λa n ，S n ＋1=1＋λa n ＋1得a n ＋1=λa n ＋1-λa n ，即a n ＋1(λ-1)=λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以=.an ＋1an λλ－1因此{a n }是首项为，公比为的等比数列，于是a n =n-1.11－λλλ－111－λ(λλ－1)(2)由(1)得S n =1-n .(λλ－1)由S 5=得1-5=，即5=.3132(λλ－1)3132(λλ－1)132解得λ=-1.16.解：(1)由已知得Error!解得a 2=2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2=2，可得a 1=，a 3=2q ，2q又S 3=7，可知＋2＋2q=7，即2q 2-5q ＋2=0.解得q 1=2，q 2=.2q 12由题意得q>1，∴q=2，∴a 1=1.故数列{a n }的通项为a n =2n-1.(2)由于b n =ln a 3n ＋1，n=1,2，…，由(1)得a 3n ＋1=23n ，∴b n =ln 23n =3nln 2.又b n ＋1-b n =3ln 2，∴{b n }是等差数列，∴T n =b 1＋b 2＋…＋b n ==·ln 2.n b1＋bn 23n n ＋12故T n =ln 2.3n n ＋1 2。

学业分层测评(五)补集及综合应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个B．5个C．7个D．8个【解析】A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.【答案】 C2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．【答案】 D3．(2015·天津高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}【解析】由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．【答案】 A4．(2016·中山高一检测)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图1-1-2中的阴影部分表示的集合为()图1-1-2A．{2} B．{4,6}C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}【解析】全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，∵∁U A＝{4,6,7,8}，∴(∁U A)∩B＝{4,6}．故选B.【答案】 B5．(2016·南阳高一检测)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是() 【导学号：97030023】A．a≤2 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2【解析】∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，∴∁R B＝{x|x≤1或x≥2}，因为A∪∁R B＝R，所以a≥2，故选C.【答案】 C二、填空题6．(2016·杭州模拟)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝________.【解析】∵集合S＝{x|x>－2}，∴∁R S＝{x|x≤－2}，由x2＋3x－4≤0，得T＝{x|－4≤x≤1}，故(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．【答案】(－∞，1]7．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁B＝________.U【解析】∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．【答案】{3}8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．【解析】∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A⊆∁U B.【答案】∁U A⊆∁U B三、解答题9．(2016·宁波高一检测)设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩∁A(B∪C)．【解】A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}，∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，∴A∩∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}．10．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：(1)A∩B；(2)∁R A；(3)∁R(A∪B)．【解】(1)∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，∴A∩B＝{x|3≤x＜7}．(2)又全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}．(3)∵A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．[能力提升]1．(2016·石家庄高一检测)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)【解析】∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，则(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}．故选D.【答案】 D2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A ∪B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．【答案】 B3．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．【解析】 ∵U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∁U A ＝{1}，∴a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.【答案】 －1或24．(2016·哈尔滨师大附中高一检测)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}．求(1)∁U (A ∪B )；(2)记∁U (A ∪B )＝D ，C ＝{x |2a －3≤x ≤－a }，且C ∩D ＝C ，求a 的取值范围. 【导学号：97030024】【解】 (1)由题意知，A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∪B ＝{x |x ≤2或x ≥5}， 又全集U ＝R ，∁U (A ∪B )＝{x |2＜x ＜5}．(2)由(1)得D ＝{x |2＜x ＜5}，由C ∩D ＝C 得C ⊆D ，①当C ＝∅时，有－a ＜2a －3，解得a ＞1；②当C ≠∅时，有⎩⎨⎧ 2a －3≤－a2a －3>2－a <5，解得a ∈∅. 综上，a 的取值范围为(1，＋∞).。

不等式的性质(20分钟35分)1.如果-1<a<b<0,则有( )A.<<b2<a2B.<<a2<b2C.<<b2<a2D.<<a2<b2【解析】选A.取a=-,b=-,分别计算出=-3,=-2,b2=,a2=,由此能够判断出,,b2,a2的大小.2.若<<0,则下列结论正确的是( )A.a2>b2B.1>>C.+<2D.ae b>be a(e≈2.718 28…)【解析】选D.因为<<0,所以b<a<0,所以-b>-a>0,所以(-b)2>(-a)2,所以a2<b2,故A错误;又y=在R上是减函数,所以>>1,故B错误;又+-2==>0,所以+>2,故C错误;又0<<1,0<<1,所以·<1,又b·e a<0,所以ae b>be a,故D正确.3.已知-<α<β<,则不属于的区间是( )A.(-π,π)B.C.(-π,0)D.(0,π)【解析】选D.因为-<α<β<,所以<0且-π<α-β<π,所以-<<0,所以不属于区间(0,π).4.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.>B.<C.ac>bcD.ac<bc【解析】选B.因为a>b>c,所以a-c>b-c>0.所以<.【补偿训练】若a>b,x>y,下列不等式不正确的是( ) A.a+x>b+y B.y-a<x-bC.|a|x>|a|yD.(a-b)x>(a-b)y【解析】选C.当a≠0时,|a|>0,|a|x>|a|y,当a=0时,|a|x=|a|y,故|a|x≥|a|y.5.若8<x<10,2<y<4,则的取值范围是.【解析】因为2<y<4,所以<<.因为8<x<10,所以2<<5.答案:(2,5)【补偿训练】设α∈,β∈,则2α-的范围是( ) A. B.C.(0,π)D.【解析】选D.0<2α<π,0≤≤,所以-≤-≤0,得到-<2α-<π.6.已知a>b>c,求证:++>0.【证明】原不等式变形为:+>.又因为a>b>c,所以a-c>a-b>0,所以>,又>0,所以+>,即++>0.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是( )A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2C.x2<a2<axD.x2>a2>ax【解析】选B.因为x<a<0,所以ax>a2,x2>ax,所以x2>ax>a2.2.已知x>y>z,且x+y+z=1,则下列不等式中成立的是( )A.xy>yzB.xy>xzC.xz>yxD.x|y|>z|y|【解析】选B.因为x>y>z,且x+y+z=1,所以x>0,所以xy>xz.3.已知a>b>0,c>0且c≠1,则下列不等式一定成立的是( )A.log c a>log c bB.c a>c bC.ac>bcD.>【解析】选C.因为a>b>0,所以当0<c<1时,log c a<log c b,c a<c b,当c>1时log c a>log c b,c a>c b,所以ac>bc,<.4.已知a,b,c为实数,则下列结论正确的是( )A.若ac>bc>0,则a>bB.若a>b>0,则ac>bcC.若a>b,c>0,则ac>bcD.若a>b,则ac2>bc2【解析】选C.对于A,当c<0时,不等式不成立,故A不正确;对于B,当c<0时,不等式不成立,故B不正确;对于C,因为a>b,c>0,所以ac>bc,故C正确;对于D,当c=0时,不等式不成立,故D不正确.5.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a【解析】选C.因为<x<1,所以-1<ln x<0.令t=ln x,则-1<t<0.所以a-b=t-2t=-t>0,所以a>b.c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),又因为-1<t<0,所以0<t+1<1,-2<t-1<-1,所以c-a>0,所以c>a,所以c>a>b.【补偿训练】设0<a<b,c∈R,则下列不等式中不成立的是( ) A.< B.-c>-cC.>D.ac2<bc2【解析】选D.因为y=在(0,+∞)上是增函数,所以<,因为y=-c在(0,+∞)上是减函数,所以-c>-c,因为-=>0,所以>,当c=0时,ac2=bc2,所以D不成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若-1<x<y<0,则,,x2,y2的大小关系为.【解析】因为-1<x<y<0,所以1>-x>-y>0,xy>0,所以x2>y2,>.因为y2>0,<0,所以x2>y2>>.答案:x2>y2>>【补偿训练】若a>b>c>0,则,,,c从小到大的顺序是. 【解析】=,=,=,因为a>b>c>0,所以>>,因为<<<,所以c<<<.答案:c<<<7.已知-1<2x-1<1,则-1的取值范围是.【解析】-1<2x-1<1⇒0<x<1⇒>1⇒>2⇒-1>1.答案:(1,+∞)【补偿训练】已知2b<a<-b,则的取值范围为.【解析】因为2b<a<-b,所以2b<-b,所以b<0.所以<<,即-1<<2.答案:-1<<28.已知-1<a+b<3且2<a-b<4,则2a+3b的取值范围是. 【解析】设2a+3b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,所以所以m=,n=-.所以2a+3b=(a+b)-(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,所以-<(a+b)-(a-b)<,即-<2a+3b<.答案:-<2a+3b<三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a>b,<,求证:ab>0.【证明】因为<,所以-<0,即<0,而a>b,所以b-a<0,所以ab>0.10.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围. 【解析】因为f(x)=ax2-c,所以即解得所以f(3)=9a-c=f(2)-f(1).又因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,所以≤-f(1)≤,-≤f(2)≤,所以-1≤f(2)-f(1)≤20,即-1≤f(3)≤20.【补偿训练】已知x,y为正实数,且1≤lg(xy)≤2,3≤lg ≤4,求lg(x4y2)的取值范围. 【解析】由题意,设a=lg x,b=lg y,所以lg(xy)=a+b,lg=a-b,lg(x4y2)=4a+2b.设4a+2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,所以解得又因为3≤3(a+b)≤6,3≤a-b≤4,所以6≤4a+2b≤10,所以lg(x4y2)的取值范围为[6,10].1.已知三个不等式①ab>0;②>;③bc>ad.若以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成个正确命题.【解析】①②⇒③,③①⇒②.(证明略).②③⇒①:由②得>0,又由③得bc-ad>0.所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题.答案:32.设a≥b≥c,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,求的取值范围.【解析】因为1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,所以a+b+c=0,因为a≥b≥c,所以a>0得b=-a-c,因为a≥b≥c,即a≥-a-c≥c,即得,因为a>0,则不等式等价为, 即,得-2≤≤-,综上,的取值范围为-2≤≤-.。

数学必修5终结性评价笔试试题（一）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考生应在开始答题之前将自己的姓名、考生好和座位号填写在答题卷指定的位置上．2．应在答题卷上作答，答在试卷上的答案无效．3．选择题每小题选出答案后，应将对应题目的答案标号填涂在答题卷指定的位置上． 4．非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．本次考试不允许使用函数计算器．6．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；每小题所给的四个选项中只有一个选项符合题意）1、在等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第（ ）项A ．60B ．61C ．62D ．63 2、在100和500之间能被9整除的所有数之和为（ ）A ．12699B ．13266C ．13833D ．14400 3、等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2—11x +9=0的两个根，则a 6=（ ）A ．3B ．611C ．± 3D ．以上皆非4、四个不相等的正数a ,b,c,d 成等差数列，则（ ）A ．bc d a >+2 B ．bc d a <+2 C ．bc da =+2D ．bc d a ≤+2 5、在ABC ∆中，已知︒=30A ，︒=45C ，2=a ，则ABC ∆的面积等于（ ） A ．2 B ．13+ C ．22 D ．)13(21+ 6、在ABC ∆中，a,b,c 分别是C B A ∠∠∠,,所对应的边，︒=∠90C ，则cba +的取值范围是（ ） A ．（1,2） B ．)2,1( C ．]2,1( D ．]2,1[7、不等式1213≥--xx 的解集是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或D ．{}2|<x x 8、关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－19、在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||31x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23C ．223 D ．210、已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1C ．[－1，2]D ．[1，2]二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

第三章不等式单元综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．不等式x2≥2x的解集是()A．{x|x≥2} B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2}解析：原不等式化为x2－2x≥0，则x≤0或x≥2.答案：D2．若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.1a<1bB．a2>b2C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|解析：根据不等式的性质，知C正确；若a>0>b，则1a>1b，A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；若c＝0，则D不正确，所以选C.答案：C3．若a，b，c是不全相等的正数．给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与b<a及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确判断的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：D4．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是() A．(－3,4) B．(－3，－4)C．(0，－3) D．(－3,2)解析：当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x＋2y＋5>0.答案：A5．已知m，n∈R＋，且m＋n＝2，则mn有()A ．最大值1B ．最大值2C ．最小值1D ．最小值2 解析：∵m ，n ∈R ＋，∴mn ≤(m ＋n 2)2＝1.答案：A6．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 答案：B7．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2，其中正确的不等式是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由于1a <1b <0，则b <a <0，则③不正确；又a ＋b <0<ab ，则①正确；b 2－a 2＝(b ＋a )(b－a )>0，所以b 2>a 2，则|b |>|a |，所以②不正确；b a >0，a b >0，且b a ≠a b ，则b a ＋ab>2，所以④正确．答案：C8．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．2B.32 C ．1＋223D ．3＋2 2解析：1x ＋1y ＝13(3x ＋3y )＝13(x ＋2y x ＋x ＋2y y )＝13(2y x ＋x y ＋3)≥13(22＋3)＝232＋1，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝32－3，y ＝3－322时取等号． 答案：C9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是( )A ．0B ．1 C. 3D ．9解析：在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域，此区域是以O (0,0)，A (0,1)，B (－12，12)为顶点的三角形内部(含边界)．当x ＝y ＝0时，x ＋2y 取最小值0，所以z ＝3x ＋2y的最小值是1. 答案：B10．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a －b 等于( )A ．10B ．14C ．－4D ．－10解析：∵2a ＝(－12)×13＝－16，∴a ＝－12.又－b a ＝－12＋13＝－16，∴b ＝－2，∴a －b ＝－10.答案：D11．某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选( ) A ．1楼 B ．2楼 C ．3楼D ．4楼解析：只需求不满意度n ＋8n 的最小值．由均值不等式得n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n ，即n ＝22≈3时，n ＋8n取得最小值．答案：C12．设函数f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ<π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，12)D ．(－∞，1)解析：∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈R 是奇函数且是增函数，∴f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，即f (m sin θ)>f (m －1)，∴m sin θ>m －1，即m <11－sin θ.∵θ∈[0，π2)，∴11－sin θ≥1，∴m <1.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．不等式x －x 2>0的解集是________． 解析：原不等式等价于x 2－x <0，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________． 解析：图1如下图1中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB . 可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，AB ＝42， 所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋4 215．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．那么这种汽车使用________年时，它的平均费用最少．解析：设使用x 年平均费用最少，由年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，可知汽车年维修费构成首项为0.2万元，公差为0.2万元的等差数列．因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x2x 万元，设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2xx ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x 10≥1＋210x ·x 10＝3.当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 取最小值．答案：1016．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：设y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2·2x ＝(2x －1)2－1.由于1≤x ≤2，则2≤2x ≤4，由二次函数性质，知当2x＝2，即x ＝1时y 有最小值0，所以原不等式在区间[1,2]上恒成立，只要a ≤0.答案：(－∞，0]三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题10分)已知a >0，试比较a 与1a的大小．解：a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a.因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a ；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a. 综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a.18．(本小题12分)已知a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c 解：方法1：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.故原不等式成立． 方法2：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立．19．(本小题12分)已知实数x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，求(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围．解：因为x ，a 1，a 2，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a 1＋a 2. 因为x ，b 1，b 2，y 成等比数列，所以xy ＝b 1b 2，且xy ≠0. 所以(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y )2xy x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy＋2.当x 、y 同号时，x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≥2xyxy ＋2＝4；当x 、y 异号时，x 2＋y 2≥2|xy |，当且仅当|x |＝|y |时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≤2|xy |xy＋2＝0.故(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．20．(本小题12分)设集合A 、B 分别是函数y ＝1x 2＋2x －8与函数y ＝lg(6＋x －x 2)的定义域，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0}．若A ∩B ⊆C ，求实数a 的取值范围．解：由x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，所以A ＝{x |x <－4或x >2}；由6＋x －x 2>0，即x 2－x －6<0，得－2<x <3，所以B ＝{x |－2<x <3}．于是A ∩B ＝{x |2<x <3}．由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0，当a >0时，C ＝{x |a <x <3a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23a ≥3，所以1≤a ≤2；当a ＝0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0即为x 2<0，解集为空集，此时不满足A ∩B ⊆C ；当a <0时，C ＝{x |3a <x <a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥3，此不等式组无解．综上，满足题设条件的实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．21．(本小题12分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：图2设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝2x ＋3y .作出可行域，如右图2所示的阴影部分．目标函数z ＝2x ＋3y 即直线y ＝－23x ＋z 3，其斜率为－23，在y 轴上的截距为z3，且随z 变化的一族平行线．由图知，当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上的点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)，此时z min =2×5＋3×5＝25(m 2)，即两种金属板各取5张时，用料面积最省．图322．(本小题12分)如图3所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：设AN 的长为x 米(x >2)，由|DN ||AN |＝|DC ||AM ||AM |＝3x x －2，∴S 矩形AMPN =|AN |·|AM |＝3x 2x －2.(1)由S 矩形AMPN >32，得3x 2x －2>32，又x >2，则3x 2－32x ＋64>0，解得2<x <83或x >8，即AN 长的取值范围为(2，83)∪(8，＋∞)．(2)y ＝3x 2x －2＝3(x －2)2＋12(x －2)＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12 ≥23(x －2)×12x －2＋12＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x －2，即x ＝4时，取等号，∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。

第4课时 余弦定理(2)知识点一 利用余弦定理判定三角形的形状1．若1＋cos A ＝b ＋cc ，则三角形的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形 答案 A解析 由1＋cos A ＝b ＋c c ，得cos A ＝bc ，根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，则c 2＝a 2＋b 2．所以三角形为直角三角形．故选A ．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．若sin B sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案 C解析 由b 2＋c 2＝a 2＋bc 及余弦定理，知A ＝π3， 又由sin B sin C ＝sin 2A 及正弦定理，得bc ＝a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c ，所以△ABC 为有一个内角为π3的等腰三角形，即为等边三角形．故选C ． 3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形答案 B解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ．∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°．故△ABC 是等边三角形．4．在△ABC 中，a cos(B ＋C )＋b cos(A ＋C )＝c cos(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴原式可化为a cos A ＋b cos B ＝c cos C ． 由余弦定理可知：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ，∴a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab ， 整理，得(a 2－b 2)2＝c 4，即a 2－b 2＝±c 2， ∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2， 故△ABC 一定为直角三角形．知识点二 正弦定理与余弦定理的综合应用5．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A ．1010 B ．105 C ．31010 D ．55 答案 C解析 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5．∴AC ＝5．由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ，6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c cos A ＋a cos C ． (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解 (1)根据正弦定理，得2b cos A ＝c cos A ＋a cos C ⇒2cos A sin B ＝cos A sin C ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°．(2)由余弦定理，得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 把b ＋c ＝4代入，得bc ＝3， 故bc ＝3．知识点三 余弦定理与其他知识的综合应用7．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32 B ．－23 C ．23 D ．32 答案 D解析 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉，由向量模的定义和余弦定理可得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos 〈AB →，AC →〉＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC＝14．故AB →·AC→＝3×2×14＝32． 8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c ＝lg sin A ＝－1g 2，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 D解析 因为lg b ＋lg 1c ＝lg sin A ＝－lg 2，所以c＝2b，且sin A＝2 2．因为A为锐角，所以A＝π4，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋2b2－2b×2b×22＝b2，所以a＝b，所以B＝π4，所以C＝π2，故△ABC为等腰直角三角形．故选D．9．已知向量m＝(cosωx，sinωx)，n＝(cosωx，23cosωx－sinωx)，ω>0，函数f(x)＝m·n＋|m|，且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f(A)＝2，c＝2，S△ABC＝32，求a的值．解(1)f(x)＝m·n＋|m|＝cos2ωx＋23·sinωx cosωx－sin2ωx＋1＝cos2ωx＋3sin2ωx＋1＝2sin2ωx＋π6＋1．由题意，知T＝π，又∵T＝2π2ω＝π，∴ω＝1．(2)∵f(x)＝2sin2x＋π6＋1，∴f(A)＝2sin2A＋π6＋1＝2，sin2A＋π6＝12．∵0<A<π，∴π6<2A＋π6<2π＋π6．∴2A＋π6＝5π6，∴A＝π3．∴S△ABC ＝12bc sin A＝32，∴b＝1．∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋4－2×1×2×12＝3．易错点忽视构成三角形的条件10．已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．易错分析易忽略隐含条件：k，k＋2，k＋4构成一个三角形，则k＋(k＋2)＞k＋4．即k＞2而不是k＞0．解∵c＞b＞a，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝k2－4k－122k(k＋2)＜0．∴k2－4k－12＜0，解得－2＜k＜6．由两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)＞k＋4，∴k＞2，综上所述，k的取值范围为2＜k＜6．一、选择题1．在△ABC中，sin2A－sin2C－sin2B＝sin B sin C，则A等于() A．30°B．60°C．90°D．120°答案D解析根据正弦定理的推广asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)，得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，从而原等式等价于a2－c2－b2＝bc，结合cos A＝b2＋c2－a22bc，得cos A＝－12，由0°<A<180°，得A＝120°．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 D解析 由a 2b 2＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a2及余弦定理，得a 2b 2＝2ac cos B 2bc cos A ，即a b ＝cos Bcos A ，所以由正弦定理，得sin A sin B ＝cos Bcos A ，所以有sin2A ＝sin2B ，从而2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2．故选D ．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A ．518 B ．34 C ．32 D ．78 答案 D解析 设等腰三角形的底边边长为x ，则腰长为2x (如图)，由余弦定理，得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78．故选D ．4．某人要做一个三角形，要求它的三条高线的长度分别是113，111，15，则此人将( )A ．不能做出满足条件的三角形B ．做出一个锐角三角形C ．做出一个直角三角形D ．做出一个钝角三角形 答案 D解析 设三条高线对应的底边分别为a ，b ，c ，则由三角形的面积公式，得a ·113＝b ·111＝c ·15＝t (t >0)．∴a ＝13t ，b ＝11t ，c ＝5t ．∴a 为最大边．由余弦定理，得cos A ＝(11t )2＋(5t )2－(13t )22×11t ×5t <0．∴能做出一个钝角三角形．故选D ．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin Asin B 的值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由余弦定理，得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理，得sin A sin B ＝ab ＝2．二、填空题6．在△ABC 中，设三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则c ＝________．答案 1或2解析 已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝3＋c 2－3c ， 即c 2－3c ＋2＝0，因式分解，得(c －1)(c －2)＝0，解得c ＝1或c ＝2，经检验都符合题意，所以c 的值为1或2．7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________．答案19解析 由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19．8．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22．∴AD ＝AC sin C ＝3． 三、解答题9．在△ABC 中，a 2＋b 2－mc 2＝0(m 为常数)， 且cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ，求m 的值． 解 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得 a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，由a 2＋b 2－mc 2＝0，得 c 2＋2ab cos C ＝mc 2，即2ab cos C ＝(m －1)c 2． 结合正弦定理，得2sin A sin B cos C ＝(m －1)sin 2C ， 又由cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ，得cos A sin B ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin (A ＋B )sin A sin B ＝cos Csin C ，即sin A sin B cos C ＝sin 2C ，得m －1＝2⇒m ＝3．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34．(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC→＝32，求a ＋c 的值． 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－342＝74．由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ． 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477．(2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2．由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3．。

第三章 不等式学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( A ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤N[解析] M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6) ＝a 2＋a ＋1＝(a ＋12)2＋34＞0，∴M ＞N .故选A ．2．设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( A ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}[解析] A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A ．3．(2018－2019学年度山东日照青山中学高二月考)若a ＞b ＞c ，则下列不等式成立的是( B ) A ．1a －c ＞1b －cB ．1a －c ＜1b －cC ．ac ＞bcD ．ac ＜bc[解析] ∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞b －c >0， ∴1a －c ＜1b －c，故选B ． 4．不等式1x <12的解集是( D )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 因1x <12，得1x －12＝2－x2x <0，即x (x －2)>0，解得x <0或x >2，故选D ．5．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( D )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤1[解析] 解法一：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B 、C ；∴选D ． 解法二：原不等式化为：2x 2＋7x －9≤0， 即(x －1)(2x ＋9)≤0，∴－92≤x ≤1，选D ．6．(2018－2019学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( A )A ．(0,8)B ．(1,8)C ．(0,10)D ．(1,10)[解析] 由题意得a 2－8a ＜0， ∴0＜a ＜8，故选A ．7．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( A ) A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12D ．a ≤－12[解析] ∵y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)在x ＝4时，取最大值－4，当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 存在解．故选A ． 8．(2018－2019学年度江西戈阳一中高二月考)设f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝f a f b ，则下列关系正确的是( C )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q[解析] f (x )＝e x是增函数， ∵0＜a ＜b ，∴ab ＜a ＋b2，∴f (ab )＜f (a ＋b2)∴p ＜q 又f (a ＋b2)＝ea ＋b2＝e ab，f a f b ＝e a ·e b ＝e a ＋b ，∴r ＝q ，故选C ．9．不等式(x －2a )(x ＋1)(x －3)<0的解集为(－∞，－1)∪(3,4)，则a 的值为( D ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2[解析] 当2a ＝4时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意，∴a ＝2． 10．下列函数中，最小值是4的函数是( C ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝e x＋4e －x(其中e 为自然对数的底数) D ．y ＝log 3x ＋log x 81[解析] 当x ＜0时，y ＝x ＋4x≤－4，排除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ＜1.y ＝sin x ＋4sin x ≥4.但sin x ＝4sin x无解，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －x ≥4.等号在e x＝4ex 即e x＝2时成立．∴x ＝ln 2，D 中，x ＞0且x ≠1，若0＜x ＜1，则log 3x ＜0，log x 81＜0，∴排除D ． 11．(2016·全国卷Ⅰ理，8)若a >b >1,0<c <1，则( C ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c[解析] 对于选项A ，考虑幂函数y ＝x c，因为c >0，所以y ＝x c为增函数，又a >b >1，所以a c>b c，A 错．对于选项B ，ab c<ba c⇔(b a)c<b a ，又y ＝(b a)x是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．12．(2018－2019学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2[解析] y ＝x 2＋2x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2，∵x ＞1，∴(x －1)＋3x －1＋2≥2x －3x －＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即(x －1)2＝3，x －1＝3，x ＝3＋1时，等号成立． 二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为__[－3,1]__．[解析] 不等式2x 2＋2x －4≤12化为2x 2＋2x －4≤2－1，∴x 2＋2x －4≤－1，∴x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]． 14．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m 、n >0)上，则1m ＋1n的最小值为__4__．[解析] 由题意知A (1,1)，∴m ＋n ＝1， ∵m >0，n >0，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·1＝(1m ＋1n )·(m ＋n )＝n m ＋mn＋2≥4．等号在n m ＝mn 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1n m ＝mn，得m ＝n ＝12．∴1m ＋1n的最小值为4．15．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是__(－∞，－12)__．[解析] 依题意，对任意的x ∈[4，＋∞)，有f (x )＝(mx ＋1)(m 2x －1)＜0恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0－1m ＜41m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．16．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5a －b ≤2a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝__13__．[解析] 由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)若函数f (x )＝lg(8＋2x －x 2)的定义域为M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为N ，求集合M 、N 、M ∩N ．[解析] 由8＋2x －x 2>0，即x 2－2x －8<0， ∴(x －4)(x ＋2)<0， ∴－2<x <4． ∴M ＝{x |－2<x <4}． 由1－2x －1≥0，得x －3x －1≥0， ∴x <1或x ≥3． ∴N ＝{x |x <1或x ≥3}．∴M ∩N ＝{x |－2<x <1或3≤x <4}．18．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] 由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3． 当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0， ∴x <14，故m ＝－1不满足题意．当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－m －2＋m 2－2m －，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3．综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3．19．(本题满分12分)(2018－2019学年度福建莆田一中高二月考)解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(m ∈R )． [解析] 当m ＝0时，原不等式化为－3＜0，∴x ∈R ． 当m ≠0时，原不等式化为(mx －1)(mx ＋3)＜0， ∵m 2＞0，∴(x －1m )(x ＋3m)＜0．当m ＞0时，－3m ＜x ＜1m ，当m ＜0时，1m＜x ＜－3m．综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为(－3m ，1m )；当m ＜0时，原不等式的解集为(1m，－3m)．20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ [解析] (1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)． 整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)． ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y －－0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13．21．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式axx －2>1 ． [解析] a ＝0时，不等式的解集为∅，ax x －2>1⇔a －x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0． ∵a ＜1，∴a －1＜0． ∴化为(x －21－a )(x －2)＜0，当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a ；当a <0时，1－a >1， ∴21－a<2， ∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为∅．22．(本题满分12分)已知关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ＝0的两根为x 1、x 2，若x 1<1<x 2<3，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ，显然m ＋1≠0． (1)当m ＋1>0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0ff，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－1m <－2m >－89，不等式组无解．(2)当m ＋1<0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0ff，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－1m >－2m <－89.得－2<m <－1．由(1)、(2)知m 的取值范围是(－2，－1)．。

第二章 数列2.4 等比数列第1课时 等比数列的概念与通n 项公式A 级 基础巩固一、选择题1．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D ．1 解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14. 答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等差数列的第2项是a 2，公差是d ，则a 3＝a 2＋d ，a 6＝a 2＋4d .由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a 2＋d )2＝a 2(a 2＋4d )，则d ＝2a 2，公比q ＝a 3a 2＝a 2＋d a 2＝a 2＋2a 2a 2＝3.答案：C3．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( )A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)，所以log 2b 2＝log 2ac即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，所以log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．答案：A4．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．±6D ．±12解析：a ＝1＋22＝32， b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，所以ab ＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：设第n 年的研发投资资金为a n ，a 1＝130，则a n ＝130×1.12n －1，由题意，需a n ＝130×1.12n －1≥200，解得n ≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.答案：B二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________．解析：a 4＝a 1q 3＝18×23＝1， a 8＝a 1q 7＝18×27＝16， 所以a 4与a 8的等比中项为±16＝±4.答案：±47．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q ，由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得⎩⎨⎧a 1（1＋q 2）＝10，a 1q （1＋q 2）＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，所以a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝8n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n （n －1）2＝2－12n 2＋72n ，于是当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2， 所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q ＞0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2＝3－2 2. 答案：3－2 2三、解答题9．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3.q ＝2q ， 所以2q ＋2q ＝203. 解得q ＝13或q ＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， 所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29， 所以a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ； 当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项．(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列． 所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1， 又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827， 所以a 21＝94. 又因为a 1<0，所以a 1＝－32. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)． (2)令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681， 则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项． B 级 能力提升1．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：A2．已知等比数列{a n }，若a 3a 4a 8＝8，则a 1a 2…a 9＝________． 答案：5123．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n ，αβ＝1a n .代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列． 所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…. 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=， 又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩； （2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ， 综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或 【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。

新教材高中数学新人教A版必修第一册：充分条件与必要条件层级(一) “四基”落实练1．若p是q的充分条件，则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不正确解析：选B 由充分条件和必要条件的概念知选项B正确．2．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上均不正确解析：选A ∵x＞0⇒x≠0，∴x＞0是x≠0的充分条件．故选A.3．已知条件p：－1＜x＜1，条件q：x≥－2.则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不对解析：选B 由题意，得－1＜x＜1⇒x≥－2.即p⇒q，所以q是p的必要条件．4．(多选)以下选项中，是a＜0，b＜0的一个必要条件的为( )A．a－b＞0 B.ab<－1C．a＋b＜0 D．a＋2b＜1解析：选CD 由a＜0，b＜0，可得：a＋b＜0，a＋2b＜0＜1.而a与b大小关系不确定，ab＞0，因此是a＜0，b＜0的一个必要条件的为C、D.5．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为( ) A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}解析：选D 令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，∵p是q的充分条件，∴p⇒q，即A⊆B，∴m≥4.故选D.6．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．答案：(1)必要条件(2)充分条件7．已知条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为________．解析：∵条件p ：2k －1≤x ≤1－k ，q ：－3≤x ＜3，且p 是q 的必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1≤－3，3≤1－k ，解得k ≤－2.则实数k 的取值范围是{k |k ≤－2}．答案：{k |k ≤－2}8．指出下列各命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：x 2>0，q ：x >0；(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(3)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(4)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等．解：(1)p ：x 2>0则x >0或x <0，q ：x >0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y 且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．层级(二) 能力提升练1．(多选)若不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，则实数a 的取值范围可以是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≥1}C ．{a |3＜a ≤5}D ．{a |a ≤2} 解析：选ABC 不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，设x －2＜a 的解集为A ，则{x |0<x <3}是集合A 的真子集，∵A ＝{x |x <2＋a }，∴2＋a ≥3，解得a ≥1，则A 、B 、C 均正确．2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜1}，集合B ＝{x |－a ＜x －b ＜a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．{b |－2≤b ＜0}B ．{b |0＜b ≤2}C ．{b |－2＜b ＜2}D ．{b |－2≤b ≤2}解析：选C A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |b －a ＜x ＜b ＋a }．∵a ＝1⇒A ∩B ≠∅，又a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1＞－1，b －1＜1，解得－2＜b ＜2.∴实数b 的取值范围是{b |－2＜b ＜2}．故选C.3．已知圆B 在圆A 内，点M 是平面上任意一点，请从“充分”“必要”中选出适当的一种填空．(1)“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的________条件．(2)“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的________条件．解析：圆B 在圆A 内，将圆A ，圆B 内部的点组成的集合分别记为A ′，B ′，则有B ′A ′.(1)如图①，因为B ′A ′，所以x ∈B ′⇒x ∈A ′，但x ∈A ′x ∈B ′，所以“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的充分条件．(2)如图②，因为B ′A ′，所以∁U A ′∁U B ′，其中U 为整个平面区域内所有点组成的集合，故x ∈∁U A ′⇒x ∈∁U B ′，但x ∈∁U B ′x ∈∁U A ′，所以“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的充分条件．答案：充分 充分4．设α：0≤x ≤1，β：x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1，m ∈R ，若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{x |x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1}．因为α是β的充分条件，所以A ⊆B .①当2m －1＞－2m ＋1，即m ＞12时，B ＝R ，满足A ⊆B ； ②当m ≤12，即B ≠R 时，1＜2m －1或0＞－2m ＋1，m 无解． 综上可得，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＞12.层级(三) 素养培优练1．(1)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件？解：(1)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件，只需⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，只需－m 2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，当m ≥2时，“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件．(2)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件，只需{x |x ＜－1或x ＞3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2，这是不可能的．故不存在实数m 使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件．2．某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，特开设了一些社会活动小组，现有其中的甲、乙两组同学在参加社团活动中，设计了如下两个电路图．并根据在数学课上所学的充分条件与必要条件知识，提出了下面两个问题：(1)①中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？(2)②中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？你能根据本节课所学知识解答上述两个问题吗？解：(1)充分条件．(2)必要条件.。