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刘鸿文《材料力学》学习辅导书(能量方法)【圣才出品】

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刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第1~2章【圣才出品】

刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第1~2章【圣才出品】

图 1-2-5 解：（1）应用截面法，叏 1-1 截面以下部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（a）所示。 由平衡条件可得：∑MA＝0，FN1lsinα－Fx＝0； 解得：FN1＝Fx/（lsinα）； 故当 x＝l 时，1-1 截面内力有最大值：FN1max＝F/sinα。 （2）应用截面法，叏 1-1 截面以下，2-2 截面右侧部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（b） 所示。 由平衡条件可得 ∑Fx＝0，FN2－FN1cosα＝0 ∑Fy＝0，FS2－FN1sinα－F＝0 ∑MO＝0，FN1（l－x）sinα－M2＝0 解得 2-2 截面内力：FN2＝Fxcotα/l，FS2＝（1－x/l）F，M2＝xF（l－x）/l。 综上可知，当 x＝l 时，FN2 有最大值，且 FN2max＝Fcotα；当 x＝0 时，FS2 有最大值， 且 FS2max＝F；当 x＝l/2 时，弯矩 M2 有最大值，且 M2max＝Fl/4。
Δx 的比值为平均正应发，用 εm 表示，即
εm＝Δs/Δx 平均正应发的枀限值即为正应发，用 ε 表示，也即
lim s
x0 x
3 / 161
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微体相邻棱边所夹直角改发量，称为切应发，用 γ 表示，单位为 rad，若 α 用表示发 形后微体相邻棱边的夹角，则
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由平衡条件可得
∑Fy＝0，F－FS＝0
∑MC＝0，Fb－M＝0
则 n-n 截面内力为：FS＝F，M＝Fb。
图 1-2-2 1.2 试求图 1-2-3 所示结极 m-m 和 n-n 两截面上的内力，并挃出 AB 和 BC 两杆的 发形属于何类基本发形。
6 / 161

刘鸿文《材料力学》学习辅导书(厚壁圆简和旋转圆盘)【圣才出品】

刘鸿文《材料力学》学习辅导书(厚壁圆简和旋转圆盘)【圣才出品】

ρ＝a＝75mm，p1＝120MPa。
由只有内压力壁圆筒的应力计算公式得
径向应力



b
p1a2 2 a
2

b2 2
1
120106 752 1252

1252 752

752
1 Pa
120MPa
周向应力
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b2 2
1

20 56.52 972

972
56.52

56.52
1 MPa
40.4MPa
第三强度理论的相当应力σr3
σr3＝2p1b2/（b2－a2）＝2×20×972/（972－56.52）MPa＝60.4MPa
16.2 某型柴油机的连杆小头如图 16-2-2 所示。小头外径 d3＝50mm，内径 d2＝ 39mm。青铜衬套内径 d1＝35mm。连杆材料的弹性模量 E＝220GPa，青铜衬套的弹性模 量 E1＝115GPa，两种材料的泊松比皆为μ＝0.3。小头及铜衬套间的过盈量按直径计算为 （0.068＋0.037）mm，其中 0.068mm 为装配过盈，0.037mm 为温度过盈。试计算小头 与衬套间的压力。

252 252
19.52 19.52

0.3
27.6MPa
16.3 炮筒内直径为 150mm，外直径为 250mm。射击时筒内气体的最大压力为 p1
＝120MPa。试求炮筒内侧面的周向应力及径向应力。
解：炮筒属于只有内压的情况，且 a＝150/2mm＝75mm，b＝250/2mm＝125mm，

材料力学刘鸿文第六版全部整合教案整编能量方法

材料力学刘鸿文第六版全部整合教案整编能量方法

1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
求自由端B的挠度。
F
A

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-能量方法(圣才出品)

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-能量方法(圣才出品)

=
EA( l )2 2l
线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：v ε
=
1 2
τγ
=
τ2 2G
杆件总的应变能为：Vε
=
v dV
Vε
（3）扭转
在扭矩 T 作用下，杆件总的应变能为：
（4）弯曲
线弹性范围内，全梁的应变能为：
2．普遍表达式
V ε
=
1Fδ 2
式中， δ 为 F 作用点沿 F 方向因 F 作用而引起的位移。
图 13-7 解：设左、右两支座为 A、B，则由静力平衡条件得 A、B 的支反力分别为：
合力为： 因此，轴的应变能：
，方向均向上。
13.5 (1)在外伸梁的自由端作用力偶矩 M e ，试用互等定理，并借助于教材表 6.1，求 跨度中点 C 的挠度△c。
(2)用互等定理求解题 13.6、13.7 和 13.8。
后引起的 C 点挠度的叠加。
查教材表
6.1
可知在
F
作用下，悬臂梁
C
点的挠度 1
=
Fa3 3EI
故
。
（2）用互等定理求题 13.7
①将均布载荷作用力看做是第一组力，其在 B 点产生的挠度为 ，在 B 点的角位移为
θB。
a．求 B 截面挠度
取第二组力，在 B 点作用一竖直向下的单位力 F，在 F 力作用下，梁的挠曲线方程为：
根据互等定理有：
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2．位移的互等定理
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F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起

材料力学(刘鸿文)第十三章 能量方法

材料力学(刘鸿文)第十三章 能量方法
P 1 P1 Q1 Q1
若 P1 Q1 ，则有
1 Q 1 P
位移互等定理
例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁， 如图，试用互等定理求解。
A
B
a
P
L
A
R a L δ δ2 X=1
P
B
第一组力： P、R
a2 1 (3l a) 6 EI
l3 2 3EI
——莫尔积分法又称单位载荷法。 M(x) ：实际载荷引起的弯矩；
M ( x ) ： 单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
V1 W1 W2 W12
V2 W1 W2 W21
W12 W21
P 1 P 2 P 2 P m Pm Q1 Q
功的互等定理
位移互等定理
设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，
B
P=1
B
C：yB(a)=yC(b) D：yC(a)=θB(b)
(a) A
C
C
A
(b)
4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所 在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用 下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向 逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以 不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？
P
千分尺
2 N
2
M 2 ( x )dx 2 EI
注意 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、 在小变形下的应变能的计算
2 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加 原理在同种应变能计算中 不能使用。
3 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上 不做功时，才可应用。 4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关； 在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。

刘鸿文《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(15-18章)【圣才出品】

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第 15 章 平面曲杆
15.1 复习笔记
一、曲杆纯弯曲时的正应力 轴线为曲线的曲杆，其横截面有对称轴，曲杆轴线在纵向对称面内为平面曲线，则称为 平面曲杆。平面曲杆对称弯曲时，荷载作用于纵向对称面内，变形后曲杆轴线仍在纵向对面 内。 曲杆的纯弯曲是指在曲杆的纵向对称面内，两端作用大小相等、方向相反的两个弯曲力 偶矩。
R1＝R0＋40＝120mm，R2＝R0－40＝40mm
中性层的曲率半径为
r
A dA A
h
ln
R1 R2
80
ln
120 40
mm
72.8mm
故截面面积对中性轴的静矩为
S＝A（R0－r）＝80×30×（80－72.8）×10－9m3＝1.73×10－5m3
最大拉应力发生在截面离曲率中心最近的内侧边缘，即
1．小曲率曲杆 当曲杆轴线曲率半径 R0 与截面形心到截面内侧边缘的距离 c 的比值 R0/c＞10 时，属 于小曲率曲杆，其正应力可近似的用直梁公式σ＝My/Iz 计算。
2．大曲率曲杆 当 R0/c≤10 时，为大曲率曲杆，可应用公式σ＝My/Sρ计算其正应力。
3．中性层曲率半径的确定 （1）矩形截面
由直梁正应力公式σmax＝M/W 可得
σmax＝600×6/（2×42×10－6）Pa＝112.5MPa
两者误差比较
（σ内－σmax）/σ内＝（153.6－112.5）/153.6＝26.8%
（σ外－σmax）/σ外＝（87.24－112.5）/87.24＝－29%
15.3 作用于图 15-2-2 所示开口圆环外周上的均布压力 p＝4MPa，圆环的尺寸为 R1 ＝40mm，R2＝10mm，b＝5mm。试求其横截面上的最大正应力。

材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法


13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题及考研真题详解(10-12章)【圣才出品】


第 10 章 动载荷
10.1 复习笔记
本章节的主要研究内容是构件作匀加速运动时，或受到作匀加速运动的物体作用时，以 及构件受到冲击时的应力和变形计算。
静载荷：载荷由零平缓地增加到最终值，且之后载荷值再也不变化。 动载荷：随时间明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。 一、动静法的应用 动静法是将动力学问题转化为静力学问题的方法，来自于达朗贝尔原理：假想地在做加 速运动的质点系上的每一个质点上施加惯性力，使原力系与惯性力系组成平衡力系。质点上 的惯性力等于该质点质量 m 与其加速度 a 的乘积，惯性力方向与加速度反向。 对于匀加速平动杆件或者匀角加速转动杆件，使用动静法作动应力分析的一般步骤： （1）求出动荷系数 Kd； （2）按静载荷求解应力 σst、变形 Δst 等； （3）将所得结果乘以动荷系数 Kd 可得动载荷作用下的动应力和变形分别为 σd＝Kdσst Δd＝KdΔst
= st
1−
Fd P
2．交变应力 在静平衡位置上下作受迫振动的杆件，其上各点应力作周期性交替变化。交变应力下的 强度条件不可用静载的方法建立。
3．动应力、动荷载与放大因子的关系（
曲线）
①ω/ω0→1：即干扰力频率接近系统固有频率，此时 β 最大，引起共振。通过改变 ω/ω0 或增大阻尼 δ 可降低 β 避免共振。
dmax
= st
1+
Fd st
= st
1+
Fd P
=
Kd st
式中，振动的动荷载因数
Kd
=1+
Fd st
=1+
Fd P
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Fd 为干扰力 Fd 按静载荷方式作用在弹性系统上的静位移。

刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第3~4章【圣才出品】

Me 2 r 2
2．切应力互等定理
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单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面 的交线，方向则共同挃向或共同背离这一交线。
3．剪切胡克定律
（1）纯剪切
若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例枀限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
ν
1
2
2
2G
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
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三、囿轴扭转时的应力和变形 1．囿轴扭转时的应力 （1）应力计算公式 推导囿轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。 ①变形几何关系：囿轴扭转的平面假设； ②物理关系：剪切胡克定律； ③静力关系：横截面上的内力系对囿心的力矩合成为扭矩。 如图 3-1-2 所示，横截面上任一点的切应力为 τρ＝Tρ/Ip 囿截面边缘的最大切应力 τmax＝TR/Ip＝T/Wt 式中，ρ 为应力点到囿心的距离；Ip 为横截面的枀惯性矩；Wt 为扭转截面系数。
4c 1 4c 4
0.615 c
8FD πd 3
k
8FD πd 3
式中，c 为弹簧挃数，c＝D/d；k 为曲度系数
k 4c 1 0.615 4c 4 c
（3）强度条件
τmax≤[τ]
2．弹簧的变形计算
在作用点在弹簧圀中心的力 F 的作用下，沿力的作用方向的位秱
8FD3n 64FR3n F
图 3-1-2 对于直徂为 D 实心囿形截面 Ip＝πD4/32，Wt＝πD3/16 对于内徂为 d，外徂为 D 的空心囿截面

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(组合变形)【圣才出品】

Iz
（3）根据叠加原理，总正应力：
FN M z gy
A Iz
5．强度计算 危险点通常位于截面上距中性轴最远处。 （1）强度条件 危险点处于单向应力状态，强度条件 σmax≤[σ]。 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件： σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。 （2）强度计算步骤 ①作内力图，确定危险截面； ②计算截面应力并作其分布图，确定危险点；
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第 8 章 组合变形
8.1 复习笔记
一、组合变形和叠加原理 组合变形是指构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形。在下述情况下组合变 形可用叠加法求解：①内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系，即满足胡克定律； ②变形是小变形，可以用原始尺寸原理。
W
其中，W 为抗弯截面系数。 8.2 课后习题详解
8.1 试求图 8-2-1 所示各构件在指定截面上的内力分量。
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图 8-2-1 解：（a）FN＝Fcosθ，FS＝Fsinθ，M＝Facosθ＋Flsinθ （b）FN＝Fy，FSx＝Fx，FSz＝Fz，Mx＝2Fy－FzL，Mz＝FxL－3Fy，T＝2Fx－3Fz （c）截面 1-1：FSy＝F1/2，FSz＝F2/2，Mz＝F1a，My＝F2a，T＝－F1a/2；
图 8-1-1 3．内力分析 横截面上的内力包括：轴力 FN、弯矩 Mz 和剪力 FS。其中，由于剪力引起的切应力较 小，因此，一般不考虑。
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4．应力分析 （1）拉伸正应力：
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图 13-2-1
解：图（a）所示杆件的应变能
Vε1＝F2l/（2EA）＝F2l/[2E·π（d/2）2]＝2F2l/（πEd2）
图（b）所示杆件的应变能
V 2
F 2l F 2l1 F 2l2 F 2l3 2EA 2EA1 2EA2 2EA3

2
图 13-1-2
V1

1 2
F11

1 2
F22

1 2
F33

1 2
F44

F11

F22
在线弹性范围内，应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关，更换两组力
的作用次序得
V1

1 2
F33

1 2
F44

1 2
F11

1 2
F22

F33

F44
1．功的互等定理 第一组力 F1、F2 在第二组力 F3、F4 引起的位移上所作的功，等于第二组力 F3、F4 在第
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如图 13-1-1 所示，在组合变形作用下，整个杆件的应变能
V
FN2 x dx
l 2EA
M 2 x dx
l 2EI
T 2 x dx
l 2GI p
二、互等定理 如图 13-1-2 所示，依次在构件上作用两组力 F1、F2 和 F3、F4，可得到构件的应变能
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第 13 章 能量方法
13.1 复习笔记
一、应变能的普遍表达式
1．杆件应变能的计算
（1）轴向拉伸或压缩
线弹性范围内，轴力沿轴线变化的杆件，总的应变能为
V

FN2 x dx
l 2EA
V
W
为虚位移，利用虚功原理求解。
若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：
（1）对于抗弯为主的杆件，点的位移：
M x M xdx
l
EI
（2）对有 n 根杆的杆系，点的位移：
n FNi FNili i1 EAi
（3）对于受扭杆件某一截面的转角有：
T xT xdx
三、卡氏定理
若将结构的应变能表达为载荷 Fi（i＝1，2，3，…）的函数，则应变能对任一载荷 Fi
的偏导数，等于 Fi 作用点沿 Fi 方向的位移δi，可表示为
i

V Fi
此处卡式定理具体是指卡式第二定理，只适用于线弹性结构。
卡式第一定理（适用于线性、非线性弹性结构）：若结构应变能用位移δ（i i＝1，2，3，…）
T 2 x dx
V l 2GI p
（4）弯曲
线弹性范围内，全梁的应变能为：
M 2 x dx
V l 2EI
2．普遍表达式 Vε＝Fδ/2 式中，δ为 F 作用点沿 F 方向因 F 作用而引起的位移。
图 13-1-1 克拉贝依隆原理：受多个外力作用的线弹性体，其总应变能等于各外力单独作用产生的 应变能之和，即 Vε＝W＝F1δ1/2＋F2δ2/2＋F3δ3/2＋…
F
2

3 8
l

2E


2d 2
2

F
2

1 4
l

2E


d 2
2
7F 2l 8 Ed 2
13.2 图 13-2-2 所示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在 F 力作用下，桁架
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的应变能。
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图 13-2-2
解：桁架的各根杆都是二力杆，只承受轴向力的作用，由静力学平衡条件可得各杆轴力
为
FNAC
2F 2
FNBC
2F 2
FNCD＝0，FNAD＝FNBD＝F/2
因此，桁架的应变能为
V
EA( l 2l
)2
轴向拉伸应变能密度为
ν

2
2E

1
2
（2）纯剪切
线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：
νε

1 2
τγ

τ2 2G
杆件总的应变能为：
V V ν dV
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（3）扭转
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线弹性范围内，在扭矩 T 作用下，杆件总的应变能为：
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一组力 F1、F2 引起的位移上所作的功，可表示为 F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4
2．位移的互等定理 若只有 F1 和 F3 作用且 F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起的位移，可表示为 δ′1＝δ′3
的函数来表述，那么应变能对任一位移δi 的偏导数就等于该位移方向上的荷载 Fi，可表示为
Fi

V
1, 2,
i
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四、莫尔定理与图乘法 1．莫尔定理 虚功原理：外力所做的虚功等于内力在相应虚位移上所做的功，也等于杆件的虚应变能。
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虚功原理与材料性能无关，适用于线弹性材料和非线性弹性材料；力和位移呈非线性关系的
结构也可使用虚功原理。
单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位移，在该点作用一单位力，在单位力单独作
＿
＿
＿
用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为FN（x）、M（x）和T（x），并将已知外力作
l
GI p
2．图乘法
利用图乘法可简化对莫尔积分的运算，莫尔积分中有
l M x M xdx MC
＿
＿
其中，MC 为M（x）图中与 M（x）图的形心 C 对应的坐标。
对于计算过程中常用图形的面积和形心 C 位置的计算公式如图 13-1-3 所示。
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图 13-1-3 13.2 课后习题详解 说明：在以下习题中，如无特别说明，都假定材料是线弹性的。 13.1 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图 13-2-1 所示，其中一根为等截面杆，另 一根为变截面杆。试比较两根杆件的应变能。
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