新课标高二数学同步测试—(期末测试题2—2)

2023最新高二数学上册期末考试试卷及答案试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）1、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则(　C　)A．p：∃x∈R，sinx≥1⌝B．p：∀x∈R，sinx≥1⌝C．p：∃x∈R，sinx>1⌝D．p：∀x∈R，sinx>1⌝2．等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B )．A ．160B ．180C ．200D ．2203．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( C )．A ．5B ．13C ．13D ．374．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线x 2a 2y 2b 2的离心率为( D )A. B. C.D. 735443535．在△ABC中，能使sinA ＞成立的充分不必要条件是( C )32A ．A∈ B ．A∈ C ．A∈(0，π3)(π3，2π3)(π3，π2)D ．A∈(π2，5π6)6．△ABC 中，如果＝＝，那么△ABC 是( B )．Aatan Bbtan Cc tan A ．直角三角形B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形7.如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为(　B )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶18．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线A B 1夹角的余弦值为(　A )A. B.5553C. D. 255359．当x ＞1时，不等式x ＋≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D 11-x )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．若不等式组，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋分为⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30≥y x y x x ＋＋34面积相等的两部分，则k 的值是( A )．A ．73B ．37C ．43D ．3411．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是(　A )A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－1212．定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2(x －3)2，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为 ( B )A.B. C. D. (0，22)(0，33)(0，55)(0，66)解析　由于定义为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，得f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)＝0，即f (1)＝0，故f (x ＋2)＝f (x )，可知f (x )的周期T ＝2，图象以x ＝2为对称轴，作出f (x )的部分图象，如图，∵y ＝log a (x ＋1)的图象与f (x )的图象至少有三个交点，即有log a (2＋1)>f (2)＝－2且0<a <1，解得a ∈。

高二年级数学期终测试第Ⅰ卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸．．．相应位置题号 12 3 45 67解答 451 5 (1,1)(1,)-+∞U30 126π 题号 89 1011 121314解答3﹣[,0]6π-(3,1)(3,)-+∞U⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,22 ()102，12π 15. 解：(1)A ＝(－∞,1)∪(2,＋∞) ---------------------------------3分 x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0，(x －1)(x －a )≤0 ----------------5分∵a ＞1 ∴1≤x ≤a ∴B ＝[1,a ] --------------------------7分 (2) C R A ＝[1,2] ∵(C R A )∪B ＝B ∴C R A ⊆B ， 即[1,2]⊆[1,a ] ∴a ≥2， 即所求实数a 的取值范围为[2, ＋∞)． 16．解：（1）在ABC ∆中，因为3a =，6b =2B A =，故由正弦定理得36sin sin 2=A A ，所以2sin cos 6sin 3=A A A 故6cos 3=A （2）由（1）知6cos =A ，所以23sin 1cos =-=A A 又因为2B A =， 所以21cos cos 22cos 13==-=B A A ，从而222cos 1cos =-=B B在ABC ∆中，因为π++=A B C ,所以53sin sin()sin cos cos sin =+=+=C A B A B A B 所以由正弦定理得sin 5sin ==a Cc A17． 解:(Ⅰ)2()321g x x ax '=+- ……1分由题意01232<-+ax x 的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,31即01232=-+ax x 的两根分别是1,31-.将1=x 或31-代入方程01232=-+ax x 得1-=a . ()223+--=∴x x x x g . ……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：2()321g x x x '=--，(1)4g '∴-=，∴点(1,1)P -处的切线斜率k =(1)4g '-=， ……7分 ∴函数y=()x g 的图像在点(1,1)P -处的切线方程为：14(1)y x -=+，即450x y -+=. ……9分 (Ⅲ) (0,)P +∞⊆Q ，2()()2f x g x '∴≤+即：123ln 22++≤ax x x x 对()+∞∈,0x 上恒成立 ……11分可得x x x a 2123ln --≥对()+∞∈,0x 上恒成立设()xx x x h 2123ln --=, 则()()()22'213121231x x x x x x h +--=+-=……12分 令()0'=x h ,得31,1-==x x (舍)当10<<x 时,()0'>x h ;当1>x 时, ()0'<x h ∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h m ax =-2 2-≥∴a . a ∴的取值范围是[)+∞-,2.18．解：(1)当0<x ≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；........ 2分 当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40000x－16x ＋7360............4分 所以，W ＝26384400404000016736040.x x x x x x ⎧<≤⎪⎨>⎪⎩－＋－，，－－＋，....................................6分(2)①当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6104，所以W max ＝W(32)＝6104；.............10分 ②当x>40时，W ＝－40000x－16x ＋7360， 由于40000x＋16x ≥1600， 当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5760...........14分 综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6104..................16分 19.【答案】(1) 22143x y +=;(2)3解：（1）因为22c =，且12c a =，所以1c =，2a =．…………………………2分 所以23b =．…………………………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…………………………6分 （2）设点M 的坐标为()00,x y ，则2200143x y +=． 因为()1F 1,0-，24a c=，所以直线l 的方程为4x =．…………………………8分 由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径R ．因为()2222100R F 1x y =M =++，所以()()22200041x x y -≤++，…………………………10分即2010150y x +-≥．又因为2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以20033101504x x -+-≥．…………12分 解得0423x ≤≤．…………………………14分 当043x =时，015y =()12F F max1151522S ∆M =⨯=16分 20.【答案】（1）不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值；（2）a ＞－6；（3）上存在单调递增区间，转化为'()0f x ≥在[2,3]上恒成立，对'()f x 表达式中的分子配方，讨论分子的正负；第三问，先构造函数()()()h x f x g x =-，将存在x 0∈，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，转化为01[,]x e e∃∈，0min ()0h x ≤，求a 的范围，对()h x 求导，利用函数()h x 的正负判断函数的单调性，求函数的最小值，从而求出参数a 的取值范围.（3）法一：记F (x )＝x －ln x (x ＞0)，∴'()F x ＝1x x- (x ＞0)， ∴当0＜x ＜1时，'()F x ＜0，F (x )递减；当x ＞1时，'()F x ＞0，F (x )递增． ∴F (x )≥F (1)＝1＞0由f (x 0)≤g (x 0) 得：(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0 ………12分∴200002ln x x a x x -≥-，记22()ln x x G x x x -=-，x ∈[1e ,e ]∴22(22)(ln )(2)(1)(1)(2ln 2)()(ln )(ln )x x x x x x x x G x x x x x -------+==--∵x ∈[1e,e ]，∴2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0，∴x －2ln x ＋2＞0 ∴x ∈(1e,1)时，'()G x ＜0，G (x )递减；x ∈(1,e )时，'()G x ＞0，G (x )递增 ∴G (x )min ＝G (1)＝－1 ∴a ≥G (x )min ＝－1．故实数a 的取值范围为[－1,＋∞)． ………16分第Ⅱ卷21． 解：（1）设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx nyy y'=+⎧⎨'=⎩ …………5分 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-= 依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分 21．C 解：(1) 把2)4πρθ=+化为直角坐标系中的方程为220x y x y +-+=(2) 把1314x ty t=+⎧⎨=--⎩化为普通方程为4310x y +-=∴圆心到直线的距离为110， ∴弦长为11721005-=； 22．解：．(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则2111123223322264C C C +C C C 7()C C 30P A ==⋅． …………………………4分 (2)设“在1次摸奖中，获奖” 为事件B ，则获得一等奖的概率为223212264C C 1=C C 30P =⋅； 获得三等奖的概率为221111323322322642C C +C C C C 7=C C 15P =⋅；所以17711()30301515P B =++=．……………8分 由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．21116(0)(1)15225P X ==-=，12111188(1)C (1)1515225P X ==-=，211121(2)()15225P X ===． 所以X 的分布列是X1 2()P X1622588225121225所以()01222522522515E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………10分 23．解：（1）以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)， D 1(0,0,2). ∵E 为AB 的中点，∴E 点坐标为E (1,1,0),∵D 1F =2FE ，∴1122224(1,1,2)(,,)33333D F DE ==-=-u u u u u r u u u u r ,11224222(0,0,2)(,,)(,,)333333DF DD D F =+=+-=u u u r u u u u r u u u u r ……………2分设(,,)x y z =n 是平面DFC 的法向量，则00DF DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ,∴222033320x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，，取x =1得平面FDC 的一个法向量(1,0,1)=-n ， …………………………………3分 设(,,)x y z =p 是平面ED 1C 的法向量，则1100D F D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r ，，p p ∴2240333220x y z y z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩，，取y =1得平面D 1EC 的一个法向量(1,1,1)=p , ……………4分∵(1,0,1)(1,1,1)0⋅=-⋅=n p ，∴平面DFC ⊥平面D 1EC . ……………………5分 （2）设(,,)x y z =q 是平面ADF 的法向量，则00DF DA ⋅=⋅=u u u r u u u r，，q q∴22203330x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，，取y =1得平面ADF 的一个法向量(0,1,1)=-q , …………7分 设二面角A -DF -C 的平面角为θ，由题中条件可知π(,π)2θ∈，则cos θ＝－||||||⋅⋅n qn q ＝－1222=-⨯,…………………………………………9分 ∴二面角A -DF -C 的大小为120°. ……………………………………10分。

人教版2023-2024学年高二下学期数学期末期末质量检测试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）(){}ln 1M x y x ==-12,0N y y x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭M N ⋂=A ．B ．C ．D ．∅()1,+∞()()1,22,⋃+∞R2．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）{}n b n n S 32b =76b =9S =A ．B ．36C ．D ．1836-18-3．随机变量，且，则（ ）()~10,X B p ()2E X =()23D X -=A ．6.4B ．12.8C ．25.6D ．3.24．若函数在上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）()2ln 1f x x a x =-+()1 ,2A ．B ．C ．D ．[]0,2(),2-∞[)8,+∞(],2-∞5．《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小明每人只能选择看其中的一场电影，则两位同学选择的电影不相同的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．161213236．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式()f x R ()21f =-x ∈R ()()0f x xf x '+<的解集是（ ）()()112x f x ++>-A ．B ．C ．D ．(),1-∞(),2-∞()1,+∞()2,+∞7．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 为（ ）A ．B ．C ．10D ．2010-20-8．如图，一个椭圆形花坛分为A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域，现需要在该花坛中栽种多种A ．156B ．1449．已知函数是定义在()f x R ()()21f f x ->+13．在正项等比数列中，，是的两个根，则.{}n a 2a 10a 23610x x -+=2610111a a a ++=14．二项式，则该展开式中的常数项是 ，二项式系数最大项是第 项.1231()2x x -15．已知函数，则.410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．函数.对于，都有，()()323,ln f x x x a g x x x =-+=[]12210,3,,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x >则实数的取值范围是.a 17．若对任意，函数满足，且当时，都有，,R m n ∈()f x ()()()f m f n f m n =+m n >()()f m f n <则函数的一个解析式是 ．()f x 18．已知函数是定义域为的奇函数，则 ，关于的不()2211x ax f x x x =++-()1,1-=a m 等式的解集为 ．()()210f m f m +->三、解答题19．已知．()5250125(34)1(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ (1)求的值；012345a a a a a a -+--+(2)求的值．2345a a a a +++20．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.{}n a n n S ()21n n S n a =+2132a a =(1)求的通项公式；{}n a (2)若,求数列的前项和.2nn n a b ={}n b n n T 21．已知函数．31()443f x x x =-+(1)求曲线的图象在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f (2)若方程有3个不同的根，求实数k 的取值范围．()f x k =22．已知曲线在点处的切线与直线垂直.()e 1x f x ax =+-()()1,1f ()1e 10x y --+=(1)求实数；a (2)求函数在上的最大值与最小值.()f x []1,2-23．已知函数.()32,f x x ax a =-+∈R(1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间；2x =-()f x a (2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围．()f x 1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦a答案：1．C由不等式，可得，所以，10x ->1x >(){}{}()ln 111,M x y x x x ∞==-=>=+因为，所以，0x ≠122y x =+≠所以，12,0N y y x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭{}()()2,22,y y ∞∞=≠=-⋃+所以.M N ⋂=()()1,22,∞⋃+ 2．B 解：，()()19379993622b b b b S +⨯+⨯=== 3．A 由，()102E X p ==⇒0.2p =因为，所以，()~10,0.2X B ()()100.210.20.16D X =⨯⨯-=所以.()()2344 1.6 6.4D X D X -==⨯= 4．D 由已知，在区间上恒成立，()20a f x x x '=-≥()1,2即在区间上恒成立，即，，22a x≤()1,2()m n2i 2a x≤()1,2x ∈所以2a ≤ 5．D因为每个人选择方案有3种，可知2个人不同的选择方案有种；239=且三位同学选择的电影相同的选择方案有种；3所以三位同学选择的电影不相同的概率为.32193P =-= 6．A 设，则 ，()()g x xf x =()22(2)2g f ==-对任意，，恒成立，即在上单调递x ∈R ()()0f x xf x '+<()()()0g x f x xf x ''∴=+<()g x R减，由可得，，解得，即解集为.()()112x f x ++>-(1)g(2)g x +>12x ∴+<1x <(),1-∞ 7．D根据的展开式中，二项式系数的和为 ．2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭232,5nn =∴=而 的展开式中，通项公式为，522()()n x x x x -=-()5215C 2r r r r T x -+=⋅-⋅令，求得 ，可得展开式中的系数为，523-=r 1r =3x ()15C 210⋅-=- 8．A除B 区域外，其他区域的种法分三类：第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A 区域选红色，有种不同的C D E F 44A 种法;第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种，C D E F C ，F 同色或D ，E 同色，A 区域有2种选法，有种不同的种法;3314322C A C 第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种，C D E F C ，F 同色且D ，E 同色，A 区域有3种选法，有种不同的种法．22423C A 综上可得，共有（种）不同的种法．433122443222A 2C A C 3C A 156++= 9．D 因为和在上均单调递增，2y x =21y x =-+[)0,∞+所以在上单调递增．()221f x x x =-+[)0,∞+因为是定义在上的偶函数，()f x R 所以可化为，()()21f f x ->+()()21f f x ->+所以，解得．21x ->+31x -<< 10．D二项式展开式的通项为，（其中且81ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()388821881C C rr r r r r r T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭08r ≤≤），N r ∈对于，有232y x x =++2y ¢=对于，有，故ln()y x =-1y x '=如上图，中，当()1y a x =+a 所以.][(,10,1a ∞⎤∈--⋃⎦由韦达定理得，21021012,3a a a a +==由于为正项数列，{}n a 故，621033a a a ==.261022106101111236313a a a a a a a a =+++=++=+故63+14．7552-二项式的通项公式为：，1231()2x x -4121212*********()()()(1)22r r r r rr r r x T C C x x ---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅当时，即时，常数项为：，41203r -=9r =9129912155()(1)22C -⋅⋅-=-因为，所以二项式系数最大项是第项，12172+=7故；552-715．2因为，所以.410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，44111log =log 2222f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭所以.112211122222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.216．e 4a >+ 因为，，所以，()323f x x x a=-+[0,3]x ∈()()23632f x x x x x =='--所以时，，时，，02x <<()0f x '<23x <<()0f x '>即在上单调递减，在上单调递增，所以，()f x []0,2[]2,3()()min 24f x f a ==-因为，，所以，()ln g x x x =21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1ln g x x ='+所以时，，时，，211e e x <<()0g x '<1e e x <<()0g x '>即在上单调递减，在上单调递增，又，，()g x 211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2212e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()e e g =所以，()max eg x =对于，都有，则，[]12210,3,,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x >()()min max f x g x >所以，即.4e a ->e 4a >+故e 4a >+17．（答案不唯一）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 由题意，可取，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭函数是减函数，满足时，都有，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭m n >()()f m f n <因为，()()()111222m n m nf m f n f m n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数满足题意.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为.（答案不唯一）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭18． 110,3⎛⎫ ⎪⎝⎭因为是奇函数，所以，()f x ()()22221111x ax x ax f x f x x x x x -=+=-=---+--+-则由的任意性可得，x 1a =所以，则．()22322111x x x f x x x x =+=+--()()()()()2242222226142311x x x x x f x x x---==--'因为，所以，则在上单调递减．()1,1x ∈-()230,0x f x -<'<()f x ()1,1-由，得，()()210f m f m +->()()()2112f m f m f m >--=-则，解得．1121m m -<<-<103m <<故；.110,3⎛⎫ ⎪⎝⎭19．(1)32-(2)1008（1），则，原式化为，1t x =+令3431x t +=+5250125(31)t a a t a t a t +=++++ 令501251(31)32t a a a a =-⇒-+=-+--=- （2）,5250125(31)t a a t a t a t +=++++ 令，,则001t a =⇒=14415C (3)115a t t t ==115a =又令501251(31)1024t a a a a =⇒+=++++= 234510241511008a a a a +++=--=20．(1)12n n a +=(2)13322n n n T ++=- （1）当时,,解出,又,则；1n =1121S a =+11a =2132a a =232a =当时,由两式相减得,两边同时除以2n ≥()()()1121,211,n n n n S n a S n a ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩()1110n n n a na +--+=()1n n -即,即,1101(1)n n a a n n n n +-+=--11111(1)1n n a a nn n n n n +-=-=----2n ≥利用上述等式有,,13211111221122n n a a a a n n n n --+⋅⋅⋅+-=-+⋅⋅⋅+-----3n ≥因此,即,,21111n a a n n -=---12n n a +=3n ≥当时,,满足,因此；1,2n =11a =232a =12n n a +=12n n a +=（2）由（1）可知,,则,112n n n b ++=234123412222n n n T ++=+++⋅⋅⋅+两边同时乘以得,,123412123122222n n n n n T +++=++⋅⋅⋅++错位相减得,23122231212111111112222222222n n n n n n n T ++++++=++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-（1）函数，()e 1x f x ax =+-则，()e x f x a'=+因为曲线在点处的切线与直线垂直，()e 1x f x ax =+-()()1,1f ()1e 10x y --+=所以，()1e 1f '=-所以，e e 1a +=-解得；1a =-（2）由（1）可知，，，()e 1x f x x =--[]1,2x ∈-则，令得，，()e 1x f x '=-()0f x '=0x =当时，，即在上单调递减；()1,0x ∈-()0f x '<()f x ()1,0-当时，，即在上单调递增，()0,2x ∈()0f x ¢>()f x ()0,2所以当时，取得极小值，也是最小值，0x =()f x ()00f =又因为，，()11e f -=()212e 3e f =->所以函数在上的最大值为，()f x []1,2-2e 3-综上所述，函数在上的最大值为，最小值为．()f x []1,2-2e 3-023．(1)；的增区间是和，减区间是；12a =()f x (),2-∞-()2,+∞()2,2-(2)5539a <≤ （1），，得，()23f x x a ='-()2120f a ='--=12a =当时，，得或，12a =()23120f x x '=-=2x =-2x =的变化情况如下表所示，()(),,x f x f x 'x (),2∞--2-()2,2-2()2,∞+()f x +0-0+()f x '增区间极大值18减区间极小值14-增区间即.5539a <≤。

新教材高二数学的期末考试练习题第一部分：选择题1. 有一个圆形花坛，直径为10米，小丽想在花坛的边缘铺上一圈瓷砖。

每块瓷砖的边长为20厘米，需要多少块瓷砖？A. 50块B. 100块C. 150块D. 200块2. 下列哪个不是二次函数：（）A. y = x^2 + 3x + 2B. y = 2x^2 - 5x + 1C. y = 3x + 5D. y = -x^2 + 2x - 33. 在等差数列{an}中，a1 = 3，d = 4，an = 67，求n的值。

A. 16B. 17C. 18D. 194. 垂直于x轴的直线L1和直线y = 2x + 1交于点A，直线L1和直线y = -x + 3交于点B，求线段AB的斜率。

A. -1/3B. -1/2C. 1/2D. 1/35. 一个三角形的两个内角分别为120°和30°，第三个内角是多少度？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°第二部分：填空题6. 在等差数列{an}中，a1 = 3，d = 4，an = 67，求n的值。

7. 已知直角三角形的直角边长度分别为3和4，求斜边的长度。

8. 已知函数y = 2x^2 + bx + 3关于x = 2对称，求b的值。

9. 某商店原价出售一件商品，打八折后售价为240元，原价是多少元？10. 一条平行于x轴的直线与直线y = 2x + 1交于点A，与直线y = -x + 3交于点B，则线段AB的中点的坐标为(______, ______)。

第三部分：解答题11. 将一个边长为x的正方形剪去四个角，使得剩下的图形为一个无盖的长方体，已知长方体的体积为36，求x的值。

12. 设函数y = ax^2 + 3x + 2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B。

已知点A的横坐标为2，求a的值，并用函数图像解释为什么函数的纵坐标与x轴交于点A。

第四部分：应用题13. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，从A地到B地需要3小时。

新课标高二数学期末同步测试题说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ）A ．)11)((b a b a ++≥4B ．33b a +≥22abC ．222++b a ≥b a 22+D ．b a -≥b a -2．△ABC 中，BC=1，B A ∠=∠2，则AC 的长度的取值范围为 （ ）A ．(1,21) B ．（23,1）C ．[1,21] D ．[23,1] 3．下列四个结论中正确的个数有（ ）①y = sin|x |的图象关于原点对称;②y = sin(|x |+2)的图象是把y = sin|x |的图象向左平移2个单位而得; ③y = sin(x +2)的图象是把y = sin x 的图象向左平移2个单位而得;④y = sin(|x |+2)的图象是由y = sin(x +2)( x ≥0)的图象及y = －sin(x －2) ( x <0)的图象 组成的.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．已知sin θ－cos θ=21, 则sin 3θ－ cos 3θ的值为 （ ）A ．167 B ．－1611 C ．1611D ．－1675．平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(－1, 3), 若点C 满足OC =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为（ ）A ．3x +2y －11=0B ．(x －1)2+(y －2)2=5C ．2x －y=0D ．x +2y －5=06．已知钝角三角形的三边分别是a,a+1,a+2，其最大内角不超过120°，则a 的取值范围是（ ）A ．23≥a B ．30<<aC ．323<<a D ．323<≤a 7．已知f(x )=b x +1为x 的一次函数, b 为不等于1的常数, 且g (n)=⎩⎨⎧≥-=)1()]1([)0(1n n g f n ,设a n = g (n)－ g (n －1) (n ∈N ※), 则数列｛a n ｝是（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列8．定义()3nn N *∈为完全立方数，删去正整数数列1,2,3……中的所有完全立方数，得到一个新数列，这个数列的第2005项是（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．20209．已知θ为第二象限角，且2cos2sin θθ<，那么2cos2sinθθ+的取值范围是 （ ）A ．（－1，0）B ．)2,1(C ．（－1，1）D ．)1,2(--10．若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k π，x －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是（ ）A ．2B ．4C ．3或4D ．2或3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．10cos 310sin 1-的值为 ． 12．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0, 且a 1, a 3, a 9成等比数列, 则1042931a a a a a a ++++的值是 ．13．已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b , 则b a -2的最大值是 ． 14．已知α、β是实数, 给出四个论断:①|α+β|=|α|+|β|; ②|α－β|≤|α+β|; ③|α|>22,|β|>22; ④|α+β|>5. 以其中的两个论断作为条件, 其余论断作为结论, 写出正确的一个 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。

一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. 2/3D. 0.1010010001…2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an等于（）A. 21B. 22C. 23D. 243. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像是（）A. 开口向上，顶点在(2, -1)B. 开口向下，顶点在(2, -1)C. 开口向上，顶点在(0, 3)D. 开口向下，顶点在(0, 3)4. 在△ABC中，a=5，b=7，c=8，则cosA的值是（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/45. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意的实数x，x^2 ≥ 0B. 对于任意的实数x，x^3 ≥ 0C. 对于任意的实数x，x^2 ≤ 0D. 对于任意的实数x，x^3 ≤ 0二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) > 0，则x的取值范围是________。

7. 等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则第5项an等于________。

8. 圆的方程x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0的圆心坐标是________。

9. 若等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则前10项的和S10等于________。

10. 函数y = |x - 2|的图像是________。

三、解答题（共50分）11. （10分）已知函数f(x) = 3x^2 - 12x + 9，求f(x)的顶点坐标和开口方向。

12. （10分）已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求前n项和Sn的表达式。

13. （10分）已知△ABC中，a=5，b=7，c=8，求cosB的值。

14. （10分）解不等式组：x + 2 > 3 且 2x - 1 ≤ 5。

15. （10分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的零点。

普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—2[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（6）—（2－2第一章1.1—1.4）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．两曲线3212xy y b ax x y +-=++=与相切于点（1，－1）处，则a ，b 值分别为（ ）A ．0，2B ．1，－3C ．－1，1D ．－1，－1 2．()()x f xx x f 则设函数,122+-=（ ）A ．在（－∞，＋∞）单调增加B ．在（－∞，＋∞）单调减少C ．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加D ．在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少 3．当x ≠0时，有不等式（ ）xex x ex D x e x x e x C xeB x eA xxx x xx +>>+<<+><+<>+>+<10,10.10,10.1.1.时当时当时当时当4．若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则 （ ）A ．极大值一定是最大值，极小值一定是最小值B ．极大值必大于极小值C ．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值D ．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值 5．()()()等于则可导在设xx x f x x f ，x x f x 3lim 0000--+→（ ）A ．()02x f 'B ．()0x f 'C ．()03x f 'D ．()04x f ' 6．下列求导运算正确的是（ ）A ．(x +211)1xx+=' B ．(log 2x )′=2ln 1xC ．(3x )′=3x log 3eD ．(x 2cos x )′=－2x sin x7．函数f (x )= a x 2+x +1有极值的充要条件是 （ ）A ．a >0B ．a ≥0C ．a <0D ．a ≤08．设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-'＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是 （ ） A ．(－3,0)∪(3,+∞) B ．(－3,0)∪(0, 3) C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)9．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ） A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b <0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b =2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b <2,则方程g （x ）=0有三个实根10．已知函数f (x )的导数为,44)(3x x x f -='且图象过点（0，－5），当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．±1二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．函数f （x ）＝x ＋2cos x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为_________;在区间[0，2π]上最大值为___________．12．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 ．13．两个和为48的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数分别为__________．14．()()()()().____________0,100021='---=f x x x x x f 则设三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）设函数y =x 3+ax 2+bx +c 的图象如图所示，且与y =0在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a 、b 、c 的值；（2）求函数的递减区间．16．（12分）是否存在这样的k 值，使函数21232)(2342++--=x kxxx k x f 在（1，2）上递减，在（2，－∞）上递增．17．（12分）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =--> （1）求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围.18．（12分）讨论函数()[]2,0|,27184|23∈+-=x x x x f 的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值．19．（14分）如图，把边长为a 的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h 所做成的盒子体积V(不计接缝). （1）写出体积V 与高h 的函数关系式；（2）当ha为多少时，体积V 最大，最大值是多少？20．（14分）已知过函数f （x ）=123++axx 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3．（1）求a 、b 的值；（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；令()()132++--=tx x x f x g ．是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？参考答案一、1．D ；2．C ；3．B ；4．D ；5．D 提示：这里插入()0x f ，因为题目假定f （x ）在0x 点可导，所以分成两项的极限都存在．()()()()[]()()[]()()()()()()().43 33lim3lim3lim3lim0000000000000000x f x f x f xx f x x f xx f x x f xx x f x f x f x x f xx x f x x f x x x x '='+'=---+-+=--+-+=--+→→→→即t 3x 则xt,3x 错误做法：令x注意：本题有个常见的+==-()()()()()()().43lim 4lim 44limlim000000x f x x f t f xt f x t f xx x f x x f x x x x '=-'='=-+=--+→→→→因为题中只设f （x ）在0x 可导，没说在0x 及其邻域内可导，更没假定()x f '在0x 点连续，所以上面的做法是无根据的．6．D ；7．C 8．D 9．B 10．B 二、 11．()12,36+π+π；提示：,sin 21x y -='得f （x ）的驻点为ππππk k 265,26++，当在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0内考虑时，仅有一个驻点(),22,20,366,6πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫⎝⎛f f f 比较后得知，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为36+π，而当考虑区间[0，2π]上的最大值时，需比较f（0）, f （2π）,⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛65,6ππf f 四个值的大小．12．0,3a c b ==≤；解析：(0)00f c =⇒= ；()()00f x f x a +-=⇒=．2'()3f x x b =- ，若()f x [1,)x ∈+∞上是增函数，则'()0f x ≥恒成立，即2m in (3)3b x ≤=； 若()f x [1,)x ∈+∞上是减函数，则'()0f x ≤恒成立，这样的b 不存在．； 综上可得：0,3a c b ==≤ 13．5与43；14．1000！；提示：()()()()()()!.10001000x 2x 1x lim 0x 0f x f lim 0f 0x 0x =---=--='→→三、15．解析：（1）函数的图象经过（0，0）点∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2+2ax +b ∴ 0=3×02+2a ×0+b ，得b =0 ∴ y =x 3+ax 2，'y =3x 2+2ax 当a x 32-<时，0'y <，当a x 32->时，0'y >当x =a 32-时，函数有极小值－4∴ 4)32()32(23-=+-a a a ，得a =－3（2）'y =3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2）点拨：1、如果函数f (x )在点x =x 0的一个δ区域：(x 0－δ，x 0+δ)内有定义，对任意的x ∈(x 0－δ，x 0)∪(x 0，x 0+δ)总有f (x )＜f (x 0)（f (x )＞f (x 0)），则称f (x 0)为函数f (x )的极大（小）值，x 0称为极大（小）值点；2、注意极值与最值的区别，极值是相对于领域而言，它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小，而最值是相对于闭区间而言，它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大（小）的值．16．解析：f (x )=4k 2x 3－2x 2－2kx +2，由题意，当x ∈（1，2）时，)x ('f ＜0 当x ∈(2，+∞)时，)x ('f ＞0 由函数)x ('f 的连续性可知)2('f =0即32k 2－8－3=0得21k =或83k-=验证：当21k=时，)2x )(1x )(1x (2x x 2x)x ('f 23--+=+--=若1＜x ＜2，0)x ('f <，若x ＞2，0)x ('f >，符合题意当83k-=时，)91937x )(2x )(91937x (1692x 43x2x169)x ('f 23+----=++-=显然不合题意 综上所述，存在21k=，满足题意点拨：利用导数处理单调性问题，讨论的区间是开区间，注意递增与递减区间的交界处的导数为0，本题求出k 值后还需讨论验证．17．（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-=')(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a xx f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点. （II ）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.0)()(,2,)(212.0252212成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥≥+-x f x f a a a a a18．解：设(),27x 18x 4x 23+-=ϕ则()()3x x 12x -=ϕ'，于是当0<x ≤2时，(),0x <ϕ'而只有x ＝0时，()0x =ϕ'，故在[0，2]上()x ϕ为单调减少，而()(),132,023,270-=ϕ=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ=ϕ所以()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤ϕ-≤≤ϕ=+-= 2.x 23 3x 0 x ,2x |27x 18x 4|x f 23在⎦⎤⎢⎣⎡23,0为单调减少，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,23为单调增加，因而在[0，2]上f （x ）的最大值f （0）＝27，最小值.023f =⎪⎭⎫ ⎝⎛19．解：（1）六棱柱的底边长（h a 332-）cm ，底面积为（2332436⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅h a ）cm 2∴体积V ＝h h a ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-233223 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-h a ahh 223433332 （2）V ′＝0433*******=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a ah h 得a h 63=或a h 23=（舍去）∴当a h 63=cm 时V 有最大值33acm 320．解：（1）()x f '=ax x 232+依题意得k =()1'f =3+2a =－3， ∴a =－3()1323+-=∴xx x f ，把B （1，b ）代入得b =()11-=f∴a =－3，b =－1（2）令()x f '=3x 2－6x =0得x =0或x =2∵f （0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004．（1） 已知g （x ）=－()tx x tx x x x +-=++-+-32231313∴()t x x g +-=2'3∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2＜0，① 当t ＞3时，t －3x 2＞0，()0'>x g 即∴g （x ）在]1.0(上为增函数，g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去）② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2'3令()x g '=0,得x =3t列表如下:g （x ）在x =3t处取最大值－33⎪⎪⎭⎫⎝⎛t ＋t 3t =1∴t=3427=2233＜3t 3∴x =3t ＜1③当t ＜0时，()t x x g +-=2'3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数，∴g（x）在]1.0(上为增函数，∴存在一个a=2233，使g（x）在]1.0(上有最大值1．。

2023-2024学年高二数学下学期期末押题试卷02本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：新高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞B ．(1，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【分析】由题知B A ⊆，再根据集合关系求解即可． 【解答】解：因为A B A = ， 所以B A ⊆，因为{|1}A x x a =< ，{|12}B x x =<<， 则2a ，所以实数a 的取值范围是[2，)+∞． 故选：D ．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 2．已知复数(12)(1)2i z i +−=−+，则||(z = )AB ．2C D ．3【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式，即可求解． 【解答】解：2(2)(12)5111112(12)(12)5i i i iz i i i i −+−+−=+=+=+=+++−，则||z = 故选：A ．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 3．若点(1,1)P −在角α的终边上，则sin()(4πα+= )A ．1−B ．C ．0D ．1【分析】由任意角的三角函数求出sin α，cos α，再由两角和的正弦公式代入即可得出答案． 【解答】解：因为点(1,1)P −在角α的终边上，则sin α=，cos α==所以sin()sin coscos sin0444πππααα+=+==． 故选：C ．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．在直三棱柱111ABC A B C −中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．283πB ．27C ．163π D 【分析】作出图形，找到球心，解三角形求出半径，再根据球的表面积公式，即可求解． 【解答】解：如图，设上下底面中心分别为E ，F ， 取EF 的中点O ，连接BO ，BF ，则三棱柱111ABC A B C −外接球的半径R OB =，根据题意易知23BF =1OF =， 222247133R OB BF OF ∴==+=+=，∴三棱柱111ABC A B C −外接球的表面积为22843R ππ=． 故选：A ．【点评】本题考查正三棱柱的外接球问题，属基础题．5．设两个单位向量a ，b 的夹角为θ，若a在b 上的投影向量为13b ，则cos (θ= )A ．13−B ．13C ． D【分析】根据投影向量的定义可得13||||a b b b b b ⋅⋅=，结合向量的数量积运算求解即可． 【解答】解： a在b 上的投影向量为13b ，∴13||||a b b b b b ⋅⋅=， ∴211||33a b b ⋅== ， ∴1||||cos 3a b θ=，1cos 3θ∴=． 故选：B ．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．6．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )（参考数据：3 1.10ln ≈，10 2.30ln ≈，11 2.40)ln ≈A ．2033年B ．2034年C ．2035年D ．2036年【分析】设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元，且4000(110%)12000n y =⋅+>，解不等式可得答案．【解答】解：设经过n 年之后，每年度平均每户收入增加y 元， 由题得4000(110%)12000n y =⋅+>，即1.13n >， 则 1.13nln ln >，33111.11110ln ln n ln ln ln >=≈−，又*n N ∈，则12n =．所以所求年份大约是2035年． 故选：C ．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．已知1F ，2F 分别为双曲线22126x y −=的左，右焦点，直线l 过点2F ，且与双曲线右支交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心分别为1O ，2O ，则△12OO O 面积的取值范围是( )A． B．C．)+∞ D． 【分析】先根据切线长定理判定两个内切圆的横坐标值，再设△12AF F 的内切圆半径为1r ，根据图形性质计算得△12OO O面积的解析式12112)OO O S r r =+ ，再利用函数单调性即可求得△12OO O 面积的取值范围．【解答】解：设圆1O 与1AF ，2AF ，12F F 分别切于点M ，N ，P ，由双曲线定义知，12||||2AF AF a −=，∴12||||||||2AM MF AN NF a +−−=||||AM AN = ，11||||MF F P =，22||||NF F P =，∴12||||F P F P −12||||2F P F P c +=∴12|||F P F P c a ==−，即点P 为双曲线的右顶点，1O P x ⊥ 轴，1O2O12O F 平分21AF F ∠，22O F 平分21BF F ∠，∴1222O F O π∠=， 设△12AF F 、△12BF F 的内切圆半径分别为1r ，2r ，12O O x ⊥ 轴，∴2122||2r r PF ⋅==，||OP =∴12121112()||)2OO O S r r OP r r =+⋅=+ ，设直线AB 倾斜角为α，又AB 为双曲线右支上两点，又渐近线方程为y=，∴由题意得2(,)33ππα∈，∴121(,)63O F Fππ∠∈，∴121tan O F F∠，即1(3r∈，又12112)OO OS rr=+在单调递减，在单调递增，当1r=时，122OO OS=，此时取得最小值，当1r=12OO OS=，当1r=时，12OO OS=，∴12OO OS∈．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．8．已知01a b<<<，e为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是()A．a bae be<B．b aae be<C．alna blnb>D．b aa b<【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数()xf x xe=，()xeh xx=，()t x xlnx=，()lnxg xx=，根据这些函数在(0,1)上的单调性可得结果．【解答】解：因为01a b<<<，e为自然对数的底数，对于A，设()xf x xe=，01x<<，则()()0xf x x e′=+>，()f x在(0,1)上单调递增，故f（a）f<（b），即a bae be<，故A正确；对于B，设()xeh xx=，01x<<，则2(1)()0xe xh xx−′=<在(0,1)上恒成立，故()h x在(0,1)上单调递减，故h（a）h>（b），即a be ea b>，故b aae be<，故B正确；对于C，设()t x xlnx=，01x<<，则()1t x lnx′=+，当1(0,)xe∈时，()0t x′<，当1(xe∈，1)时，()0t x′>，故()t x在1(0,)e上单调递减，在1(e，1)上单调递增，故t（a）与t（b）得大小关系不确定，故C错误；对于D，设()lnxg xx=，01x<<，则21()0lnxg xx−′=>，故函数()g x在(0,1)上单调递增，所以g （a ）g <（b ），即lna lnba b<，化为blna alnb <，即b a lna lnb <，即b a a b <，故D 正确． 故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，依题意合理构造函数，并判断出所构造的函数的单调性是解决问题的关键，考查逻辑推理能力与数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法错误的是( )A ．事件A 的概率P （A ）必满足0P <（A ）1<B ．事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 【分析】根据概率的定义和性质逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于A ，由概率的基本性质可知，0P （A ）1 ，故A 错误； 对于B ，事件A 的概率P （A ）0.999=，则事件A 是随机事件，故B 错误； 对于C ，由题意可知，估计此药有明显的疗效的可能性为380100%76%500×=，故C 正确； 对于D ，某奖券的中奖率为50%，则某人购买此券10张，可能有5张中奖，故D 错误． 故选：ABD ．【点评】本题主要考查了概率的定义和性质，属于基础题．10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则( )A ．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B ．设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C ．设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V = D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为215a π【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB ∆为等边三角形，设球心为G （即为PAB ∆的重心），即可求出PAB ∆的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B ，由圆锥及球的体积公式判断C ， ST 所对的圆心角为3π（在圆O 上），设ST 的中点为D ，即可求出OD ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D ． 【解答】解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以PAB ∆为等边三角形， 又2PB a =，所以OP ，设球心为G （即为PAB ∆的重心），所以23PGPO ==，13OG PO ==，即内切球的半径为1r OG ==，外接球的半径为2r PG ==， 所以212r r =，故A 正确；设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则214S S =，故B 错误； 设圆锥的体积为1V，则23113V a a π==， 内切球的体积2V，则3324)3V a π==， 所以1294V V =，故C 正确；设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则ST 所对的圆心角为3π（在圆O 上），设ST 的中点为D，则sin3OD a π==，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，则PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，则PEG POD ∆∆∽， 所以GE PG OD PD ==，解得GE =， 所以平面PST截内切球截面圆的半径r 所以截面圆的面积为2215a r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查圆锥的内切球与外接球问题，属中档题．11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是( )A ．312123122221n n b b b b a a a a n ⋅…=+B ．1849既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b +++…+<D ．*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得mp q b a a =+成立 【分析】利用累加法分别求出n a ，n b ，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个分析各个选项即可． 【解答】解：三角形数构成数列{}:1n a ，3，6，10，…，易发现212a a −=，323a a −=，434a a −=，…，1(2)n n a a n n −−= ， 累加得，1(1)(2)2342n n n a a n −+−=+++…+=，(1)(2)2n n n a n +∴= ， 显然11a =满足上式， (1)2n n n a +∴=， 正方形数构成数列{}:1n b ，4，9，16，…，易发现213b b −=，325b b −=，437b b −=，…，121(2)n n b b n n −−=− ， 累加得1(22)(1)2n n n b b +−−=， 2(2)n b n n ∴= ， 显然11b =满足上式，2n b n ∴=，对于A ，22(1)1n n b n na n n n ==++， 3121231231222223411n n b b b b n a a a a n n ⋅⋅⋅…⋅=×××…×=++，故A 正确； 对于B ，令(1)18492nn n a +==，得(1)3698n n +=， 606136603698×=< ，616238443698×=>，(1)3698n n ∴+=无正整数解，即1849不是三角形数，令21849nb n ==，43n ∴=，即1849是正方形数，故B 错误； 对于C ，22114112()412121n b n n n n ==<=−−−+， ∴2212311111115111111511332331()2()2()434577921214521202120nb b b b nn n n n +++…++++…+<+−+−+…+−+−−<−+++，故C 正确；对于D ，取m p q ==，且*m N ∈， 令2(1)(1)22m m m m m +−=+，有1mm m b a a −=+，故*m N ∀∈，2m ，总存在p ，*q N ∈，使得mp q b a a =+成立，故D 正确． 故选：ACD ．【点评】本题主要考查了数列的应用，考查了归纳推理，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲组样本数据(1i x i =，2，…，6)，如下表所示：1x2x3x4x5x6x2 3 3 4 6 6若乙组样本数据23i i y x =−，则乙组样本数据的平均数y = 5 ，乙组样本数据的方差2s =乙． 【分析】根据题意，求出乙组数据，结合平均数和方差定义计算，即可得答案． 【解答】解：根据题意，乙组样本数据如下表所示：1y2y3y4y5y6y1 3 3 5 9 9则乙组样本数据的平均数1(133599)56y =×+++++=， 乙组样本数据的方差()()()()()()222222212815353555959563s =−+−+−+−+−+−=乙． 故答案为：5；283． 【点评】本题考查样本数据平均数、方差的计算，注意平均数和方差的计算公式，属于基础题． 13．从1，2，3，4，7，9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 17 个不同的对数值．【分析】分所取得两个数中是否含有1分为两类，再利用排列的计算公式、对数的运算法则和性质即可得出．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时log 10a =，2a =或3或4或7或9． ②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个， 分别作为底数与真数可有2520A =个对数，其中3924log log =，2439log log =，4923log log =，2349log log =，综上可知：共可以得到201417+−=个不同的对数值． 故答案为：17．【点评】本题考查计数原理的应用，熟练掌握对数的运算法则和性质、排列的计算公式是解题的关键．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则||2||MF NF +的最小值为 3+【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线:1l x my =+，与抛物线联立方程组可求得111||||MF NF +=，进而根据基本不等式求||2||MF NF +最小值即可． 【解答】解：由抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:5O x y +=交于A ，B 两点，且||4AB =， 得到第一象限交点(1,2)在抛物线2:2(0)C y px p =>上，所以222p =， 解得2p =，所以2:4C y x =，则(1,0)F ，设直线:1l x my =+，与24y x =联立得2440y my −−=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以124y y m +=，124y y =−，所以212|||4(1)MN y y m −=+， 由抛物线的定义，21212221221212122()41111441()||||111144()316x x m y y m y y MF NF x x x x x x m m y y ++++++=+====+++++++++，所以112||||||2||(||2||)()33||||||||NF MF MF NF MF NF MF NF MF NF +=++=+++， 当且仅当||1MF =，||1NF =+故答案为：3+【点评】本题考查求抛物线的方程，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()sin()cos()sin cos ,(0,||)222f x x x πππωϕωϕωϕ=+−+><的最小正周期为π，且()f x 图象关于直线6x π=对称．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()()2sin g x f x x =+，求()g x 的单调增区间． 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的周期性及对称性即可得解； （2）先利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性即可得解． 【解答】解：（1）已知()sin()cos()sin cos cos sin sin cos sin()22f x x x x x x ππωϕωϕωϕωϕωϕ=+−+=+=+， 因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，故2ω=，又因()f x 图象关于直线6x π=对称，所以262k ππϕπ×++，k Z ∈，则,6k k Z πϕπ=+∈，又||2πϕ<， 所以6πϕ=，所以()sin(2)6f x x π=+；（2）由（1）得2()sin(2)6g x x sin x π=++11cos 22cos 2222xx x −++⋅12cos 21sin(2)126x x x π−+=−+， 令222262k x k πππππ−+−+ ，得,63k x k k Z ππππ−++∈，所以函数()g x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ−++∈．【点评】本题考查了三角函数的性质，重点考查了三角恒等变换，属中档题．16．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解44×数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者． （1）小明一周训练成绩如表所示，现用ˆˆy bxa =+作为经验回归方程类型，求出该回归方程； 第x （天) 1 2 3 4 5 6 7 用时y （秒)105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．参考公式：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ， ，(n u ，)n v ，其回归直线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==−−=−∑∑，ˆˆv u αβ=− 参考数据：721140ii x ==∑，71994i i i x y ==∑【分析】（1）先求出,x y ，套公式求出ˆb和ˆa ，得到回归方程； （2）记小明获胜时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5，分别求出其对应的概率，利用概率的加法公式即可求解．【解答】解：（1）由题意，根据表格中的数据，可得11(1234567)4,(105844939352315)5077x y =++++++==++++++=， 可得71722179941400ˆ14.5287i ii ii x yxybxx ==−−===−−∑∑，所以ˆˆ108a y bx =−=，因此y 关于x 的回归方程为：14.5108y x =−+；（2）记小明获胜时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5， (3)0.60.70.70.294P X ==××=，(4)0.40.50.70.70.60.30.50.70.60.70.30.50.224P X ==×××+×××+×××=，(5)0.60.70.30.50.50.60.30.50.30.50.60.30.50.50.70.40.50.50.70.70.40.50.30.50.70.40.50.70.30.50.1675P X ==××××+××××+××××+××××+××××+××××=，0.2940.2240.16750.6855P =++=小明获胜．【点评】本题考查了线性回归方程的计算以及互斥事件的概率加法计算，属于中档题． 17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DEBF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．【分析】（1）法()i 过点G 作BD 的垂线，由题意可得//QH 平面BCF ，且//GQ 平面BCF ，进而可证得平面//GQH 平面BCF ，再证得线面的平行；法()ii 由题意建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由向量的数量积为0，可得向量垂直，再证得线面的平行；（2）由空间向量求出直线与平面的法向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成的角的正弦值，由题意可得λ的值．【解答】（1）证明：法()i 过点G 作BD 的垂线，交BD 于点Q ，则//GQ BF ， 连接QH ，则12DQ λ=，且由DH λ=，所以2DH DQ =，//QH BC ，又因为QH ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以//QH 平面BCF ，且//GQ 平面BCF ， 又GQ QH Q = ，所以平面//GQH 平面BCF ， 又因为HG HQG ⊂， 所以//HG 平面BCF ；法()ii 因为112BDCD ==，12DE BF ==，如图，以D 为原点，分别以DC ，DB ，DE 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，由题意可得(2C ，0，0)，(0B ，1，0)，(2A −，1，0)，E，F ， (2,1,0)BC =−，BF =，(2,AE =−，EF = ， 设平面BCF 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1100n BC n BF ⋅= ⋅=，即111200x y −= = ，取11x =，解得1(1,2,0)n =， 因为2DC EF ==，EG DH λ==，所以,22DH DC EG EF λλ== ，2EG EF λ=，解得(H λ，0，0)，(0,)2G λ+，(,,)2GH λλ=−−， 所以10n GH ⋅=，且GH ⊂/平面BCF ，所以//GH 平面BCF ；（2）设平面AEF 的法向量为2222(,,)n x y z =， 则由2200n AE n EF ⋅= ⋅=，即22222200x y y −= +=，令21z =−，解得2n =1)−，所以2n GH ⋅=++=，||GH=，||n =，所以2cos n <，GH >=，设直线GH 与平面AEF 所成的角为θ， 则2sin |cos n θ=<，||GH >= ， 解得1λ=．【点评】本题考查线面平行的证法及空间向量的方法求线面所成角的正弦值，属于中档题．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为(0,2)D ，直线:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且直线DA 与DB 的斜率之积为13−，（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线//l l ′，直线l ′与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线DM 与DN 的斜率之和为1，求l ′与l 之间距离的取值范围．【分析】（1）联立方程组，根据13DA DB k k =−，利用韦达定理可求a ，从而得解；（2）设直线:l y kx m =+，(2)m ≠±，联立方程 组，根据1DM DN k k +=，利用韦达定理可得42m k =−，由两平行直线间的距离公式，并利用导数求最值． 【解答】解：（1）设1(A x ，1)kx ，2(B x ，2)kx ，由题意，可知2b =，则椭圆222:14x y C a +=， 联立方程组22214y kxx y a=+= ，整理可得：2222(4)40a k x a +−=，显然△0>，且120x x +=，2122244a x x a k −=+， 因为13DA DB k k =−，即12122213kx kx x x −−⋅=−， 化简得21212(31)6()120k x x k x x +−++=，所以22224(31)1204a k a k −+⋅+=+， 解得212a =，所以椭圆22:1124x y C +=； （2）由直线//l l ′，设直线:l y kx m =+，(2)m ≠±，设3(M x ，3)kx m +，4(B x ，4)kx m +， 联立方程组221124y kx m x y =+ +=，整理可得：222(13)63120k x kmx m +++−=， 则△222222364(31)(4)12(124)0k m k m k m −+−=−+>，可得22124m k + ，① 且342631kmx x k −+=+，234231231m x x k −=+， 又因为1DM DN k k +=，即3434221kx m kx m x x +−+−+=， 化简得3434(21)(2)()0k x x m x x −+−+=，则2223126(21)(2)03131m kmk m k k −−−+−=++， 化简得(2)(42)0m k m −−−=，因为2m ≠±，所以42m k =−， 结合①可知04k <<，l ′与l之间距离d = 设22441()1k k g k k −+=+，则222(21)(2)()(1)k k g k k −+′=+， 当12k =时，()0g k ′=， 则当1(0,)2k ∈，()0g k ′<，则()g x 单调递减，当1(,4)2k ∈，()0g k ′>，则()g x 单调递增，所以1()()02min g x g ==，又(0)1g =，(4)g =所以49()17g x <，所以d ∈．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合应用，平行线间的距离公式的应用，用导函数的性质可得函数值域的求法，属于中档题． 19．已知函数2cos ()x xf x x−=，(0,)x ∈+∞． （1）证明：函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点； （2）当(0,)x π∈时，求函数()f x 的最小值； （3）设()i i g x k x b =+，1i =，2，若对任意的[2x π∈，)+∞，12()()()g x f x g x 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求12k k +的最大值．【分析】（1）设()cos h x x x =−，求导分析单调性，可得存在唯一0(6x π∈，)π，使得0()0h x =，进而可得答案．（2）求导得3sin 2cos ()x x x xf x x −−′=，分析()f x ′的符号，进而可得()f x 的单调性，即可得出答案．（3）分析当2b π<−时，0b 时，当2b π=−时，20b π−< 时，12k k +的最大值，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：设()cos h x x x =−， 则()sin 1h x x ′=−−， 因为1sin 1x − ， 所以()0h x ′ 恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，又因为()066h ππ−>，()10h ππ=−−<， 所以存在唯一0(6x π∈，)π，使得0()0h x =，所以()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点， （2）3sin 2cos ()x x x xf x x −−′=， 设()sin 2cos m x x x x x =−−，()1sin cos 1cos (tan )m x x x x x x x ′=+−=+−， ()cos cos sin m x x x x x ′′=−+， 当(0,)x π∈上，sin 0x x >，()0m x ′′>，()m x ′单调递增， 又(0)10m ′=>，所以()m x 在(0,)π上的单调递增，因为()02m π=，所以当(0,)2x π∈时，()0m x <，()f x 单调递减，当(2x π∈，)π时，()0m x >，()f x 单调递增，所以()f x 在(0,)π上有最小值2()2f ππ=−．（3）由（1）可知，[2x π∈，)+∞时，()0f x <，由（2）可知2x π=为()f x 的极小值点，且[x π∈，)+∞时，222cos 112x x x x x πππ−−−−−>− ， 所以[2x π∈，)+∞时，()f x 在2x π=取到最小值2π−，2b π<−时，10k >，存在1(x m ∈，)+∞使得1()0g x >与1()()f x g x 矛盾，0b 时，20k <，存在2(x m ∈，)+∞使得22()g x π<−与2()()f x g x 矛盾，当2b π=−时，令10k =，则12()g x π=−，满足题，此时1k 取得最大值，再过点2(0,)π−作函数()f x 的切线，设切点为(P t ，())f t ，则2()()f t b f t t +′=，解得32t π=， 所以切线方程为2829x y ππ=−， 当2b π=−时，2k 的最大值为289π−，又因为3(2x π∈，)+∞时，33sin 2cos 22cos ()x x x x x x f x x x −−−′=， 设322cos ()x xx x ϕ−=， 4442sin 3cos 233()0x x x x x x xx x x x ϕ−++−++−′=<=<，所以()x ϕ单调递减， 即3222cos 8()9x x f x x π−′，所以20π−< 时，12k k +取得最大值289π，接下来证明当[2x π∈，)+∞时，22cos 829x x x x ππ−− ， 先证：32282()cos 09x x q x x x ππ=−+− ，[2x π∈，3]2π恒成立， 2284()1sin 3x xq x x ππ′=−++， 2164()cos 3x q x x ππ′′=−+，216()sin 3q x x π′′′=−， 当[2x π∈，3]2π时，()q x ′′′单调递增， 216()1023q ππ′′′=−+<，2316()1023q ππ′′′=+>，216()03q ππ′′′=>， 所以存在唯一的1(2x π∈，)π使得()0q x ′′′=，且(2x π∈，1)x 时，()0q x ′′′<，()q x ′′单调递减，1(x x ∈，3)2π时，()0q x ′′′>，()q x ′′单调递增， 因为2()023q π′=>，1()03q π′=−<，3()02q π′=， 所以存在唯一的3(2x π∈，)π使得()0q x ′=，且(2x π∈，3)x 时，()0q x ′>，()q x 单调递增， 3(x x ∈，3)2π时，()0q x ′<，()q x 单调递减， 又因为()29q ππ=，3()02q π=，所以当[2x π∈，3]2π时，32282()cos 09x x q x x x ππ=−+− ， 当3[2x π∈，)+∞时，228442()1sin (1)1sin 0333x x x x q xx x πππ′=−++=−++ ， 所以()0q x ， 综上所述，[2x π∈，)+∞时，22cos 829x x x x ππ−− ， 当3(2x π∈，)+∞，332sin 2cos 22cos 8()9x x x x x x f x x x π−−−′= ， 所以当20b π−< 时，2k 的最大值为289π，即12k k +的最大值为289π．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于难题．。

普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—2[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试—（期末测试题2—2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．已知函数)()1ln()(2x f x x x f '++=则是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数2．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的（ ）A ．充分条件，但不是必要条件；B ．必要条件，但不是充分条件；C ．充分且必要条件；D ．既不充分又不必要条件. 3． 112-+⎛⎝ ⎫⎭⎪i i 的值等于（ ）A ．1B ．－1C ．iD ．－i4．使复数a bi a b +()、不同时为零等于它的共轭复数的倒数的充要条件是 （ ）A ． ()a b +=21 B ． a b 221+=C ． a b 221-=D ． ()a b -=215．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ）A ．1010B ．1717 C ．13132 D ．3737 6．如果用C ，R 和I 分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么有（ ） A ．C R I =B ． R I ={}0C ． I C R C U =D ． R I =φ7．长方体ABCD —A １B 1C １D １中，E 、F 分别为C １Ｂ１，Ｄ１Ｂ１的中点，且ＡＢ＝ＢＣ，ＡＡ１＝２ＡＢ，则CE 与BF 所成角的余弦值是（ ）A ．1010B ．10103 C ．3434 D ．34345 8．设F 1、F 2为双曲线42x －y 2=1的两焦点, 点P 在双曲线上, 当△F 1PF 2面积为1时,21PF PF ⋅的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．219．如果复数Z ai Z =+-<322满足条件||,那么实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,)-2222B ．(,)-22C ．(,)-11D ．(,)-3310．已知复数 Z a bi Z b ai a b 12=+=-+,(其中、都是实数，且ab ≠0），在复平面内，Z 1、Z 2所对应的点与原点组成的三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．若Z C Z Z Z ∈-=-==,||,||,21134且则复数．12．若=∈≠≠++++=∈≠≠-*),1,0(,.......321*,,1,012N n x x nx x x S N n x x n n 则 ． 13．平面直角坐标系下直线的方程为)0(,022≠+=++B A C By Ax ，请类比空间直角坐标系下平面的方程为 ．14．椭圆x 2+22ay =1(0<a<1)上离顶点A(0, a)距离最远的点恰好是另一个顶点A ′(0, - a), 则a的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）已知命题P ：复数22lg(22)(32)z m m m m i =--+++对应的点落在复平面的第二象限；命题Q ：以m 为首项，公比为q 的等比数列的前n 项和极限为2.若命题“P且Q ”是假命题，“P 或Q ”是真命题，求实数m 的取值范围.16．（12分）（1） 设x ≤1，求一个正常数a ，使得x ≤331ax +； （2）设i x ≤1，033231=+++n x x x ，求证：n x x x +++ 21≤3117．（12分）用数学归纳法证明等式对所以n ∈N*均成立．nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-18．（12分）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ．（I ）解不等式1)(≤x f ；（II ）证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数．19．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=)20(<<a a .（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.20．（14分）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）若0=⋅，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明:λ-=.参考答案一、 1．B ； 2．A 3．；答案：B分析：111-+==-i i ii()∴-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=-11122i i i另解：原式()()=-+=-=-1122122i i ii故选B ． 4．B 5．A ．6．答案：D ．分析：由复数概念，如下图，R I =φ故选D ．； 7．D ； 8．A ；9．答案：D ． 分析：由题意， |()|,322+-<ai 得122+<a ,解得，-<<33a因此本题应选D ．10． 二、11．±7i ；12．21)1()1(1x nx x n n n -++-+；解析：当x ≠1时，∵，两边都是关于x 的函数，求导得即．13．)0(,0222≠++=+++C B A D Cz By Ax 14．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122， 三、15．解：命题P 有：22lg(22)0 320 m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩①②由①得：202211311m m m m <--<⇒+<-<<-或 由②得：232021m m m m ++>⇒<->-或由上得满足P 的m的取值范围是：13m <<或11m -<< 对命题Q ,有：21mq=- 又110q q -<<≠且 得：04m <<且2m ≠又命题“P 且Q ”是假命题，“P 或Q ”是真命题，则m 的范围是(1,3)(0,2)13][3,4)-⋃⋃⋃ 16．解：⑴ x ≤331ax +可化为1333+-x ax ≥0，令)(x f =1333+-x ax ， 392-=ax x f )('，由0=)('x f 得，ax 31±=)(1f =3a-2≥0，)(1-f =-3a+4≥0，∴32≤a ≤34， ①∴a31∈[-1，1]，13133131331+⋅-⋅⋅=aa a a af )(≥0，即a ≥34 ②由①、②得，34=a . 从而当x ≤1时，1333+-x ax =2121))((-+x x ≥0，即x ≤331ax +. ⑵ 由⑴知，对i x ≤1，有i x ≤33431i x +，（i=1，2，…，n ） 将这n 个式子求和，得n x x x +++ 21≤31. 17．证明：i)当n=1时，左式=21211=-，右式=21111=+， ∴ 左式=右式，等式成立． ii)假设当n=k(k ∈N)时等式成立， 即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+-， 则当n=k+1时，)1(21)1(13)1(12)1(11)1(1221121413121)22111(1213121221121)212111(221121)211214131211(221121211214131211++++++++++++++=++++++++++=+-++++++++=+-+++++++=+-++--++-+-=+-++--++-+-k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k即n=k+1时，等式也成立，由i) ii)可知，等式对n ∈N 均成立．小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k 与n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由11+k 变为21+k ．因此在证明中，右式中的11+k 应与-221+k 合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的．由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n 的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．18．解1：（I ）分类讨论解无理不等式（略）．（II ）作差比较（略）．解2：a x x x f -+='1)(2（i ）当1≥a 时，有a x x≤<+112，此时0)(<'x f ，函数)(x f 在区间),(+∞-∞上是单调递减函数．但1)0(=f ，因此，当且仅当0≥x 时，1)(≤x f ．（ii ）当10<<a 时，解不等式0)(<'x f ，得21aa x -<，)(x f 在区间]1,(2aa --∞上是单调递减函数．解方程1)(=x f ，得0=x 或212aa x -=，∵221210aa aa -<-<，∴当且仅当2120aa x -≤≤时，1)(≤x f ，综上，（I ）当10<<a 时，所给不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ； 当1≥a 时，所给不等式的解集为：{}0|≥x x ．（II ）当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上时单调函数． 19．向量法）解析：如图，建立空间直角坐标系B-xyz ，则A （1，0，0），C （0，0，1），E （0，1，0），F （1，1，0）， （I ）a 2+=+= )1,0,1(2)1,0,0(-+=a )21,0,2(a a -=BF a BN 2=)0,2,2(a a = -=∴)12,2,0(-=aa ，)20(122<<+-=a a a（II ）由（I）知：122+-=a a 21222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a 所以当22=a 时，MN 的长最小，此时MN=22． （III ）由（II ）知，当MN 的长最小时，22=a ，此时M 、N 分别是AC 、BF 的中点．取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，易证∠AGB 为二面角A-MN-B 的平面角．∵点)21,0,21(M ，点)0,21,21(N ，∴点)41,41,21(G∴)41,41,21(--=，)41,41,21(---=，∴31,cos -=>=<GB GA ，∴故所求二面角)31arccos(-=α= π－31arccos20．（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e .（Ⅱ）解：由（1）可得A （3，0）.设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ① A B CDEFMNGyxz136272221+-=k k x x . ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是 ]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④. 由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x . （Ⅲ）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x . 因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=. 而),21(),2(222y y x λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.。

高二数学试卷期末新课标一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3，则f(2)等于：A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+1，求a3的值：A. 5B. 7C. 9D. 113. 直线y=2x+1与x轴的交点坐标是：A. (0,1)B. (0,-1)C. (1,0)D. (-1,0)4. 函数y=√(x-1)的定义域是：A. x≥1B. x≤1C. x>1D. x<15. 圆x^2+y^2=25的圆心坐标为：A. (0,0)B. (5,0)C. (0,5)D. (-5,0)6. 已知向量a=(3,4)，向量b=(-1,2)，向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ=-1/5B. cosθ=1/5C. cosθ=-√2/2D. cosθ=√2/2二、填空题（每题5分，共20分）1. 等差数列{an}的前n项和S_n=n^2+n，若a1=1，则a10=______。

2. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率为______。

3. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点坐标为(±√(a^2+b^2))，若a=3，b=1，则双曲线的离心率为______。

4. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为______。

三、解答题（共50分）1. （10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数的极大值和极小值。

2. （10分）证明：若a，b，c为正数，且a+b+c=1，则√(a+1/2)+√(b+1/2)+√(c+1/2)≥3√2。

3. （15分）已知直线l：y=x-2与圆C：x^2+y^2=16相交于A，B两点，求弦AB的长度。

4. （15分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，求数列{an}的通项公式。

注意：请仔细审题，认真作答，保持卷面整洁。